BAB II LANDASAN TEORI - digilib.itb.ac.id · saham, distribusi normal dan lognormal, teorema limit...

BAB II : LANDASAN TEORI 5

BAB II

LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa teori matematika keuangan dan statistika yang

mendukung dalam penurunan formula Lookback Options pada Bab III dan pembuatan

program pada Bab IV. Teori-teori yang akan dibahas berupa asset, dinamika harga

saham, distribusi normal dan lognormal, teorema limit pusat, random walk dan gerak

Brown, gerak Brown Geometrik, model harga saham, lemma Ito, formula Black-

Scholes, derivatives, opsi, lookback options, dan metode binomial. Teori-teori yang

telah disebutkan sebelumnya nantinya tidak akan disinggung lagi pada bab-bab

selanjutnya namun akan langsung diterapkan dalam analisis maupun komputasinya.

2.1 Asset

Asset adalah objek keuangan (finansial) yang nilainya sekarang diketahui dan

dapat berubah di masa datang, misalnya saham, komoditas, dan mata uang.

Harga dari asset-asset ini berfluktuasi dan terkadang mengalami fluktuasi yang

sangat besar. Jika seseorang dapat mengantisipasi fluktuasi harga ini maka

orang tersebut dapat menghasilkan uang dengan sangat cepat. Adapun yang

dimaksud dengan asset dalam tugas akhir ini adalah saham, khususnya saham

yang tidak memberikan dividen.

Penentuan Harga Lookback Options secara Analitik dan Numerik Yohanna (10103030)

BAB II : LANDASAN TEORI 2.2 Dinamika Harga Saham

Pergerakan harga saham dikatakan mengikuti suatu proses stokastik bila

nilainya berubah setiap saat dalam ketidakteraturan. Proses stokastik merupakan

barisan peubah acak dengan t sebagai indeks parameter atas suatu himpunan

indeks (Dalam kasus ini, parameter t merepresentasikan waktu). Untuk

kemudahan, kita akan gunakan notasi

tX

Τ

( )X t dibandingkan . Jika himpunan

indeks diskrit maka proses stokastik

tX

Τ ( ){ },X t t∈Τ disebut proses stokastik

diskrit sedangkan bila Τ kontinu maka disebut sebagai proses stokastik

kontinu. Pada kenyataannya, harga saham berubah hanya pada saat-saat tertentu

(diskrit) selama pasar saham dibuka. Untuk kemudahan, asumsikan set indeks

adalah kontinu. Τ

Proses Markov adalah suatu proses stokastik, diberikan nilai sX maka nilai dari

hanya bergantung terhadap ,tX t s> sX dan bukannya terhadap ,uX u s< .

Misalkan harga saham mengikuti Proses Markov maka hanya harga saham saat

inilah yang relevan digunakan untuk menaksir harga saham di masa datang.

Proses Markov ini sesuai dengan keadaan pasar saham yang mengasumsikan

bahwa harga saham saat ini sudah mengandung informasi-informasi dari masa

lampau dan suatu hal yang tidak relevan untuk menaksir harga saham di masa

mendatang dengan menggunakan pola lintasan harga-harga saham masa

lampau.

2.3 Distribusi Normal dan Lognormal

Fungsi padat peluang dari suatu peubah acak yang berdistribusi normal dengan

rata-rata μ dan variansi 2σ adalah

( )21 1exp

22xf x μσσ π

⎛ ⎞−⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠


6

BAB II : LANDASAN TEORI

Jika peubah acak normal tersebut memiliki nilai rata-ratanya adalah 0 dan

variansinya adalah 1 maka disebut sebagai peubah acak normal standar. Fungsi

padat peluang dan fungsi distribusi dari peubah acak normal standar berturut-

turut dinyatakan oleh ( )n x dan ( )N x , yakni

( )

( )

