BAB 7 Beberapa Topik Lanjut

VIII-1

Bab 7: Beberapa Topik Lanjut

1 Representasi Low Pass dari Sinyal Bandpass

Tujuan Belajar 1

Peserta dapat melakukan sampling sinyal bandpass secara effisien, melalui teknik LP representation dari sinyal BP.

Motivasi : Misalkan x(t) adalah band-pass signal, maka dapat dibentuk representasi matematis sebagai berikut : )()(2)( FXFVFX =+ dimana V(F) adalah unit step function X(F) adalah transformasi Fourier dari x(t) maka

∫∞

∞−++ = dFeFXtx Ftj π2)()(

[ ] [ ])(*)(2)( 11 FXFFVFtx −−

+ = yaitu analytic or preenvelope of x(t) karena

[ ] )()(1 txFXF =− dan [ ]tj

tFVFπ

δ +=− )()(21

maka

)(*)()( txtj

ttx

+=+ πδ

Analog

A/D

x(n) BPF

BAB 7 Beberapa Topik Lanjut

VIII-2

)(ˆ)()(*1

)( txjtxtxt

jtx +=+=π

bila ∫∞

∞− −=≡ τ

ττ

ππd

tx

txt

tx)(1

)(*1

)(ˆ

∫∞

∞−

−= dtethFH Ftj π2)()(

<=>−

== ∫∞

∞−

−

0000

11 2

FjFFj

dtet

Ftj π

π

1)( =FH

<

>−=

021

021

)(F

FF

π

πθ

terjadi beda fasa sebesar 90o untuk semua frekuensi Representasi lowpass dari x+(t) dapat dinyatakan sebagai :

1. )()( cl FFXFX ++≡

tFjl

cetxtx π2)()( −+=

[ ] tFj cetxjtx π2)(ˆ)( −+= atau tFj

ecetxtxjtx π2)()(ˆ)( =+

)()()( tjututex sc += → complex tFtutFtutx cscc ππ 2sin)(2cos)()( −= tFtutFtutx cscc ππ 2cos)(2sin)()(ˆ += Komponen frekuensi rendah uc(t) dan us(t) dapat dilihat sebagai amplitude modulations dengan sinyal carrier masing-masing adalaah cos2πFct dan sin2πFct. Karena komponen carrier ini dalam fasa quadrature maka uc(t) dan us(t) disebut quadrature components dari bandpass signal x(t)

2. [ ]{ }tFjsc

cetjututx π2)()(Re)( +=

{ }tFje

cetx π)(Re= xe(t) ⇒ complex envelope of x(t) ⇒ equivalent lowpass signal 3. )()()( tj

e etatx θ=

dimana )()()( 22 tututa sc += dan )()(

tan)( 1

tutu

tc

s−=θ

( )tx̂ h(t) ( )tx

BAB 7 Beberapa Topik Lanjut

VIII-3

maka [ ]tFje

cetxtx π2)(Re)( = [ ][ ])(2)(Re ttFj ceta θπ += [ ])(2cos)( ttFta c θπ += a(t) adalah envelope x(t) dan θ(t) adalah sudut fasa dari x(t) Hubungan antara spektrum bandpass signal dan representasi lowpass dari BPS.

[ ]{ }

( )

[ ]

[ ])()(21

e)((t)ex21

)(

21

)Re(

)(Re

)()(

*

Ftdtj2-

-

2*tFj2e

*

22

2

c

cece

tFje

FtjtFje

Ftj

FFXFFX

etxFX

dteetx

dtetxFX

c

c

−−+−=

+=⇒

+=

=

=

∫

∫

∫

∞

∞

−

∞

∞−

−

∞

∞−

−

ππ

ππ

π

ξξξ

Spectrum dari X(F) dapat diperoleh dari XL(F) dengan frekuensi translasi. Sampling BPS. Nyquist → 2B2 samples/sec

