Bab IV Teorema Rangkaian

Teorema Rangkaian

2

Sifat Linieritas

Linieritas adalah sifat dari sebuah elemen yang menunjukkan hubungan linier antara penyebab dan akibatnya. Sifat ini merupakan kombinasi antara sifat homogenitas (skala) dan sifat aditivitas.

Sifat homogenitas adalah sifat jika input (pencatu) dikalikan dengan sebuah konstanta, maka output (respons) akan dikalikan dengan konstanta yang sama. Hukum Ohm untuk sebuah resistor linier:

v = iR………..(1)Jika arus dinaikkan dengan konstanta k, maka tegangan akan naik sebesar k:

kiR = kv…..(2)

Dasar Rangkaian Elektrik EL1092

3

Sifat aditif adalah respons dari penjumlahan beberapa input adalah penjumlahan dari masing-masing input jika dipasangkan secara terpisah. Jika

v1 = i1R…………(3a)

dan

v2 = i2R…………(3b)

maka jika i1 dan i2 dipasangkan bersama, maka:

v = (i1 + i2)R = i1R + i2R……..(4)

Jadi rangkaian linier hanya terdiri dari elemen linier, sumber bebas linier dan sumber tak bebas linier


4

Sebuah rangkaian linier adalah rangkaian yang outputnya mempunyai hubungan linier (atau hubungan proporsional) terhadap inputnya.

Perhatikan, daya adalah:

p = i2R = v2/R

Hubungan daya dengan arus atau tegangan adalah hubungan kuadratik atau nonlinier. Jadi teori ini tidak berlaku untuk penghitungan daya.


5

Gambar 1. Rangkaian linier dengan input vs dan output i.

Perhatikan rangkaian linier seperti pada gambar 1. Rangkaian linier tidak mempunyai sumber tidak bebas di dalam rangkaian. Inputnya adalah vs dan diberi beban R. Arus i pada R sebagai output.

Jika vs = 10 V menghasilkan arus i = 2 A. Menurut prinsip linieritas, vs = 1 V akan menghasilkan arus i = 0,2A. Dengan cara yang sama jika i = 1 mA, maka vs = 5 mV


6

)...(016102

)..(..........03164

)....(....................0412

211

21

21

cviiiv

bvvii

avii

sx

sx

s

Contoh 1:

Gambar 2

Untuk rangkaian pada gambar 2, carilah Io jika vs = 12 V dan vs = 24 V.

Gunakan KVL pada kedua lintasan tertutup:


7

2121 60122 iiii

Gambar 2

Tambahkan pers (a) dan (c)

Substitusikan ke pers (a)

76076 22

ss

vivi

Jika vs = 12 V, maka:

A 76

122 iIo

Jika vs = 24 V, maka:

A 76

242 iIo


8

Contoh 2:Asumsikan Io = 1 A. Gunakan prinsip linieritas untuk mendapatkan nilai Io yang sebenarnya dalam rangkaian di gambar 3

Gambar 3


9

Jawab:Jika Io = 1 A, maka V1 = (3 + 5)Io = 8 V dan I1 = V1/4 = 2 A

Gunakan KCL pada simpul 1:I2 = I1 + Io = 3 AV2 = V1 + 2I2 = 8 + 6 = 14 VI3 = V2/7 = 2 A

Gunakan KCL pada simpul 2:I4 = I3 + I2 = 5 A

Jadi: jika Io = 1 A, Is = 5 AHarga Is 15 A akan menghasilkan Io = 3 A


10

Superposisi

Prinsip superposisi menyatakan bahwa tegangan pada (atau arus melalui) sebuah elemen pada sebuah rangkaian linier merupakan penjumlahan aljabar dari tegangan pada (atau arus melalui) elemen itu yang disebabkan oleh masing-masing sumber bebas jika bertindak sendiri.


11

Prinsip superposisi berguna untuk menganalisis sebuah rangkaian linier dengan lebih dari satu sumber bebas dengan menghitung pengaruhnya secara terpisah

Untuk memakai prinsip superposisi, harus memperhatikan:

1. Pada satu saat, hanya satu sumber yang diaktifkan, yang lain dimatikan. Ini berarti kita gantikan sumber tegangan dengan 0 V (atau hubung singkat), dan sumber arus dengan 0 A (atau hubung terbuka)

2. Sumber tidak bebas dibiarkan tetap karena sumber ini dikendalikan oleh variabel rangkaian.


12

Langkah-langkah untuk mengaplikasikan prinsip superposisi:

1. Matikan semua sumber bebas kecuali satu. Carilah output (tegangan atau arus) yang disebabkan oleh sumber yang sedang digunakan.

