Bab 8

Turunan

April 15, 2023

Turunan

mempelajari

KasusMaksimum

danMinimum

PenyelesaianLimit Tak

Tentu

Kecepatandan

Percepatan

PersamaanGaris

Singgung

Aturan RantaiRumus DasarTurunan

AplikasiGrafikFungsi

Fungsi Naik,Turun, danStasioner

Turunan FungsiEksponen dan

Logaritma

Turunan FungsiAljabar

April 15, 2023

Turunan Fungsi

Trigonometri

1. Tentukan gradien dari garis f(x) = x2 + 2x di titik (a, b).

2. Diketahui f’(x) = 2x + 2. Tentukan .

3. Samakan hasil 1 dan 2? Apa sebenarnya hubungan antara

soal 1 dan 2?

April 15, 2023

1. Pengertian Turunan

Turunan suatu fungsi f(x) didefinisikan sebagai berikut.

Bentuk limit sudah disinggung di Bab 7.

Coba diingat lagi!

April 15, 2023

Contoh:

Dengan menggunakan definisi turunan, tentukan turunan

pertama fungsi f(x) = x2 + 1.

Jawab:

April 15, 2023

2. Turunan Ditinjau Dari Sudut Pandang Geometri

Misalkan diketahui fungsi y = f(x). Secara geometri turunan

fungsi diartikan sebagai gradien (kemiringan).

Gradien garis singgung di titik P(a, b) yang terletak pada

fungsi y = f(x) adalah sebagai berikut.

m = f’(a) =

Secara geometris, ilustrasinya dapat dilihat pada gambar

berikut.

April 15, 2023

h

afhafh

)()(lim

0

April 15, 2023

Contoh:

Tentukan gradien garis singgung kurva yang memiliki

persamaan untuk x ≠ 0 di x = 2.

Jawab:

Gradien garis singgung kurva y = f(x) untuk x = 2 adalah

m = f'(2) = –1.

Dengan kata lain, laju perubahan fungsi f(x) di x = 2 adalah –1.

April 15, 2023

Jika n bilangan rasional, a dan c konstanta sedangkan f'(x)

turunan dari f(x) maka berlaku rumus turunan

Jika f(x) = c maka turunannya adalah f'(x) = 0.

Jika f(x) = xn maka turunannya adalah f'(x) = nxn – 1.

Jika f(x) = axn maka turunannya adalah f'(x) = anxn – 1.

April 15, 2023

Contoh:

Tentukan turunan dari f(x) = 6x4.

Jawab:

f(x) = 6x4

Mengacu rumus di atas, diperoleh nilai

a = 6

n = 4

Jadi, f'(x) = 6(4x4 – 1)

= 24x3

April 15, 2023

1. Turunan Fungsi Sinus

2. Turunan Fungsi Kosinus

Dengan menggunakan rumus

akan diperoleh

April 15, 2023

Jika f(x) = sin x, maka turunannya adalah f'(x) = cos x

Jika f(x) = cos x, maka turunannya adalah f'(x) = –sin x.

a. Jika f(x) = a sin x maka f'(x) = a cos x.b. Jika f(x) = a cos x maka f'(x) = –a sin x.c. Jika f(x) = tan x maka f'(x) = sec2 x.d. Jika f(x) = csc x maka f'(x) = –csc x cot x.e. Jika f(x) = sec x maka f'(x) = sec x tan x. f. Jika f(x) = cot x maka f'(x) = –csc2 x.

a. f(x) = c u(x), turunannya f'(x) = c u'(x).

b. f(x) = u(x) ± v(x), turunannya f'(x) = u'(x) ± v'(x).

c. f(x) = u(x) v(x), turunannya f'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x).

d. f(x) = , v(x) ≠ 0, turunannya

e. f(x) = u(x)n, turunannya f'(x) = n(u(x))n – 1u'(x).

April 15, 2023

)(

)(')()()(')('

2 xv

xvxuxvxuxf

)(

)(

xv

xu

Contoh:

Tentukan f'(x) jika diketahui f(x) = (7x2 – 5)8.

Jawab:

f(x) = {u(x)}8

u(x) = 7x2 – 5

Dengan demikian, u'(x) = 14x.

f'(x) = 8(7x2 – 5)8 – 1 (14x)

= 112(7x2 – 5)7

Jadi, f'(x) = 112(7x2 – 5)7.

April 15, 2023

Misal terdapat fungsi y = f(u(x)), turunan fungsinya

ditentukan dengan rumus

Misalkan terdapat fungsi y = f(u(v(x))), turunan fungsinya

dapat ditentukan dengan

April 15, 2023

Contoh 1:

Tentukan turunan fungsi y = (3x – 2)2.