2

2

1 exp ,22

1 exp .22

x

xn x

tN x dt

π

π −∞

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

∫

Jika x berdistribusi normal dengan rata-rata xμ dan variansi 2xσ , maka xz e=

dikatakan berdistribusi lognormal. Fungsi padat peluang lognormal adalah

( )2

1 1 lnexp22

x

xx

zg zx

μσσ π

⎛ ⎞⎛ ⎞−⎜ ⎟= − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

dan nilai rata-rata dan variansinya berturut dinyatakan oleh zμ dan 2xσ , yakni

( ) ( )

2

2 2

exp ,2

exp 2 exp 1 .

xz x

z x x x

σμ μ

σ μ σ σ

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠2⎡ ⎤= + −⎣ ⎦

2.4 Teorema Limit Pusat

Teorema Limit Pusat menyatakan bahwa sejumlah besar dari peubah acak yang

saling bebas dan memiliki distribusi peluang yang sama akan mendekati peubah

acak normal.

Untuk lebih jelasnya, misalkan adalah barisan dari peubah acak yang

identik dan saling bebas dengan rata-rata dan variansinya masing-masing adalah

1 2, ,...X X

μ dan 2σ dan misalkan

1

n

n ii

S X=

= ∑ .


7


Teorema. “ Untuk nilai n yang sangat besar, Sn akan menghampiri peubah

acak normal dengan rata-rata nμ dan variansi 2nσ . Hasilnya, untuk setiap x

sembarang diperoleh

( )xxnnSP n Φ≈

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ≤

−σ

μ

dan hampiran yang diperoleh menjadi lebih akurat seiring dengan bertambah

besarnya nilai n. “

2.5 Random Walk dan Gerak Brown

Sesuai dengan namanya, random walk berarti gerak yang random (acak) dan

biasanya di dalam keuangan digunakan untuk mendeskripsikan pergerakan dari

harga saham. Harga saham dikatakan mengikuti random walk yang dikatakan

sebagai gerak Brown karena keacakannya. Berikut akan diterangkan mengenai

random walk satu dimensi.

Misalkan terdapat partikel pada titik pusat sumbu-x. Si partikel hanya dapat

melompat ke kiri atau ke kanan sejauh jarak yang sama, yakni δ . Definisikan

ix adalah peubah acak posisi partikel yang bernilai δ atau δ− ketika partikel

bergerak ke kanan atau ke kiri pada saat ke-i. Asumsikan bahwa peluang dari

lompatan ke kanan dan ke kiri tidak pernah berubah atau dengan kata lain,

selalu sama untuk setiap saat. Tuliskan peluangnya sebagai

( ) ( )Pr , Pr ,i ix p xδ δ q= = = − =

dengan , p dan q saling bebas terhadap i. Tiap lompatan saling bebas

sehingga peubah acak

1p q+ =

ix saling bebas juga. Definisikan peubah acak

1 2 ... ,n nX x x x= + + +

yang menyatakan posisi si partikel pada saat langkah ke–n. Nilai ekspektasi dari

ix adalah

( ) ( ) , 1,2,..., ,iE x p q p q iδ δ δ= − = − = n


8


dan karena ix saling bebas maka kita peroleh

( ) ( ) ( )1 1

n n

n i ii i

E X E x E x n p q δ= =

⎛ ⎞= = = −⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑ .

Variansi dari ix adalah

( ) ( ) ( ) ( )22 22 2var 4 ,i i2 2x p q E x p q pqδ δ δ δ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − − = − − =⎣ ⎦⎣ ⎦ δ

sehingga

( ) 2var 4nX pq nδ= .

Dengan mengambil jarak pindah sekecil mungkin dari random walk di atas

maka dapat dihasilkan gerak Brown satu dimensi. Gerak Brown pertama kali

diamati oleh seorang ahli botani, Robert Brown, pada tahun 1827. Beliau

mendeskripsikan adanya gerak tak sewajarnya oleh suatu partikel yang

terdispersi di dalam zat cair atau gas. Penjelasan mengenai gerak ini pertama

kali dikemukakan oleh Albert Einstein pada tahun 1905. Gerak Brown pertama

kali dikenalkan oleh matematikawan Perancis, Bachelier, pada tahun 1900 yang

menggunakannya dalam disertasi doktornya untuk memodelkan pergerakan

harga saham dan komoditas.

