BAB II

PERHITUNGAN BUNGA DAN NILAI UANG1. Pendahuluan

Di dalam menyusun sebuah studi kelayakan bisnis, banyak hal yang berhubungan dengan perhitungan bunga dan nilai uang. Perhitungan bunga menyangkut dengan bunga pinjaman dari sumber dana yang berasal dari luar usaha, seperti dari bank, perorangan, maupun lembaga keuangan lainnya. Demikian pula dengan perhitungan nilai uang, baik dalam bentuk present value maupun dalam bentuk future value, pada umumnya tingkat bunga digunakan sebagai indikator.

Seseorang akan bersedia mengorbankan uangnya pada saat ini bila tingkat bunga diperhitungkan sebagai kompensasi (time value of money). Pada umumnya setiap orang lebih menghargai nilai uang Rp 1.000,- pada tahun ini bila dibanding dengan Rp 1.000,- pada tahun yang akan datang. Keadaan yang disebut dengan time preference ini berlaku pada seseorang maupun masyarakat secara keseluruhan. Besarnya peranan bunga dan nilai uang dalam menyusun studi kelayakan bisnis sengaja dibahas pada awal pembahasan buku ini dan akan menjelaskan secara khusus mengenai perhitungan bunga dan nilai uang.

2. Perhitungan Bunga

Bunga merupakan biaya modal. Besar kecilnya jumlah bunga yang merupakan beban terhadap peminjam (debitor) sangat tergantung pada waktu, jumlah pinjaman, dan tingkat bunga yang berlaku.

Dalam perhitungan mathematics of finance dikenal 3 bentuk sistem perhitungan bunga, antara lain:

1. Simple interest (bunga biasa).

2. Compound interest (bunga majemuk) dan

3. Annuity (anuitas).

2.1 Bunga Biasa (Simple Interest)Besar kecilnya jumlah bunga yang diterima kreditor tergantung pada besar kecilnya principal (modal), interest rate (tingkat bunga), dan jangka waktu. Secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut:

B = f (Pi.n).................................................................(2-1)

di mana : B = Bunga

P = Principal (modal)

i = Interest rate (tingkat bunga)

n = Jangka waktu

Contoh 1:

Apabila jumlah pinjaman sebesar Rp 5.000.000; dengan tingkat bunga 18% per tahun. Untuk menentukan jumlah bunga selama 3 tahun, 2 bulan, maupun selama 40 had diselesaikan sebagai berikut:

(1) Bunga selama 3 tahun sesuai dengan rumus B = f (p.i.n.) = 5.000.000. x 18% x 3 = Rp 2.700.000,

(2) Bunga untuk 2 bulan = 5.000.000,- x 18% x 2/12 = Rp 150.000,(3) Bunga untuk 40 hari = 5.000.000. x 18% x 40/360 = Rp 100.000,

Untuk menghitung besarnya principal, interest rate, dan jangka waktu dapat diselesaikan sebagai berikut:

P = .(2-2)

i = .(2-3)

n = .(2-4)

S = P + B atau S = P + (p.i.n.) B = S-P dan P = S B

di mana S = Jumlah penerimaan.

Contoh 2 :

Hitunglah nilai-nilai yang tidak diketahui dalam tabel berikut ini :

No.Principal

(Modal)Interest Rate

(T. Bunga)Time

(waktu)Interest

(Bunga)Amount

(jumlah penerimaan)

1

2

36.000.000

?

7.000.00018%

20%

?2 tahun

?

50 hari?

250.000

??

5.250.000

7.145.833

1. B = P.i.n = 6.000.000 x 0,18 x 2 = RP. 2.160.000,-

S = P + B = 6.000.000 + 2.160.000 = Rp 8.160.000,-

2. P = S - B = 5.250.00 250.000 = Rp 5.000.000,-

n = 3. B = S P = 7.145.833 7.000.000 = Rp 145.833 i = 2.2 Bunga Majemuk (Compound Interest)

Bunga majemuk biasanya dilakukan dalam waktu yang relatif panjang dan dalam perhitungan bunga biasanya dilakukan lebih dari satu periode. Dengan demikian, bunga majemuk adalah bunga yang terus menjadi modal apabila tidak diambil pada waktunya. Perhitungan bunga majemuk dilakukan secara reguler dengan interval tertentu, seperti setiap bulan, setiap kuartal, setiap 6 bulan atau setiap tahun. Tingkat bunga setiap interval adalah tingkat bunga setahun dibagi dengan interval yang digunakan. Apabila tingkat bunga setahun sebesar 1896 dan interval bunga majemuk selama 1 tahun, maka tingkat bunga setiap interval adalah sebesar 1896/1 = 1896 dan bila interval bunga setiap bulan maka besarnya tingkat bunga setiap interval 1896/12 = 1,596.

Contoh 3:

Seseorang meminjamkan uang sebesar Rp 100.000; dengan tingkat bunga 12% per tahun dan dimajemukkan setiap 6 bulan selama 2 tahun. Jumlah pengembalian setelah 2 tahun dihitung sebagai berikut:

Diketahui: P = Rp 100.000,-, i = 12%/2 = 6% dan n = 2x2=4.

Modal................................................................... Rp 100.000,- Bunga 6 bulan pertama 6% x 100.000....;....Rp6.000,- +

Jumlah Modal.....................................................Rp 106.000,-Bunga 6 bulan kedua 6k x 106.000.....................Rp6.360,-+Jumlah Modal ..............................................

