Bab ini membahas tentang beberapa aspek penting yang ada pada Geometri

Datar khususnya Geometri Euclid. Setelah selesai mempelajari bab ini Anda

diharapkan dapat memahami aspek-aspek yang terkait dengan geometri datar

khususnya mencakup materi sistem aksiomatis, aksioma, definisi, teorema, sejarah

perkembangan geometri Euclid, berbagai metode pembuktian serta mampu

menggunakan aspek-aspek tersebut untuk memecahkan persoalan yang relevan.

Metode aksiomatis digunakan untuk membangun semua matematika modern.

Metode aksiomatis adalah suatu prosedur dalam hal mana untuk menunjukkan atau

membuktikan sesuatu (misalnya teorema dan yang lainnya) dilakukan melalui

penelitian, pengamatan, trial-error atau penajaman intuisi yang dilakukan secara

secara benar. Melalui metode aksiomatis terbentuklah suatu sistem aksiomatis.

Geometri datar yang dibahas pada perkuliahan ini merupakan contoh dari sistem

aksiomatis tersebut.

Suatu sistem aksiomatis disusun melalui urutan, pengertian, dan penjabaran

yang jelas (logis). Di dalamnya tidak boleh ada definisi yang melingkar. Pengertian

(konsep) harus jelas, didefinisikan melalui pengertian yang sebelumnya sudah

dikenal. Dalam suatu sistem aksiomatis, bukti dari suatu hasil yang khusus

merupakan rangkaian pernyataan sederhana yang masing-masing diturunkan dari

pernyataan sebelumnya secara logis. Suatu teorema (dalil) harus dibuktikan dari

teorema (dalil) sebelumnya. Lalu, bagaimana dengan teorema (dalil) yang pertama ?

Untuk itu, harus ada suatu pengertian yang pertama kali ada yang disebut pengertian

pangkal dan juga harus ada teorema (dalil) yang pertama kali ada yang disebut

1

Bab 1

1.1 Sistem Aksiomatis

aksioma. Pengertian pangkal tidak dapat didefinisikan dan diterima sebagai suatu

kesepakatan. Aksioma tidak perlu dibuktikan dan disepakati harus diterima

(diasumsikan) sebagai sesuatu yang benar. Dalam proses pembuktian, argumen

atau alasan yang diajukan harus valid. Untuk itulah, metode-metode

pembuktian harus digunakan secara cermat.

Ada tiga syarat yang harus dipenuhi dalam suatu sistem aksiomatis. Pertama,

syarat konsistensi. Suatu kumpulan aksioma disebut konsisten jika tidak mungkin

menyimpulkan suatu teorema dari aksioma-aksioma tersebut yang bertentangan

dengan aksioma atau teorema yang sudah dibuktikan sebelumnya. Tanpa adanya

syarat ini, suatu sistem aksiomatis tidak memiliki nilai matematis dan upaya

mempelajari sifat-sifat sistem aksiomatis tersebut menjadi sia-sia. Kedua, syarat

independen. Suatu sistem aksioma disebut independen jika secara logika salah satu

aksioma tidak dapat disimpulkan dari aksioma yang lainnya. Walaupun suatu sistem

aksiomatis tidak mutlak harus independen, hal ini akan menjadikan sistem yang

terbentuk menjadi kurang efisien. Ketiga, syarat lengkap. Suatu sistem aksiomatis

dikatakan lengkap jika tidak mungkin untuk menambahkan suatu aksioma yang

konsisten dan independen tanpa harus menambahkan pengertian pangkal yang baru.

Syarat lengkap akan menjamin aksioma yang ada dapat digunakan untuk

membuktikan ataupun menyangkal suatu pernyataan yang muncul terkait dengan

koleksi pengertian pangkal yang dimiliki.

Pada sistem aksiomatis, pengertian pangkal maupun aksiomanya bersifat

abstrak sehingga agak sulit untuk dimaknai. Oleh karenanya, sangatlah

dimungkinkan untuk membuat suatu interpretasi terhadap sistem tersebut. Jika

interpretasi yang dibuat untuk sistem tersebut menyebabkan semua pernyataan

dalam aksioma bernilai benar, interpretasi tersebut dinamakan model. Jadi, model

adalah suatu interpretasi yang dibuat untuk memaknai suatu sistem aksiomatis

dimana semua pernyataan dalam aksioma bernilai benar.

