BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Matematika sebagai salah satu ilmu dasar, memegang peranan penting

dalam mempercepat penguasaan ilmu teknologi. Hal itu dikarenakan

matematika merupakan sarana berpikir untuk menumbuhkembangkan cara

berpikir logis, sistematis, dan kritis. Sampai batas tertentu, matematika perlu

dikuasai oleh segenap warga Indonesia,baik yang terkait dengan

penerapannya maupun dengan pola pikirnya. Penguasaan ilmu pengetahuan

dan teknologi harus didasari oleh penguasaan matematika, karena penguasaan

matematika merupakan kunci utama dalam menguasai pengetahuan.

Dalam matematika Momen inersia (Satuan SI : kg/m2) adalah ukuran kelembaman suatu benda untuk berotasi terhadap porosnya. Momen inersia tergantung pada bentuk benda, artinya pada ukuran-ukrannya, juga massanya, tergantung pada letaknya sumbu putar (r). apabila bentuk benda tidak beraturan, maka digunakan besaran lain untuk jarak ke sumbu putar yaitu jari-jari girasi (radius girasi).

1.2 Rumusan Masalah

Masalah yang terjadi dapat dirumuskan sebagai berikut :

1) Apa yang dimaksud dengan momen inersia dan radius girasi?

2) Bagaiman penerapan momen inersia dalam benda tegar?1.3 Tujuan Penulisan

Dari Tujuan penulisan makalah ini adalah

1) Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan momen inersia dan radius

girasi.

2) Mengetahui penerapan momen inersia dalam benda tegar.

1

BAB II

PEMBAHASAN

Berdasarkan masalah yang telah dirumuskan dalam rumusan masalah, pembahasan masalah akan menyajikan tentang momen inersia (momen kelembaman) dan radius girasi (jari-jari girasi).2.1 Benda Tegar

Benda tegar (rigid/kaku) merupakan sistem benda yang tersiri dari sistem-sistem benda titik yang tak hingga bnyaknya dan jika ada gaya yang bekerja padanya, jarak antara titik-titik anggota sistem selalu tetap. Benda tegar memiliki kerapatan struktur yang kuat dan hal tersebut yang membedakan benda tegar dengan benda yang lainnya. Keberadaan titik gerak yang ada di dalam benda tegar tidak

dapat berubah-ubah karena struktur yang padat. Jadi perbedaan sistem benda titk dan benda tegar terletak pada adanya perubahan jarak pada sistem benda titik yang mengalami gaya :

Pada gambar di samping yaitu pada gambar (a) adalah sistem benda titik, karena kedua titik dihubungkan dengan pegas yang jarak kedua titik tersebut dapat berubah-ubah jika padanya bekerja/ dikenai sebuah gaya.Gambar (b) adalah benda tegar karena keduanya dihubungkan dnegan tongkat yang tak dapat berubah panjang jika gaya bekerja padanya.Gerak sistem benda titk terdiri atas 2 macam : a. Gerak pusat massa

2

b. Gerak relatif

Gerak relative yang sederhana adalah memilih pusat massa sebagai pusat sistem koordinasi, sedangkan gerak

relative yang mungkin terjadi dalam gerak benda tear dalam keadaan diam.

Pada gambar di samping menunjukkan bahwa untuk pusat massa yang diamgerak relative benda (1) terhadap benda (2) yang mungkin terjadi hanyalah gerak rotasi.

Jadi gerak benda tegar terdiri dari :a. Gerak pusat massa,

yaitu bila lintasan semua tititk tersebut sejajar, disebut translasi. Hal ini mengingatkan kita pada gerak satu benda titik.

b. Rotasi terhadap pusat massa, yaitu bila lintasan semua titik dari benda tersebut berbentuk lingkaran yang

sepusat pada sumbu putar yang melalui pusat massanya.

3

(a) Gerak rotasi murniPusat massa diam dan benda-benda bergerak mengelilingi pusat massa.

(b) Gerak Translasi murniPusat massa bergerak sedangkan benda-benda tidak berubah terhadap pusat massa atau diam

(c) Gerak Rotasi dan Translasi bersama-sama Pusat massa bergerak, benda-benda jua berotasi terhadap pusat massa.

4

2.2 IntegralIntegral/ integrasi merupakan cara merubah bentuk f ' (x)

menjadi f (x). Integrasi adalah suatu proses penjumlahan atau penambahan seluruh bagian dan huruf S yang diperpanjang, dilambangkan dengan ʃ , kita gunakna untuk mengganti kata “integral dari”.