Rp112.360,-Bunga 6 bulan ketiga 6% x 112.360 ...................Rp6.741,6+Jumlah Modal ...................................................Rp 119.101,6

Bunga 6 bulan keempat 6% x 119.101,6.............Rp7.146,1+

Jumlah Modal setelah 2 tahun ...........................Rp 126.247,7

Sejalan dengan perhitungan di atas, formula yang digunakan dalam perhitungan bunga majemuk pada prinsipnya dapat dilakukan sebagai berikut:

S = P (1 + i)n

(2-6)

S= S (1+i)-n atau P =

(2,7)

i =

(2-8) n =

(2-9)

di mana: S = Jumlah penerimaan P = Present value

n = periode waktu

i = tingkat bunga per periode waktu

Nilai (1+i)n disebut dengan compounding factor, yaitu suatu bilangan yang digunakan untuk menilai nilai uang pada masa yang akan datang (future value). Nilai (1+i)-n disebut dengan discount factor, yaitu suatu bilangan untuk menilai nilai uang dalam bentuk present value (nilai sekarang). Besar kecilnya jumlah uang di masa yang akan datang maupun jumlah uang pada saat ini tergantung pada besar kecilnya tingkat bunga dan jangka waktu yang digunakan.

Contoh 4: Seorang investor meminjam uang sebesar Rp 5.000.000; selama 8 tahun dengan tingkat bunga 1896 per tahun dan dimajemukkan setiap 6 bulan. Jumlah pengembalian setelah 8 tahun dapat diselesaikan sebagai berikut:

Diketahui: i = 18%/2 = 9% n = 16 (2x8)

p = 5.000.000,

S = P (1+i)n.................................. (2-6) = 5.000.000 (1+0,09)16

= 5.000.000 (3,97030588) = Rp 19.851.529,5

Catatan:Untuk nilai (l+ir nilainya dapat dilihat dalam Lampiran 1 pada n = 16 dan i = 996. Ringkasan dari soal di atas sebagaimana dalam diagram berikut.Diagram 2-1

Angka 0 s.d. 8 menunjukkan lamanya pinjaman dengan tingkat bunga 1896 per tahun dan dimajemukkan setiap 6 bulan sekali, dengan demikian 1 tahun dua kali, selama 8 tahun = 2 x 8 = 16 dan i = 18%/2 = 9%.

Besarnya nilai dalam bentuk present value dari jumlah penerimaan tersebut dihitung sebagai berikut:

P = S (l+i)-.......................................................(2-7) = 19.851.529,5 (1+0,09)-18= 19.851.529,5 (0,25186976)

= Rp 5.000.000,Nilai discount factor (1+i)-n dapat dilihat dalam Lampiran 2 pada n = 16 dan i=9%. Untuk menentukan tingkat bunga pinjaman, apabila present value sebesar Rp 5.000.000; dan future value Rp 19.851.529,5 selama 8 tahun dan dimajemukkan setiap 6 bulan, maka besarnya tingkat bunga setahun dihitung sebagai berikut:

i =

(2-8)

i =

atau

(1-i)16 = Dalam Lampiran 1 pada n =16 nilainya 3,97030688 pada kolom tersebut dapat dilihat interest rate (i)-- 996 dan untuk tingkat bunga setahun (nominal rate) diperhitungkan 2 x 996 = 1896 (karena dimajemukkan dalam satu tahun 2 kali). Untuk menghitung besarnya n atau jangka waktu pinjaman dihitung sebagai berikut:

n =

(2-9)

n= n=

Perlu diperhatikan bahwa tingkat bunga yang sama akan memberikan hasil yang berbeda, apabila frekuensi bunga majemuk yang dilakukan dalam satu tahun juga berbeda, seperti contoh berikut:

Contoh 5: Apabila Bank A menerima tingkat bunga deposito sebesar 18% per tahun dan dimajemukkan setiap bulan. Bank B juga menerima tingkat bunga deposito sebesar 18% per tahun dan dimajemukkan setiap 6 bulan. Perbedaan ini dapat dilihat melalui perhitungan bunga efektif dari masing-masing bank dengan cara sebagai berikut:

Effective rate yang didasarkan pada Bank A:

F = (1+j/m)m............................................................ (2-10)

= (1+0,18/12)12 1

= (1+0,015)12- 1

= 1,1956182 1

= 0,1956182 = 19,56%

Effective rate yang didasarkan pada Bank B:

F = (l+jhn)m............................................................ (2-10)

= (1+0,18/L)2 - 1

= (1+0,09)Z - 1

= 1,1881 - 1

= 0,1881 = 18,81%

Di mana:F = Effective rate

m = Frekuensi bunga majemuk dalam 1 (satu) tahun. Hasil perhitungan menunjukkan tingkat bunga efektif yang diberikan bank A lebih besar dari tingkat bunga efektif yang diberikan oleh Bank B sebesar 0,75%.

2.3 Anuitas (Annuity)

Annuity adalah suatu rangkaian pembayaran dengan jumlah yang sama ` besar pada setiap interval pembayaran. Besar kecilnya jumlah pembayaran pada setiap interval tergantung pada jumlah pinjaman, jangka waktu, dan tingkat bunga. Tingkat bunga pada setiap interval tergantung pada interval ; bunga majemuk yang dilakukan, bisa terjadi pada setiap bulan, setiap kuartal, setiap 6 bulan, maupun setiap tahun. Dilihat dari bentuknya, annuity ini dapat dibagi atas dua bagian, yaitu:

1. Simple Annuity 2. Complex Annuity

2.3.1 Anuitas Biasa (Simple Annuity)

Simple annuity adalah sebuah anuitas yang mempunyai interval yang sama antara waktu pembayaran dengan waktu dibunga majemukan. Dilihat dari tanggal pembayarannya, anuitas ini dapat dibagi atas 3 bagian, yaitu:

1) Ordinary annuity 2) Annuity due

3) Deferred Annuity 2.3.1.1 Ordinary Annuity

Ordinary annuity adalah sebuah anuitas yang diperhitungkan pada setiap akhir interval seperti akhir bulan, akhir kuartal, akhir setiap 6 bulan, maupun pada akhir setiap tahun. Untuk menghitung present value, future value maupun jumlah anuitas dapat dilakukan dengan formula sebagai berikut:

An = R di ganti tambah 1+i (2-11)