Jawab:

Misalkan u = 3x – 2. Dengan demikian,

y = u2

u = 3x – 2 =

Jadi,

= 2u × 3 = 2(3x – 2)(3) =18x – 12.

April 15, 2023

Contoh 2:

Tentukan turunan fungsi y = cos (sin (2x – 1 )).

Jawab:

Misalkan u = 2x – 1

v = sin u

y = cos v

April 15, 2023

1. Turunan Fungsi Eksponen (y = ex)

Secara umum, dapat ditentukan turunan fungsi y = eax + b

Jika y = ex maka y' = ex.

Jika y = eax + b maka y' = aeax + b

April 15, 2023

Contoh:

Tentukan turunan dari fungsi berikut.

a. y = e5x

b. y = e–x + 3

Jawab:

a. y = e5x maka y' = 5e5x

b. y = e –x + 3 maka y' = –e –x + 3

April 15, 2023

Secara umum, dapat ditentukan turunan y = ln u, dengan

u = f(x), adalah sebagai berikut.

ln x = y x = ey Jika y = ln x maka

Jika y = ln u, dengan u = f(x) maka

April 15, 2023

Perhatikan turunan fungsi-fungsi berikut.

a. y = 2 ln x maka

b. y = ln (kx + c)

Misalkan u = kx + c. Oleh karena itu, u' = k

sehingga

c. y = ln (6x5 – 3x2 + 2x)

u = 6x5 – 3x2 + 2x.

Oleh karena itu, u' = 30x4 – 6x + 2

sehingga April 15, 2023

1. Pengertian Fungsi Naik, Fungsi Turun, dan Nilai Stasioner

Grafik fungsi f(x) naik pada interval a < x < b dan interval d < x < e.Grafik fungsi turun pada interval b < x < c. Grafik fungsi tidak naik dan tidak turun (stasioner) pada interval c < x < d.

April 15, 2023

Y

0 Xa b C d e

f(x)

Cara menentukan interval suatu fungsi naik atau turun.

Misalkan diberikan fungsi y = f(x).

a. Grafik f(x) naik jika f'(x) > 0.

b. Grafik f(x) turun jika f'(x) < 0.

c. Grafik f(x) stasioner (tidak naik dan tidak turun) jika f'(x) = 0.

April 15, 2023

Contoh:

Tentukan interval yang menyebabkan fungsi f(x) = x2 + 2x + 1 naik atau turun, serta titik stasionernya.

Jawab:

f(x) = x2 + 2x + 1 f'(x) = 2x + 2 = 2(x + 1).

Fungsi naik jika f'(x) > 0 2(x + 1) > 0 x > –1.

Fungsi turun jika f'(x) < 0 2(x + 1) < 0 x < –1.

Fungsi stasioner jika f'(x) = 0 2(x + 1) = 0 x = –1

sehingga f(–1) = 0. Jadi, titik stasionernya (–1, 0).

Secara geometris, dapat dilihat pada grafik f(x) = x2 + 2x + 1

berikut.April 15, 2023

April 15, 2023

Grafik f(x) = x2 + 2x + 1

a X

Turun Naik

a X

TurunNaik

a X

Naik

Naik

(a) (b)

(c)

a X

Turun

Turun

(d)

April 15, 2023

Misalkan x = a adalah stasioner.

Jika pada x < a, f(x) turun dan x > a , f(x) naik maka

x = a adalah titik balik minimum. (Gambar (a))

Jika pada x < a ,f(x) naik dan x > a, f(x) turun maka x = a

adalah titik balik maksimum. (Gambar (b))

Jika pada x < a, f(x) naik dan x > a, f(x) juga naik

maka x = a adalah titik belok. (Gambar (c))

Jika pada x < a, f(x) turun dan x > a, f(x) juga turun

maka x = a adalah titik belok. (Gambar (d))

April 15, 2023

Contoh:

Tentukan nilai-nilai stasioner fungsi f(x) = x2 – 3x + 2 dan

jenisnya.

Jawab:

f(x) = x2 – 3x + 2 f'(x) = 2x – 3.

Nilai stasioner dicapai jika f'(x) = 0, yaitu di titik .

Untuk fungsinya turun.

Untuk maka fungsinya naik.

Dengan demikian, nilai stasioner pada yaitu

adalah titik balik minimum, tepatnya adalah titikApril 15, 2023

April 15, 2023

Secara geometris dapat dilihat pada grafik berikut.

Dalam menggambar grafik suatu fungsi f(x), langkah-

langkah yang perlu kalian perhatikan adalah sebagai

berikut.

1. Menentukan titik potong fungsi f(x) dengan sumbu-sumbu

koordinat (sumbu X dan sumbu Y).

2. Menentukan titik-titik stasioner atau titik ekstrem dan

jenisnya.

