02 Bab 1 (Integral 1)

BABIntegral

1A.

A.

B.C.

E.

Pengertian Integral

Integral Tak Tentu

Integral Tertentu

Menentukan Luas Daerah

Menentukan Volume Benda Putar

Sumber: www.wallpaperbase.com

Pernahkah kalian melihat baling-baling pesawat? Bagaimanakah bentu knya? Ketika pesawat hendak mengudara, baling-baling pesawat akan berputar dengan kecepatan tinggi. Bagaimanakah bentuk baling-baling itu saat berputar? Saat baling-baling berputar, kalian akan mengamati sebuah bentuk seperti lingkaran. Dapatkah kalian mengetahui luas lingkaran yang terbentuk dari perputaran baling-baling itu? Dengan menggunakan integral, kalian akan dapat mengetahuinya.

1Bab 1 Integral

http://www.wallpaperbase.com/

Di Kelas XI, kalian telah mempelajari konsep turunan. Pemahaman tentang konsep turunan ini dapat kalian gunakan untuk memahami konsep integral. Untuk itu, coba tentukan turunan fungsi-fungsi berikut.· f1(x) = 3x3 + 3· f2(x) = 3x3 + 7· f3(x) = 3x3 - 1· f4(x) = 3x3 - 10· f5(x) = 3x3 - 99

Perhatikan bahwa fungsi-fungsi tersebut memiliki bentuk umum f(x)= 3x3 + c, dengan c suatu konstanta. Setiap fungsi ini memiliki turunan f '(x) = 9x2.Jadi, turunan fungsi f(x) = 3x3 + c adalah f '(x) = 9x2.

Sekarang, bagaimana jika kalian harus menentukan fungsi f(x) dari f'(x) yang diketahui? Menentukan fungsi f(x) dari f' (x), berarti menentukan antiturunan dari f'(x). Sehingga, integral merupakan antiturunan (antidiferensial) atau operasi invers terhadap diferensial.

Pengintegralan fungsi f(x) terhadap x dinotasikan sebagai berikut.

S f(x) dx = F(x) + c

dengan:S = notasi integral (yang diperkenalkan oleh Leibniz, seorang

matematikawan Jerman)f(x) = fungsi integranF(x) = fungsi integral umum yang bersifat F'(x) = f(x)c = konstanta pengintegralanSekarang, perhatikan turunan fungsi-fungsi berikut.

· g1(x) = x, didapat g1'(x) = 1.

Jadi, jika g1'(x) = 1 maka g1(x) = Sg1'(x) dx = x + c1.

1· g2(x) =x 2 , d i d a p a t g 2 ' ( x ) = x .

21

Jadi, jika g2'(x) = x maka g2(x) = S g2'(x) dx = x2 + c2.2

1· g3(x) = 3 x3, didapat g3'(x) = x2.

Jadi, jika g3'(x) = x2 maka g3(x) = S g3'(x) dx = 1 3 x3 + c3.

· g4(x) = 16x6, didapat g4'(x) = x5.

Jadi, jika g4'(x) = x5 maka g4(x) = S g4'(x) dx = 1 6 x6 + c4.

Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

A. Pengertian Integral

Jika F(x) adalah fungsi umum yang bersifat F'(x) = f(x), maka F(x) merupakan antiturunan atau integral dari f(x).

2

1

n +

Dari uraian ini, tampak bahwa jika g‘(x)__________________xn, maka g(x) xn + 1

dapat dituliskan +S1 +1 , 1x d x x c n

n + ~ n 1 Sebagai contoh, turunan fungsi f(x)

3x3 + c adalah f '(x) 9x2.n .Ini berarti, antiturunan dari f '(x) 9x2 adalah f(x) 3x3 + c atau dituliskan

Bab 1 Integral3

1 + c

atau

S f ‘(x) dx 3x2 + c.Uraian ini menggambarkan hubungan berikut.

Contoh1. Tentukanlah turunan dari setiap fungsi berikut!

a. f(x) 5x2 + 10 c. f(x) 1 2 x3 + 2x

b. f(x) 2x3 + 3x2 - 4x + 5 d. f(x) 1 4 x4 + 1 3 x3 + 1 2

x2 + 1

Jawab:

a. f ’(x) (2 . 5)x2 - 1 +0 10xb. f ’(x) (3 . 2)x3 1 + (2 . 3)x2

1 - (1 . 4)x1 1 + 06x2 + 6x - 4

c. f ’(x) § ·3

x2 + 2

§ ·

1 1d. f ’(x) 3 3 x3 - 1 + § ·

¨ .

2. Tentukanlah antiturunan x jika diketahui:

a. g1'(x) x3 c. g 3 ' (x) 3x 4 - 2x

b. g2'(x) 2x6 + 3 d. g 4 ' (x) x 2 + 4x

- 1Jawab:

1 3 1 1 4

a. g1(x) 31 x

+

b. g2(x) 2 6 1 3 01+ + 27 3x + +

______________________x +7 x + x + c

c. g3(x) 3 4 12 1 1 3 5 2 2 5 3 2x x c

konstant

1 1+

Jika f ‘ (x) xn, maka f(x) x n + c, n ~ -1 dengan c suatu

Pada bagian sebelumnya, kalian telah mengetahui bahwa integral merupakan antiturunan. Jadi, apabila terdapat fungsi F(x) yang dapatdidiferensialkan pada interval >a, b@ sedemikian hingga d(F(x))

dx f(x),maka antiturunan dari f(x) adalah F(x) + c. Secara matematis, ditulis

f f(x)dx F(x) + c

di mana f d x Lambang integral yang menyatakan operasi antiturunan

f (x ) Fungsi integran, yaitu fungsi yang dicari antiturunannya

c KonstantaSebagai contoh, dapat kalian tuliskan

x 2 x d x +c

karenaf· c x¸¹

Sehingga kalian dapat memandang integral tak tentu sebagai wakil keseluruhan keluarga fungsi (satu antiturunan untuk setiap nilai konstanta c). Pengertian tersebut dapat digunakan untuk membuktikan teorema- teorema berikut yang akan membantu dalam pengerjaan hitung integral.