Sn = R ..(2-12)

R = An ..(2-13)

R = Sn di ganti pangkat minus n..(2-14)

di mana: An = Present value (nilai sekarang)

Sn= Future value (jumlah pembayaran)

R= Annuity (cicilan/angsuran)

i = Tingkat bunga setiap interval

n = Jumlah interval pembayaran

a) Present value merupakan nilai sekarang dari sebuah anuitas dan identik dengan nilai awal dari penanaman modal. Apabila jumlah penerimaan sebesar Rp 100.000,- dan bunga sebesar Rp 20.000; maka present value Rp 100.000 - Rp 20.000 = Rp 80.000,-. Contoh dalam pertutungan ordinary annuity adalah seperti berikut:

Contoh 6:Sebuah perusahaan mencicil pinjaman sebesar Rp 50.000; pada setiap akhir bulan selama 6 bulan dengan suku bunga diperhitungkan sebesar 18% per tahun. Berapakah besarnya present value?

Dari soal di atas bila disederhanakan, terlihat seperti dalam diagram 2-2 berikut : Diketahui R = 50.00,- , i = = 0,015 dan n = 6

An = R ..(2-11)

An = 50.000 An = 50.000An = Rp 284.859,37

Untuk mendapatkan nilai discount factor dari anuitas di atas, dapat dilihat pada Lampiran 3 pada n = 6 dan i = 1,596 atau dapat dihitung dengan menggunakan kalkulator. Jadwal pelunasan dari kredit tersebut sebagaimana dalam Tabel II-1 berikut.

Tabel II-1

Jadwal Pelunasan kredit selama 6 bulan (Rp)

Secara umum nilai present value (An), juga dapat dihitung dengan menggunakan sistem perhitungan dari bunga majemuk (compound interest method) seperti terlihat dalam Diagram 2-3 berikut:

b) Annuity dad present value

Annuity dari sebuah present value sebenarnya sama dengan jumlah angsuran pada setiap interval. Jumlah angsuran pada setiap interval dari sejumlah pinjaman tergantung pada besar kecilnya tingkat bunga dan jangka waktu yang digunakan.

Contoh 7: Seorang investor merencanakan membangun proyek perumahan mewah untuk dijual secara cicilan kepada nasabah. Biaya pembangunan diperhitungkan sebesar Rp 12.000.000,-. Berapa besar nilai cicilan yang dibebankan pada para nasabah, bila tingkat bunga setahun diperhitungkan sebesar 15% dan dimajemukan pada sedap bulan selama 3 tahun?

Diketahui: An = 12.000.000,

i = dan n = 3 x 12 = 36

R = An ..(2-13)

= 12.000.000

= 12.000.000 (0,03466533)

= Rp 415.984,-

Nilai discount factor, lihat Lampiran 4 pada n = 36 dan i = 1,25%.

c) Jumlah penerimaan (future amount)

Jumlah penerimaan dari serangkaian pembayaran bukanlah berarti kumulatif dari jumlah pembayaran pada setiap interval, akan- tetapi diperhitungkan bunga secara bunga majemuk (compound interest) dari sejumlah uang yang dicicil.Jumlah pembayaran pada interval pertama, diperhitungkan bunga pada akhir interval kedua, sehingga jumlah penerimaan pada akhir interval kedua adalah sebesar 2 kali setoran ditambah dengan bunga pada setoran pertama. Berdasarkan pada contoh 7 di atas, bila jumlah cicilan pada setiap akhir bulan sebesar Rp 415.984, dengan tingkat bunga 15% per tahun dan dimajemukkan pada setiap bulan selama 3 tahun. Jumlah penerimaan investor dihitung sebagai berikut:

Sn = R ..(2-12)

= 415.984 = 415.984 (45,11550550) = Rp 18.767.328,-

Berdasarkan pada hasil perhitungan di atas, jumlah pembayaran pada akhir interval sebesar Rp 18.767.328,- tetapi bila dilihat dari pengeluaran nasabah hanya sebesar:

36 x Rp 415.984 = Rp 14.975.424,

Ini berarti, besarnya bunga yang merupakan beban selama 3 tahun Rp 14.975.424 - Rp 12.000.000 = Rp 2.975.424,-. Di pihak lain bunga efektif yang diterima investor diperhitungkan sebesar:

18.767.328 - 12.000.000 = Rp 6.767.328,

Berdasarkan pada uraian ini, bunga yang akan dibayar oleh nasabah hanya sebesar Rp 2.975.424,- dan bunga yang diterima oleh investor sebesar Rp 6.767.328,- dengan adanya perhitungan ini kedua belah pihak merasa tidak dirugikan.

d) Tingkat bunga

Untuk menghitung besarnya tingkat bunga, apabila present value yang diketahui dapat diselesaikan dengan menggunakan Lampiran 3 dan untuk jumlah penerimaan dipergunakan Lampiran 5. Bila present value yang diketahui:

..(2-15)

Bila jumlah penerimaan yang diketahui :

..(2-16)

Contoh 8: Apabila diketahui jumlah present value sebesar Rp 969.482; dengan anuitas Rp 150.000,- pada setiap akhir kuartal selama 2 tahun. Untuk menentukan besarnya tingkat bunga pada setiap kuartal maupun setiap tahun dapat diselesaikan sebagai berikut: Diketahui: An = Rp 969.482,- n = 2x4 = 8

R = RP 150.000,

..(2-15)

Nilai discount factor untuk {1-(l+i)-n/i} dapat dilihat dalam Lampiran 3 pada n=8 di mana nilainya 6,463212760. Dengan demikian pada kolom tersebut i= S% dan tingkat bunga setahun (nominal rate) 4x5=20% (dimajemukkan 4 x setahun). Apabila nilai i tidak tersedia dalam lampiran, nilai i dapat dihitung dengan menggunakan sistem interpolasi seperti contoh berikut:

Contoh 9: Seorang pengusaha menyetor uang pada bank sebesar Rp 445.000; dan diambil kembali secara cicilan sedap akhir 6 bulan sebesar Rp 50.000; dalam waktu 5 tahun. Berapakah besarnya interest rate dan nominal rate?