1. Jelaskan apa yang dimaksud dengan aksioma dan teorema.

2. Jelaskan apa yang dimaksud dengan konsep dan definisi

2

Latihan 1.1

3. Jelaskan mengapa dalam sistem aksiomatis diperlukan adanya aksioma.

4. Berikan penjelasan perbedaan antara aksioma dengan pengertian pangkal.

5. Apa tujuan membuat model dalam sistem aksiomatis.

Euclid (325 - 265 SM), seorang matematikawan bangsa

Yunani dapat dianggap sebagai pelopor pembentuk

geometri aksiomatis. Euclid telah menulis 13 jilid buku.

Jilid I yang berjudul “Elements” memuat 23 definisi, 5

aksioma dan 5 postulat. Euclid menggunakan istilah

postulat yang merupakan aksioma yang khusus

digunakan pada bidang geometri. Euclid sudah

menggunakan sistem aksiomatis dalam penyusunan buku

ini. Aksioma dan Postulat yang dinyatakan oleh Euclid

dinyatakan seperti berikut.

Aksioma.

A1. Semua benda-benda yang sama dengan suatu benda satu sama lain adalah sama.A2. Jika kepada yang sama diberi tambahan yang sama maka hasilnya akan menjadi sama.A3. Jika dari yang sama dikurangi bagian yang sama maka sisanya menjadi sama.A.4 Tiap-tiap benda yang berhimpit dengan suatu benda tentu satu sama lain sama.A.5 Keseluruhan itu lebih besar dari bagiannya.

Postulat

P1. Selalu dapat menarik suatu garis dari suatu titik ke suatu titik yang lain. P2. Selalu dapat membuat ruas garis tak terbatas banyaknya pada suatu garis. P3. Selalu dapat melukis suatu lingkaran berpusat di suatu titik dengan jari-jari ruas garis yang ditentukan. P4. Semua sudut siku-siku satu sama lain sama besar. P5. Jika dua garis dipotong oleh garis ketiga sehingga jumlah sudut dalam sepihak kurang dari dua sudut siku-siku, kedua garis itu akan berpotongan pada pihak sudut yang jumlahnya kurang dari dua sudut siku-siku.

J. Sitorus (1990 : 59)

Dari lima postulat yang diajukan Euclid, karena begitu

kompleksnya postulat ke-5, banyak matematikawan yang

3

Gambar 1.1 Euclid.Sumber : htpp://www-history. cs.st- andrews. ac.uk/ Mathematicians/ Euclid.html

Gambar 1.2 Playfair.

Sumber : http://www-history.mcs.st-andrews. ac.uk /history/ PictDisplay/Playfair.ht

1.2 Perkembangan Geometri Euclid

menganggap bahwa postulat itu merupakan akibat dari empat postulat sebelumnya.

Dengan lain kata, postulat ke-5 Euclid itu dependen. Mereka mencoba membuktikan

kebenaran dugaan tersebut. Tetapi, semua usaha yang dilakukan gagal. Akhirnya,

John Playfair (1748 – 1819) seorang matematikawan Skotlandia justru

menemukan sifat yang ekuivalen dengan postulat tersebut. Postulat itu dikenal

dengan nama postulat kesejajaran Playfair yang menyatakan, “ untuk setiap garis l

dan setiap titik P yang tidak berada pada l ada tepat satu garis m yang memuat P

dan sejajar dengan l ”.

Upaya-upaya yang dilakukan oleh beberapa matematikawan dalam usaha

menunjukkan dependennya postulat ke-5 Euclid ternyata melahirkan bidang-bidang

baru dalam geometri, diantaranya Geometri Afin oleh Leonhard Euler (1707 – 1793),

Geometri Absolut (Netral) oleh Euler (1707 – 1793), Poincare (1854 – 1912),

George Cantor (1845 – 1918), Geometri Proyektif oleh Arthur Cayley (1821 – 1895),

Poncelet (1788 – 1876), von Staudt (1798 – 1867), serta Geometri Transformasi oleh

Felix Klein (1849 – 1925).

