BAB I MATRIKS A.NOTASI MATRIKS Notasi A = (aij) Matriks persegi Matriks segitiga atas/bawah Matriks diagonal Matriks skalar Beberapamatriksdikatakanconformablejikaukuranmatriks-matriksitusedemikian rupa sehingga operasi matriks dapat dilakukan. B.OPERASI ALJABAR MATRIKS Penjumlahan : A + B Sifat : komutatif, asosiatif Perkalian skalar : kA Perkalian matriks : AB Sifat : distributif kiri dan kanan terhadap penjumlahan dan pengurangan, asosiatif Transpose : At Sifat transpose : (At)t = A (kA)t = kAt (A + B)t = At + Bt (AB)t = Bt At Trace : jumlah elemen diagonal utama Sifat trace: tr (A + B) = tr (A) + tr (B) tr(pA + qB) = p tr (A) + q tr (B) tr (At) = tr (A) tr (AAt) = tr (AtA) tr(AB) = tr (BA) C.DETERMINAN Determinan dari matriks Anxndidefinisikan sebagai : nnnj j jSja a a a A .... . ). sgn( ) det(3 2 13 2 1e=ooSifat determinan: det(A) = det(At) jika ada baris/kolom bernilai nol makadet(A) = 0 jika ada dua baris/kolom bernilai sama makadet (A) = 0 jika matriks B diperoleh dengan menukar dua baris/kolom matriks A makadet(B) = det(A).JikamatriksBdiperolehdarimatriksAdenganmenambahsatubaris/kolom dengan k kali baris/kolom yang lain, maka det(B ) = det(A). Jika A, B, dan C matriks yang identik (sama) kecuali pada satu baris/kolom dan pada baris/kolom yang tidak identik ini, baris/kolom matriks C merupakan jumlahan dari baris/kolom matriks A dan matriks B, makadet(C) = det(A) + det (B). D.RANK Rank (A) adalah dimensi ruang baris Rank (A) adalah dimensi ruang kolom Rank (A) adalah banyaknya baris tidak nol dari bentuk eselon baristereduksi matriks A. Jika A matriks m x n maka dim (col A) + dim (kerA) = n. Sifat rank matriks : Rk(A) = rk(At) Jika A matriks m x n maka0 s rk(A) s min(m,n) Rk(A) = 0 jika hanya jika A = 0 Rk(In) = n Jika k = 0 maka rk(kA) = rk(A) Jika A matriks diagonal maka rk(A) adalah banyaknya elemen diagonal utama yang tidak nol Rk (A+B) s rk(A) + rk(B) Rk (A-B) > |rk(A) - rk(B)| Rk(AB)s min(rk(A),rk(B)) Rk(AtAB) = rk(AB) = rk(ABBt) Apakah rk(AB) = rk(A).rk(B) ? E.INVERS MATRIKS Matriks B dikatakan sebagai invers dari matriks A jikaAB = BA = I. Dalam hal ini invers matriks A dinotasikanA-1. Matriks yang mempunyai invers disebut matriks non singular. Invers suatu matriks bersifat tunggal Invers matriks A ada jika hanya jika A merupakan matriks dengan rank penuh Sifat invers matriks: ( A-1 )-1 = A ( A-1 )t = (At)-1 Jika k = 0 maka ( kA )-1 =(1/k) A-1 (AB )-1 =B-1 A -1 Jika A matriks mn, B matriks mm, dan C matriks nn dengan B dan C non singular, maka berlaku: Rk(BA) = rk(A) Rk(AC) = rk(A) Rk(BAC) = rk(A) F.NILAI DAN VEKTOR EIGEN Diberikan matriks A berukuran nxn. Jika ada vektor x = 0 yang memenuhi Ax = x maka x dinamakan vektoreigen (karakteristik) yang bersesuaian dengan nilai eigen. Menentukan nilai eigen : det(I A) = 0(persamaan karakteristik) akar karkateristik (nilai karakteristik) PA() = det (I A) (polinomial karakteristik) Contohuntukmatriks A= |||.|