Diketahui: An = Rp 445.000,-, R = Rp 50.000,- dan n = 2 x 5 = 10 (setiap 6 bulan).

..(2-15)

Apabila dilihat dalam Lampiran 3 untuk nilai i = 8,9 pada n = 10 nilainya tidak tersedia, yang mendekati nilai tersebut adalah 8,98258501 pada i = 2% dan 8,75206393 pada i = 2,596. Dengan demikian nilai i dapat ditulis sebagai berikut:

296 < i < 2,596

Untuk mengetahui nilai i secara pasti dapat dilakukan dengan cam interpolasi yang dihitung sebagai berikut:

Tingkat bungaDiscount Factor

Persamaan

2%

x

2,5%8,98258501

8,90000000

8,75206393(1)

(2)

(3)

x - 2,596 = - (0,5%) x - 2,596 = - 0,003208713193 x = 0,025 - 0,003208713

x = 0,02177 = 2,18%

nominal rate = 2 x 2,18% = 4,36% e) Menentukan jangka waktu

Untuk menentukan jangka waktu dari sebuah anuitas, sama halnya dengan cara menentukan tingkat bunga. Apabila present value, tingkat bunga, dan jumlah anuitas dapat diketahui maka jangka waktu dari suatu pinjaman dapat diselesaikan dengan menggunakan formula (2-16) atau formula (2-17).

Contoh 10:Seorang pegawai negeri menerima uang dari bank sebesar Rp 1.653.298; dari hasil setoran' sebesar Rp 50.000; pada akhir setiap kuartal dengan tingkat bunga 2096 setahun. Berapa lama pegawai tersebut telah melakukan setoran untuk mendapatkan sejumlah uang tersebut?

Diketahui : Sn Rp 1.653.298,- i = dan R = Rp 50.000,- n = ?

..(2-16)

Dalam Lampiran 5 pada I = 5% nilainya 33,065960 terdapat pada n=20. Dengan demikian lamanya pegawai tersebut telah melakukan penyetoran adalah 20 kuartal atau 20: 4 = 5 tahun.Apabila pada tingkat bunga sebesar 5% tidak tersedia nilai 33,065960, carilah nilai i yang mendekati nilai hitung, sehingga n berada antara kedua nilai. Untuk mendapatkan nilai n secara pasti pergunakan metode interpolasi.

2.3.1.2 Annuity Due

Annuity due adalah sebuah anuitas yang pembayarannya dilakukan pada setiap awal interval. Awal interval pertama merupakan perhitungan bunga yang pertama dan awal interval kedua merupakan perhitungan bunga yang kedua dan seterusnya.Formula yang digunakan dalam perhitungan annuity due tidak jauh berbeda dengan formula yang ada dalam ordinary annuity. Dalam annuity due hanya ditambahkan satu compounding factor (l+i), baik untuk present value maupun future value.Pertambahan satu compounding factor pada annuity due adalah sebagai akibat pembayaran yang dilakukan pada awal setiap interval, maka nilai yang dihitung dengan menggunakan annuity due selalu lebih besar bila dibanding dengan ordinary annuity.

a) Perhitungan present value

Untuk menghitung present value dari sebuah annuity due dapat dilakukan dengan menggunakan formula sebagai berikut:

An (ad) = R ..(2-17)

Atau

An (ad) = R ..(2-18)

Atau

An (ad) = R ..(2-19)

Contoh 11:Sebuah perusahaan yang bergerak dalam alat-alat bangunan ingin memperoleh uang secara kontinu sebesar Rp 1.500.000,- dari bank pada setiap awal Kuartal selama satu tahun. Berapa jumlah dana yang harus disetor pada bank apabila tingkat bunga dipefiitungkan sebesar 18% per tahun?

Diketahui: R = Rp 1.500.000; i= 4 = 4,5% dan n=4

An (ad) = R ..(2-17)

An (ad) = 1.500.000

An (ad) = 1.500.000 (3,58752577) (1,045) An (ad) = R

An(ad) = Rp 5.623.447,-Pergunakan Lampiran 3 untuk mendapatkan nilai discount factor annuity pada i= 4,5% dan n=4 dan Lampiran 1 untuk compounding factor dari bunga majemuk.

Atau

An (ad) = R ..(2-18)

An(ad) = 1.500.000 (2,74896444 + 1)

An(ad) = 1.500.000 (3,74896444)

An(ad) = Rp 5.623.447,

Atau

An (ad) = R ..(2-19)

An (ad) = 1.500.000 An(ad) = 1.500.000 (2,74896444) + 1.500.000 An(ad) = 4.123.447 + 1.500.000;

An(ad) = Rp 5.623.447,

b) Jumlah pembayaran (future amount)Formula yang digunakan untuk menghitung jumlah pembayaran dalam annuity due dilakukan sebagai berikut:

Sn (ad) = R ..(2-20)

Atau

Sn (ad) = R ..(2-21)

Atau

Sn (ad) = R ..(2-22)

Contoh 12:Bank Pembangunan Daerah di sebuah kota baru-baru ini memberikan fasilitas penjualan kendaraan beroda dua secara kredit pada guru-guru sekolah dasar. Tingkat bunga diperhitungkan sebesar 1296 per tahun dan cicilan dilakukan setiap awal bulan sebesar Rp 70.000,- selama 3 tahun. Berapakah besarnya jumlah pembayaran?

Diketahui : R = Rp 70.000,- ; i = dan n = 12 x 3 = 36

Sn (ad) = R ..(2-20)

= 70.000

= 70.000 (43,67688)(1,01)

= Rp 3.045.535,-Nilai compounding factor untuk anuitas dapat dilihat pada Lampiran 5 pada i=196 dan n=36.