Menurut Wallace dan West (!992 : 34), ada tiga kelemahan utama yang

ditemukan pada hasil karyanya Euclid, yakni :

1. Euclid gagal untuk mengenali istilah tertentu yang dibutuhkan yang harus

tetap dibiarkan sebagai istilah yang tidak didefinisikan (pengertian pangkal).

2. Menggunakan sesuatu yang sulit dipahami dalam membuktikan suatu

teorema , tetapi postulat yang terkait belum ditetapkan sebelumnya,

3. percaya pada diagram atau gambar untuk mengarahkan logika dalam

mengkonstruksi suatu bukti.

Oleh karenanya, beberapa ahli berusaha untuk menyempurnakan kelemahan-

kelemahan di atas dengan harapan dapat dirumuskan suatu sistem geometri

khususnya geometri bidang yang memenuhi standar sistem aksiomatis.

Seorang matematikawan bangsa Jerman, David Hilbert

pada tahun 1899 menerbitkan buku “ Grundlagen der

Geometrie “ yang dalam terjemahan bahasa Inggrisnya

berjudul “ Foundations of Geometry ”. Dalam buku

ini, Hilbert menawarkan suatu modernisasi Geometri Euclid

dengan menggunakan “ titik, garis, bidang, pada (untuk

4Gambar 1.3 Hilbert

http://www-history. mcs.st-andrews.ac.uk/ history/PictDisplay/Hilbert.html

menyatakan insidensi titik pada garis), diantara (untuk menyatakan relasi tiga titik

berlainan) dan kekongruenan “ sebagai pengertian pangkal dan menggunakan 5

aksioma (Aksioma Insidensi, Aksioma Urutan, Aksioma Kekongruenan, Aksioma

Kesejajaran dan Aksioma Kekontinuan) untuk membangun sistem geometri bidang

Euclid. Khusus untuk aksioma kesejajaran, Hilbert menggunakan aksioma

kesejajaran Playfair. Sistem ini selanjutnya dikenal sebagai geometri bidang Euclid

versi Hilbert. Versi Hilbert ini tetap konsisten mendukung hasil karyanya Euclid.

Pada tahun 1932, seorang matematikawan Amerika yakni

G. D Birkhoff lewat tulisannya yang berjudul “ A Set

of Postulates for Plane Geometry (Based on

Scale and Protractor) “ yang diterbitkan dalam

jurnal Annals of Mathematics, mengajukan versi lain

dalam membangun geometri bidang Euclid. Birkhoff

menggunakan “ titik, garis, jarak dan sudut “ sebagai

pengertian pangkalnya dan menggunakan 4 buah postulat.

Sistem ini selanjutnya dikenal sebagai geometri bidang

Euclid versi Birkhoff dan seperti versi Hilbert, versi ini juga tetap konsisten

mendukung hasil karyanya Euclid.

Pada awal tahun 1960, School Mathematics Study Group (SMSG) yang ada

di Amerika menghasilkan versi lain geometri bidang Euclid dengan menyertakan 8

kelompok aksioma dan menggunakan “ titik, garis dan bidang “ sebagai pengertian

pangkalnya. Sistem aksioma yang digunakan oleh kelompok ini sudah

mempertimbangkan aspek-aspek pedagogik dengan mengkombinasikan hasil karya

Hilbert dan Birkhoff .

Dari uraian di atas terkait dengan sejarah perkembangan geometri Euclid

mulai dari sistem aksioma yang ditawarkan oleh Euclid sampai dengan sistem

aksioma yang ditawarkan oleh SMSG dapat dirangkum bahwa :

1. Buku Elemen Euclid. Merupakan buku geometri pertama yang ditulis, tulisan ini

mendefinisikan disiplin ilmu yang dikenal dengan nama geometri untuk lebih

dari 2000 tahun.