3. Menentukan titik-titik sembarang dalam fungsi untuk

memperhalus grafik.April 15, 2023

Contoh:

Sketsalah grafik fungsi f(x) = 2x3 – x4.

Jawab:

Langkah 1:

f(x) = 2x3 – x4 = x3(2 – x) = 0

x = 0 atau x = 2 (0, 0) dan (2, 0).

Titik potong dengan sumbu Y, x = 0 sehingga f(0) = 0 (0, 0)

Langkah 2:

f(x) = 2x3 – x4 f'(x) = 6x2 – 4x3 = 2x2(3 – 2x) = 0

x = 0 atauApril 15, 2023

a) Untuk x = 0

Untuk x < 0 maka f'(x) > 0 fungsi f(x) naik.

Untuk x = 0 merupakan nilai di mana terdapat titik belok

Untuk maka f'(x) > 0 f(x) naik.

Jadi x = 0 merupakan nilai di mana terdapat titik belok.

b) Untuk

Untuk maka f'(x) > 0 f(x) naik.

Untuk maka f'(x) < 0 f(x) turun.

Jadi titik balik maksimum

April 15, 2023

April 15, 2023

Grafiknya adalah seperti gambar berikut.

Arah gradiennya seperti ditunjukkan gambar berikut.

1. Menentukan Persamaan Garis Singgung Kurva

Persamaan garis di titik (a, b) dan bergradien m adalah

y – b = m(x – a).

Karena gradien garis singgung f(x) di titik (a, b) adalah

y' = f'(a), persamaannya dapat dirumuskan dengan

y – b = f'(a)(x – a)

April 15, 2023

Contoh:

Tentukan persamaan garis singgung fungsi f(x) = x2 di titik

(2, 4).

Jawab:

f(x) = x2

f'(x) = 2x.

f'(2) = 2(2) = 4.

Oleh karena itu, persamaan garis singgungnya adalah

y – 4 = 4(x – 2)

y = 4x – 4

April 15, 2023

2. Perhitungan Kecepatan dan Percepatan

Kecepatan rata-rata = v(t) =

s = perubahan jarak; t = perubahan waktu.

Jika Δt → 0, kecepatan v(t) dirumuskan dengan

v(t) = atau v(t) =

Misalkan percepatan pada saat t dinotasikan dengan a(t).

a(t) =

April 15, 2023

t

s

dt

dst

st

0lim

2

2

dt

sd

dt

ds

dt

d

dt

dv

Contoh:Suatu benda bergerak sepanjang garis lurus. Jarak yang

ditempuh benda tersebut dalam waktu t detik adalah

meter.Tentukan kecepatan benda pada waktu t = 2 detik.Jawab:Kecepatan benda saat t = 2 detik adalah sebagai berikut.

v(t) = = 2t2 – 9t + 10

v(2) = 2(2)2 – 9(2) + 10 Hal ini berarti pada saat t = 2 detik, benda berhenti sesaatkarena pada waktu itu kecepatannya nol.

April 15, 2023

dt

ds

3. Menentukan Limit Tak Tentu

Salah satu manfaat turunan adalah menentukan nilai limit

fungsi jika limit tersebut memiliki bentuk tak tentu. Aplikasi ini

sering disebut dengan dalil L’Hopital.

Jika f(x) dan g(x) memiliki turunan di x = a dan f(a) = g(a) = 0,

sedangkan f'(a) dan g'(a) tidak nol, berlaku rumus berikut.

April 15, 2023

)('

)('

)('

)('lim

)(

)(lim

ag

af

xg

xf

xg

xfaxax

Contoh:

Tentukan nilai .

Jawab:

f(x) = x – 2

g(x) = x2 – 4

Kita cek, f(2) = 0 dan g(2) = 0. Akibatnya, .

Kita gunakan dalil L’Hopital:

Diperoleh f'(x) = 1 dan g'(x) = 2x.

Jadi, .

April 15, 2023

4

1

2

1lim

4

2lim

222

xx

xxx

4. Menyelesaikan Kasus Maksimum atau Minimum

Contoh:

Suatu persegi panjang mempunyai keliling 200 cm. Tentukan panjang dan lebarnya agar luas bangun itu maksimum.

Jawab:

Misalkan panjang = p dan lebarnya = l.

Kelilingnya adalah

K = 2p + 2l

200 = 2p + 2l

p = 100 – l

Luasnya L = pl = (100 – l)l = 100l – l2.

April 15, 2023

April 15, 2023

Agar luasnya maksimum, turunan fungsi L harus nol.

=100 – 2l = 0 l = 50

p = 100 – l

= 100 – 50

= 50

Dengan demikian, agar luas bangun itu maksimum,

lebarnya 50 cm dan panjangnya 50 cm.

dt

ds