Atau

Sn (ad) = R ..(2-21)

= 70.000 = 70.000 (43,50765)

= Rp 3.045.535,-

Atau

Sn (ad) = R ..(2-22)

= 70.000 = 70.000 (44,50765) - 70.000 = Rp 3.045.535,-Berdasarkan pada hasil perhitungan di atas, jumlah pembayaran setelah 3 tahun adalah sejumlah Rp 3.045.535; lebih besar bila dihitung dengan menggunakan metode ordinary annuity sebesar Rp 30.153,-. Perbedaan ini disebabkan oleh perhitungan bunga yang dilakukan pada setiap awal interval. Perlu juga diketahui, jumlah yang dibayar secara nyata oleh para pembeli kendaraan hanya sebesar.

36 bulan x Rp 70.000; = Rp 2.520.000,-

Berdasarkan pada hasil perhitungan ini, para nasabah merasa tidak berkeberatan dalam membeli kendaraan dengan cara cicilan dan sebaliknya pihak kreditor merasa tidak dirugikan karena bunga dihitung secara compound interest dari hasil cicilan para nasabah. Jumlah bunga yang diterima kreditor adalah sebesar Rp 916.934, dan sebaliknya bunga yang akan dibayar oleh nasabah hanya sebesar Rp 391.400,-.

c) Hubungan antara present value dengan future amount Hubungan antara present value dengan future value dari sebuah annuity due sama halnya dengan hubungan yang terdapat dalam perhitungan bunga majemuk.Present value merupakan modal dasar dan future value merupakan penjabaran dari bunga majemuk. Dalam perhitungan bunga majemuk, jumlah penerimaan dihitung dengan formula S = P( l+i)n dan present value dihitung dengan formula P = S(l+i)-n. Sejalan dengan formula bunga majemuk, annuity due Sn(ad) merupakan future value dan An(ad) merupakan present value. Dengan demikian formula yang digunakan dalam hubungan ini adalah sebagai berikut: A(ad)= Sn (ad) ( l+i)-".............................(2-23)

S(ad) = An(ad) (l+i)"

.............................(2-24) Apabila diketahui nilai present value dari annuity due, jumlah penerimaan pada akhir interval dapat diketahui tanpa menghitung besarnya anuitas pada setiap interval dan hubungan ini tidak dapat diterapkan pada ordinary annuity maupun bentuk annuity lainnya seperti deferred, annuity.

d) Anuitas, jangka waktu, dan tingkat bunga

Penentuan anuitas dalam sebuah annuity due dapat dihitung apabila nilai present value atau future value (jumlah penerimaan) dari transaksi pinjaman diketahui, di samping tingkat bunga dan lamanya pinjaman. Apabila diketahui nilai present value, untuk menghitung besarnya anuitas dapat digunakan formula (2-25) dan apabila jumlah penerimaan yang diketahui gunakan formula (226). Annuity adalah cicilan yang harus dikembalikan oleh debitor, baik setiap bulan, kuartal, maupun setiap tahun tergantung pada Untuk mengetahui lamanya penyetoran, lihat Lampiran 3 pada i=1,5%, di mana untuk nilai 19 tidak tersedia. Nilai yang mendekati 19 pada i=1,596 pada n=22 dengan nilai 18,62082437 dan pada n= 23 nilainya 19,33086145. Dengan demikian untuk mengembalikan kredit sebesar Rp 10 juta membutuhkan waktu selama 22 bulan lebih atau dapat ditulis sebagai berikut:

22 bulan . < n < 23 bulan

Untuk mengetahui pengembalian secara pasti dapat digunakan metode irtterpolasi seperti yang telah diuraikan sebelumnya dan dengan jalan yang sama dalam menentukan tingkat bunga.

Apabila present value yang diketahui, dapat digunakan Lampiran 3 dalam penyelesaian masalah dan apabila future value yang diketahui, pergunakan Lampiran 5 untuk penyelesaiannya. Pergunakan jumlah n untuk mencari nilai hitung dan apabila nilai tabel telah sesuai dengan nilai hitung lihat pada kolom tersebut tingkat bunga yang dicari.

Apabila nilai hitung tidak tersedia dalam Lampiran 3 atau Lampiran 5 dengan menggunakan n tertentu, pergunakan metode interpolasi dalam menentukan besarnya tingkat bunga yang sebenarnya. Perlu diketahui bahwa nilai i yang dicari merupakan tingkat bunga pada interval tersebut dan apabila ingin diketahui besarnya tingkat bunga setahun (nominal rate) harus dikalikan dengan interval yang digunakan.

Apabila interval bunga majemuk diperhitungkan setiap bulan, ini berarti tingkat bunga setahun adalah sebesar 12 kali dari i cari; apabila interval yang digunakan dalam kuartal, tingkat bunga setahun adalah sebesar 4 kali i cari; dan apabila interval bunga majemuk dalam tahun, ini berarti nominal rate sama dengan tingkat bunga interval.

2.3.1.3 Deferred Annuity

Seperti yang telah diuraikan sebelumnya, deferred annuity adalah suatu series (anuitas) yang pembayarannya dilakukan pada akhir setiap interval. Perbedaan antara ordinary annuity dengan deferred annuity terletak dalam hal penanaman modal, di mana dalam perhitungan deferred annuity ada masa tenggang waktu (grace period) yang tidak diperhitungkan bunga.