Penyeleseian umum dari integral yang terbentuk ʃ andx dimana a dan n adalah konstanta dan n ≠ -1, dinyatakan oleh :

∫ ann=ann+1

n+1

Di bawah merupakan pembahasan dari momen inersia dan radius girasi yang menerapkan konsep integral dalam perhitungan matematisnya.

2.3 Momen Inersia (momen kelembaman)Momen inersia (Satuan SI : kg/m2) adalah ukuran

kelembaman suatu benda untuk berotasi terhadap porosnya. Besaran ini adalah analog rotasi dari pada massa. Momen inersia berperan dalam dinamika rotasi seperti massa dalam dinamika dasar, dan menentukan hubungan antara momentum sudut dan kecepatan sudut, momen gaya dan percepatan sudut, dan beberapa besaran lain. Meskipun pembahasan skalar terhadap momen inersia, pembahasan menggunakan pendekatan tensor memungkinkan analisis sistem yang lebih rumit seperti gerakan giroskopik. Momen inersia harus dinyatakan sebagai hasil kali satuan massa dan kuadrat satuan jarak. Untuk menghitungnya harus diperhatikan bentuk geometri dari benda tegar homogenya.

Momen inersia tergantung pada bentuk benda, artinya pada ukuran-ukrannya, juga massanya, tergantung pada letaknya sumbu putar (r). apabila bentuk benda tidak

5

beraturan, maka digunakan besaran lain untuk jarak ke sumbu putar yaitu jari-jari girasi (radius girasi).

Momen inersia dapat didefinisikan sebagai berikut:

1. Untuk 1 benda titik : I = m r2

2. Untuk sistem benda titik : I = Σ mi r i2

3. Untuk benda tegar : I=∫r2dm

2.4 Jari-jari Girasi (radius girasi)

Bila k adalah jarak radial dari tiap sumbu putar, m adalah massa benda yang dikonsentrasikan, maka akan terdapat hubungan :

I pm=mk2maka k=√ I pmm

Jadi jari-jari girasi adalah letak suatu titik terhadap tata sumbu yang melalui pusat berat tampang, dimna apabila seluruh permukaan dipusatkan disana akan memberikan momen inersia yang sama terhadap sumbu tersebut dalam bentuk persamaan matematis dapat dituliskan sebagai berikut :

r x2 . A=I x

r z2 . A=J

r y2 . A=I y

Selanjutnya radius girasi rx, ry, dan rz dinyatakan dalam rumus :

6

r x=⌈I xA⌉ 1/2

r y=[ I yA ] 1/2

r z=[ JA ] ½Besar radius girasi memberikan indikasi tendensi

penyebaran permukaan tampang relatif terhadap pusat berat. Untuk luas penampang (A) yang sama dengan nilai radius girasi yang lebih besar maka semakin jauh titik-titik permukaan menyebar dari pusat permukaan tampang, dan semakin kecil jari-jari girasi maka semakin dekat sebaran titik-titik permukaan dari pusat berat. Radius (jari-jari) girasi terhadapa sumbu x dan y ( rx dan ry ) selalu bernilai positif.

Jari-jari girasi banyak digunakan dalam analisis penampang. Salah satu contohnya untuk menentukan kapasitas kolom yang diberi beban aksial tekan. Dalam dunia otomotif peralatan yang memakai perhitungan ini yaitu silinder tipe boxer atau saling berlawanaan, silinder model ini dimiliki oleh kendaraan FW kodok/FW combi.

2.5 Contoh Penerapan Momen Inersia Dalam Benda Tegar1. Batang

Batang dengan panjang l, dan massa m, berputar terhadap sumbu melalui pusat massa. Ambil dm dengan panjang dx. Yang terletak sejauh x dari sumbu. Bila λ adalah rapat massa per satuan panjang, maka :

m = λ l dm = λ dxI = ʃ r2 dm = ʃ x2 dm

∫12 l

12 l

λx ²dx=2∫0

12 l

λ x ²dx

7

2λ.1/3 x3 Ι 01/2l = 2 λ . 13 ( 1

2l) ³

¿ 112λ l3= 1

12ml ²

2. Cincin TebalMisalnya :R1 menyatakan jari-jari dalam cincin R2 menyatakan jari-jari luarnya, f menyatakan rapat jenis dari massa cincin maka :

dm = ʃ dv = ʃ 2п r dr tt = Tebal Cincin

I = ∫R₁

R₂

r ²dm=2п ʃ t∫R₁

R₂

r ³dr

= ½ п ʃ t ( R₂4 – R₁4 )= ½ п ʃ t ( R₂2 – R₁2) ( R₂2 + R₁2)Karena m = п ʃ t ( R₂2 – R₁2) maka :I = ½ m ( R₂2 + R₁2)