Definisi. Proses Stokastik ( ){ }, 0X t t ≥ disebut Gerak Brown dengan

koefisien drift μ dan parameter variansi 2σ apabila:

1. Setiap inkremen ( ) ( )X t s X s+ − berdistribusi normal dengan rataan tμ

dan variansi 2tσ ; μ dan σ bernilai konstan.

2. Untuk setiap , inkremen 1 2 ... nt t t< < < ( ) ( ) ( ) ( )2 1 ,..., n n 1X t X t X t X t −− −

adalah peubah acak yang saling bebas dan berdistribusi seperti yang tertera

pada poin (a). ( ){ }, 0X t t ≥ memiliki inkremen stasioner dan saling bebas.

3. ( )0X = 0 dan lintasan dari ( )X t adalah kontinu.


9

BAB II : LANDASAN TEORI 2.6 Gerak Brown Geometrik

Gerak Brown dan gerak Brown Geometrik sama-sama memegang prinsip

bahwa harga saham masa mendatang hanya bergantung pada harga saham saat

ini. Pada gerak Brown, selisih harga sahamlah yang berdistribusi normal

sedangkan pada gerak Brown Geometrik logaritma dari rasio harga sahamlah

yang berdistribusi normal. (Ross, 1997)

Misalkan ( )X t adalah gerak Brown dengan parameter drift 0μ ≥ dan

parameter variansi 2σ . Proses stokastik

( ) ( ) , 0X tY t e t= ≥

disebut gerak Brown Geometrik dengan rata-rata dan variansi untuk ( )Y t

berturut-turut dinyatakan oleh

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

2

0 0

2 2 20 0

| 0 exp2

var | 0 exp 2 exp 1

tE Y t Y y y t

Y t Y y y t t t

σμ

μ σ σ

⎛ ⎞= = +⎜ ⎟

⎝ ⎠⎡ ⎤= = + −⎣ ⎦

Kita katakan bahwa ( )Y t berdistribusi lognormal dengan rata-rata dan variansi

seperti di atas. Fungsi padat peluang dari ( )Y t adalah

( ) ( )2

2

ln1 exp , 022y t

g y yty tμ

σσ π

⎛ ⎞−⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎝ ⎠

>

2.7 Model Harga Asset

Model diskrit merupakan model harga saham yang sederhana namun

mempunyai tingkat kepercayaan yang cukup tinggi. Pada model diskrit, selang

waktu [ ]0,t dibagi dalam n subselang seragam dengan lebar nt

t =δ . Misal

adalah harga asset pada saat )( itS ti it δ= .


10


Model

( ) ( ) ( ) ( )1i i t i t iS t S t S t Y S tμδ σ δ+ = + + i

dengan ,0,0 ≥> σμ dan ( )1,0~,...,, 210 NiidYYY .

Dengan rekursif diperoleh

( ) ( )1

00

1n

t ti

S t S Yμδ σ δ−

=

= + +∏ i ,

( ) ( )1

00

ln ln 1n

t ti

S tY

Sμδ σ δ

−

=

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ i

.

Untuk 0→tδ dan ( )2

1ln2xxx −≈+ kita peroleh

( ) 12 2

00

1ln2

n

t t i ti

S tY Y

Sμδ σ δ σ δ

−

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞≈ + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ i.

Selanjutnya,

2 2 21 12 2t t i t i t tE Y Yμδ σ δ σ δ μδ σ δ⎡ ⎤⎛ ⎞+ − = −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

2iY ,

( )2 2 212t t i t i tVar Y Y tμδ σ δ σ δ σ δ ο δ⎡ ⎤⎛ ⎞+ − = +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

,

dan Teorema Limit Pusat membawa kita kepada perolehan

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ttN

StS 22

0

,21~ln σσμ .