5

Gambar 1.4 BirkhoffSumber : http://www-history.mcs.st-andrews. ac.uk/Mathematicians/ Birkhoff.html

2. Buku Grundlagen der Geometrie karya Hilbert (1899) merupakan modernisasi

dari geometri Euclid yang mendukung hasil kerjanya Euclid dan menggunakan

kumpulan aksioma yang bisa diterima menurut standard saat ini

3. Karya Birkhoff yang berjudul “A set of Postulates for Plane Geometry (Based on

Scale and Protractor)” merupakan hasil karya yang kedua untuk memodernisasi

geometri Euclid yang berusaha menempatkan geometri Euclid pada suatu basis

fundamental yang kokoh dengan menggunakan suatu pendekatan yang berbeda

berdasarkan pengukuran.

4. Geometri versi SMSG merupakan hasil karya dimana postulatnya disusun dengan

mempertimbangkan aspek pedagogik yang mengkombinasikan hal-hal penting

dari hasil karyanya Hilbert dan Birkhoff dengan cara menyediakan

pengembangan geometri Euclid secara efisien dan lebih mudah untuk

dipahami.

Geometri Euclid yang berkembang saat ini sebenarnya menyangkut geometri

datar dan geometri ruang. Materi Geometri Euclid khususnya pada bidang yang

disajikan pada buku ini akan mengacu kepada sistem aksioma versi Hilbert dan versi

SMSG karena masing-masing memiliki kelemahan dan keunggulannya tersendiri.

Melalui penggunaan kombinasi sistem aksioma ini diharapkan materi yang tersaji

dalam buku ini akan lebih mudah dipahami pembaca.

Geometri Euclid versi Hilbert tersusun atas 5 sistem aksioma dengan

menggunakan titik dan garis sebagai pengertian pangkal. Aksioma-aksioma yang ada

dapat dikelompokkan menjadi lima kelompok aksioma, yakni

1. Aksioma Insidensi2. Aksioma Urutan3. Aksioma Kekongruenan4. Aksioma Kekontinuan5. Aksioma Kesejajaran

Aksioma Insidensi versi Hilbert menyatakan :

(a) Melalui sembarang dua titik berlainan A, B, selalu ada garis m(b) Melalui sembarang dua titik berlainan A, B tidak ada lebih dari satu

garis m(c) Pada setiap garis, sedikitnya ada dua titik berlainan. Sedikitnya ada tiga

titik berlainan yang tidak berada pada satu garis.(d) Melalui tiga titik sembarang yang tak segaris, hanya ada satu bidang

6

Sementara itu, geometri Euclid versi SMSG tersusun atas 22 postulat yang

dapat dikelompokkan menjadi 8 sistem aksioma dengan menggunakan titik dan garis

sebagai pengertian pangkal. Kelompok-kelompok aksioma tersebut, yakni

1. Aksioma insidensi (Postulat 1)2. Aksioma jarak (Postulat 2 – 4 )3. Aksioma hubungan ruang (Postulat 5 – 8)4. Aksioma pemisahan (Postulat 9 – 10)5. Aksioma ukuran angular (Postulat 11 – 14)6. Aksioma kongruensi (Postulat 15)7. Aksioma Kesejajaran (Postulat 16)8. Aksioma tentang luas dan volume (Postulat 17 – 22).

Postulat yang digunakan pada buku ini adalah kombinasi dari beberapa postulat di

atas dan dilengkapi dengan postulat yang digunakan oleh Hary Lewis. Adapun

postulat yang dimaksud disajikan berikut ini.

P. 1 Jika diberikan a dan b, hanya satu diantara tiga pernyataan berikut yang benar yakni a < b, a = b, a > b.

P. 2 Diketahui a, b, c dengan a > b dan b > c maka a > c.P. 3 Keseluruhan lebih besar dari bagiannya. Dengan demikian, jika a, b dan c