\|5 1 20 1 00 3 1 makaPA()=(-1)2(-5).Vektoreigen yangbersesuaiandengannilaieigen1adalah(2,0,-1).Dalamhalinidikatakan multiplisitasaljabar(algebraicmultiplicity)darinilaieigen1adalah2dan multiplisitasgeometrinya(geometricmultiplicity)adalah1.Untuknilaieigen5, vektor eigen yang bersesuaian adalah (0, 0, 1) sehingga multiplisitas aljabarnya sama dengan muliplisitas geometrinya yaitu 1. Secara umum: Multiplisitas geometri s multiplisitas aljabar Jika A matriks 2x2 dengan nilai eigen1 dan2 maka1.2 = det(A) dan1 + 2 = tr (A) Jika A matriks 2x2 dengan elemen real.Jika mempunyai nilai eigen kompleks maka keduanya kompleks Jika kedua nilai eigennya kompleks maka nilai eigen yang satu adalah konjugat kompleks dari nilai eigen yang lain Jika A simetri maka nilai eigennya real Satu vektor eigen hanya bersesuaian dengan satu nilai eigen Satu nilai eigen bersesuaian dengan lebih dari satu vektor eigen.Lebihlanjutjikav1,v2,...,vnadalahvektoreigen-vektoreigenyangbersesuaian dengan nilai eigen maka kombinasi lineaar dari v1, v2, ..., vn juga vektor eigen yang bersesuaiandengannilaieigen.HimpunansemuavektoreigendarimatriksA yang bersesuaian dengan nilai eigen bersama dengan vektor nol dinamakan ruang eigen, dinotasikan E. Jikaadalah nilai eigen dari A makat adalah nilai eigen daritA dengan vektor eigen yang sama Jikax adalah vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan nilai eigenmaka tx (t = 0) adalah vektor eigen dariA yang bersesuasian dengan nilai eigen. Jikaadalah nilai eigen dari A bersesuaian dengan vektor eigen x, maka x adalah vektor eigen dari(sI tA) bersesuaian dengan nilai eigen (s - t ) x adalah vektor eigen dariAk bersesuaian dengan nilai eigen k, k = 2, 3, ... x adalah vektor eigen dariA-1 bersesuaian dengan nilai eigen -1 Nilai eigen dari matriks diagonal adalah elemen-elemen diagonal matriks tersebut Nilai eigen dari matriks segitiga adalah elemen-elemen diagonal matriks tersebut Matriks A non singular jika hanya jika semua nilai eigennya tidak nol Matriks A singular ? Jika A matriks nxn, maka Det (A) = [=nii1Det (I A) = n tr(A) n-1 +Pn-2 () Jika1,2, ... , nadalah nilai eigen dari A makatr(A) = =nii1Jika1,2, ... , nadalah nilai eigen dari A makatr(Ak) = =niki1 G.HASIL KALI DALAM DAN NORMA Hasil kali dalam matriks Jika A = (aij) danB = (bij) matriks-matriks berukuran sama. Didefinisikan hasil kali dalam(A,B) = i jij ijb a(A,B) = tr At B. Sifat :i.(A,B) = (B,A) ii.(A,B + C) = (A,B) + (A,C) iii. (kA,B) = k(A,B) iv. (A,A) > 0, (A,A) = 0 jika hanya jika A = 0. Norma Norma matriks real A didefinisika sebagaiA trA A A, At 22 / 1= = =i jijaSifat :i. A k kA =ii.A , 0 A >= 0 jika hanya jika A = 0. iii. B A B A + s + Soal Latihan : 1.Manakah pernyataan berikut yang benar: a.(A+B)2 = (B+A)2 b.(A+B)2 = A2 + 2AB + B2 c.(AB)2 = A2B2 d.(A+B)2 =(A+B)(B+A) 2.Berikan contoh matriks 2x2 dengan syarat berikut: a.A2 = -I b.B2 = 0, tetapi B = 03.