BAB IPENDAHULUAN

1.1 LATAR BELAKANGMatematika sebagai ilmu pengetahuan dengan penalaran deduktif mengandalkan logika dalam meyakinkan akan kebenaran suatu pernyataan. Faktor intuisi dan pola berpikir induktif banyak berperan pada proses awal dalam merumuskan suatu konjektur (conjecture) yaitu dugaan awal dalam matematika. Proses penemuan dalam matematika dimulai dengan pencarian pola dan struktur, contoh kasus dan objek matematika lainnya. Selanjutnya, semua informasi dan fakta yang terkumpul secara individual ini dibangun suatu koherensi untuk kemudian disusun suatu konjektur. Setelah konjektur dapat dibuktikan kebenarannya atau ketidakbenaranya maka selanjutnya ia menjadi suatu teorema. Pernyataan-pernyataan matematika seperti definisi, teorema dan pernyataan lainnya pada umumnya berbentuk kalimat logika, dapat berupa implikasi, biimplikasi, negasi, atau berupa kalimat berkuantor. Operator logika seperti and, or, not, xor juga sering termuat dalam suatu pernyataan matematika. Jadi membuktikan kebenaran suatu teorema tidak lain adalah membuktikan kebenaran suatu kalimat logika.Masalah yang lain adalah bahwa mahasiswa cenderung memiliki pemahaman yang kurang memadai tentang peran bukti di dalam pembelajaran matematika (Sabri, 2003). Pemahaman mereka umumnya terbatas hanya pada bahwa bukti adalah alat yang hanya digunakan, umumnya oleh matematikawan, untuk menjelaskan pernyataan matematika yang telah diketahui kebenarannya. Menyikapi hal tersebut di atas, ulasan tentang bukti matematika menjadi sangat penting. Di dalam tulisan ini, lebih awal akan dibahas sekilas tentang bukti dan pembuktian secara umum. Uraian akan dilanjutkan tentang bukti matematika, kedudukan dan klasifikasinya ditinjau dari beberapa perspesktif. Pembahasan kemudian diperluas mencakup beberapa peran yang dapat dimainkan oleh bukti matematika dan ditutup dengan kedudukan bukti matematika di antara pendekatan pelengkap yang lain.

1.2 RUMUSAN MASALAHMasalah yang akan dibahas pada makalah ini yaitu:1. Apa pengertian bukti dalam matematika?2. Bagaimana peran bukti dalam matematika?

1.3 TUJUANTujuan makalah yang ingin dicapai yaitu untuk:1. Mengetahui pengertian bukti dalam matematika.2. Mengetahui peran bukti dalam matematika.