Bab 1 Integral5

B. Integral Tak Tentu

1-d. g4(x) 2 1 1 1

1 4 2 xx++

13 42 1 1+

x x - x + c3 2 2

13 2 1+ x x - x + c 23 2

+ c

3

3

3d x§ ¨

3dx

2

Teorema 1

1 1Jika n bilangan rasional dan n z 1, maka nf x dx +n

x+ c di mana c adalah

Teorema 2

Jika f fungsi yang terintegralkan dan k suatu konstanta, makafk f ( x ) d x k f f ( x ) d x

Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam4

Teorema 3

Jika f dan g fungsi-fungsi yang terintegralkan, maka

f ( f (x )+g (x) )dx = f f (x )dx+fg (x )dx

Teorema 4

Jika f dan g fungsi-fungsi yang terintegralkan, maka

f (f (x )-g (x ) )d x =-ff (x )dx fg (x )dx

Teorema 5

Aturan integral substitusiJika u suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan r suatu

bilanganr +rasional tak nol, maka f '=_______+ 1 1

(())() ( ( ) )

Teorema 6

Aturan integral parsialJika u dan v fungsi-fungsi yang dapat didiferensialkan, maka

f udv=-uvfvdu

Teorema 7

1 dx x c· 2

f cosx

Aturan integral trigonometri· f c o s x d x = + s i n x c

· f s i n x d x = - c o s x + c

di mana c adalah

5Bab 1 Integral

Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu

Alam

Pembuktian Teorema 1

Pembuktian Teorema 3 dan 4

Untuk membuktikan Teorema 4, kalian dapat

mendiferensialkan ff(x) dx ± f g(x) dx yang terdapat pada

ruas kanan seperti berikut.d ª ± º ±d f x d x g x d x f x g x

¬ f () f() 1 / 4 ( ) ( )

ª ± º ±dxSehingga didapat:f(f(x)± g(x)) dx ± ff(x) dxfg(x) d

Untuk membuktikan Teorema 1, kalian dapat mendiferensialkan xn + 1 + c yang terdapat pada ruas kanan

1 1d+ ( )

˜ ª + º__________ª º

n+1I +

» c

Sehingga 1 1n n +f x d x x c

d x d x n x n

(n + dx

. . . kalikan kedua ruas dengan 1

d ( )x n c+ +

ContohHitunglah integral dari f2 - +

(3x 3x 7 ) dx!

Jawab:f(3x- 3x+ 7) dx -3fx dx3f x dx+f7 dx

J a d i , ( 3 3 7 ) 7 .f2-+ - + +x x d x x x x c33 2

3 3 2 7-x x + x +

3 2 3___17x x x c (Teorema 1)+1 +1

(Teorema 2, 3, dan 4)

6

B. 1. Aturan Integral Substitusi

Aturan integral substitusi seperti yang tertulis di Teorema 5. Aturan ini digunakan untuk memecahkan masalah pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan dengan rumus-rumus dasar yang sudah dipelajari. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini.


Di kelas XI, kalian telah mengetahui turunan hasil kali dua

fungsi f(x) = u(x) . v(x) adalah [()()]()()()()dx=. ' + . ' .d u x v x u x v x v x u x

Akan dibuktikan aturan integral parsial dengan rumus tersebut. Caranya adalah dengan mengintegralkan kedua ruas persamaan seperti berikut.

fª¬().()º¼= .f()'()+f().'()

u ( x ) .v ( x ) =

.f u ( x ) v '( x ) d x +f v ( x ) .u '( x ) d x

f u ( x ) .v '( x ) d x =

.u ( x ) v ( x ) _f v ( x ) .u '( x ) d x

Karena

u dv = _ uv fv duf

ContohHitunglah integral dari:a. fx 9_ x d x b . f s i n x d x

c. ( )

f x

Jawab:a. Misalkan u = 9 _ x2, maka du = _2x dx

x d2

1 1fffx x d x x x d x u §92 9 2 2 2 _ = _ ( ) d u = ¨ © _ 2

31 2_ f12 1 2 u u d u = _ x +2 2 3

c

_ x u x + c = _1 2 321

2 3

u

_ x _ x3

+

Jadi, ( )f x _ x d x = _ _ x _ x +c 9 9 92 122 .

3

Bab 1 Integral7

2j. sin-+

2cosu-+2cos x

c. Misalkan u = 1 - 2x2, maka du = - 4x dxdx du

-4 x

sehingga integral tersebut dapat ditulis sebagai

berikut.x d x

x d u

=. j.4 (-4)u x ( T e o r e m a 5 )

1- j.

4§ '\§ '\- 3 11¨- l¨- l +u c© ¹© )

4 31 u 3 + c 12

Substitusi u = 1 - 2x2 ke persamaan 12u3 + cxd x 1

( ) 4 = 1 2 u - 3 + c 2 1 2 -x 1j .

= 12 (1 - 2x2 ) -3 + cJadi, ________2 4j.- x = 1

xd x c = _____________________________2 31 .12 (1 - 2x2 )-3 + 1 2 ( 1 2)cx +

(1 2 ) -


dx = 2 x du, sehinggaj . s i n x = s i n u

dxj. . 2 x

x x

du

u duc

c

j . ( / 4 -x 2 1 2

u d u4

1 2 11

2 2

d

u

dxx

x

b. Misalkan u 2x x=1

Di Kelas XI, kalian telah mempelajari turunan fungsi

trigonometri, yaitu d dx (sin x) = cos x, d dx(cos x) = -sin x,

dan d dx(tan x) = sec2x. Berikut ini akan dibuktikan

aturan integral trigonometrimenggunakan rumus tersebut. Caranya adalah dengan mengintegralkan kedua ruas seperti berikut.

· Dari d dx (sin x) = cos x diperoleh j.cosx dx = sin x + c

· Dari d dx (cos x) = -sin x diperoleh j.sinx dx = -cos x + c

· Dari d dx (tan x) = sec2x diperoleh 2j.secx = tan x + c


8

B. 2. Integral dengan Bentuk ,a - x a + x , d a n 2 2

2 2 2 2 x - aPengintegralan bentuk-bentuk 2 2 2 2a-x, a+x, dan 2 2x - a d a p a t

dilakukan dengan menggunakan subtisusi dengan x = a sin t, x = a tan t ,x = a sec t. Sehingga diperoleh bentuk-bentuk seperti ini.

(i) (ii) (iii)

Bab 1 Integral11

x a2

t

x

a

a

ta x

2

xx a

2

ta

x

Ingat

f

f

f sec1a

x 2 2a- x= a- asint = - a1 sint2 2 2 2

x 2 2 2 2 2 2 2a+ x= a+ atant = + a1 tant( )

x 2 2x- a= asect - a= - asect 12 2 2 2 2

( )= 2 2

a2 2cost = a cost

a s e c t = a s e c t

c o s ( )a x b d x

+= + +1 a s i n ( )a x b d x

+= - + +

1 c o s ( )a x b ca2 ( )a x b d x

+t a n ( )

Contoh1. Hitunglah setiap integral berikut!

a. f sin(3x+1)cos(3x+1)

a.9-x

x d x2

2

Jawab:a. Untuk mengerjakan integral ini, terlebih dahulu kalian

harus mengubah sin (3x + 1) cos (3x + 1) ke dalam rumus trigonometri sudut rangkap, yaitu

Gambar 1.1Segitiga siku-siku untuk integral substitusi

(i) - =

sin a cos a = 1 2 sin 2a.

