Hasil Kali Transformasi Definisi : Andaikan F dan G dua transformasi dengan : F : V v G : V v Sehingga produk atau komposisi dari f dan g yang ditulis sebagai GoF didefinisikan sebagai (GoF)(P) = G[F(P)], P V Teorema 5.1 : Jika F : V v dan G : V v masing-masing suatu transformasi maka hasil kali H = GoF : V v adalah juga transformasi. Pembuktian

1. H : V v

Transformasi G memiliki daerah nilai dan daerah asal di V

Transformasi F memiliki daerah nilai dan daerah asal di V

2. H surjektif : Anggota kodomain memiliki pasangan didomain Ambil sebarang y V, akan dibuktikan bahwa H(x) = y

Transformasi G : Ambil sebarang y V dan z V maka G(z) = y

Transformasi F : Ambil sebarang z V dan x V maka F(x) = z

Jadi dapat disimpulkan G(z) = y , G [F(x)] = y atau (GoF)(x) = y sehingga y = H(x) 3. H Injektif : Setiap domain memiliki tepat satu pasangan pada kodomain atau

dapat ditulis PQ maka H(P) H(Q) . Akan dibuktikan menggunakan kontradiksi

Andaikan H(P) = H(Q) maka G[F(P)] = G[F(Q)]

F(P) = F(Q)

P = Q

Dari pembuktian diatas, pengandaian H(P) = H(Q) adalah SALAH. Yang benar

H(P) = H(Q) sehingga dapat disimpulkan bahwa H adalah injektif.

Example : Andaikan g sebuah garis dan T sebuah transformasi T : V v yang didefinisikan sebagai berikut :

Jika x g, maka T(x) = x

Jika x g maka T(x) adalah titik tengah ruas garis dari x ke g yang tegak lurus.

Pembuktian Isometri : Transformasi dan refleksi. Ambil sebuah garis h tegak lurus g dan Mh (refleksi garis h) atau Mh [T(x)] = y, sehingga y = (MhoT)(x). apakah merupakan hasil kali isometri? Dari gambar didapat MhoT = ToMh. Andaikan x = (x,y) maka T(x) = (x, 1/2y) dan Mh[T(x)] = (-x, 1/2y)

g

g

PEMBAHASAN SOAL

1). Diketahui : garis-garis g dan h dan titik-titik P,Q dan K.

Lukislah :

a). A = Mg[Mh(P)]

b). B = Mh[Mg(P)]

c). C = Mh[Mh(P)]

d). D = Mg[Mh(K)]

e). R sehingga Mh[Mg(R)] = Q

f). Apakah Mg Mh = MhMg?

Penyelesaian:

a)

b)

c)

Q

P

h

A = Mg[Mh(P)]

Mh(P)

B = Mh[Mg(P)]

P

Mg(P)

h

P = Mh[Mh(P)]

Mh(P)

h

g

g

Q

P

h

K = D= Mg[Mh(K)]

Mh(Q)

Q = Mh[Mg(R)]

d)

e)

f) Tidak, sebab terlihat pada nomor (a) dan (b), diperoleh Mg[Mh(P)]

Mh[Mg(P)]. Selain itu, sifat komutatif tidak berlaku secara umum pada hasilkali

transformasi. Pembuktian dapat dilihat di materi.

2). Diketahui : T dan S isometri

Selidiki :

a). TS sebuah isometri

b). TS = ST

c). Jika g sebuah garis maka g = (TS)(g) juga sebuah garis.

d). Jika g // h dan g = (TS)(g), h = (TS)(h) maka g // h

Penyelesaian :

a). T dan S adalah isometri-isometri sehingga T dan S adalah suatu transformasi

Berdasarkan teorema Jika F : V V dan G : V V masing-masing suatu

transformasi, maka hasil kali H = G F : V V adalah juga suatu transformasi,

maka TS juga transformasi.

Adb. TS isometri.

P

h

g

R

Ambil sebarang titik A, BV.