Contoh 14:Pemerintah Jepang memberikan pinjaman pada negara Republik Indonesia sebesar 10 miliar nupiah pada tanggal 1 Januari 1990. Dengan persetujuan betsama antara kedua pemerintah, b,:nganya mulai diperhitungkan pada akhir tahun 1995. Dengan demikian, sejak tanggal 1 Januari 1990 s.d. 1 Januari 1995 adalah merupakan tenggang waktu yang tidak dipefiitu7gkan bunga, persoalan demikian dalam mathematic of finance disebut dengan deferred annuity. Untuk menentukan nilai present value dan future value (jumlah penerimaan) dihitung dengan menggunakan formula sebagai berikut:

An (da) = R ..(2-23)

Sn (da) = R

..(2-24)

t = tenggang waktu yang tidak dihitung bunga

Contoh 15: Seorang petani membuka usaha dalam bidang peternakan dan untuk membiayai usaha tersebut ia meminjam uang pada bank dengan tingkat bunga 1296 per tahun dan dimajemukkan sedap kuartal. Pinjaman tersebut harus dikembalikan secara cicilan mulai pada akhir kuartal ketiga sebesar Rp 400.000; selama S kali angsuran. Berapa besar jumlah pinjaman?

Diketahui : R = Rp 400,- (dalam ribuan), i = , n = 5 dan t = 2An (da) = R ..(2-23)

= R

= 400 (4,5797033) (0,94259591)

= 1726,72 = Rp 1.726.720,-

Jumlah present value dari deferred annuity, sebenarnya sama dengan jumlah present value dari ordinary annuity yang dikalikan dengan nilai discount factor dari masa tenggang waktu.

An = R ..(2-11)

A3= 400 = 400 (4,57970733) = 1831,88

An(da) = An x discount factor t An(da) = 1831,88 (1+0,03)-2= 1831,88 (0,94259591)

= 1726,72 = Rp 1.726.720,

Untuk memahami differed annuity secara jelas dapat terlihat dalam diagram 2.4 berikut :

Nilai present value dad deferred annuity juga sama dengan jumlah present value secara keseluruhan dikurangi dengan nilai present value dari tenggang waktu:

An(da) = A7 - A2

An(da) = R - R

= 400 - R = 400 (6,230283) - 400 (1,91346966) = 2492,11 - 765,39

= 1.726,72 = Rp 1.726.720,_

Ringkasan dari perhitungan di atas seperti terlihat dalam Diagram 2-5 berikut :

Seperti terlihat dalam diagram di atas, nilai A7 adalah sebesar Rp 2.492,11; dan nilai AZ sebesar Rp 765,39,- jumlah present value dari deferred annuity adalah sebesar Rp 1.726,72,-. Besaran dari deferred annuity ikuti contoh berikut:

Contoh 16: Seorang pengusaha merencanakan membangun sebuah pabrik untuk pengolahan hasil-hasil pertanian. Berdasarkan pada hasil penelitian sementara, pabrik ini membutuhkan dana investasi sebesar 20 juta rupiah yaitu untuk pengadaan fixed asset budget. Dari jumlah investasi tersebut direncanakan 25% dari jumlah investasi disediakan oleh investor dan sisanya sebesar 15 juta rupiah diusahakan melalui kredit dari lembaga perbankan dengan tingkat bunga sebesar 15% per tahun. Perlu diketahui pembangunan konstruksi dari pabrik tersebut membutuhkan waktu selama 2 tahun dan berdasarkan pada keadaan ini, investor menginginkan pengembalian pinjaman mulai pada akhir tahun ketiga. Berdasarkan pada persoalan di atas, berapa besar jumlah cicilan yang dilakukan pada setiap tahun selama 4 tahun?

Diketahui: An = 15.000.000,-, i = 15% , n = 4 dan h = 2

R = ?R = An(da) (1+i)t ..(2-30)

= 205.000.000 (1+0,15)2= 20.000.000 (0,35026535) (1,3225) = Rp 9.264.519,

Untuk mendapatkan nilai discount factor R, lihat Lampiran 4 pada i =15% dan n-4. Untuk nilai (1+0,15)2 lihat Lampiran 1 pada i=15% dan n=2.

Jumlah cicilan yang dilakukan pada setiap akhir tahun adalah sebesar Rp 9.264.519,- selama 4 tahun dan cicilan mulai dilakukan pada akhir tahun ketiga (grace period 2 tahun). Dilihat dari jumlah penerimaan dari sebuah deferred annuity sama halnya dengan jumlah penerimaan dengan menggunakan perhitungan ordinary annuity. Demikian pula dalam perhitungan tingkat bunga dan jangka waktu pinjaman sama dengan annuity sebelumnya.

2.3.2 Anuitas Kompleks (Complex Annuity)

Anuitas kompleks adalah merupakan sebuah rentetan pembayartn dan sebuah pinjaman dengan jumlah yang sama pada setiap interval. Perbedaan antara anuitas kompleks dengan anuitas biasa (simple annuity), terletak pada sistem perhitungan bunga majemuk pada setiap interval pembayaran. Di dalam anuitas biasa, perhitungan bunga majemuk dengan interval pembayaran mempunyai interval yang sama, sedangkan dalam anuitas kompleks antara interval pembayaran dengan interval bunga majemuk mempunyai interval yang berbeda:

Apabila interval pembayaran dilakukan pada setiap bulan, mungkin dibunga majemukan pada setiap kuartal atau sebaliknya apabila interval pembayaran dilakukan pada setiap kuartal, perhitungan bunga niajemuk dilakukan pada setiap bulan.