Dengan rumus ini, kalian mendapatkan:

c

Bab 1 Integral13

f fs i n ( 3 1 ) c o s ( 3 1 )

1 s i n ( 6 dx

s i n ( 6 2 )x dx+1 1 c o s ( 6 2 )

§ 'x + ¨ I +2 6

1 - )1

1f

2

Bab 1 Integral15

- + +c o s ( 6 2 )x12

c

J a d i , f ( + )s i n 3 1 c o s 3 1 c o s 6 2x x dx x c

(+ ) = - 1 ( + ) +12

b. Misalkan, x = 3 sin t, maka sin t = x dan dx = 3 cos t

dt.3

Sekarang, perhatikan segitiga berikut ini!Dari segitiga di samping,

Bab 1 Integral17

cos t

9- x 2

3

9 -x= 3 cos t2

3x

t

2 (3sin) 2 f =xd x t

2 ft9 - x 3 c o s

9 - x 2

˜ 3cost dt

Bab 1 Integral19

9 2

f sint

9 1 ( 1 c o s 2) f 2 - t

Ingat, rumus kosinus sudut rangkap cos 2t = 1 - 2 sin2 t

dt· aIntegral bentuk:

Ingat

d x = 9 ( 1 c o s 2 )2 f - t d t

-x

9 1§ '¨ - I+t t csin22 21 )

9 9t- t+csin22 49 9t- tt+csincos2 2

- -'29 19 9x xx

s i n - ˜ +2 3 2 3 3¨ I1 ¹

x 2

f 2 9

c

Bab 1 Integral21

s i n 1 9- -

9 - +x c

x x x2 1 2d x x c 9 s i n 9 - = - - +

2 2 32fJadi

,-9 x


· - a xdiubah2 2

menjadi x = a sin t· +

a x diubah2 2

menjadi x = a tan t· -x a diubah2 2menjadi x = a sec t

10

f (2x-3) dx

3- .

Asah Kompetensi 11. Hitunglah setiap integral berikut!

3 c. 1 43

a . f2 x d xf 4 x + x +d x ( 2 3 )

d. 32 1a. 2f(4x+3x+5)dx fx+x+x+dx( 5 1 0 3 )

4

2. Jika g’(x) = 4x - 5 dan g(3) = 6, tentukanlah g(x).dy = x dx

2. Jika g’(x) = 2x - 3 dan g(2) = 1, tentukanlah g(x). Jawab:g(x) = fg'(x) dx

= x2 - 3x +

Karena g(2) = 1, maka c dapat ditentukan sebagai berikut. g(x)= x2 - 3x + cg(2)= 22 - 3 2 + c

1= 4 - 6 + c1 = -2 + cc= 1 + 2c= 3

Jadi, g(x) = x2 - 3x + 33. Tentukan persamaan kurva yang melalui titik (-2,

12) dan memiliki persamaan gradien garis singgung = -

6 1 5dy x .

dx

Jawab:

dy = 6x - 15dx

y = f(6x - 15) dx = 3x2 - 15x

+ c f(x) = 3x2 - 15x + c

Karena kurva melalui titik (-2, 12), maka: f(-2) = 3(-2)2 - 15(-2) + c

12=3 4+ 30 + c12=12+ 30 + c12= 42 + c

c = 12 - 42

Jadi, persamaan kurva tersebut adalah f(x) = 3x2 - 15x - 30.

1Bab 1 Integral

Waktu : 90 menit

18 4 2

c. f (18x - 25x + 3x )d x k . (6 5+ -fl. 2_______________

4x3x8dx

f ( x + 2 ) x + 4 x + 1 d xx 5

4 3e. 5 4f - m. f x 4x + 1 d x( ) d x x x

1 ASAH KEMAMPUAN

i2

f x 3 d xa.( x 4 ) d x

3

Bobot soal: 301. Tentukanlah integral berikut!

f

b. 4

f(5x+2r)dx j.

-1 1§ ·1d x2¨ + ix x

© )

2

f

f___1

dx

c.

f. 3

f(x + x ) d x n . f x 2 1 - x d x

f . f 3x +2 d x o . f ( 2 - x + 4 ) d x

h. 2 3 9

f x ( x + 5 ) d x2. Tentukanlah setiap integral berikut!

Bobot soal: 30

a. f(sinx+cosx)dx

a . 2f (x -2s inx )dxb. fs inxcosxdx

2

c. f (3 sin x -4 cos x)

dx e. f sin5xsin4x

dx

x x d xcos8 ·+_______________________ ix x4 s i n 8 )

g. f (8sin9xcos3x-6sin9xsin3x) dxg . 5 2 2

f (sinx)(xcosx) dxg . 2 3 3 2

4 2 4

f ( x + 1 ) x . s i n ( x + 1 ) c o s ( x + 1 ) d x

h. f (2x+ 1) sin 3x dx

f.

sin cos6

§

f ¨ ©

3. Tentukanlah fungsi g(t), jika diketahui:

a. g‘ (t) = 7 dan g(0) = 0

b. g‘(t) = 3t2 + 8t - 1 dan g(2) = 5

c. g‘(t) = 6t2 + 4t + 1 dan g(1) = 51

d. g‘(t) = t - 2

dan g(2) = 4 1t 2

e. g‘(t) = 1t - dan g(4) = 3

t

Bobot soal: 20

1

3

f. g‘(t) = 1 dan g(3) = 18t +1

g. g ‘ ( t ) = 2 t - 1 d a n g ( 1 2 ) = -

1 h. g‘(t) = 3 t dan g(4)

= 19 UMPTN 1994


C. 1. Memahami Luas Sebagai Limit Suatu JumlahSebelumnya kalian telah mempelajari grafik fungsi kuadrat.

Daerah grafik fungsi kuadrat berupa garis lengkung. Berapakah luas daerah yang batas-batasnya berupa garis lengkung ini? Untuk mengetahui, lakukanlah aktivitas berikut.

Aktivitas di K elas

C. Integral Tertentu

4. Tentukanlah persamaan kurva yang melalui titik (2, 8) dan memiliki

§ ·1

5. Tentukanlah persamaan kurva yang melalui titik (1, 2) dan gradien garis singgung pada sebarang titiknya adalah

Bobot soal: 10

Bobot soal: 10

y

9 f(x) 9 - x2

A

x0x1 x 3 3O x

Gambar 1.2Daerah yang d ibag i

menjadi n selang bagian

13

1. Gambarlah grafik fungsi kuadrat, misalnya f(x) 9 - x2 pada interval [0, 3].3

2. Bagi selang menjadi n selang bagian yang lebarnya masing-masing Ax

ntitik x0 0 < x1 < x2 < ... < x n1 < xn 3.3. Jumlahkan luas setiap persegi panjang tersebut!4. Dengan memilih Ax sekecil-kecilnya hingga mendekati nol, hitunglah limit

jumlah dari hasil pada langkah 4. Hasil yang kalian dapatkan menunjukkan luas daerah yang dibatasi kurva f(x) 9 - x2, sumbu-x, garis x 0, dan x 3.