2. Ulangi langkah pertama untuk setiap sumber bebas.

3. Hitung output total dengan menjumlahkan semua output yang disebabkan oleh masing-masing sumber


13

Kelemahan prinsip superposisi: Memerlukan pekerjaan yang lebih banyak Berdasarkan prinsip linieritas. Jadi jika ingin

menghitung daya pada sebuah resistor, maka arus yang melalui resistor atau tegangan pada resistor harus dihitung terlebih dahulu dengan cara superposisi


14

Contoh 3:Gunakan teorema superposisi untuk mencari v pada rangkaian pada gambar 4

Gambar 4


15

JawabKarena ada 2 sumber, maka

v = v1 + v2

v1 disebabkan oleh sumber tegangan 6Vv2 disebabkan oleh sumber arus 3 A

Untuk mendapatkan v1, matikan sumber arus, seperti pada gambar 5(a).

Gunakan KVL pada lintasan tertutup pada gambar 5(a)

V 24

A 5,0 0612

11

11

iv

iiGambar 5(a) Menghitung v1

(b) Menghitung v2


16

Atau gunakan pembagian tegangan untuk mendapatkan v1

V 2684

41

v

Untuk mendapatkan v2 matikan sumber tegangan, seperti pada gambar 5(b). Gunakan pembagian arus:

V 1082

V 84

A 2348

8

21

32

3

vvv

iv

i


17

Contoh 4:Carilah io dalam rangkaian pada gambar 6 dengan menggunakan superposisi.

Gambar 6


18

Jawab:Dalam rangkaian pada gambar 6 terdapat sumber tidak bebas, yang harus dibiarkan utuh.

(a)............................."'ooo iii

io’ disebabkan oleh sumber arus dan io” disebabkan oleh sumber tegangan

Untuk mendapatkan io’ matikan sumber tegangan 20 V seperti pada gambar 7(a).

Gunakan analisis mesh.Pada lintasan tertutup 1:

...(b)....................A......... 41 iPada lintasan tertutup 2:

(c).................05163 '321 oiiii


19

Gambar 7: Penggunaan superposisi untuk: (a) mendapatkan i’o, dan (b) mendapatkan i”o

Pada lintasan tertutup 3:

(d).................051015 '321 oiiii

Pada simpul 0:

(e).................4 ''13 oo iiii


20

Gantikan pers (b) dan (e) ke dalam pers (c) dan (d)

.....(h)..........A......... 17

52

(g).....................205

(f).....................823

'

'2

'2

o

o

o

i

ii

ii

Untuk mendapatkan io” matikan sumber arus 4 A seperti pada gambar 7(b).

Pada lintasan tertutup 4, gunakan KVL:

.......(i)..........056 "54 oiii

Pada lintasan tertutup 5:

.......(j)..........052010 "54 oiii


21

"5 oii

Gantikan ke dalam pers (i) dan (j)

..(m)..........A......... 17

60

(l)..................205

(k)....................046

"

"4

"4

o

o

o

i

ii

ii

Gantikan pers (h) dan (m) ke dalam pers (a)

A 4706,0 17

8oi


22

Contoh 5:Untuk rangkaian pada gambar 8, gunakan teorema superposisi untuk mendapatkan i.

Gambar 8


23

Gambar 9


24

Dalam kasus ini, terdapat 3 sumber, Jadi:

321 iiii

i1 disebabkan oleh sumber 12 V, i2 disebabkan oleh sumber 24 V, dan i3 disebabkan oleh sumber 3 A.

Untuk mendapatkan i1, perhatikan rangkaian pada gambar 9(a).R = 4 Ω seri dengan R = 8 Ω menjadi 12 Ω. R =12 Ω paralel dengan R = 4 Ω menghasilkan R = 3 Ω. Jadi:

A 26

121 i

Untuk mendapatkan i2, perhatikan rangkaian pada gambar 9(b). Gunakan analisis mesh


25

1

)b......(....................4

7 047

)a..(..........64 024416

2

b

baab

baba

ii

iiii

iiii

Untuk mendapatkan i3, perhatikan rangkaian pada gambar 9(c). Gunakan analisis simpul

d)..(..........3

10

344

(c).........2324 48

3

121112

12122

vvvvvv

vvvvv

Gantikan pers (d) ke pers (c)

A 13

dan 3 131 v

iv

A 2112 321 iiii


26

Transformasi Sumber

Transformasi sumber adalah proses penggantian sebuah sumber tegangan vs seri dengan sebuah resistor R dengan sebuah sumber arus is paralel dengan sebuah resistor R, atau sebaliknya


27

Gambar 10. Transformasi sumber bebas

Kedua rangkaian pada gambar 10 adalah ekivalen, artinya keduanya mempunyai karakteristik tegangan – arus yang sama pada terminal a – b.