Berdasarkan perolehan di atas, formulasi harga asset pada saat t

( )21

20

t t ZS t S e

μ σ σ⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠=

dengan ( )0,1N ~ Z .


11


Perhatikan bahwa dapat dituliskan dalam bentuk eksponensial dengan ( )S t

212

t tμ σ σ⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠

Z adalah peubah acak normal, sehingga berdistribusi

lognormal dengan

( )tS

( ) 0tE S t S eμ⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ,

( ) ( )22 20 1t tVar S t S e eμ σ⎡ ⎤ = −⎣ ⎦ .

2.8 Derivatives

Derivatives adalah suatu asset yang harganya bergantung pada harga suatu asset

lainnya (biasa disebut underlying asset). Dengan derivatives, para investor

dapat memilih cara mereka dalam menjajaki pasar asset dengan cara

berspekulasi, berharap mendapatkan keuntungan besar dengan hanya

menanamkan investasi kecil ataupun melakukan hedging dengan harapan

mengurangi risiko yang sebelumnya telah mereka miliki.

2.9 Opsi

Opsi adalah salah satu derivatives yang banyak diperdagangkan dan menjadi

favorit para investor. Dua jenis opsi yang paling sering dijumpai adalah call dan

put. Call adalah opsi untuk membeli sedangkan put adalah opsi untuk menjual.

Sebuah call option memberikan hak, bukan kewajiban, kepada pemiliknya

untuk membeli sebuah saham dari writer dengan harga yang telah disepakati

(disebut strike price atau exercise price), dan hak tersebut berakhir pada waktu

yang telah ditentukan (disebut maturity atau expiration date). Sebuah put option

memberikan hak, bukan kewajiban, kepada pemiliknya untuk menjual sebuah

saham kepada writer dengan harga yang telah ditentukan (disebut strike price

atau exercise price), dan hak tersebut berakhir pada waktu yang telah ditentukan

(disebut maturity atau expiration date).


12


Opsi yang dapat di-exercise pada setiap saat sebelum ataupun pada saat

expiration date dikenal sebagai American options sedangkan opsi yang hanya

dapat di-exercise pada saat expiration date-nya dikenal sebagai European

options. Masing-masing European dan American option memiliki dua tipe

yakni call dan put.

Pada saat maturity time T, setiap opsi baik European maupun American akan

memberikan suatu nilai ekstrinsik, yakni payoff. Payoff dapat diartikan sebagai

keuntungan yang diperoleh oleh si pemilik opsi tersebut. Berikut ini adalah

contoh payoff untuk European call option dan European put option.

1. Pada saat T, sebuah European call option dengan strike price K dan

maturity time T mempunyai payoff sebesar

( )( )0,KTSmakspayoff −=

2. Pada saat T, sebuah European put option dengan strike price K dan maturity

time T mempunyai payoff sebesar

( )( )0,TSKmakspayoff −=

2.10 Lemma Itô

Misalkan ( )X t adalah proses stokastik yang didefinisikan oleh

( ) ( ) ( ) ( ), ,dX t a X t dt b X t dZ t= +

dengan adalah proses Wiener. Jika u adalah fungsi dari dZ ( )X t dan t maka

berlaku

( ) ( ) ( ) ( )2

22

1, , ,2

u u u udu a X t b X t dt b X t dZ tt X X X

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

.