bilangan positif dengan a = b + c maka a > c dan a > b.P. 4 Jika dua bilangan sama, salah satu boleh diganti dengan yang lainnya.P. 5 Jika a = b dan c = d maka a + c = b + dP. 6 Jika a = b dan c = d maka a – c = b – d P. 7 Jika a = b dan c = d maka a c = b d P. 8 Jika a = b dan c = d (c 0 dan d 0) maka a / c = b / d P. 9 a = a (sifat refleksif)P. 10 Jika a = b maka b = a (sifat simetris)P. 11 Jika a = b dan b = c maka a = c (sifat transitif)P. 12 P atau bukan P selalu berlaku dan tidak ada kemungkinan yang lain.P. 13 P dan bukan P tidak bisa berlaku pada saat yang bersamaan.P. 14 Pada implikasi p q, diberikan p maka q benarP. 15 Pernyataan p q dan - q p adalah ekuivalen.P. 16 Suatu garis dapat diperpanjang ke kedua arah sejauh yang diinginkan P. 17 Ada satu dan hanya satu garis yang melalui dua titikP. 18 Untuk sembarang dua titik pada garis, ada titik ketiga pada garis yang

berada diantara kedua titit tersebut.P. 19 Ada korespondensi satu-satu antara titik pada garis dengan bilangan realP. 20 Setiap ruas garis memiliki titik tengah.P. 21 Bagian terpendek antara dua titik adalah ruas garis yang menghubungkan

kedua titik tersebut.P. 22 Bagian terpendek antara suatu titik dan suatu garis adalah ruas garis yang

tegak lurus dari titik ke garis tersebut.P. 23 Melalui suatu titik di luar garis yang diketahui, ada satu dan hanya satu

garis yang sejajar dengan garis yang diketahui.

7

P. 24 Melalui suatu titik pada garis yang diketahui ada suatu sudut yang titik sudutnya di titik tersebut.

P. 25 Pada satu titik yang berada pada lingkaran hanya ada satu garis tangen.P. 26 Setiap sudut memiliki garis bagi.P. 27 Jika D suatu titik pada daerah interior BAC maka m BAC = m

BAD + m DACP. 28 Suatu garis yang memotong satu sisi segitiga dan berada pada interior

segitiga memotong satu sisi lainnya (Aksioma Pasch)P. 29 Diberikan korespondensi satu-satu antara dua segitiga (atau antara suatu

segitiga dengan dirinya sendiri). Jika dua sisi dan sudut apit segitiga yang pertama kongruen dengan unsur-unsur bersesuaian pada segitiga yang kedua, maka kedua segitiga kongruen.

P. 30 Segitiga yang kongruen memiliki luas yang samaP. 31 Luas persegi panjang adalah hasil kali alas dengan sisinya.P. 32 Untuk sembarang poligon ada segi empat yang luasnya sama dengan

poligon tersebut.P. 33 Jika sisi poligon beraturan talibusur sangat banyak maka keliling

lingkaran dapat digunakan untuk menggantikan keliling poligon tersebut.P. 34 Jika sisi suatu poligon beraturan sangat banyak maka jari-jari lingkaran

dapat digunakan untuk menggantikan apotema dari poligon tersebut.P. 35 Misalkan daerah R adalah gabungan dari dua daerah R1 dan R2. Jika R1

dan R2 berpotongan paling banyak pada sejumlah berhingga ruas garis dan titik maka luas dari R merupakan jumlahan dari luas R1 dan R2.

1. Buatlah perbandingan lengkap tentang sistem aksioma yang digunakan oleh

Euclid, Hilbert, Birkhoff dan SMSG.

2. Jelaskan bagaimana Postulat ke-4 versi SMSG dapat diturunkan dari postulat

SMSG yang lainnya.

3. Jelaskan sistem aksioma Birkhof yang mana berakibat munculnya postulat ke-15

versi SMSG.

4. Uraikan perbedaan antara postulat yang digunakan oleh Hary Lewis dengan

postulat versi SMSG.

5. Geometri Datar haruslah taat kepada sistem aksiomatis yang ada. Terkait dengan

hal ini, bagaimana sebaiknya materi geometri datar yang akan diajarkan di

tingkat SD, SMP maupun SMA ?

8

Latihan 1.2

1.3 Metode Pembuktian

Suatu teorema sebenarnya dapat dipilah menjadi dua bagian yakni bagian

hipotesis dan bagian simpulan. Sebagai contoh, perhatikan teorema berikut.

“Dua garis tegak lurus membentuk sudut siku-siku”

Teorema di atas dapat dinyatakan dalam bentuk implikasi seperti berikut.