Jika sumber dimatikan, resistor yang terlihat pada terminal a – b adalah R.Jika rangkaian dihubung singkat, arus hubung singkat pada rangkaian 10(a) adalah isc = vs/R, pada rangkaian (b) isc = is.Jadi vs/R = is agar kedua rangkaian ekivalen.

(a) (b)


28

Syarat transformasi sumber:

)5...(..........atau R

viRiv ssss

Transformasi sumber berlaku juga untuk sumber tidak bebas.

Gambar 11. Transformasi sumber tidak bebas


29

Beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam transformasi sumber:1.Perhatikan pada gambar 10 atau gambar 11, arah anak panah pada sumber arus menuju ke terminal positif dari sumber tegangan.2.Dari persamaan (5), terlihat bahwa transformasi sumber tidak mungkin dilakukan jika R = 0, misal pada sumber tegangan ideal. Hal sama juga berlaku untuk sumber arus ideal, di mana R= ∞, tidak dapat digantikan dengan sebuah sumber tegangan.


30

Contoh 6:Gunakan transformasi sumber untuk mendapatkan vo dalam rangkaian pada gambar 12.

Gambar 12


31

Gambar 13


32

Pertama transformasikan sumber tegangan dan sumber arus sehingga diperoleh rangkaian pada gambar 13(a).Serikan R = 4 Ω dan R = 2 Ω, transformasikan sumber tegangan 12 V sehingga menghasilkan rangkaian pada gambar 13(b).Paralelkan R = 6 Ω dan R = 3 Ω dan menghasilkan R = 2 Ω.Gabungkan sumber arus 4 A dan sumber arus 2 A sehingga diperoleh rangkaian pada gambar 13(c).

Gunakan pembagian arus pada rangkaian pada gambar 13(c) untuk mendapatkan:

V 2,38

A 4,0282

2

iv

i

o

Cara lain, karena R = 8 Ω dan R = 2 Ω paralel, maka tegangannya sama.

V 2,3210

28A 22||8

ov


33

Contoh 7:Carilah vx pada rangkaian di gambar 14 dengan menggunakan transformasi sumber

Gambar 14


34

Gambar 15. Penggunaan transformasi sumber pada gambar 16

Rangkaian pada gambar 14 mempunyai VCCS.Transformasikan sumber arus ini dan sumber tegangan 6 V seperti pada gambar 15 (a).Sumber tegangan 18 V tidak ditransformasikan karena tidak terhubung seri dengan resistor.Dua R = 2 Ω paralel menghasilkan R = 1 Ω yang paralel dengan sumber arus 3 A.Sumber arus ditransformsikan menjadi sumber tegangan seperti pada gambar 15(b)


35

Gunakan KVL pada lintasan tertutup pada rangkaian di gambar 15(b)

)a.(....................01853 xvi

Gunakan KVL pada lintasan tertutup yang terdiri dari sumber tegangan 3 V, resistor 1Ω dan vx.

)b.(....................3 013 ivvi xx

Substitusi ke pers (a)

A 5,4 03515 iii

Cara lain, gunakan KVL pada lintasan tertutup yang terdiri dari vx, resistor 4 Ω, VCVS, dan sumber tegangan 18 V

A 5,4 0184 iviv xx

Jadi: V 7,53 ivx


36

Teorema Thévenin

Teorema Thévenin menyatakan bahwa sebuah rangkaian linier dua terminal dapat digantikan dengan sebuah rangkaian ekivalen yang terdiri dari sebuah sumber tegangan VTh yang diserikan dengan sebuah resistor RTh, di mana VTh adalah tegangan hubung terbuka pada terminal dan RTh adalah resistansi input atau resistansi ekivalen pada terminal jika sumber – sumber bebas dimatikan.