13

BAB II : LANDASAN TEORI 2.11 Formula Black-Scholes

Untuk dapat menurunkan formula Black-Scholes maka terdapat beberapa

asumsi yang harus dipatuhi, yakni:

1. Transaksi dapat terjadi setiap saat dan tidak dikenai biaya tambahan;

2. Suku bunga diketahui dan nilainya konstan;

3. Asset tidak memberikan dividen;

4. Harga saham berdistribusi lognormal dengan rata-rata dan variansi yang

konstan;

5. Jumlah asset yang dibeli bisa dalam bentuk pecahan;

6. Short selling diijinkan;

7. Tidak ada peluang terjadinya arbitrage.

Misalkan kita ingin menurunkan bentuk PDP Black-Scholes untuk call Eropa

dengan C adalah harga European call option dan perubahan harga saham

diberikan oleh persamaan

dS S dt S dZμ σ= + .

Dengan Lemma Itô, kita peroleh bentuk PDP Black-Scholes untuk European

call option adalah 2

2 22

12

C C C CdC S S dt S dZt S S S

μ σ σ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂

= + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠.

2.12 Lookback Options

Lookback options adalah salah satu jenis opsi yang nilai payoff-nya bergantung

pada perjalanan harga saham pada suatu periode dan bukan hanya bergantung

pada harga saham akhir periode saja. Opsi dengan sifat seperti ini sering disebut

sebagai path dependent options. Beberapa contoh lain dari path dependent

options adalah Asian options dan Barrier options. Salah satu hal yang

membedakan ketiga jenis opsi ini adalah pada saat penentuan nilai payoff-nya.

Sebagai contoh, Asian options bergantung pada nilai rata-rata harga saham,


14


Barrier options bergantung pada nilai batas (barrier), dan Lookback options

bergantung pada nilai maksimum atau minimum harga saham.

2.13 Metode Binomial

Metode Binomial berangkat dari suatu model diskrit pergerakan harga saham

yang sederhana. Selang waktu [ ]0,T yakni maturity time dibagi menjadi sub

selang yang sama panjang dengan titik-titik bagi

N

0 10 ... Nt t t T= < < < = dengan

( )0,1,..., ,iTt i t i N tN

= Δ = Δ = dan ( )iS S t= i adalah harga saham pada saat . it

Asumsi :

1. Dalam selang waktu tΔ , harga saham dapat naik atau turun menjadi

atau dengan S S→ u S S d→ 0 1d u< < <

2. Peluang harga saham naik ( )P naik p=

Gambar 1 Skema pergerakan harga saham pada metode binomial

Harga saham turun dengan faktor penurunan d dengan peluang (1-p)

Harga saham naik dengan faktor kenaikan u dengan peluang p

tΔ

(1-p)

p

S d

S u

S

3. Ekspektasi return harga saham besarnya sama dengan risk-free rate r

sehingga untuk harga saham yang bergerak secara acak dari S pada saat

menjadi pada saat

S i

it 1iS + 1it + . Ini berarti ( )1r t

i iE S S e Δ+ =


15


Dari asumsi (3) kita peroleh

( )

1

,

.i i

i

E return r t

S SE rS

+ t

= Δ

⎛ ⎞−= Δ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Dari asumsi (1) dan (2) diperoleh

( ) ( )1 1i iE S p S u p S d+ = + − i

sehingga

( )1r te p u pΔ = + − d ,

r tepu d

Δ d−=

−. (2.1)

Perhatikan persamaan (2.1), karena 0 p 1≤ ≤ maka r td e uΔ≤ ≤ .

Dari model kontinu kita miliki

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

2

2

22 21

22 2 21 1 1

,

1 ,

r ti i

r t ti i i i

E S S e

Var S E S E S S e e

σ

σ

+ Δ

+

Δ Δ+ + +

=

= − = −

dan dari model diskrit kita punyai

( ) ( ) ( )( ) ( )( )22 2 21 1 1i i i iVar S p S u p S d S pu p d+ = + − − + − .

2d

Dengan menyamakan kedua variansi (diskrit dan kontinu) maka kita dapatkan

( )22 2 1r t te pu pσΔ + Δ = + − (2.2)

Persamaan (2.1) dan (2.2) memberikan 2 hubungan untuk u, d, dan p.

Persamaan ketiga dapat kita pilih. Persamaan ketiga yang sering digunakan

adalah

1ud = atau 1/ 2p = .