→ geser 2

21 BBFc

+=

⇒ sampling terhadap low pass ⇒ shifting ⇒ tFjtFxe cc

tFj c πππ 2sin2cos2 += ⇒ lowpass filter to remove signals at 2Fc

→ Bandwidth ⇒ 22

12 BBB −≡ ⇒ Nyquist B samples/sec

⇒ terdapat 2B samples/sec

BAB 7 Beberapa Topik Lanjut

VIII-4

Sampling x(t) at comparable rates Let upper frequency = Fc + B/2 = kB ↓ positive integer bila x(t) → sample at 2B = 1/T sample/sec

2)12(

sin)(2

)12(cos)(

2sin)(2cos)()(

−−

−=

−=kn

nTUkn

nTU

nTFnTUnTFnTUnTx

sc

cscc

ππππ

karena 2B

kBFc −= dan B

T21

=

⇒ n genap = 2m

)((-1)

)12(cos)()()2(

1m

11

mTu

kmmTumTxmTx

c

c

=

−=≡ π

⇒ n ganjil = 2m - 1

( )122

)2( 11

11 −

−=

−≡−

TmTu

TmTxTmTx s

• Jadi even-numbered samples of x(t) yang muncul dengan rate B samples/sec, menghasilkan samples dari LPF uc(t)

• Odd-numbered samples of x(t) (juga dengan B samples per second) menghasilkan us(t)

Rekonstruksi xe(t) dari uc(mT1)

Us(mT1-T1/2) Let T1 = 1/B

BAB 7 Beberapa Topik Lanjut

VIII-5

( )

( )

∑

∑

∞

∞−

∞

∞−

+−

+−

−=

−

−

=⇒

2

2sin

)2

()(

sin)()(

11

1

11

111

11

11

1

TmTt

T

TmTt

TTmTutu

mTtT

mTtT

mTutu

ss

cc

π

π

π

π

karena tFtutFtutx cscc ππ 2sin)(2cos)()( −=

maka

( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )( )

( )

∑∞

−∞=

+

+−

+−

−−+

+−

−

−

=m

cm

cm

tFTmTt

T

TmTtTTMx

tFmTtT

mTtTmTx

tx

ππ

π

ππ

π

2sin2

2

22

sin121

2cos22/

22

sin21

)(

1

tetapi ( ) ( )mTtFtF ccm 22cos2cos1 −=− ππ

dan ( ) ( )TmTtFtF cckm +−=− + 22cos2sin1 ππ

( )( )

( )( )∑

∞

−∞=

−−

−

=⇒m

c mTtFmTt

T

mTtTmTxtx π

π

π

2cos

2

2sin

)(

T = 1/2Bs Secara Umum :

2B

Fc ≥

+=

B

BF

rc 2

B → B1 ⇒ rB

BFc

=+

12

22

11 BB

FF cc−+=⇒

1.2

offcut BrB

Fc =+=

B

B'

BAB 7 Beberapa Topik Lanjut

VIII-6

( )

( )( )∑

∞

−∞=

−

−

+

−

+

+=⇒n

c mTtFmTt

mTtnxtx 11

1

1

2cos1

2

12

sin)1()( π

π

π

⇒ x(t) can be represented by samples taken by

[ ]11

1

1

dan 212r

mana di s/s, 21

rrBF

B

BF

rr

BT

cc

=+=+

=

=

Jadi bila rBB

Fc not is 2

+ , sampling rate musti naik by rr1

Tetapi begitu Fc/B naik, rr1

→ 1 % increase tends to φ of sampling

rate Ctt.

( ) ( )( )

( )∑

∞

−∞= −

−

−=n

nc

nTtT

nTtTnTxtu

11

11

1

22

22

sin21)(

π

π

dan ( ) ( )( )

( )∑

∞

−∞=

++

+−

+−

−−=n

rns

TnTtT

TnTtTTnTxtu

111

111

111

22

22

sin21)(

π

π

r = [r1] ⇒ 2B ≤ Fs < 4B ↓ ↓ bila r = 1 r1 ≈ 2 (worst condition) bila Fc+B/2 = rB

2 Pemrosesan Sinyal Analog Secara Digital

Tujuan Belajar 2

Peserta dapat melakukan pemrosesan sinyal waktu kontinu di domain waktu diskrit.