37

Gambar 16: Menggantikan rangkaian dua terminal dengan rangkaian ekivalen Thevenin: (a) rangkaian asal; (b) rangkaian pengganti Thevenin

Menurut teorema Thévenin rangkaian pada gambar 16(a) dapat digantikan dengan rangkaian pada gambar 16(b).Rangkaian di sebelah kiri terminal a – b disebut rangkaian ekivalen Thévenin


38

Mencari tegangan ekivalen Thévenin VTh dan resistansi RTh.

Misal rangkaian pada gambar 16(a) ekivalen dengan rangkaian pada gambar 16(b).Dua rangkaian disebut ekivalen jika mempunyai karakteristik tegangan – arus yang sama pada terminalnya.

Jika terminal a – b dihubung terbuka (beban dilepas), tidak ada arus yang mengalir, jadi tegangan hubung terbuka pada terminal a – b pada gambar 16(a) harus sama dengan tegangan sumber VTh pada gambar 16(b), karena kedua rangkaian ekivalen.Jadi VTh adalah tegangan hubung terbuka pada terminal seperti terlihat pada gambar 17(a).

VTh = voc………………………….(6)


39

Gambar 17. Mencari VTh = voc dan RTh

Dengan beban dilepas dan terminal a – b hubung terbuka, matikan semua sumber bebas.Resistansi input atau resistansi ekivalen pada terminal a – b pada gambar 16 (a), harus sama dengan RTh pada gambar 16(b).Jadi RTh adalah resistansi input pada terminal jika sumber bebas dimatikan, seperti terlihat pada gambar 17(b); yaitu

RTh = Rin ……………………..(7)


40

Ada dua hal yang harus dipertimbangkan dalam menghitung resistansi Thévenin, RTh

Kasus 1: Jika rangkaian tidak mempunyai sumber tidak bebas, matikan semua sumber. RTh adalah resistansi input dari rangkaian dilihat dari terminal a – b, seperti terlihat pada gambar 17.

Kasus 2: Jika rangkaian mempunyai sumber tidak bebas, matikan semua sumber bebas. Sumber tidak bebas tidak dimatikan karena dikendalikan oleh variabel rangkaian.Pasangkan sebuah sumber tegangan vo pada terminal a – b untuk menentukan arus io. RTh = vo/io, seperti terlihat pada gambar 18(a).Cara lain, pasangkan sumber arus io pada terminal a – b seperti pada gambar 18 (b) dan cari tegangan terminal vo. RTh = vo/io


41

Gambar 18. Mencari RTh jika rangkaian mempunyai sumber tidak bebas


42

Gambar 19. Sebuah rangkaian dengan sebuah beban: (a) rangkaian asal, (b) rangkaian ekivalen Thévenin


43

Rangkaian linier dengan sebuah beban variabel dapat digantikan dengan rangkaian ekivalen Thévenin.Rangkaian ekivalen ini mempunyai sifat seperti rangkaian asalnya.

Perhatikan rangkaian pada gambar 19(a).Arus IL dan tegangan VL pada beban dapat ditentukan dengan mudah jika rangkaian ekivalen Thevenin nya sudah diperoleh, seperti terlihat pada gambar 19(b)

)b8..(..........

)a8.......(....................

ThLTh

LLLL

LTh

ThL

VRR

RIRV

RR

VI


44

Contoh 8:Carilah rangkaian ekivalen dari rangkaian pada gambar 20, ke sebelah kiri terminal a – b. Carilah arus melalui RL = 6, 16 dan 36 Ω

Gambar 20


45

Gambar 21: (a) mencari RTh, (b) mencari VTh

Untuk menghitung RTh, matikan sumber tegangan 32 V (ganti dengan hubung singkat) dan sumber arus 2A (ganti dengan hubung terbuka). Rangkaian seperti pada gambar 21(a).

4116

1241124ThR


46

Untuk mencari VTh, perhatikan rangkaian pada gambar 21(b).Gunakan analisis mesh pada kedua lintasan tertutup

V 30)0,25,0(12)(12

A 5,0

A 2

0)(12432

21

1

2

211

iiV

i

i

iii

Th

Jika menggunakan analisis simpul, abaikan resistor 1 Ω.Gunakan KCL pada simpul atas.