5. Buatlah kesimpulannya dan diskusikan kesimpulan tersebut dengan teman-temanmu!

, memakai titik-

Dari Aktivitas ini, kalian memperoleh daerah yang akan ditentukan luasnya.

Setelah membagi interval [0, 3] menjadi n selang bagian yang

lebarnya masing-masing Ax 3

n

x 0 0

x 1 A x 3

n

x 2 2 A x 6

n

x 3 3 A x 9

n

x i iAxn

Bab 1 Integral

, kalian memperoleh:

3i

Luas setiap persegi panjang pada gambar tersebut adalah:§ · § § · · § ·3 3 3 3 2 7 2 7

2i i 2

Au¨ ¸ ¨ ¨ ¸ ¸ u ~ ¨¸fxxf( i) 9i

© ¹ © © ¹ ¹ © ¹n n nnnn3

Luas seluruh persegi panjang adalah sebagai

berikut. L f(x1)Ax + f(x2)Ax + . . . + f(xn)Ax. (*)

§ · § · § ·2 7 2 7 2 7 2 7 2 7 2 72 2 2 ¨ - ¸ + ¨ ~ ¸ + + ¨~ ¸1 2 n...n n n n n n3 3 3

© ¹ © ¹ © ¹

27 n . 27 -

n n3

( ) 1 2 . . .

2 2 2

2 7 1 2 1 ( ) ( ) ª + + º § · § ·n n n 9 3 1 9 3 12 7 ~ 3 « ¬1 / 4 » ~̈ © + + ¹ ¸ ¨©+¹¸2 7 21 82 2

n 6 2 n n n n2

Dengan memilih Ax o 0 maka n o f, sehingga akan diperoleh luas daerah yang dibatasi kurva f(x) 9 - x2, sumbu-x, garis x 0, dan x 3 sebagai berikut.

§ § ··9 3 1L(R) l i m ¨ - ¨ +¸¸1 8 1 8

no f © © ¹¹2 n n 2

Sekarang, perhatikan kembali persamaan

berikut. L(Rn) f(xjAx + f(x2)Ax + ... +

f(xn)Ax

Dengan menggunakan notasi sigma, kalian dapat menuliskan persamaan tersebut sebagai berikut.

nLRfxx() ( )n iA ¦ i 1

Jika Ax o 0, maka akan diperolehnLRfxx()l i m ( )

A ¦n i

Aox i

0 1

Dengan mengambil batas daerah x1 a dan x2 b, maka bentuk di

atas

merupakan suatu bentuk integral tertentu yang dituliskan sebagaib

L f()f x d x

a3 3

Sehingga diperoleh º

1f 1 / 4 »

( 9 ) 9 2 7 9 1 82 3

~ ~ -x d x x x .0 0 3

b

Jika fungsi f terdefinisi pada interval [a, b], maka f ()fxdx adalah integrala

tertentu terhadap fungsi f dari a ke b. Pengintegralannya dituliskan sebagai berikut.

b

f()- > ( ) @ ( ) ( )b

f x d x f x F b F aa

a

dengan:f(x) fungsi integrana batas bawahb batas atasMatematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

14

b

Sehingga kalian harus dapat membedakan bahwa integral tertentu f ()

f x d xa

adalah bilangan, sedangkan integral tak tentu yang dibahas sebelumnya adalah fungsi.

Asah Kompetensi 2

1 f 5xdx0 0

Gambar 1.3

Siapakah orang yang pertama kali menemukan integral tertentu? Dia adalah George Friedrich Bernhard Riemann, seorang Matematikawan asal Jerman yang lahir pada tahun 1826. Riemann menjelaskan integral tertentu dengan menggunakan luas daerah yang dihitungnya menggunakan poligon dalam dan poligon luar. Untuk mengenang jasanya, integral tertentu tersebut dinamakan integral Riemann. Riemann meninggal pada tahun 1866.

Sahabat Kita

Sumber: Calculus and Geometry Analitic

- and.ac.uk

Gambarlah daerah dari integral tertentu berikut. Kemudian, hitunglah integral tersebut! S

1

3

3. fx d x 6.2

0

S

fcosx dx 2 0

2

4 . f sin x

1

2. f -5.(x 1 ) d x-2

3

f x dx-3

http://and.ac.uk/

C. 2. Teorema Dasar KalkulusBerdasarkan definisi integral tertentu, maka dapat diturunkan

suatu teorema yang disebut dengan Teorema Dasar Kalkulus.

Dalam pengerjaan hitung integral tertentu ini akan lebih mudah jika kalian menggunakan teorema-teorema berikut.

15Bab 1 Integral

Jika f kontinu pada interval >a, b@ dan andaikan F

sembarangantiturunan dari f pada interval tersebut, maka f ()f x d x F ( b ) - F ( a ) .

b

a

Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu

Alam

Teorema 1

bb

dx

aa

bb b

dx

a a a

b b b

dx

a a a

KelinearanJika f dan g terintegralkan pada interval [a, b] dan k suatu konstanta, maka

b . (()( ) )f f x + g x

b . ( ( )( ) )f f x - g x

a. ( )f k f x d x = k ( )

d x = ()f f x

d x = ( )f f x

d x - ()fgx

d x + ()fgx

Teorema 2

ba a

dxba a

Teorema 3

b cc

a ba

Teorema 4

Kesimetrian a a

2 ( )ffx

dx

dx0a-

a

- a

Teorema penambahan intervalJika f terintegralkan pada suatu interval yang memuat tiga titik a, b, dan c, maka

Perubahan batasJika f terintegralkan pada interval [a, b]

maka:

a. Jika f fungsi genap, maka ()f fx

a . Jika f fungsi ganjil, maka ( )f = 0f x d x

a. ()f f x

f f x d x = () ( )( ) f f x d x + f

d x = 0 b. ()f f x

d x = - f ( )f x

16

Akan dibuktikan teorema 1a dan 1c, teorema 2b, dan teorema 3.

b

f ()k f xa

b

k ( ) ff x da

b b

da a

Pembuktian Teorema 1a

1a. Jika F(x) sembarang antiturunan dari f(x), maka

Jadi, () ()fk f x d x = k f f x

d x = [ ( ) ] b

k F x a

= kF(b) -

kF(a) =

k(F(b) - F(a))

b

a

b b

a a

a a a

Pembuktian Teorema 2b 1

Pembuktian Teorema 1b dan 1c

1b. Jika F(x) dan G(x) masing-masing sembarang antiturunan dari f(x) dan g(x), maka

Jadi, (() ()) () ()ff x - g x d x = - f fxdx f

f ( ( ) ± ( ) )f x g x

b b b

d x = [ ( ) ± ( ) ] b

F x G x a

= (F(b) ± G(b)) - (F(a) ±

G(a))