BAB IIPEMBAHASAN

2.1 Pengertian Bukti Dalam MatematikaKonsep tentang bukti sesungguhnya sangat mendasar di dalam matematika (Hoyles, 1997; Markel, 1994). Bukti dianggap sebagai bagian fundamental kegiatan matematika bahkan sejak zaman matematika kuno (Lee, 2002) dan menjadi pembeda matematika dari semua bidang kegiatan lain umat manusia (Reid, 2001).Bukti, secara etimologis, mengandung beragam makna yang bersifat kontekstual bergantung pada bidang ilmu di mana bukti tersebut dibicarakan. Menurut Tall (1989), bukti bagi hakim dapat berimplikasi pada sesuatu yang tidak diragukan lagi; bukti bagi statistikawan berarti terjadi dengan probabilitas tertentu; dan bagi ilmuwan, bukti adalah hasil dari suatu eksperimen empiris. Namun, di kalangan matematikawan, bukti memiliki peran penting yakni sebagai suatu metode meyakinkan yang digunakan untuk menguji pengetahuan dan sangat berbeda dengan cara induksi di dalam kegiatan-kegiatan empiris (Hoyles, 1997). Karakteristik bukti yang demikian menjadi salah satu alasan mengapa matematika secara tradisional dipandang sangat berbeda dengan ilmu pengetahuan alam (sains) yang berlandaskan metode induktif.Di dalam matematika, bukti adalah serangkaian argumen logis yang menjelaskan kebenaran suatu pernyataan. Argumen-argumen ini dapat berasal dari premis pernyataan itu sendiri, teorema-teorema lainnya, definisi, dan akhirnya dapat berasal dari postulat dimana sistem matematika tersebut berasal.Reid (2001) mengklasifikasikan beberapa istilah teknis yang berkenaan dengan gagasan bukti yang banyak digunakan dalam penelitian pendidikan matematika. Ada empat istilah yang diajukannya yaitu: konsep bukti, bukti, membuktikan dan pemeriksaan. Konsep bukti mengacu pada keyakinan bahwa bukti mengarahkan kita kepada ketentuan yang pasti. Sebuah bukti memberi atribut kesahihan universal yang bersifat a priori kepada pernyataan matematis yang dibuktikan. Bukti pada dasarnya adalah rangkaian tulisan yang dipublikasikan sesuai dengan harapan para matematikawan. Sementara itu, membuktikan berarti bernalar secara deduktif dan pemeriksaan mengacu pada kegiatan penyelidikan di dalam matematika yang bersifat empiris semu.Di kalangan matematikawan profesional, klasifikasi lain yang dikemukakan oleh Reid (2001) membedakan tiga jenis bukti, yaitu: bukti pra-formal, bukti formal dan bukti postformal. Bukti pra-formal adalah bukti yang biasanya ditampilkan di dalam catatan harian dan percakapan sehari-hari yang melibatkan asumsi-asumsi tersembunyi, analogi dan bahasa dan notasi informal. Bukti formal adalah bukti yang biasanya dipresentasikan dalam publikasi ilmiah (misalnya: jurnal), meskipun terkadang bukti-bukti dalam artikel yang dipublikasikan pada dasarnya belumlah betul-betul formal karena keterbatasan ruang yang tersedia. Bagaimanapun, kita harus sadari bahwa formalisasi penuh atau bukti formal yang lengkap jarang dipraktekkan(Hersh, 19 93). Sementara itu, bukti post-formal adalah bukti yang merepresentasikan analisis meta-matematika tentang sifat-sifat bukti formal.Pembuktian matematika memiliki dua makna, yaitu makna praktis dan makna teoritis (Hersh, 1997). Makna teoritis bersifat formal yang merupakan transformasi dari sederetan simbol tertentu yangt berupa pernyataan formal dan mengikuti aturan logika (aturan inferensi) seperti modus tolles, modus ponens, dsb. Setiap langkah pembuktian dalam arti teoritis menjadi pembuktian yang bersifat formal dan ideal.