V 30 2439612

24

32

ThThTh

ThTh

VVV

VV


47

Rangkaian ekivalen Thévenin terlihat pada gambar 22

Arus yang melalui RLadalah:

LLTh

ThL RRR

VI

4

30

Gambar 22: Rangkaian ekivalen Thévenin untuk contoh soal 8


48

Jika RL = 6

A 310

30LI

Jika RL = 16

A 5,120

30LI

Jika RL = 36

A 75,040

30LI


49

Contoh soal 9: Carilah rangkaian ekivalen Thevenin pada terminal a – b pada rangkaian di gambar 23

Gambar 23


50

Rangkaian ini mempunyai sebuah sumber tidak bebas. Untuk mencari RTh, sumber bebas dijadikan nol dan sumber tidak bebas dibiarkan saja.Karena rangkaian mempunyai sumber tidak bebas, maka rangkaian akan dicatu dengan tegangan vo yang dihubungkan seperti pada gambar 24(a). Karena rangkaian ini linier, maka untuk memudahkan vo = 1 V.

Tujuannya adalah mencari arus io yang melalui terminal, dan mendapatkan RTh = 1/io. (Cara lain, pasangkan sumber arus 1 A, cari tegangan vo dan dapatkan RTh = vo/1)


51

Gambar 24: Mencari RTh dan VTh untuk rangkaian pada contoh soal 9


52

Gunakan analisis mesh pada lintasan tertutup 1 pada rangkaian di gambar 24(a)

(a) 3

4

atau 022

21

212

2121

ii

iivi

iiviiv

x

xx

Untuk lintasan tertutup 2 dan 3, gunakan KVL

(c) 0126

(b) 0624

323

32122

iii

iiiii


53

Selesaikan pers. di atas

6V 1

A 6

1

A 6

1

3

3

oTh

o

iR

ii

i


54

Untuk mendapatkan VTh, carilah voc pada rangkaian di gambar 24(b). Gunakan analisis mesh, maka diperoleh:

V 2063

10

4

(f) 02412

0624

(e) 022

(d) 5

2

2

21

312

23212

2323

1

ivV

i

vii

iii

iiiii

iiviiv

i

ocTh

x

xx

Rangkaian ekivalen Thévenin terlihat pada gambar 25


55

Gambar 25: Rangkaian ekivalen Thévenin dari rangkaian pada gambar 23


56

Contoh soal 10: Tentukan rangkaian ekivalen Thévenin pada terminal a – b dari rangkaian pada gambar 26a.

Gambar 26


57

1. Definisikan. Soal terdefinisi dengan jelas; tentukan rangkaian ekivalen Thévenin dari rangkaian yang terlihat pada gambar 26(a).

2. Diketahui. Rangkaian mempunyai resistor 2 Ω paralel dengan resistor 4 Ω. Keduanya paralel dengan sumber arus tidak bebas. Perhatikan, rangkaian ini tidak memiliki sumber bebas.

3. Alternatif. Karena tidak mempunyai sumber bebas, maka rangkaian ini harus dicatu dari luar. Dan, jika tidak ada sumber bebas, maka tidak ada nilai VTh; kita hanya perlu mencari RTh. Cara paling sederhana untuk mencatu rangkaian adalah dengan sumber tegangan 1 V atau dengan sumber arus 1 A.

4. Cara. Tuliskan persamaan simpul pada simpul a pada gambar 26(b), asumsikan io = 1 A.

(a) 0120402 oox vvi

Karena ada dua variabel yang tidak diketahui maka diperlukan sebuah persamaan pembatas

(b) 220 oox vvi


58

Subsitusikan pers. (a) dan (b)

V 4atau 11

01204022

21

41

oo

ooo

vv

vvv

Karena vo = 1 x RTh, maka RTh = vo/1 = – 4 Ω

Harga negatif dari sebuah resistor menyatakan bahwa rangkaian pada gambar 26(a) mencatu daya. Tentu saja resistor pada gambar 26(a) tidak dapat mencatu daya (resistor menyerap daya); maka sumber tidak bebaslah yang mencatu daya. Inilah contoh bagaimana sebuah sumber tidak bebas dan resistor dapat dipakai untuk mensimulasikan resistansi negatif.


59

5. Evaluasi. Perhatikan jawaban memberikan harga resistansi yang negatif. Diketahui, hal ini tidak mungkin untuk sebuah rangkaian pasif, tetapi pada rangkaian ini ada sebuah divais aktif (sumber arus tidak bebas). Jadi, rangkaian ekivalennya adalah sebuah rangkaian aktif yang dapat mencatu daya.