Untuk jelasnya perbedaan antara complex annuity dengan simple annuity dapat dilihat dalam Diagram 2-6 dan 2-7 berikut : Seperti terlihat dalam Diagram 2-6, dalam sistem complex annuity pembayaran dari sebuah anuitas dilakukan pada setiap bulan dan dimajemukkan setiap kuartal. Dalam Diagram 2-7, antara pembayaran dan dibunga majemukan mempunyai interval yang sama yaitu masing-masing pada setiap kuartal (3 bulan). Jika dilihat dari tanggal pembayaran, complex annuity juga dapat dibagi atas tlga bagian, antara lain:

1) Complex Ordinary Annuity 2) Complex Due Annuity3) Complex Deferred Annuity 2.3.2.1Complex Ordinary Annuity

Pembayaran anuitas dalam perhitungan complex ordinary annuity dilakukan pada akhir sedap interval, di mana besar kecilnya anuitas tergantung pada besar kecilnya pinjaman (principal), tingkat bunga, jangka waktu, dan frekuensi bunga majemuk dalam satu tahun. Untuk menentukan present value, jumlah penerimaan dan anuitas dari serentetan transaksi, sedikit berbeda dengan cara yang telah dikemukakan dalam simple annuity, namun demikian pada prinsipnya perhitungan ini tidak jauh berbeda.

a. Present value

Formula yang digunakan dalam perhitungan present value dari complex ordinary annuity adalah sebagaimana dalam formula berikut:

Anc (Oa) = R (2-30)

Di mana, c = perbandingan antara frekuensi bunga majemuk dalam satu tahun dengan frekuensi pembayaran dalam satu tahun. Sebagai ilustrasi, untuk mendapatkan besaran nilai n, c, dan nc dalam formula di atas, dapat diikuti dalam Tabel 2-2 berikut: Tabel 2-2 Perhitungan Besaran Nilai n, c, dan nc dalam Perhitungan Complex Annuity

Contoh 17:Seorang petani merencanakan meminjam uang pada bank untuk membiayai rencana perluasan usaha dalam subsektor perikanan. Berdasarkan pada perkiraan dan perhitungan benefit, ia mampu mengembalikan pinjaman sebesar Rp 76.015,- pada setiap akhir kuartal selama 2 tahun dengan tingkat bunga pinjaman sebesar 18% per tahun dan dimajemukkan pada setiap bulan. Berdasarkan pada kemampuan petani tersebut, berapa besar jumlah kredit yang bisa ia pinjam? Diketahui: R = Rp 76.015,-, n = 2x4 = 8 (per kuartal)

c = 12/4 = 3

nc = 3x8 = 24 dan i = 18%/12 = 1,5%Anc (Oa) = R (2-30)

= R

= 76.015 (20,03040533)(0,32838278) = Rp 500:000;

Pergunakan Lampiran 3 untuk discount factor yang berpangkat -nc dan untuk nilai [i/{(l+i)`-1 }] pergunakan Lampiran 6 atau dengan menggunakan nilai Lampiran 4 dilcurangkan dengan tingkat bunga yang digunakan. Untuk menghitung besaran present value dalam complex ordinary annuity juga dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus simple ordinary annuity dengan cara menyamakan antara interval bunga majemuk dengan interval pembayaran.Kembali pada contoh di atas, di mana interval pembayaran dilakukan pada setiap 3 bulan dan interval bunga majemukan pada setiap bulan. Untuk menyamakan interval pembayaran dengan interval bunga majemuk dapat dilakukan sebagai berikut:

B = R (2-31)

= 76.015 = 24.962,02

B = Cicilan per bulan.

Kembali pada contoh 17, jangka waktu pinjaman selama 2 tahun dengan cicilan yang dilakukan pada setiap kuartal dan diadakan perubahan dengan menggunakan formula (2-31) untuk menyamakan interval bunga majemuk dengan interval pembayaran. Dengan adanya perubahan ini, present value (jumlah pinjaman) dapat dihitung dengan menggunakan formula simple ordinary annuity dengan cara sebagai berikut:

A24= B .(2-11)

= 24.962,02

= 24.962,02 (20,03040533)

= Rp 500.000,-

b. Jumlah penerimaan

Jumlah penerimaan (Snc) dalam complex ordinary annuity dapat dihitung, apabila present value atau anuitas dari sebuah pinjaman diketahui. Formula yang digunakan adalah sebagai berikut:Snc (oa) = R (2-32)

Nilai compounding factor perpangkat nc dapat dilihat dalam Lampiran 4 dengan asumsi nc=n. Perubahan perhitungan dari complex ordinary annuity menjadi simple ordinary annuity dapat dilakukan dengan jalan yang sama seperti yang dijelaskan sebelumnya.Untuk mengubah nilai A. dan S.. dalam complex ordinary annuity juga dapat digunakan formula sebagai berikut:Sn = R (2-33)An = R (2-34)

Nilai r merupakan tingkat bunga pada setiap pembayaran dalam simple ordinary annuity dan nilai i merupakan tingkat bunga dalam complex ordinary annuity. Dengan, demikian, r tidak sama dengan i bila dilihat dari jangka waktu yang digunakan.Kembali pada contoh 17 sebelumnya, tingkat bunga majemuk dilakukan pada setiap bulan dan diubah menjadi 3 bulan untuk menyamakan interval bunga majemuk dengan interval pembayaran. Ini berarti r adalah merupakan perubahan i dari setiap bulan menjadi setiap 3 bulan (kuartal). Perubahan ini dapat dilakukan dari i per bulan (1,5%) menjadi i setiap 3 bulan dengan menggunakan compound interest (1+i)n atau (1+1,5%)3 dengan cara sebagai berikut:

1 + r = (1+1,596)3 atau r = (1+1,5%)3 - 1 = 1,0456784 - 1 = 4,56784%

Berdasarkan pada perubahan ini, future value, present value dari contoh 17 dapat diselesaikan dengan cara sebagai berikut:

Snc (Oa) = R = R .(2-35)

dan

Anc (Oa) = R = R .(2-36)

Snc (Oa) = R = R .(2-37)

Snc (Oa) = 76.015

= 76.015 (9,40276148)

= Rp 714.750,-

Present value

Anc (Oa) = R = R .(2-36)

= R = 76.015

= 76.015 (6,577643043)

= Rp 500.000,-

atau

Anc (Oa) = 76.015

= 76.015

= 76.015 (6,577640197)