Jelas S(A) = A, S(B) = B.

Karena S isometri maka AB = AB.

Jelas T(A) = A, T(B) = B.

Karena T suatu isometri maka AB = AB.

Diperoleh AB = AB = AB.

Jelas TS(A) = T[S(A)]= T(A)= A dan

TS(B) = T[S(B)]= T(B)= B.

Karena AB = AB maka TS sebuah isometri.

Jadi TS adalah suatu isometri.

b). Adb TS = ST

Didefinisikan T(P) = P dan T(Q) = Q.

Misalkan |PQ| = |PQ| |PQ| = |T(P) S(Q)|.

TS(P) = P dan ST(P) = P.

Karena TS(P) = ST(P) = P maka TS = ST = 1.

Jadi TS = ST.

c). Apabila g sebuah garis maka g = TS(g) juga sebuah garis.

Telah diketahui bahwa TS sebuah isometri.

Berdasarkan teorema sebuah isometri memetakan garis menjadi garis.

Maka g = TS(g) adalah sebuah garis.

Jadi pernyataan jika g sebuah garis maka g = TS(g) juga sebuah garis benar.

d). Apabila g // h dan g = TS(g), h = TS(h) maka g// h.

Karena TS sebuah isometri, berdasarkan teorema sebuah isometri mengawetkan

kesejajaran dua garis sehingga diperoleh g// h dengan g = TS(g), h = TS(h), g //

h.

Jadi pernyataan Apabila g // h dan g = TS(g), h = TS(h) maka g// h benar.

3). Diketahui : garis-garis g dan h, Ag, Bh, C h

Lukislah :

a). Mg[Mh(ABC)]

b). Mh[Mg(ABC)]

c). K sehingga Mg[Mh(K)] = K

d). R sehingga Mh[Mg(R)] = D

Penyelesaian:

a).

Mh(A) = A

Mh(B) = B (karena B h )

Mh(C) = C

Mg(A) = A

Mg(B) = B

Mg(C) = C

Jadi, Mg[Mh(ABC)] = ABC.

b).

g

h

A

C

B

A

C

C

A

B

g

h

A = A

C

B

A

C

C

B

B

Mg(A) = A = A (karena A g )

Mg(B) = B

Mg(C) = C

Mh(A) = A

Mh(B) = B

Mh(C) = C

Jadi, Mh[Mg(ABC)] = ABC.

c). Akan dilukis K sehingga Mg[Mh(K)] = K.

Mg[Mh(K)] = K (MgMh)(K) = K.

Hasil kali persamaan (MgMh)(K) = K hanya akan terjadi pada titik potong antara

garis g dan garis h. Oleh karena itu K adalah titik potong garis g dan garis h.

d). Akan dilukiskan titik R sehingga Mh[Mg(R)] = D.

Karena D h maka D = Mh(D) = D.

Diperoleh Mg(R) = D.

Jadi, R adalah prapeta D oleh Mg

4). Diketahui : garis-garis g, h, k dengan g // k

Lukislah :

a). g = Mh[Mg(g)]

b). g = Mg[Mh(g)]

c). k = Mg[Mh(k)]

Penyelesaian:

g

h

K

g

h

R

D

a) g= Mh[Mg(g)]

Ambil dua titik sebarang anggota garis g, misal titik P dan Q serta namai titik

perpotongan garis g dan h di R . Setelah mendapatkan pencerminan P di P, R di R

dan Q di Q, hubungkan titik P, R, dan Q menjadi suatu garis yaitu garis g.

b) g= Mg[Mh(g)]

Ambil dua titik sebarang anggota garis g, misal titik P dan Q.

c) k= Mg[Mh(k)]

Ambil dua titik sebarang anggota garis g, misal titik A dan B. namai titik perpotongan

garis h dan k di C.

g

Q

R

Q

P

P h g

k

g

Q

P

Q

R

Q

P

P h g

k

k

A

B

B

A

B

C

A

h g

k