16


Untuk solusinya adalah 1/ 2p =

( ) ( )2 2 2 2

1 1 , 1t t t tu e e d e eσ σ σ σΔ Δ Δ Δ= + − = − −1 ,

dan untuk solusinya adalah 1ud =

( )( )2

2

2

1 ,2

1,

1,

.

r tr t

r t

e e

u

d

e dpu d

σβ

β β

β β

+ Δ− Δ

Δ

= +

= + −

= − −

−=

−

Pada solusi , nilai u dan d tersebut dapat dihampiri dengan nilai u dan d

pada metode Cox, Ross, dan Rubenstein yakni

1ud =

(expu tσ= )Δ dan

(expd σ= − Δ )t . Hampiran ini dapat ditunjukkan dengan mudah.

Pertama-tama, kita hampiri nilai ( )exp x dengan ( )exp 1x x≈ + , sehingga

( )( )2 2

exp 1 ,

exp 1 .

r t r t

r t r tσ σ

− Δ ≈ − Δ

t+ Δ ≈ + Δ + Δ

Selanjutnya dapat pula kita hampiri,

( )

( )

2 2

2

2

1 12 12 2

11

t t

tt

β σ σ

β σ

β σ

≈ + Δ = + Δ

≈ + Δ

− ≈ Δ

yang membawa kita kepada perolehan

( )2 211 1 1 exp2

u t t tβ β σ σ σ σ= + − ≈ + Δ + Δ = + Δ = Δt .


17


Setelah itu, harga saham dihitung untuk setiap titik bagi ( ) yakni it

jijji duSS −= 0

dengan jiS menyatakan harga saham pada saat dengan telah terjadi kenaikan

harga saham sebesar j kali serta penurunan harga saham sebesar (i-j) kali (untuk

it

0,1,...,i N= dan ).

0,1,...,j i=

Gambar 2 Skema perjalanan harga saham untuk setiap titik bagi t i=

Proses dilanjutkan dengan mencari nilai payoff untuk semua nilai j yang

mungkin pada saat expiration date (t = N). Adapun pada saat ti selalu terdapat

i+1 kemungkinan sehingga pada saat expiration date terdapat (N+1)

Proses mundur

S0d

0,1S

0,3S

S0d3

1,3S

2,3S

0,2S

3,3S

1,2S

2,2S

1,1S (N+1) titik

S0d

S0u

S0u3

S0u2

S0

t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 t = N

S0d2

S0u

S0


18


kemungkinan. Sehingga { },0jM jMV maks S K= − untuk opsi call dan

{ },0jM jMV maks K S= − untuk opsi put (untuk 0,1,...,j N= ).

Metode Binomial selanjutnya bekerja secara mundur (dalam waktu) untuk

memperoleh nilai opsi pada saat t = 0. Untuk tiap titik ti berlaku

( )111Ät )1( +++

− −+= ijijr

ji VppVeV

Perhatikan bahwa persamaan tersebut hanya berlaku untuk European call

ataupun put. Untuk American options, masih perlu adanya pengujian

dikarenakan American options mengijinkan terjadinya early exercise. Sehingga

untuk American options berlaku

( ){ }Ät1 1 1*, (1 )r

ji j i j iV maks payoff e pV p V−+ + += + −

{ }{ }

* ,0 untuk call

* ,0 untuk put

ji

ji

payoff maks S K

payoff maks K S

= −

= −

Perlu diingat pula bahwa kita akan menghitung jiV secara mundur sehingga nilai

i dan j yang digunakan adalah 1, 2,...,0 dan 0,1,...,i N N j i= − − =


19

BAB II LANDASAN TEORI - digilib.itb.ac.id · saham, distribusi normal dan lognormal, teorema limit...

Documents

Transcript of BAB II LANDASAN TEORI - digilib.itb.ac.id · saham, distribusi normal dan lognormal, teorema limit...