= (F(b) ± F(a)) - (G(b) ± f() ±f ()

f x d x g x d x

2b. Jika F(x) sembarang antiturunan dari f(x), maka

b f ( ) = ª ¬ ( ) ¼ ºf x d x F x

a

F(b) - F(a)-(F(a) -

F(b))a

- ( )

ff x d xb a

Jadi, f () = - f ( )f x d x f x d x .a b

b

a

17Bab 1 Integral

f x d x F x( ) [ ( ) ]

f

Pembuktian Teorema 3 1

Jika F(x) sembarang antiturunan dari f(x),

makac

aF(c) - F(a)(F(c) - F(b)) + (F(b) -

F(a))c b

f f x d x+

f fx d x () ( )

b a

c c b b c

Jadi, () () () () ()ff x d x + ff x d x ff x d xa b a a b

c a

Contoh

01. Hitunglah

Jawab:

S

6

f ( s i n 3 x c o s x) d x . +

S S S6 6 6

f+ +f f( )sin3x cosx d x sin3x d x cosx dx

(Teorema

1b)m 0 0

S

ª º1 6i »- +cos3x¬ 1/43 0

S> @sin x6

0

1 §

S · § S ·- ¨ - ¸ + ¨ -¸c o s c o s 0 s i n s i n 0 1 1- ˜ - + ~ ~13 2

56

5Jadi

,.6

0

S

6

f ( s i n 3 c o s ) x + x d x

2. Tentukan

1

f .x d x

2-1

Jawab:Oleh karena untuk f(x) x2, berlaku f(-x) f(x), maka f(x) x2 merupakan fungsi genap.Dengan menggunakan Teorema 4, akan diperoleh:1 1

f x d x 2 x d x2 2

f-1 0

2 ª º1 3

i »¬ 1/4x3

1

0


2 3 (13 - 03)

23

2f = .x d x2

4

3. Tentukanlah f f(x) dx jika fungsi f didefinisikan sebagai0

2 , j i k a 0 2~ <

x1 , j i k a 2x~

1

Jadi

, -1

f(x) 1¯ x+

2 4

f (x + 2) dx + f 1 dx0 2

[1 1 2( 2 2 2 ) ( 0 2 0 ) 4 22 º. + . - . - . + -[ ]

« » ¬22 j

2 + 4 +

2 84

Jadi, ff(x)dx = 8.0

2 4

f f (x ) d x + f f (x ) d x (Teorema

3)

1 2

x x2 -

2

2

0

+x4

2

Jawab

:f f(x)

dx0

Asah Kompetensi 3

0 0

- r

1. Tentukanlah integral tertentu berikut ini!5 1 2 7

a. f2 x d x e. - +x xf -

6

2 6

f00

d . f -(2x

3c o s ( 3) x dx+ r41)dx

3 h .

r

5( 4 x3 c o s x) dx f . f ( - )+ + 3 x 5 x2

2 r10

c ( c o s x s i n x ) d x -

2

fb

r

19Bab 1 Integral

200Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

f(x)

dx

2. Dari fungsi f(x) berikut,

hitunglah f

-1 -1

S

2. J ika ff ( x ) d x 4 d a n0 0

2ASAH KEMAMPUAN

Waktu : 60 menit1. Tentukanlah integral tertentu

berikut!e.

0

f-2

a . ()

3x x 1 d x2 3 +

8 1 44b. f( x + x ) d x 33f. f(sin 3

1

4

f ( 2 x +1) x+xdx2 g .0

c.

2

S

3 1 4

d t tan4

2

f t +h . f

1 1

f g(x) dx -2 , hitunglah integral-integral

Bobot soal: 10

berikut!

e.

f (f(x) - g(x)) dx

1

f0

(2g(x) - 3f(x))

dx

1

f (3f(x) + 2g(x) + 2) dx

c.

1

f3 f ( x ) d x d.01

0

(2 f(x) - 3x) dx

a.

b.0

f1

2 x cos2x)

dx0

d.

x dx1 0

S

fS-

1 c o s x d x -

Bobot soal: 80

5

a.

( ) 2 , j i k a 0 f x x x

0x xI + ~

<

2b . ( )f x ® ̄

2

I - -~ <4 , j i k a 3

2xx 4

~ ~x 0

c. f x( )

xI - 9 , j i k a 0 3® ¯ - t 5 , j i k a 3

D. 1. Menentukan Luas Daerah di Atas Sumbu-xPada subbab c kalian telah mengetahui bahwa luas merupakan

limit suatu jumlah, yang kemudian dapat dinyatakan sebagai integral tertentu. Pada subbab ini, akan dikembangkan pemahaman untuk menentukan luas daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva.

Misalkan R daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu-x, garis x = a, dan garis x = b, dengan f(x) ~ 0 pada [a, b], maka luas daerah R adalah sebagai berikut.

y

y = f(x)

L(R) R

a b

Gambar 1.4Luas daerah di atas sumbu-x

f(x) dx

g(x) dx

f—1

1

f

a.

b.

c.

—1

1

f

3. Diketahui f merupakan fungsi ganjil dan g merupakan fungsi genap 1 1

dengan f = f =f(x) dx g(x) dx 3. Tentukanlah integral-integral 0 0

1

—1

f(x) dx

Bobot soal: 10

D. Menentukan Luas Daerah

21Bab 1 Integral

bL(R) = ()

f f xa

dx

O x

D. 2. Menentukan Luas Daerah di Bawah Sumbu-xMisalnya S daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu-

x, garis x = a, dan garis x = b, dengan f(x) ~ 0 pada [a, b], seperti yang telah dibahas di subbab D.1, maka luas daerah S adalah

Gambar 1.5Luas daerah di bawah sumbu x

Contoh

Jawab:Daerah tersebut adalah daerah R. Luas daerah R adalah:

Jadi, luas daerah R adalah 2

Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) = 4 - x2, sumbu-x, garis x = 0, dan x = 1.

L(R)1ª -11 3« Ix x 4 -L ]

3 0

. - . -

1 3( 4 1 1 0 )

3

3

f1

0

( 4 - x ) dx2

2

3

satuan

f(x) = 4 - x2

-2 -1 O 1 2

4

y

R

x =

x

x

b

L ( S ) = -( )

a

dx

a b

O

S

y = f(x)


D. 3. Menentukan Luas Daerah yang Terletak Dibatasi Kurva y f(x) dan sumbu-x

Misalkan T daerah yang dibatasi oleh kurva y f(x), sumbu-x, garis x a, dan garis x c, dengan f(x) t 0 pada [a, b] dan f(x) d 0 pada [b, c], maka luas daerah T adalah

Rumus ini didapat dengan membagi daerah T menjadi T1 dan T2

masingmasing pada interval [a, b] dan [b, c]. Kalian dapat menentukan luas T1 sebagai luas darah yang terletak di atas sumbu-x dan luas T2 sebagai luas daerah yang terletak di bawah

Contoh

Jawab:

1Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh garis y x — 2,

4sumbu-x, garis x 4, dan sumbu-y.

Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 6 satuan.

Daerah tersebut adalah daerah S. Luas Daerah S adalah

4

L(S) § ·— ¨ — ¸ ³ © ¹ 4 x d x1 20

—3 —2 —1

ª º1 2x x2

«( 2 — — 8 )

6

—1

—2

—3

y

1

O1 2 3 4 5 6 7 8

S

x =

y1 4 x —

2x

23Bab 1 Integral

L(T) ()³ f x

b

a

dx— ( )³ f x

c

b

d

y

y f (x)

O b c

T1

x

T2

Gambar 1.6Luas daerah yang dibatasi kurva y = f(x) dan sumbu-x

a

sumbu-x.

D. 4. Menentukan Luas Daerah yang Terletak di Antara Dua Kurva

Luas daerah U pada gambar di bawah adalahL(U) = Luas ABEF - Luas ABCD

ABEF adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y1 = f(x), x = a, x = b, dan y = 0 sehingga

a

Adapun ABCD adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y2 = g(x), x = a, x = b, dan y = 0 sehingga

b

Luas ABEF = f ()g x d x

a

Dengan demikian, luas daerah U adalah

Contoh

Jawab:Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x) = -sin x, 0 ~ x ~ 2iv, dan sumbu-x adalah:L = L(A1) + L(A2)

Jadi, luas daerah tersebut adalah 4 satuan luas.

iv iv= ( [ 1 ) [ 12

c o s x c o s xiv- 0

= (cos 2iv - cos iv) - (cos iv - cos 0) = (1 - (-1)) - (-1 - 1)= 2 + 2

2iv iv

fiv

- - f -s i n x d x s i n x d x0

–

2

1

2

1 2

1

O 1

y

A2

y = f(x)

A1

x3i v 2 i v

2


FE

y1 = f(x)

y2 =

Aa b

Gambar 1.7Luas daerah yang terletak di antara dua kurva

U

CD

B

b

Luas ABEF = f ()f x d x

b b b

L(U) = f () -f () = - f ( ( ) ( ) )f x d x g x d x f x g x d x

a a a

3 ASAH KEMAMPUAN

Waktu : 60

1. Gambarlah daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva berikut. Kemudian, tentukan luas daerah tersebut!a. f(x) 3x2 - x3 dan sumbu-x.a. g(x) 1 + x3, sumbu-x, dan garis x 2b. h(x) x2 - 3x, sumbu-x, x 0, dan sumbu simetri parabolac. i(x) x, g (x) 2x , dan x 5d. j(x) x2 - 3x - 4 dan sumbu garis y -4

Se. k(x) sin x dan g(x) cos x, untuk 0~ x~ 2

Bab 1 Integral

Bobot soal: 60

25

y

1

O

y 1

2 x

3

SL(U)0

3

S (3 - x ) dx

03

ContohTentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) 4 - x2, garis x 0, dan di atas garis y 1.Jawab:

Luas daerah yang dimaksud adalah luas daerah U.Tentukanlah batas-batas pengintegralan, yaitu absis titik potong antara kurva y f(x) 4 - x2 dan garis y 1 di kuadran I.Substitusi y 1 ke persamaan y 4 - x 2 sehingga didapat:4 - x 2 1

x2 3

Jadi, luas daerah U adalah 2 3 satuan luas.

x1 - 3 atau x2 3Oleh karena daerah U ada di kuadran I, maka batas-batas pengintegralannya adalah x 0 sampai x 3.Dengan demikian, luas daerah U adalah sebagai berikut.

ª º

1x x 3 3 -« »L 1/4

3 3 3 3 3 3 3˜ - ˜ () - ˜1 3 1

3 33 ˜ 3 - 3 23

(4- x - 1) dx

f(x ) 4 - x 2

4U

E. 1. Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi Sumbu-x

Secara umum, volume dinyatakan sebagai luas alas dikali tinggi. Secara matematis, ditulis

Kemudian, perhatikan sebuah benda yang bersifat bahwa penampangpenampang tegak lurusnya pada suatu garis tertentu memiliki luas tertentu. Misalnya, garis tersebut adalah sumbu-x dan andaikan luas penampang di x adalah A(x) dengan a ~ x ~ b. Bagi selang [a, b] dengan titik-titik bagia = x0 < x1 < x2 ... < xn = b.

Melalui titik-titik ini, luas bidang tegak lurus pada sumbu-x, sehingga diperoleh pemotongan benda menjadi lempengan yang tipis-tipis. Volume suatu lempengan ini dapat dianggap sebagai volume tabung, yaitu

A V i | A(x)Ax i dengan x i -1 ~ x i ~ x i .n

Dengan jumlah yang kalian dapatkanVAxx|¦A, kemudian akan ( )i i

bmenjadi ()

V = f A x d x .

t 1

a

A(x) adalah luas alas benda putar, oleh karena alas benda putar ini berupa lingkaran, maka A(x) = irr2 jari-jari yang dimaksud merupakan sebuah fungsi dalam xi misalnya f(x).

2. Suatu daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) = x2 - 2x - 8 dan sumbu-x dibagi menjadi dua bagian oleh sumbu-y. Tentukan perbandingan luas bagian masing-masing!

3. Tentukan luas persegi panjang terbesar yang dapat dibuat dalam daerah yang dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 4.

Olimpiade Matematika SMU, 2000

Titik (a, b) dan (-a, b) dengan a dan b bilangan real positif merupakan dua titik pada parabola f(x) = 1 - x2. Jika kedua titik tersebut dengan titik (1, 0) dan (-1, 0) membentuk trapesium, tentukanlah luas terbesar trapesium tersebut!

E. Menentukan Volume Benda Putar

Sumber : Olimpiade Matematika SMU, 2000

Bobot soal: 20

Bobot soal: 20


V = A . h

Dengan demikian volume benda putarb

dapat dinyatakan sebagai = f ir()2

V f x d x .( )

a

Misalkan R daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi f(x), sumbu-x, garis x a, garis x b, dengan a < b, maka volume benda putar yang diperoleh dengan memutar daerah R mengelilingi

sumbu-x adalah

E. 2. Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi Sumbu-y

Misalkan S daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi x f(y), sumbu-y, garis x a, garis x b, dengan a < b, maka volume benda putar yang diperoleh dengan memutar daerah S mengelilingi sumbu-y adalah V.