2.2 Peranan Bukti Dalam MatematikaBukti dalam matematika meliputi what is proof, why do we prove, what do we prove, dan how do we prove. Paling tidak terdapat enam motivasi mengapa orang membuktikan, yaitu to establish a fact with certainty, to gain understanding, to communicate an idea to others, for the challenge, to create something beautiful, to construct a large mathematical theory. To establish a fact with certainty merupakan motivasi paling dasar mengapa orang perlu membuktikan suatu pernyataan matematika, yaitu untuk meyakinkan bahwa apa yang selama ini dianggap benar adalah memang benar. Tidak dapat dipungkiri selama ini banyak kebenaran fakta di dalam matematika hanya dipercaya begitu saja tanpa adanya kecurigaan terhadap kebenaran tersebut, tidak berusaha membuktikan sendiri, termasuk fakta-fakta yang sangat sederhana. Kita hanya menggunakan fakta tersebut karena sudah ada dalam buku (it was in the text), atau karena sudah pernah disampaikan oleh guru kita. Memang tidak semua fakta matematika yang dipelajari harus dipahami buktinya. Faktor kepadatan materi dan keterbatasan waktu masih merupakan kendala klasik yang dihadapi oleh pengampu matematika. Namun beberapa fakta sederhana pun sering diabaikan pembuktiannya. Beberapa orang mempunyai pendirian sangat kuat bahwa suatu konjektur adalah benar. Keyakinan ini mungkin berasal dari penjelasan informal atau dari beberapa kasus yang ditemuinya. Bagi mereka tidak ada keraguan terhadap keyakinan itu, tapi belum tentu berlaku untuk orang dari kelompok lain. Disinilah bukti dapat dijadikan sarana untuk meyakinkan orang lain akan kebenaran suatu idea. Akan tetapi untuk menyusun bukti formal terhadap kebenaran suatu fakta tidaklah mudah. Mengikuti bukti yang sudah ditemukan dan disusun orang lain saja tidak mudah apalagi menyusun sendiri. Membuktikan merupakan tantangan sendiri para matematikawan, membuat penasaran dan begitu terselesaikan maka diperoleh kepuasan intelektual. Ibarat seni, matematika itu indah. Ini paling tidak pendapat para matematika. Bagi orang awam keindahan matematika terlihat dari pola dan struktur objek matematika, seperti bilangan, bangun geometri, simulasi matematika pada komputer. Namun bagi mereka yang sudah mencapai begawan matematika, keindahan sesungguhnya dari matematika (the real beauty of mathematics) terletak pada pola penalaran yang berupa interkoneksi argumen-argumen logis. Ini tercermin pada pembuktian teorema. Keberhasilan memformulasikan satu konjektur, kemudian dapat membuktikannya maka satu masalah dalam matematika terselesaikan.