“Jika dua garis tegak lurus maka kedua garis membentuk sudut siku-siku”

Pernyataan “dua garis tegak lurus” disebut dengan hipotesis dan pernyataan

“membentuk sudut siku-siku” disebut dengan simpulan.

Dalam logika maupun dalam geometri datar sangatlah penting untuk

mengidentifikasi kondisi-kondisi hipotesis yang ada pada suatu pernyataan agar

dapat menjustifikasi simpulan yang akan dibuat. Kondisi-kondisi yang dimaksud

adalah “syarat perlu” dan “syarat cukup”. Menurut Barnet Rich (1963), kedua

syarat tersebut dapat diidentifikasi dengan melihat kebenaran dari suatu implikasi

dan konversnya dengan menggunakan aturan seperti berikut.

Tabel 1. Peranan Hipotesis sebagai Syarat Perlu atau Syarat Cukup dalam Pernyataan yang Berbentuk Implikasi

Implikasi p q

Konversnya q p

Peranan Hipotesis (p)

Syarat Perlu (necessary) Syarat Cukup (sufficient)Benar Benar Ya YaBenar Salah Bukan YaSalah Benar Ya BukanSalah Salah Bukan Bukan

Disesuaikan dari Barnet Rich (1963 : 178)

Contoh 1.2

Implikasi “Jika suatu segitiga sama sisi maka segitiga itu sama kaki “ adalah

benar, tetapi konversnya salah. Dengan demikian, sama sisi bukanlah syarat perlu

untuk sama kaki. Sama sisi adalah syarat cukup untuk sama kaki.

Implikasi “Jika suatu segitiga sama kaki maka segitiga itu sama sisi “ adalah salah,

tetapi konversnya benar. Dengan demikian, sama kaki adalah syarat perlu untuk

sama sisi. Sama kaki bukanlah syarat cukup untuk sama sisi.

9

Ada beberapa aturan yang harus diperhatikan dalam membuktikan suatu

teorema atau dalil agar argumen-argumen yang diberikan pada bukti tersebut dapat

dikatakan valid.

Argumen 1

Menggunakan Modus Ponens

Strategi pembuktian ini dilakukan untuk membuktikan kebenaran implikasi

p q dimulai dari kondisi p yang benar dan akhirnya sampai pada kesimpulan q

benar. Prosesnya dapat digambarkan seperti berikut.

Contoh 1.2

Misalnya akan dibuktikan teorema “ dalam suatu segitiga sama kaki, kedua sudut

alasnya sama besar “. Teorema ini dapat dinyatakan dalam implikasi “ jika suatu

segitiga sama kaki maka kedua sudut alasnya sama besar “

p q Jika pada ABC berlaku AB = BC, maka m A = m C

(hal yang akan dibuktikan)

P Melalui A buat garis bagi B sehingga memotong sisi di D. Dengan demikian, ABD CBD menurut sisi-sudut-sisi.

(alasan yang diberikan)

q m A = m C (kesimpulan)

Argumen 2

Menggunakan Modus Tollens

Untuk membuktikan kebenaran implikasi p q dilakukan dengan

menunjukkan kebenaran dari -q -p. Prosesnya dapat digambarkan seperti berikut.

10

p q (Teorema atau dalil yang akan dibuktikan) p (alasan-alasan yang digunakan) ------------- q (kesimpulan yang dihasilkan)

p q (Teorema atau dalil yang akan dibuktikan) -q (alasan-alasan yang digunakan) ------------- - p (kesimpulan yang dihasilkan)

Karena -q -p ekuivalen dengan p q maka p q juga benar.

Contoh 1.3

Misalnya akan dibuktikan teorema “ jika dua sudut suatu segitiga berbeda

ukurannya maka sisi-sisi dihadapan sudut-sudut tersebut juga berbeda ukurannya “.

p q Jika pada ABC berlaku m A m B maka BC AC

(hal yang akan dibuktikan)

-q Jika BC = AC maka ABC sama kaki (alasan yang diberikan)

-p m A = m B (kesimpulan 1)Karena -q -p benar maka p q juga benar (kesimpulan 2)

Argumen 3

Menggunakan silogisme hopotetis (silogisme transitif)

Argumen 4

Menggunakan silogisme disjungsi

Contoh 1.4

Jika diberikan sembarang dua garis yang tidak berhimpit maka kedua garis tersebut

berpotongan atau sejajar.