Bab 1 Integral51

y f(x)

RbO

y

a x

Gambar 1.8 Volume benda putar yang mengelilingi

ContohTentukanlah volume benda putar, jika daerah yang d ibatas i o leh gra f ik f(x) 4 - x2, sumbu-x, dan sumbu-y diputar 360° terhadap:a. sumbu-xb. sumbu-y

Jawab:a. Volumenya

adalah:

15 S

Jadi, volume benda putar yang terjadi jika daerah R

diputar mengelilingi sumbu-x adalah 256 S satuan

volume.15

b. Untuk menentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah R diputar mengelilingi sumbu-y, kalian harus nyatakan persamaan kurva y f(x) 4 - x2 menjadi persamaan x2 dalam variabel y.y 4 - x 2 Ÿ x 2 4 - y

V2

S³ (4- x)dx2 2 S³ ( 1 6 - 8 x+ x

2 40

2

Sª x x x º

8 1- +3 5

S § § ·¨ .-.+ . -

8 3 15 ·¨ I1 6 2 2 2 0 I © ¹ © 3 5 ¹

S § ·6 4 32¨ -+ I3 2 3 5

0

b

V S ³ 2

( ( ))

) dx

2

0

-2 -1O 21

y

R

f(x) = 4 - x2

x

Gambar 1.9 Volume benda putar yang mengelilingi

y

b

a

O

y f(x)

x

b

V ³ S f x d x( ( ) ) 2

a

4

V S ³ ( 4 - y ) d y0

4Sª º1« »4 2y y 2

-

L 1/4 0

S § § · ·1 2¨ ¨ ˜ - ˜ ¸ - ¸4 4 4 0© © ¹ ¹2

S(16 - 8) 8S

Jadi, volume benda putar yang terjadi jika daerah R

diputar mengelilingi sumbu-y adalah 8S satuan volume.

E. 3. Menentukan Volume Benda Putar yang Dibatasi Kurva f(x) dan g(x) jika Diputar Mengelilingi Sumbu-x

Daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) dan g(x) dengan f(x) t g(x)pada interval [a, b] diputar mengelilingi sumbu-x seperti yang telah dijelaskan di subbab E.1, maka volume benda putar yang

diperoleh adalah sebagai berikut.Gambar 1.10

Volume benda putar yang dibatasi kurva f(x)

dan g(x) jika diputar mengelilingi sumbu-x

520Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

b

V ( T ) S ³ ( ) 2 - ( ) 2

f x g x d x a

y

y f(x)

y g(x)

T

O a bx

ContohTentukanlah volume benda putar, jika daerah yang dibatasi oleh grafik f(x) x - 2, sumbu-y, garis x 2, dan y -1 diputar 360° mengelilingi sumbu-x

Jawab:Karena daerah yang dimaksud ada di bawah sumbu-x, maka volume nya adalah

2

V - S ³ - - -( ( 1 ) ( x

2 ) ) ) d x2

E.4. Menentukan Volume Benda Putar yang Dibatasi Kurva f(y) dan g(y) jika Diputar Mengelilingi Sumbu-y

Jika daerah yang dibatasi oleh kurva f(y) dan g(y) dengan f(y) t

g(y)

pada interval [a, b] diputar mengelilingi sumbu-y. Seperti yang telah dijelaskan di subbab E.1, maka volume benda putar yang

y x g(y)

b

U

b

V(U) S³2 —()2

( ( ( ) ) ( )a

a

x f(y)O x

ContohTentukanlah volume benda putar, jika daerah yang dibatasi oleh

grafik f(x) 1 4 x — 2, sumbu-x, garis x 0, dan garis x 4

diputar 360° mengelilingi sumbu-y.

Jawab:

Gambar 1.11Volume benda putar yang dibatasi kurva f(y) dan g(y) jika diputar mengelilingi sumbu-y

y

1

x 4

1f(x) 4 x —

2O—3 —2 —1 1 2 3 45 6 78 U

—1

x

—2

—3

Untuk menentukan volume benda putar tersebut, tentukan batas-batas pengintegralan, yaitu ordinat titik potong antara kurvay f(x) 1

4x — 2 dan garis x 4.

Substitusi x 4 ke persamaan y 1 4 x — 2 sehingga

diperoleh,

29Bab 1 Integral

2

0

2— S ³ — — + 1 ( x 4 x 4 ) d x2

0

— ¨ — + — ¸S § ·3 x x x1 2 33 2

© ¹— « ¨ — + — ¸ — » 8 8 6 0

S ª § ·º¬ © ¹1/4

2S

3

Jadi, volume benda putar yang terjadi jika daerah S diputar mengelilingi sumbu-x adalah 1

4 S satuan volume.6

O

y —1—S

x 2

—2

x

y

f(x) —x 2

2

Waktu : 60 menitGambarlah daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva berikut ini. Kemudian, tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah tersebut diputar 360° mengelilingi sumbu-x dan volume jika diputar 360° mengelilingi sumbu-y.1. y -x, sumbu-x, garis x 0, dan garis x 6

2. f(x) sin x pada interval ª2V 2Vº3

« »

2 2 d a n s u m b u -x ,

¬ 1 / 4

3. x2 + y2 64, sumbu-x, dan sumbu-yMatematika Aplikasi

SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

y f ( x ) 1 4 ˜ 4 - 2 - 1

Jadi, batas-batas pengintegralannya adalah y -1 sampai y 0. Oleh karena daerah tersebut diputar mengelilingi sumbu-y, maka

kalian harus menyatakan persamaan kurva y 1 4 x - 2

menjadi persamaan x dalam variabel y.Dar i y 1

4 x - 2

x y + 2

x 4y + 8

Jadi, volume benda putar tersebut adalahm -1

1 4

-1 -2m -1

2 V f + +

+ f

( 1 6 y 6 4 y 6 4 ) d y

2 + +0 - 1 § · § ·1 6 163 2 3 22V ¨ + + ¸+ ¨ + + ¸y y y y y y3 2 4 8 3 2 6 4

2V© ¹ © ¹3 3

- 1 - 2

ª § º16

2 V 0 ( 1 ) 32(1)48(1)·

3 2« ¸+ »¬ ¹

© 3 1 / 4ª § º1 6 · § 1 6 ·2 V « ¸

¨ ˜ - + - + - - ˜ - + - + -

3 2( 1 ) 3 2 ( 1 ) 6 4 ( 1 ) ( 2 ) 3 2 ( 2 ) 6 4 ( 2 )3 2 ¸ ¨ »

¬ ¹

3 3 3

Dengan demikian, volume benda putar yang terjadi jika

daerah U80

diputar mengelilingi sumbu-y adalah 2V satuan volume.