= Rp 500.000,-

Dalam perhitungan pertama, i per bulan adalah 18%/12 = 1,5% dan interval pembayaran setiap 3 bulan selama 2 tahun, berarti n=8. Dalam perhitungan kedua, i dihitung setiap 3 bulan berarti r = {(l+i)' -1) di mana interval pembayarannya setiap kuartal terdiri dari 3 bulan, beruti n selama 2 tahun = 8. Dengan demikian i/bulan = 1,596, i perkuartal= 4,5678496 dan i per tahun = 19,5618296, di mana nominal rate = 18%. Perlu diperhatikan, kenaikan i yang dihitung dalam interval kumulatif adalah sebagai akibat dad effectif rate.

c. Anuitas, jangka waktu, dan tingkat bunga

Penentuan anuitas dalam complex ordinary annuity sama halnya dengan perhitungan simple ordinary annuity. Apabila present value yang diketahui, pergunakan formulasi (2-25) dan apabila

jumlah penerimaan yang diketahui pergunakan formula '(2-26). Demikian pula dalam menentukan jangka waktu pinjaman dan tingkat bunga dapat diikuti prosedur dari perhitungan anuitas biasa (simple annuity) dan apabila nilai n dan i tidak tersedia dalam daftar lampiran, selesaikan dengan menggunakan metode interpolasi. 2.3.2.2 Complex Annuity Due

Complex annuity due adalah pembayaran yang dilakukan pada ' . setiap awal interval. Pefiedaan antara simple annuity due dengan complex annuity due juga terletak pada interval bunga, di mana dalam complex annuity due frekuensi bunga majemuk tidak sama dengan frekuensi pembayaran di dalam satu tahun. Oleh karena itu, dalam perhitungan nilai, baik present value maupun future value harus dikalikan dengan discount factor [i/{1-(l+i)}] sebagai kompensasi. Formula yang digunakan untuk perhitungan adalah sebagai berikut:Anc (ad) = R = R .(2-37)

Anc (ad) = R = R .(2-38)

Untuk menghitung tingkat bunga, jangka waktu, dan anuitasnya sama dengan cara menghitung pada complex ordinary annuity. 2.3.2.3Complex Deferred AnnuitySistem pembayaran anuitas yang dilakukan dalam complex deferred annuity juga dilakukan pada setiap akhir interval, seperti akhir bulan, akhir kuartal, akhir setiap 6 bulan, maupun akhir tahun. Perbedaan antara anuitas ini dengan complex annuitas sebelumnya terletak pada tenggang waktu yang tidak diperhitungkan bunga. Contoh 18:Seorang mahasiswa meminjam uang pada bank sebesar Rp 800.000; dalam rangka menutupi biaya kuliahnya. la berjanji akan mengembalikan pinjaman tersebut secara cicilan selama 5 tahun dan pengembalian pinjaman dilakukan setelah 3 tahun dari meminjam. Bunga diperhitungkan sebesar 12% per tahun dan dimajemukkan setiap 6 bulan sekali. Berapakah besarnya pembayaran yang harus dikembalikan pada setiap akhir tahun?

Diketahui: A. = RP 800.000,- n = 5 dan c = 2/1 = 2 (dibunga majemukan dua kali dalam setahun dan pembayaran setiap tahun) dan nc = 2 x 5 = 10, t = 2 (dilakukan pembayaran pertama 3 tahun dari meminjam, ini berarti 1 tahun terakhir telah diperhitungkan bunga karena dalam complex deferred annuity pembayaran dilakukan pada akhir interval. i = 12%/2 = 6% (karena dimajemukkan dua kali setahun). Formula dalam complex deferred annuity untuk A. dan S. adalah sebagai berikut:

Anc (da) = R = R (2-39)

Snc (da) = R = R

.(2-40)

Jumlah pembayaran setiap tahun dari contoh di atas dapat dihitung sebagai berikut :

R = Anc (da) .

= 800.000 . . (1+0,06)2.2

= 800.000 (0,13586795)(2,06)(1,262477)

= Rp 282.682,-

Untuk menghitung jumlah penerimaan atau jumlah pembayaran dari sebuah annuity dapat diselesaikan dengan menggunakan formula (2-38) dan untuk menghitung present value pergunakan formula (239). Untuk menghitung tingkat bunga dan jangka waktu dari sebuah complex deferred annuity sama halnya dengan menggunakan anuitas biasa. Apabila nilai i dan n tidak tersedia dalam daftar lampiran, dapat diselesaikan dengan menggunakan metode interpolasi. Sebagai kesimpulan: interval pembayaran dan bunga majemuk dalam complex annuity mempunyai interval yang berbeda. Apabila complex annuity diubah menjadi simple annuity, dapat dilakukan dengan cara menyamakan interval pembayaran dengan interval bunga majemuk.

Bermacam-macam cara dalam perhitungan keuangan yang telah "disajikan dalam bab ini bertujuan untuk menambah wawasan dari para mahasiswa maupun pembaca lainnya dalam menyusun studi kelayakan bisnis. Perhitungan keuangan yang disajikan, baik dalam bentuk bunga biasa, bunga majemuk, dan anuitas yang telah disajikan ini erat hubungannya dengan kebijaksanaan keuangan dalam menyusun suatu gagasan usaha/proyek yang direncanakan. Diharapkan dengan adanya pengetahuan dalam mathematics of finance yang sering disebut dengan business mathematic, banyak hal yang dapat dibantu dalam memperkirakan tentang posisi usaha/proyek yang akan diusulkan sehingga hasil dari studi kelayakan bisnis yang akan disusun memberikan hasil yang maksimal.

3. Ringkasan-

Perhitungan bunga dan nilai uang dapat dilakukan dengan menggunakan perhitungan simple interest (bunga biasa), compound interest (bunga majemuk), dan annuity (anuitas). Dilihat dari sifatnya, annuity dapat digolongkan atas dua bagian yaitu simple annuity dan complex annuity. Simple annuity dilihat dari tanggal pembayaran dad sebuah annuity, dan dapat dibagi atas ordinary annuity, annuity due, dan deferred annuity. Complex annuity dapat dibagi atas complex ordinary annuity, complex annuity due, dan complex deferred.