Sekarang kita harus mengevaluasi jawaban. Cara terbaik adalah dengan memeriksa jawaban dengan menggunakan pendekatan yang berbeda, dan melihat apakah hasilnya akan sama.Cobalah menghubungkan resistor 9 Ω seri dengan sumber tegangan10 V pada terminal output pada rangkaian asal dan juga rangkaian ekivalen Thévenin. Untuk memudahkan analisis, ubah sumber arus yang paralel dengan resistor 4 Ω menjadi sumber tegangan yang diserikan dengan resistor 4 Ω dengan menggunakan transformasi sumber. Dengan beban yang baru, rangkaian menjadi seperti pada gambar 26(c)


60

Tuliskan persamaan mesh:

01092

0248

212

211

iii

iiiix

Perhatikan, hanya ada 2 persamaan dengan 3 variabel yang tidak diketahui, jadi diperlukan satu persamaan pembatas.

12 iiix Persamaan baru untuk lintasan tertutup 1 menjadi:

A 2510atau 10116

10112

3atau 062

082824

222

21

2121

21

iii

ii

iiii

ii


61

Gunakan rangkaian ekivalen Thévenin diperoleh rangkaian pada gambar 26(d)

A 2510atau 01094 11 iii

6. Memenuhi? Jelas, telah diperoleh nilai dari rangkaian ekivalen yang diperlukan oleh soal. Pemeriksaan ulang membuktikan hasil yang diperoleh (dengan cara membandingkan hasil dari rangkaian ekivalen dengan memberikan beban pada rangkaian asalnya). Cara ini dapat dipakai untuk menyelesaikan semua permasalahan.


62

Teorema Norton

Teorema Norton menyatakan bahwa sebuah rangkaian linier dua terminal dapat diganti dengan sebuah sumber arus IN yang dihubung paralel dengan sebuah resistor RN dimana IN adalah arus hubung singkat yang melalui terminal dan RN adalah resistansi input atau resistansi ekivalen pada terminal jika sumber bebas dimatikan


63

Gambar 27 (a) Rangkaian asal; (b) rangkaian ekivalen Norton


64

Cara mendapatkan RN sama dengan cara mendapatkan RTh. Pada kenyataannya, berdasarkan transformasi sumber, resistansi Thévenin sama dengan resistansi Norton.

RN = RTh ……………..(9)

Untuk mendapatkan arus Norton IN, tentukan arus hubung singkat yang mengalir dari terminal a ke terminal b pada kedua rangkaian pada gambar 27. Arus hubung singkat pada gambar 27(b) adalah IN. Arus ini sama dengan arus hubung singkat dari terminal a ke terminal b, karena kedua rangkaian ekivalen.

IN = ioc ……………….(10)

Sumber bebas dan sumber tidak bebas diperlakukan sama seperti pada teorema Thévenin


65

Gambar 28. Cara mencari arus Norton IN

Hubungan antara teorema Thévenin dan teorema Norton: RN = RTh (pers. 9), dan

(11)...........................Th

ThN R

VI


66

Karena VTh, IN dan RTh berhubungan seperti pada persamaan (11), untuk menentukan rangkaian ekivalen Thevenin atau Norton, maka diperlukan untuk mendapatkan:

•Tegangan hubung terbuka voc pada terminal a dan b•Arus hubung singkat isc pada terminal a dan b•Resistansi input atau resistansi ekivalen Rin pada terminal a dan b ketika semua sumber bebas dimatikan.

(12c).................

(12b)............................

(12a)...........................

Nsc

ocTh

scN

ocTh

Ri

vR

iI

vV


67

Contoh soal 11: Carilah rangkaian ekivalen Norton pada terminal a – b dari rangkaian pada gambar 29

Gambar 29


68

Gambar 30: (a) mencari RN, (b) IN = isc, (c) VTh = voc


69

Mencari RN dengan mematikan sumber bebas seperti pada gambar 30(a).

425

5202058485NR

Mencari IN dengan menghubung-singkatkan terminal a dan b seperti pada gambar 30(b). Gunakan analisis mesh, diperoleh:

Nsc Iii

iii

A 1

012420 A, 2

2

121


70

Cara lain: tentukan IN dari VTh/RTh VTh yang merupakan tegangan hubung terbuka pada terminal a dan b seperti pada gambar 30(c). Gunakan analisis mesh, diperoleh:

A 14

4

V 45

A 8,0 012425

A 2

4

434

3

Th

ThN

Thoc

R

VI

iVv

iii

i

Hasilnya sama seperti pada perhitungan sebelumnya.