BAB IIIPENUTUP

3.1 SimpulanBenda tegar (rigid/kaku) merupakan sistem benda yang

tersiri dari sistem-sistem benda titik yang tak hingga bnyaknya dan jika ada gaya yang bekerja padanya, jarak antara titik-titik anggota sistem selalu tetap.Gerak sistem benda titk terdiri atas 2 macam : a. Gerak pusat massab. Gerak relatif

gerak benda tegar terdiri dari :

8

a. Gerak pusat massa, yaitu bila lintasan semua tititk tersebut sejajar, disebut translasi. Hal ini mengingatkan kita pada gerak satu benda titik.

b. Rotasi terhadap pusat massa, yaitu bila lintasan semua titik dari benda tersebut berbentuk lingkaran yang sepusat pada sumbu putar yang melalui pusat massanya.

Integrasi adalah suatu proses penjumlahan atau penambahan seluruh bagian dan huruf S yang diperpanjang, dilambangkan dengan ʃ , kita gunakna untuk mengganti kata “integral dari”.

Penyeleseian umum dari integral yang terbentuk ʃ andx dimana a dan n adalah konstanta dan n ≠ -1, dinyatakan oleh :

∫ ann=ann+1

n+1

Momen inersia (Satuan SI : kg/m2) adalah ukuran kelembaman suatu benda untuk berotasi terhadap porosnya.

Momen inersia tergantung pada bentuk benda, artinya pada ukuran-ukrannya, juga massanya, tergantung pada letaknya sumbu putar (r). apabila bentuk benda tidak beraturan, maka digunakan besaran lain untuk jarak ke sumbu putar yaitu jari-jari girasi (radius girasi).

9

Momen inersia dapat didefinisikan sebagai berikut:

4. Untuk 1 benda titik : I = m r2

5. Untuk sistem benda titik : I = Σ mi r i2

6. Untuk benda tegar : I=∫r2dm

Contoh Penerapan Momen Inersia Dalam Benda TegarBatang

Batang dengan panjang l, dan massa m, berputar terhadap sumbu melalui pusat massa. Ambil dm dengan panjang dx. Yang terletak sejauh x dari sumbu. Bila λ adalah rapat massa per satuan panjang, maka :

m = λ l dm = λ dxI = ʃ r2 dm = ʃ x2 dm

∫12 l

12 l

λx ²dx=2∫0

12 l

λ x ²dx

2λ.1/3 x3 Ι 01/2l = 2 λ . 13 ( 1

2l) ³

¿ 112λ l3= 1

12ml ²

Cincin TebalMisalnya :R1 menyatakan jari-jari dalam cincin R2 menyatakan jari-jari luarnya, f menyatakan rapat jenis dari massa cincin maka :

dm = ʃ dv = ʃ 2п r dr tt = Tebal Cincin

I = ∫R₁

R₂

r ²dm=2п ʃ t∫R₁

R₂

r ³dr

= ½ п ʃ t ( R₂4 – R₁4 )= ½ п ʃ t ( R₂2 – R₁2) ( R₂2 + R₁2)

10

Karena m = п ʃ t ( R₂2 – R₁2) maka :

I = ½ m ( R₂2 + R₁2)

11

3.2 SaranMengingat pentingnya pelajaran matematika dalam

dunia otomotif penulis menyarankan kepada pembaca sebelum mempelajari momen inersia dan radius girasi sebaiknya mempelajari dahulu tentang integral. Untuk memehaminya lebih mendalam hand book yang harus dimiliki adalah kalkulus jilid 2 karangan Purcell dkk.

12

Daftar PustakaAnonim.2014.Mekanika Benda Tegar, (Online),

(elearning.gunadarma.ac.id/docmodul/fisika/Bab_9.pdf), diakses 01 februari 2015

Asmin2012.Momen Inersia, (Online),(http://asminphysics.blogspot.co.id/ ), diakses 02 februari 2015

Dwi Tma, Astarika.2015.Radius Girasi,(Online),(http://dokumen.tips/documents/radius-girasi.html), diakses 02 februari 2015

13