BAB 7 Beberapa Topik Lanjut

VIII-7

Gambar diatas adalah konfigurasi umum pemroses digital dari sinyal analog. Pertama-tama yang perlu diperhatikan adalah besarnya bandwidth dari sinyal yang akan diproses, karena besarnya bandwidth menentukan sampling rate minimum.

Prefilter, adalah sebuah antialiasing filter yaitu filter analog dengan dua fungsi. Pertama, memastikan bahwa bandwidth dari sinyal yang akan disampling terbatas pada frekuensi yang telah ditentukan, jadi semua komponen frekuensi diatas Fs/2 diredam agar distorsi sinyal akibat aliasing dapat dihilangkan. Fungsi kedua antialiasing filter adalah untuk membatasi spektrum noise dan interferensi lainnya.

Setelah menentukan prefilter dan memilih sampling rate yang dikehendaki, selanjutnya adalah merancang algoritma pemrosesan sinyal. Pemilihan sampling rate Fs = 1/T, dimana T adalah interval sampling, tidak sekedar menentukan frekuensi tertinggi yang akan diproses tetapi juga sebagai faktor skala yang berpengaruh pada spesifikasi filter digital dan sistem waktu diskrit yang diproses.

Contoh :

Terdapat sinyal analog dengan bandwidth 3000 Hz dan disampling pada 8000 Hz, hendak dirancang sebuah differensiator. Dalam hal ini, Fs = 8000 Hz mempunyai folding frequency 4000 Hz, yang dalam sistem waktu diskrit sesuai dengan ω = π. Jadi bandwidth sinyal 3000 Hz sesuai dengan frekuensi ωc = 0.75π. Jadi, differensiator yang dirancang akan mempunyai passband pada 0 ≤ |ω| ≤ 0.75π.

3 Multirate Signal Processing

Tujuan Belajar 3

Peserta dapat menjelaskan motivasi, definisi dan untung-rugi teknik multirate DSP, termasuk konversi sampling rate.

Sampling rate conversion dapat dilihat sebagai sebuah proses linear filtering

Tujuannya adalah untuk merubah frekuensi sampling

Integers Prime Relatively →=DI

F

F

x

y

Sampling rate conversion dapat dianggapa sebagai proses digital resampling dari sinyal analog yang sama.

Fy=1/Ty h(n,m)

y(n) x(n) Linear Filter

Fx=1/Tx

BAB 7 Beberapa Topik Lanjut

VIII-8

y(m) adalah versi x(n) dengan waktu tergeser. Realisasi dapat dilakukan dengan menggunakan linear filter dengan

- flat magnitude response - linear phase response

ije ωτ−⇒ ↓ time delay

⇒ delay τi berbeda dari sample ke sample ⇒ gunakan sejumlah e-jωτI untuk semua τI

Sampling rate convesion dapat berupa desimasi (down sampling) dengan faktor D atau interpolasi (up sampling) dengan faktor I.

Tujuan Belajar 4

Peserta mengerti proses desimasi dengan faktor D, beserta karakteristik di domain frekuensi

Misal x(n) dengan spektrum X(ω) ingin dilakukan down-sampling dengan faktor D X(ω) non zero 0 ≤ |ω| ≤ ω |F| ≤ Fx/2

Bila x(n) langsung disubsampling maka terjadi aliasing. Jadi x(t) difilter dulu agar bandwitdth menjadi Fmax= Fx/2D atau ωmax= π/D Karena HD(ω) menghapus π/D < ω < π maka signal yang dikehendaki tidak boleh ada di daerah yang dihapus tersebut Keluaran dari filter, v(n) adalah

∑∞

=

−=0

)()()(k

knxkhnv

Down-sampling dengan faktor D

∑

∞

=

=

=

0

)()(

k

)h(k)x(mD-k

mDVmy

→ time variant system] x(n) → y(m) x(n-no) → y(n-no) kecuali bila no = kD Karakteristik frekuensi :