414scocTh ivR


71

Gambar 31. Rangkaian ekivalen Norton dari rangkaian pada gambar 29


72

Contoh soal 12: Dengan menggunakan teorema Norton, carilah RN dan IN pada terminal a – b dari rangkaian pada gambar 32.

Gambar 32

Untuk mencari RN, matikan sumber bebas dan hubungkan sebuah sumber tegangan 1 V pada terminal a – b seperti pada gambar 33(a). Resistor 4 Ω diabaikan karena paralel dengan hubung singkat.


73

Gambar 33. (a) mencari RN, (b) mencari IN

Karena dihubung singkat, maka resistor 5 Ω, sumber arus tidak bebas dan sumber tegangan dalam keadaan paralel. Jadi arus ix = 0


74

Pada simpul a:

52,0

1

A 2,0 5

V 1

o

oN

o

i

vR

i

Untuk mencari IN, terminal a – b dihubung singkat dan carilah isc seperti pada gambar 33(b). Perhatikan, resistor 4 Ω, sumber tegangan 10 V, resistor 5 Ω dan sumber arus tidak bebas dalam keadaan paralel. Jadi

A 5,24

10xi

Gunakan KCL pada simpul a

A 7

A 75,22225

10

N

xsc

I

ii


Pembuktian Teorema Thévenin dan Teorema Norton.

Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 75

Pada bagian ini kita akan membuktikan teorema Thévenin dan teorema Norton dengan menggunakan prinsip superposisi.

Gambar 34 Pembuktian persamaan Thévenin. (a) Rangkaian dengan sumber arus, (b) Rangkaian ekivalen Thévenin


Perhatikan gambar 34(a). Asumsikan rangkaian terdiri dari resistor, dan sumber bebas dan sumber tidak bebas.Terminal dari rangkaian adalah terminal a dan b. Pada terminal ini dipasangkan sumber arus luar.

Tujuan kita adalah untuk memastikan bahwa hubungan tegangan – arus pada terminal a – b adalah identik dengan rangkaian ekivalen Thevenin pada gambar 34(b).

Untuk memudahkan analisis, misalkan rangkaian linier pada gambar 34(a) mempunyai dua sumber tegangan bebas v1 dan v2 dan sumber arus bebas i1 dan i2.


Dengan prinsip superposisi, tegangan v pada terminal adalah:

(13) 241322110 ssss iAiAvAvAiAv

Ao, A1, A2, A3 dan A4 adalah konstanta. Setiap suku pada sisi kanan persamaan (13) merupakan konstribusi dari masing-masing sumber bebas. Jika kita mengumpulkan semua sumber bebas internal sebagai B0 maka persamaan menjadi

241322110

00 (14)

ssss iAiAvAvAB

BiAv


Sekarang kita akan menghitung konstanta A0 dan B0.

Ketika terminal a dan b hubung terbuka, i = 0 dan v = B0.Jadi B0 adalah tegangan hubung terbuka voc yang sama dengan tegangan Thevenin VTh. Jadi:

B0 = VTh (15)

Ketika semua sumber internal dimatikan, B0 = 0. Rangkaian dapat digantikan dengan sebuah resistansi ekivalen Req yang sama dengan RTh, dan persamaan (14) menjadi:

v = A0i = RThi → A0 = RTh (16)

Jadi:v = Rthi + VTh (17)


Gambar 35 Pembuktian persamaan Norton. (a) Rangkaian dengan sumber tegangan, (b) Rangkaian ekivalen Norton


Jika pada rangkaian linier yang sama dipasangkan sumber tegangan luar v pada terminal a – b seperti pada gambar 35(a), arus yang mengalir ke rangkaian dapat diperoleh dengan superposisi sebagai:

(18) 00 DvCi

C0v adalah arus yang disebabkan oleh sumber luar v dan D0

adalah arus yang disebabkan oleh sumber bebas internal.

Jika terminal a – b dihubung singkat, v = 0 jadi i = D0 = –isc, dimana isc adalah arus yang keluar dari terminal a yang sama denga arus Norton, IN.

D0 = IN (19)


Ketika semua sumber internal dimatikan, D0 = 0. Rangkaian dapat digantikan dengan sebuah resistansi ekivalen Req (atau sebuah konduktansi ekivalen Geq = 1/Req) yang sama dengan RTh atau RN

dan persamaan (19) menjadi:

(20) NTh

IR

vi

82

Alih Daya Maksimum

Rangkaian ekivalen Thévenin sangat berguna untuk mencari alih daya maksimum dari sebuah rangkaian linier ke sebuah beban.