Ada sepuluh peran bukti/atau pembuktian yang telah diidentifikasi, yaitu verifikasi, penjelasan, sistematisasi, penemuan, komunikasi, explorasi, konstruksi, inkorporasi, estetis, dan aktualisasi diri. Peran utama bukti di dalam praktek matematika adalah verifikasi dan pembenaran, tetapi di dalam pendidikan bidang pendidikan matematika, bukti lebih banyak digunakan untuk penjelasan. Penjelasan tentang setiap peran bukti tersebut dibahas pada bagian berikut ini. Fungsi bukti sebagai penjelasan dan sebagai penunjukan dibedakan di kalangan matematikawan. Bukti yang berfungsi sebagai penjelas membantu kita memahami mengapa suatu pernyataan benar.Peran bukti dalam sistematisasi hasil-hasil kegiatan matematis ke dalam suatu sistem deduktif (definisi, aksioma, postulat, teorema dan lain-lain) dapat dianggap sebagai fungsi paling matematis dari bukti. bukti dapat digunakan sebagai alat mengkomunikasikan matematika kepada pihak lain, misalnya: mahasiswa. Teorema atau dugaan yang baru memerlukan suatu proses sosial untuk kemudian diterima oleh kalangan matematikawan dan proses demikian bisa berlangsung dalam bentuk debat kritis dan komunikatif. Eksplorasi sebagai suatu fungsi bukti mengandung makna yang lebih mengarah kepada kajian yang lebih lanjut dari suatu definisi untuk menggali makna yang dikandungnya secara lebih menyeluruh. Peran bukti sebagai suatu alat eksplorasi juga akan tampak jelas pada saat suatu teorema yang telah dibuktikan kemudian mengarahkan kita kepada penemuan gagasan matematis yang baru. Dalam hal ini, proses ekplorasi mencakup serangkaian proses pengkajian ulang, perenungan, perbaikan dan penyempurnaan guna menciptakan suatu karya matematika yang lebih baik.Inkorporasi adalah pengaturan suatu fakta ke dalam kerangka baru yang akan menciptakan ruang bagi perspektif yang segar dalam memandang sistem tersebut. Proses inkorporasi juga mengandung makna menempatkan suatu fakta ke dalam kerangka alternatif. Sebagai contoh, sebagai alternatif pengkonstruksian bukti suatu teorema dalam kerangka topologis, bukti yang lain dapat dikembangkan di dalam kerangka geometris. Proses inkorporasi erat kaitannya dengan proses sistematisasi yang biasanya diimplementasikan pada objek matematika yang baru guna menempatkannya di dalam sistem pengetahuan matematis yang diterima dan diakui.Bukti juga memainkan peran penting di dalam rekonstruksi entitas (ide, gagasan) matematika. Fungsi tersebut akan optimal di dalam konteks epistemology dan ontology dimana matematika dipandang sebagai suatu hasil konstruksi sosial (Ernest, 1991). Bukti akan paling bermanfaat pada saat kita bisa menggunakannya untuk mencapai pemahaman dan pada saat kita dapat menggunakannya untuk membantu berpikir matematis dengan lebih jelas dan efektif (Thurston, 1994). Matematikawan memiliki rasa seni (estetis) dan nilai keanggunan yang berbeda. Keanggunan suatu bukti muncul pada saat bukti tersebut membuka tabir rahasia sebuah teorema; pada saat bukti tersebut mengarahkan kita kepada pemahaman akan keniscayaan suatu pernyataan yang dibuktikan. Sebagai contoh adalah bukti dari Teorema Akhir Fermat yang dibuat oleh Andrew Wiles dari Princeton University, Amerika Serikat yang terdiri atas ratusan halaman. Matematikawan tidak hanya berusaha untuk membuat bukti yang tak terbantahkan, tetapi juga menampilkannya dalam gaya yang jelas, menarik dan dibalut dengan paduan rasa estetika dan ketajaman logika. Matematikawan juga berusaha memperbaiki dan mengatur suatu suatu teorema sehingga memiliki struktur yang koheren dan anggun, misalnya menampilkan Hipotesis Riemann dalam sebuah film berjudul A Beautiful Mind.Mengembangkan suatu bukti adalah salah satu cara dimana matematikawan memperoleh kepuasan dan aktualisasi diri. Kegiatan membuktikan merupakan semacam kawah candradimuka bagi matematikawan sekaligus media menguji kreativitas dan kemampuan penemuan.Ada beberapa pendekatan lain yang diterapkan oleh para pendidik di dalam kelas sebagai pelengkap bagi dan/atau alternatif dari bukti. Pada dasarnya, pendekatan lain tersebut bukan untuk menggantikan posisi penting bukti melainkan untuk digunakan secara bersama-sama dengan bukti demi pencapaian tujuan proses belajar mengajar yang telah ditetapkan. Meskipun demikian, pada berbagai kesempatan, penggunaan pendekatan lain tersebut cenderung difungsikan sebagai pesaing dari bukti dan pada gilirannya menjadi lebih dominan. Keadaan seperti ini kadangkala mengarahkan para pendidik untuk kemudian berpikir bahwa bukti tidak perlu lagi diajarkan atau digunakan (Hanna, 2000b).Pendekatan yang pertama adalah pendekatan heuristik. Beberapa pendidik percaya bahwa mereka perlu memilih antara mengembangkan kemampuan dan keterampilan investigasi dan pemecahan masalah dan menanamkan pemahaman tentang dan keterampilan yang dibutuhkan dalam mengkonstruksi suatu bukti (Simon & Blume, 1996). Terdapat kecenderungan untuk menganggap bukti sebagai sesuatu yang sulit dan hanya bisa dikuasai oleh segelintir mahasiswa, sedangkan pendekatan heuristik kelihatannya lebih mudah dipahami oleh lebih banyak mahasiswa (Hanna, 2000b). Kecenderungan untuk menganggap pendekatan heuristik lebih penting daripada bukti tersebut disebabkan oleh pemahaman yang tidak menyeluruh tentang apa dan bagaimana sifat matematika.Pendekatan kedua yaitu eksplorasi. Perlu diketahui bahwa eksplorasi ini memiliki makna kurang lebih sama dengan eksplorasi yang dibahas lebih awal pada peran bukti, tetapi pada bagian ini, eksplorasi diposisikan sebagai pelengkap bukti. Khususnya di dalam geometri, eksplorasi didukung oleh ketersediaan perangkat lunak dengan kemampuan grafik dinamis yang membantu mahasiswa memahami dalil-dalil dengan kemampuannya menampilkan konstruksi geometris dengan akurasi dan ketelitian yang tinggi. Perangkat lunak dinamis tersebut sebenarnya memiliki potensi untuk mendorong kegiatan eksplorasi dan pembuktian, karena perangkat tersebut memudahkan kita dalam proses pembuatan dan pengujian suatu dugaan (Hanna, 2000b).