21

1 1 6 802V+ 2V 2V

V 2 V f + - +

( 4 y8)dy

2

f

4 ASAH KEMAMPUAN

Bobot soal: 20Bobot soal: 20

Bobot soal: 20

30

aa55Bab 1 Integral

EBTANAS 4. y2 = 10x, y2 = 4x, dan

x = 41

5. f(x) = x3 + 2, g(x) = 2 - x, dan x = 2

Bobot soal: 20

Bobot soal: 20

· f

·f

b b

d

1. Bentuk umum integral tak tentu

2. Rumus integral tak tentu+. f n x d x = 1 1x n+ c, di mana c adalah konstanta, n ~ -1

n +1

di mana f kontinu pada interval [a, b] 4. Rumus-rumus integral

3. Bentuk umum integral tertentu

Rangkuman

denganf dx: Lambang integral yang menyatakan operasi antiturunan f(x): Fungsi integran, yaitu fungsi yang dicari antiturunannya c: Konstanta

. fkf(x)dx= kf f(x)dx

· f ( f (x)+g(x))dx =

f f (x)dx+fg(x)dx

. f ( f ( x ) - g (x ) ) dx =- ff (x ) dx f f ' = + 1 1

r +. (())() ( ( )). fudv=-uvfvdu

. ( )

f k f x

sin x dx = - cos x + c, di mana c adalah 1

cos x d x =+ sin x c , di mana c adalah konstanta

d x = k ( )

= +tan x c, di mana c adalah

b

f fxdx = F(b) - F(a) ()

a

ff(x)dx = F(x) + c

b b b

56a


57a


S (() ())f f x + g x d x = ( )f f x

d x + ( )fgx

dx

a a ab b b

58a


59a


S (() ())f f x - g x d x = ()f f x

d x -( )

dx

a a

· ( ) f f x d x = 0aa a

60a


a a

· () f f xbc

d x = - ( )f f x

aa61Bab 1 Integral

dx

bb c

62a


· () f f x d x = ( )( )f f x d x + f f x dxa a ba

· ( ) f fxa2 ( )

ffxdx di mana f fungsi dx

- aaS ()f = 0 di mana f fungsi ganjilf x d x

-a

5. Rumus luas daerah (L) yang terletaka. di atas sumbu-x b

L(R) = f()f x d x

b. di bawah sumbu-x abL ( S ) = - ( )ffx dx

c . di atas dan di bawah sumbu–x a

b cL ( T ) = ( )

ffx

d x - ( )

ffxdx

a b

d. di antara dua kurvab b b

L(U) = () ( )(()())f f x d x - f g x d x = - f f x g xa a a

6. Volume benda putar (V) yang diputar mengelilingia. sumbu-x

b. sumbu-y

b

V = 2

f f x d x( ( ) )

ab

V = 2

f f y d y( ( ) )

c. sumbu-x dan dibatasi kurva f(x) dan g(x)bV = 2 2f f x - g x

( ( ( ) ) ( ) )a

d. sumbu-y dan dibatasi kurva f(y) dan g(y)b

V = f f y - g y( ( ( ) ) ( ))

2 2

63a


0 dx

dx

dy

I. Pilihlah jawaban yang paling tepat!

6. Luas bidang yang dibatasi oleh grafik y = 6x2 - x dan sumbu-x adalah. . . .

Ulangan Bab 1

1 A.

1

'VC . 2

4B.

5

1

C. 1 0 8 satuan luas7. Daerah yang dibatasi oleh kurva y =

x + 7 dan y = 7 - x2 diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360°. Volume benda yang terjadi adalah . . .

'V D . 2

2'V E. 2

3'V

4'V

5

8. Luas daerah te rbatas d i bawah in i adalah . . . .

y

1

A . 3 6 satuan luas

D.1

1

216 satuan

luas1

A . 3 D . 1

B . 2 E.

C . 5

1

-1 O-1

2x

-5

4 3 D . 210

3 E . 18

3

A.

A.

C.

2

1. Nilai dari $ (3x2 - 3x + 7) dx adalah . . . .

0

A . 1 2 D . 6B . 1 6 E . 4C . 1 0

2. Jika f(x) = $(x2 - 2x + 5) dx dan f(0) = 5, maka f(x) = . . . .

1A. 3 x3 - x2 + 5x + 5B. 1 x3 - 2x2 + 5x + 5

3C. 2 x3 - 2x2 + 5x + 5

3D. 2 x3 - x2 + 5x + 5

3E. 4 x 3 - x 2 + 5x

+ 5 3

b

3 . J i k a b > 0 d a n ( )$ x-dx = 12, maka

ni lai b 2 31

adalah . . . .A . 2 D . 5B . 3 E . 6C . 4

4 . Jikap$+xdx = p, maka nilai p adalah . . . . ( 1 )1

'V

25 . N i l a i d a r i ( )$ +

2 s i n x c o s x dx adalah . .

A. -2 +

1 2

2

122

'V4

2 D . 2 + 12

A. -1 -1 2

2

33Bab 1 Integral

12

9. Panjang busur kurva y = 2 3 x x dari

x = 0sampai x = 8 adalah . A. 18 D . 1 6

2B. E. 3

2C . 1 6

3

10. Luas daerah yang dibatasi oleh sumbu-y, kurva y = x2 + 1, dan kurva y = _x2 + 19 adalah . . . .A . 3 D . 6 0B. 36 E. 72C . 5 4

II. Jawablah pertanyaan berikut dengan jelas dan tepat!

1. Proporsi dari pekerja yang mendapatkan upah antara a ribu dan b ribu rupiah/hari adalah y = ( )

_x + x2 6

dan dibatasi sumbu-x. Terletak36

di antara a dan b yang bernilai 0 dan 6. Berapakah persentase pekerja yang mendapatkan upah di bawah Rp1.500,00?

2. Sebuah benda bergerak dengan laju v m/det. Pada saat t = 2 detik posisi benda berada pada jarak 30 m dari titik asal. Tentukanlah posisi benda sebagai fungsi waktu t!

3. Sebuah bola bergulir pada sebuah bidang datar dengan laju awal 4 m/det. Akibat gesekan dengan bidang itu, bola mengalami perlambatan 2 m/det2.

Jika pada saat t = 0 posisi benda berada pada s = 0, berapa


jauhkah jarak yang ditempuh bola dari awal sampai berhenti?

4. Ayu dan Bernard berangkat dari tempat yang sama pada saat t = 0. Kecepatan pada waktu t adalah v(t) dan jarak yang dijalani

b

antara t = a dan t = b adalah ( )f v t d t .a

Kecepatan Ayu seperti kurva yang

terlihat

5pada gambar di bawah ini. Jika sin a =5

.

Berapakah jarak yang ditempuh mereka masing-masing pada saat kecepatannya sama?

5. Sekelompok bakteri dalam suatu lingkungan hidup tertentu berkembang biak sesuai

dndengan perumusan = 0,5 N. Jika

jumlahdt

bakteri pada keadaan awal adalah 200, hitunglah jumlah bakteri setelah t = 2 detik, t = 4 detik, t = 8 detik, t = 10 detik! (Petunjuk: Nyatakan hasil perhitungan dalam e = 2, 71828 . . .)

1 2O

y

1

xtg

02 Bab 1 (Integral 1)

Documents

Transcript of 02 Bab 1 (Integral 1)