Asumsikan beban RL dapat diatur. Jika semua rangkaian kecuali beban digantikan dengan rangkaian ekivalen Thévenin, seperti pada gambar 36, alih daya maksimum ke beban:

)21..(....................2

2L

LTh

ThL R

RR

VRip


83

Gambar 36. Rangkaian yang digunakan untuk menentukan alih daya maksimum

Untuk sebuah rangkaian, VTh dan RTh selalu tetap. Dengan mengubah-ubah beban, daya yang disalurkan ke beban bervariasi seperti pada gambar 37.


84

Gambar 37 Daya disalurkan ke beban sebagai fungsi dari RL

Teorema Daya Maksimum:Daya maksimum yang dialihkan ke beban terjadi bila resistansi beban sama dengan resistansi Théveninnya bila dilihat dari beban (RL = RTh)


85

Pembuktian: diferensiasikan daya p pada pers 21 terhadap RL dan hasilnya sama dengan nol

)22...(....................20

02

2

32

4

22

LThLLTh

LTh

LLThTh

LTh

LThLLThTh

L

RRRRR

RR

RRRV

RR

RRRRRV

dR

dp

Jadi:

RTh = RL…………………….(23)


86

Pada saat RL = RTh, sumber dan beban dikatakan ‘matched’

Alih daya maksimum diperoleh dengan men-subsitusi-kan pers 23 ke pers 21

Th

Thmaks R

Vp

4

2

…………………….(24)

Pers 24 hanya berlaku jika RL = RTh. Jika RL ≠ RTh, daya yang disalurkan ke beban dihitung dengan persamaan (21)


87

Contoh soal 13: carilah harga RL untuk alih daya maksimum dalam rangkaian pada gambar 38. Hitung daya maksimumnya.

Gambar 38.

Untuk mendapatkan RTh dan VTh gunakan rangkaian pada gambar 39(a) dan 39(b)


88

Gambar 39. (a) Mencari RTh. (b) Mencari VTh

9126

126512632ThR

Gunakan analisis mesh pada rangkaian di gambar 39(b)

A 32 0241812

A 2 ,0121812

11

221

ii

iii


89

Untuk mendapatkan VTh pada terminal a – b gunakan KVL pada lintasan tertutup luar

V 22 0)0(23612 21 ThTh VVii

Alih daya maksimum:

RL = RTh = 9 Ω

Dan daya maksimumnya:

W44,1394

22

4

22

L

Thmaks R

Vp


90

Ringkasan

1. Rangkaian linier terdiri dari elemen linier, sumber tidak bebas linier dan sumber bebas linier

2. Teorema rangkaian digunakan untuk mengubah rangkaian yang rumit menjadi rangkaian yang sederhana, sehingga analisis rangkaian menjadi lebih mudah.

3. Prinsip superposisi menyatakan bahwa untuk sebuah rangkaian yang mempunyai banyak sumber bebas, tegangan pada (atau arus yang melalui) sebuah elemen sama dengan jumlah aljabar dari masing-masing tegangan (atau arus) yang disebabkan oleh masing-masing sumber bebas bila bekerja sendiri.


91

4. Transformasi sumber adalah sebuah prosedur untuk mengubah sebuah sumber tegangan yang seri dengan sebuah resistor menjadi sebuah sumber arus diparalelkan dengan sebuah resistor, dan sebaliknya.

5. Teorema Thévenin dan Norton memungkinkan kita untuk mengisolasi sebagian dari rangkaian dan menggantikan bagian lainnya dengan sebuah rangkaian ekivalen. Rangkaian ekivalen Thévenin terdiri dari sebuah sumber tegangan VTh yang diserikan dengan sebuah resistansi RTh, sedangkan rangkaian ekivalen Norton terdiri dari sebuah sumber arus IN yang diparalelkan dengan sebuah resistansi RN. Kedua teorema ini terhubung dengan transformasi sumber.

Th

ThNThN R

VIRR


92

6. Untuk sebuah rangkaian ekivalen Thévenin, alih daya maksimum terjadi jika RL = RTh; jika resistansi beban sama dengan resistansi Thévenin

7. Teorema Alih Daya Maksimum menyatakan bahwa daya maksimum yang disalurkan oleh sebuah sumber ke beban RL terjadi jika beban RL sama dengan RTh, resistansi Thévenin pada terminal beban


Bab IV Teorema Rangkaian

Documents

Transcript of Bab IV Teorema Rangkaian