BAB 7 Beberapa Topik Lanjut

VIII-9

Misalkan ±±=

=otherwise 0

D2 D, 0, n )()(ˆ nV

nV

maka

D periodadengan p(n)

impulses of train periodic

)()()(ˆ

↑

×= npnvnv

SeriesFourier 1

)(1

0

/2 ←= ∑−

=

D

k

DknjeD

np π

Jadi )()()(ˆ npnvnv = dan )()()()()( mDvmDpmDvmDvmy ===

∑

∑ ∑∞

−∞=

−

∞

−∞=

∞

−∞=

−−

=

==

m

Dm

m m

mm

zmvzY

zmDvzmyzY

/)(ˆ)(

)(ˆ)()(

karena 0)(ˆ =mV kecuali pada kD

maka ∑ ∑∞

−∞=

−−

=

=

m

DmD

k

Dmkj zeD

mvzY /1

0

/21)()( π

( )

( )

( ) ( )∑

∑

∑ ∑

−

=

−−

−

=

−

−

=

∞

−∞=

−

=

=

=

1

0

/1/2/1/2

1

0

/1/2

1

0

/1/2

D1

D1

)(1

)(

D

k

DDkjDDkjD

D

k

DDkj

D

k m

DDkj

zeXzeH

zeV

zemvD

zY

ππ

π

π

karena V(z) = HD(z)X(z) pada z = ejω maka yy

y FTF

Fπ

πω 2

2==

xyx

y DDF

F ωω =→= karena xx

x FTF

Fπ

πω 2

2==

down sampling Dxπ

ω ≤≤⇒ 0 ditarik ke πω ≤≤ y0

Jadi ( )

−

−= ∑

−

= D

kX

D

kH

DyY y

D

k

yD

πωπωω

221 1

0

Bila HD didesain dengan baik, tidak terjadi aliasing

( )

=

=

DX

DDX

DH

DyY yyy

D

ωωωω

11

D=3

BAB 7 Beberapa Topik Lanjut

VIII-10

0 ≤ |ωy| ≤ π

Tujuan Belajar 5

Peserta mengerti proses interpolasi dengan faktor I, beserta karakteristik di domain frekuensi

Interpolasi adalah mengisi mengisi I-1 sample diantara sample dengan nilai 0.

( ) ( ) ±±=

=otherwise 0

,...2,,0 / IImImxmv

rate v(m) = rate y(m)

( ) ( )

( ) ( )ImI

m

m

m

zXzmv

zmvzV

==

=

−∞

−∞=

−∞

−∞=

∑

∑

( ) ( )

IIFF

FF

IXV

xyxy

y

yy

ωω

πω

ωω

=→=⇒

=

=⇒

/2 ,F terhadaprelatif yy

BAB 7 Beberapa Topik Lanjut

VIII-11

( )

≤≤=

otherwise 0

I

0 )(π

ωωω yyy

ICXY

C dipilih agar y(m) = X(m/I) untuk m = 0, ±1, ±2, ±… Pada m = 0

∫∫−−

==I

Iyyyy dIX

CdYy

/

/

)(2

)(21

)0(π

π

π

π

ωωπ

ωωπ

karena ωy = ωx/I,

( ) ( )

IC

oxIC

dXIC

oy xx

=⇒

== ∫−

)(21

)(π

π

ωωπ

Akhirnya,

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )∑

∑∞

−∞=

∞

−∞=

−=

−=

=

k

k

kxkImh

kvkmhmy

nhnVmy

)(

*)(

karena v(k) = 0, kecuali k = nI

Tujuan Belajar 6

Peserta dapat melakukan konversi sampling rate dengan faktor rasional I/D

BAB 7 Beberapa Topik Lanjut

VIII-12

( ) ( ) ≤≤

=otherwise 0

/,/min0 IDIH v

ππωω dimana

IIFF x

xv

ωππω ===

2F

F2

v

( )

±±=

=otherwise 0

,...2,,0 IIlIl

xlV

ω(l) v(k) y(m) x(n) ↑ I h(e) ↓ D