2.2.1 Bukti dan Kepastian MatematisSuatu sistem matematika mengandung unsur-unsur yang berupa kalimat-kalimat atau proposisi-proposisi yang memuat konsep. Suatu pernyataan matematika yang tidak ditetapkan sebagai suatu aksioma hanya dapat diterima kebenarannya dengan bukti. Peran bukti dalam matematika dapat dipandang sebagai batu uji dan penjamin kebenaran bagi pernyataan matematika. Bukti memberi kepastian matematis. Oleh karena itu bukti harus dengan mudah dan jelas untuk dilihat dan dimengerti, tegas dalam arti didasarkan atas konsep, pengertian, atau proposisi-proposisi yang telah dijamin kebenarannya. Jika bukti meragukan maka akan berakibat berkurangnya keyakinan matematis. Agar bukti membawa kepada kepastian matematis, maka bukti harus jelas, logis, mudah dilihat, serta dapat ditulis kembali. Sehingga bukti berperan juga sebagai pemandu atau pembawa pengalaman-pengalaman kedalam saluran-saluran yang jelas dalam suatu sistem matematika.

2.2.2 Bukti dan ProposisiBukti dan proposisi teroganisir dalam suatu sistem matematika. Proposisi matematika ditentukan oleh apa yang menjadi bagian dari suatu sistem matematika yang dapat digunakan untuk membuktikan proposisi matematika yang diragukan. Agar suatu proposisi matematika menjadi bermakna, proposisi matematika harus menjadi bagian dari suatu sistem bukti matematika dengan aturan yang digunakan dalam sistem ini. Bukti matematik suatu proposisi berupa serangkaian proposisi yang dihubungakan dengan pengertian, aksioma, aturan, atau proposisi yang telah dibuktikan dengan hukum-hukum penarikan yang bersifat logis. Setiap bukti suatu proposisi dapat memunculkan aturan atau pengrtian baru. Oleh karena itu bukti menjadi pendorong pesatnya perkembangan matematika.

2.2.3 Bukti dan KonsepAdanya hubungan antara bukti dan konsep matematika menyebabkan berkembangnya sistem matematika. Langkah-langkah pembuktian adalah juga suatu konsep, sebab suatu bukti tertentu memungkinkan orang untuk membentuk suatu pengesahan baru. Bukti dalam matematika mendukung perkembangan sistem matematika dan setiap bukti dari suatu proposisi yang sudah dibuktikan merupakan suatu sumbangan kepada matematika.

2.2.4 Bukti dan aturanTeorema yang telah dibuktikan dapat memberikan aturan baru yang dalam suatu sistem matematika dapat diibaratkan seperti meloncat dari satu lantai ke lantai diatasnya tanpa melalui anak tangga (Hardi Suyitno, 2008). Bukti memberikan suatu teknik. Setelah orang dapat membuktikan suatu pernyataan maka akan diperoleh suatu teorema yang dapat dipakai sebagai aturan untuk menyelesaikan masalah.