Diketahui ternyata kedua garis tersebut tidak berpotongan. Berarti kedua garis tidak

memiliki satupun titik potong. Menurut definisi, kedua garis tersebut sejajar.

Argumen 5

Menggunakan kombinasi Modus Ponens dan silogisme disjungsi

11

p q q r ------------- p r (kesimpulan yang dihasilkan)

p q - p ------------- q (kesimpulan yang dihasilkan)

p (q r) p - r ------------------- q (kesimpulan yang dihasilkan)

Bukti Tak Langsung

Bukti tak langsung didasarkan pada kondisi q atau -q pastilah berlaku

dengan benar. Jika berlaku q maka -q tidak berlaku. Demikian juga sebaliknya.

Pada bukti tak langsung, untuk menunjukkan kebenaran implikasi p q dilakukan

dengan cara mengecek kebenaran -q. Melalui kondisi berlakunya p secara benar,

selanjutnya ditunjukkan bahwa - q tidak berlaku. Karena kondisinya dikotomis

maka tentulah yang berlaku adalah q. Jadi, pada bukti tak langsung kebenaran

berlakunya q tidak langsung diturunkan secara deduktif melalui kondisi p tetapi

diturunkan secara deduktif dengan melihat kemungkinan berlakunya -q namun

ternyata terjadi suatu hal yang mustahil atau kontradiktif dengan fakta yang sudah

ada sebelumnya maupun fakta yang benar pada p.

Contoh 1.5

Misalnya akan dibuktikan

Jika suatu garis memotong dua sisi masing-masing atas bagian yang sama

panjang, garis tersebut sejajar dengan sisi segitiga yang tak terpotong.

Diketahui, D titik tengah dan E titik tengah , m melalui D dan E. Akan

dibuktikan m // . Ada dua kondisi yang pasti berlaku pada m dan , yakni m

// atau m ∦ . Andaikan berlaku m ∦ . Menurut aksioma kesejajaran,

melalui D hanya ada satu garis yang sejajar sebutlah m’. Dari yang diketahui,

m’ haruslah memotong titik tengah , sebutlah F. Dengan demikian,

memiliki dua titik tengah yakni E (diketahui) dan F. Hal ini tidaklah mungkin. Oleh

karenanya, kondisi m ∦ tidak berlaku sehingga yang berlaku adalah m // .

12

Gambar 1.5

.

A B

C

D.

.

E. m

F.

.

m'

x

x

1. Dalam geometri Euclid berlaku “jumlah ketiga sudut suatu segitiga adalah

180o”. Asumsi apa yang tersembunyi pada teorema ini?

2. Buktikan bahwa “setiap ruas garis hanya memiliki satu titik tengah”.

3. Buktikan bahwa “setiap sudut hanya memiliki satu garis bagi sudut”

4. Buktikan eksistensi dan keunikan dari pernyataan “ melalui sutu titik B yang

berada pada garis l yang diketahui hanya dapat dibuat satu garis yang tegak

lurus terhadap l.

Latihan 1.1

1. Aksioma adalah suatu asumsi yang harus disepakati yang keberannya tidak perlu

dibuktikan. Teorema adalah suatu pernyataan yang kebenarannya harus

dibuktikan.

2. Definisi adalah suatu pernyataan yang digunakan untuk mengekpresikan atau

menjelaskan sifat-sifat alamiah dari “sesuatu”.

Latihan 1.2

2. Misalkan ada dua titik P and Q pada suatu garis. Selanjutnya gunakan postulat

penggaris dan pemasangan satu-satu.

3. Postulat IV untuk k = 1.

5. Harus ada penyederhanaan untuk memahami sistem aksiomanya.

Latihan 1.3

13

Latihan 1.3

Kunci Jawaban Soal Terpilih

2. Setiap segitiga memiliki jumlah ukuran sudut yang sama.

4. Gunakan postulat SMSG nomor 12.

14