2.2.5 Bukti dengan reductio ad absurdumBukti deduktif dalam matematika ada berbagai macam tipe yang dapat dikelompokkan atas dua kelompok yaitu pembuktian cara langsung dan cara kontradiksi. Pembuktian cara langsung meliputi modus ponens, transirtivitas, modus tollens, deduction theorem, contraposition, proof by cases dan mathematical induction; sedangkan bukti dengan kontradiksi meliputi bukti dengan contoh kontra dan bukti tak langsung (Bell, 1981). Reductio ad absordum atau bukti kemustahilan adalah suatu cara pembuktian dengan cara tak langsung.Goodstein menyatakan bahwa pada umumnya para matematikawan tidak menyukai bukti dengan reductio ad absordum dengan alasan estetika dan filsafat, sedangkan para matematikawan aliran intuitionisme menolak keabsahan bukti dengan reductio ad absordum (Soehakso, 1996; Rosser,1953). Wittgenstein (1978) dapat menerima bukti dengan reductio ad absordum, karena bukti matematika dapat dipandang sebagai batu uji bagi pernyataan matematika dan pemberi kepastian matematika, maka keabsahan bukti dengan reductio ad absordum merupakan masalah filsafat matematika.

2.2.6 Bukti dan EksperimenBukti matematika yang digunakan untuk menjamin kebenaran propisisi matematika tidak dilakukan dengan materi empirik tetapi dengan aturan gramatik. Proposisi-proposisi matematika berperan dalam tata permainan bahasa matematika. Bukti matematika membentuk suatu relasi internal dalam matematika yang dapat menghilangkan keraguan terhadap proposisi-proposisi matematika.Bukti dalam matematika berangkat dari sejumlah proposisi dan dengan penalaran logis menghasilkan suatu proposisi yang benar tanpa melalui langkah-langkah eksperimen. Perbedaan antara konsep bukti dan eksperimen menunjukkan bahwa matematika memiliki suatu ciri penting bahwa matematika adalah pengetahuan yang tidak sejenis dengan ilmu pengetahuan alam.

BAB IIIPENUTUP

3.1 KESIMPULANBelajar matematika dengan cara memahami bukti tidaklah mudah. Dibutuhkan waktu untuk memahami matematika sebagai bahasa logika. Juga, dibutuhkan wawasan matematika yang luas untuk belajar membuktikan fakta-fakta yang lebih rumit. Di dalam bukti termuat nilai-nilai strategis yang dapat melatih kita berpikir secara logis. Keindahan matematika juga banyak terdapat pada harmonisasi penalaran-penalaran dalam bukti. Dengan memahami bukti kita dapat mengikuti alur berpikir para ahli yang pertama kali menemukannya, yang berdampak pada kekaguman terhadap para inventor matematika dan pada akhirnya menyenangi matematika itu sendiri. Berlatih memahami bukti merupakan modal utama untuk dapat melakukan riset matematika.

3.2 SARANMahasiswa perlu memiliki pemahaman konseptual tetang bukti matematika yang memadai mencakup pemahaman tentang bagaimana setiap peran yang dibahas. Dengan pemahaman konseptual tentang bukti matematika, mahasiswa diharapkan memiliki dan meningkatkan apresiasinya terhadap matematika.Mahasiswa disyaratkan untuk memahami setiap peran bukti dan seharusnya memiliki pengalaman belajar di mana peran pembuktian terfungsikan.

DAFTAR PUSTAKA

Dr. Julan Hernadi. 2008. Metoda pembuktian dalam matematika. Jurnal Pendidikan Matematika, Vol (2): 1-3.(http://eprints.unsri.ac.id/794/1/URUT_1_Hal_GANJIL_YULAN.pdf) diakses tanggal 24 Maret 2015 pukul 14.48Ernest, P. 1991. The Philosophy of Mathematics Education. Bristol: The Falmer PressHardi Suyitno. 2014. Pengenalan Filsafat Matematika. Semarang: Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Semarang.Mahin muhammad. 2013. Apa Itu Bukti pada Matematika.(https://mahinmuhammad.wordpress.com/2013/08/20/bukti-matematika/) diakses tanggal 24 Maret 2015 pukul 14.59Sabri. 2003. Bukti Di Dalam Belajar Mengajar Matematika. (http://digilib.unm.ac.id/files/disk1/5/universitas%20negeri%20makassar-digilib-unm-sabri-234-1-buktidi-a.pdf ) diakses tanggal 24 Maret 2015 pukul 16.05http:/www2.edc.org/makingmath13