1. BAB 6Perbandingan Trigonometri dan Fungsi Trigonometri

2. Peta KonsepPerbandingan Trigonometri dan Fungsi Trigonometri PerbandinganFungsiPersamaanPenerapan TrigonometriTrigonometri Trigonometri Trigonometri sinGrafik FungsiBentuk a cos x + b IdentitasTrigonometri cos sin x = c Trigonometri tanSederhana sec Sudut-sudutIstimewa csc cotPerbandingan SudutAturanAturan Luas BerelasiSinusKosinus Segitiga 27 June 2012 3. A. Pengukuran Sudut1. Satuan Pengukuran Sudut Sudut adalah suatu bangun datar yang dibatasi oleh dua sinar (garis) yang bersekutu pada titik pangkalnya.B OA Satu derajat (1o) didefinisikan sebagai ukuran sudut yang 1 besarnya putaran penuh. Apabila diungkapkan360 bentuk matematis, dapat ditulis: 1 1o36027 June 2012 4. 2. Hubungan Satuan Derajat dan Radian 180 o 1 rad57 ,3o 180o rad o rad 1 0,0174 rad 180Perlu juga kalian ketahui bahwa27 June 2012 5. Contoh 1: Ubahlah besar sudut dalam satuan derajat di bawah ini ke dalam satuan radian. a. 30ob. 24o 24 Jawab: 30 oa. besar sudut (radian) rad180 o1 rad6o 2424o 60b. besar sudut (radian) rad180o27 June 2012 6. Contoh 2:Ubahlah besar sudut di bawah ini ke dalam satuan derajat.a. 2 rad b.1rad4Jawab : 180 oa. besar sudut (derajat) = 2 rad rad114 ,6 o180 o 1b. besar sudut (derajat) =radrad 445o27 June 2012 7. B. Perbandingan Trigonometri dari Suatu Sudut1. Nilai Perbandingan Trigonometri dari Suatu Sudut CBC 1 ACsin csc AC sin BCAB1ACcos sec AC cos AB BA 1 ABtan BCcot Perlu diingat .....!AB tan BC sin = DeMi (Depan Miring)cos = SaMi (Samping Miring) sin costan cot tan = DeSa (Depan Samping) cos sin 27 June 2012 8. Contoh : Diketahui nilai sin = 0,8. Tentukan nilai perbandingan berikut. a. cos d. csc b. tan e. cot c. sec Jawab : 8 Panjang AB 102 82C sin = 0,8 berarti sin =101006410836 AB6 6 Dengan mudah dapat ditentukan :610 6 a. cos = c. sec = 6 e. cot = 10 8 8 10 b. tan = d. csc = 6827 June 2012 9. Contoh : Jawab :CPanjang AC52 122 25 144135 169AB13 12 Dengan mudah dapat ditentukan : 5 1312135 5 1213 131227 June 2012 10. 2. Nilai Sinus, Kosinus, dan Tangen Sudut-Sudut Istimewa Dalam perbandingan trigonometri, sudut-sudut 0o, 30o, 45o , 60o, dan 90o disebut dengan sudut-sudut istimewa. Nilai-nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut tersebut, dapat ditampilkan dalam tabel berikut. 0o30o 45o 60o 90o sin011 1 12 3 22 2 cos111 1 0 32 22 2 tan011 3 3 327 June 2012 11. Contoh :Tanpa menggunakan tabel atau kalkulator, hitung nilaicos 60o sin 30o tan 45o Jawab : 1 1 cos 60 sin 30 tan 45 11 2 23. Perbandingan Trigonometri Suatu Sudut di Berbagai KuadranY Kuadran Kuadran IIKuadran I I II III IV X sin + +- -Kuadran III Kuadran IV cos + -- + tan + -+ -27 June 2012 12. 4. Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi a. Relasi Sudut dan (90o ) di Kuadran Isin (90o ) = cos cos (90o ) = sin tan (90o ) = cot b. Relasi Sudut dan (180o ) di Kuadran IIsin (180o ) = sin cos (180o ) = -cos tan (180o ) = -tan 27 June 2012 13. c. Relasi Sudut dan (180o + ) di Kuadran IIIsin (180o + ) = - sin cos (180o + ) = - cos tan (180o + ) = tan d. Relasi Sudut dan atau (360o - ) di Kuadran IVsin (360o - ) = -sin cos (360o - ) = cos tan (360o + ) = -tan Selain itu, juga tampak sin (- ) = - sin cos (- ) = cos tan (- ) = -tan 27 June 2012 14. Contoh :Tanpa menggunakan kalkulator, hitunglah nilai4 a. sin 150o ; c. tan c. tan (-330o)3 b. cos 240 od. sin (210o) Jawab :a. Sudut 150o terletak di kuadran II. Oleh karena itu, sin 150o dapat1 dinyatakan sebagai sin (180o 30o) = sin 30o =2b. Sudut 240o terletak di kuadran III. Oleh karena itu, cos 240o dapat dinyatakan 1 sebagai cos 240o = cos (180o + 60o) = cos 60o = 2 4o. Berarti tan 4 o. Sudut4c. Sudut = 240 = tan 240 terletak di kuadran III. 3 33 Oleh karena itu, 4tan= tan 240 3 = tan (180o + 60o) = tan 60o = 327 June 2012 15. d. sin (210o) = sin 210oSudut 210o terletak di kuadran III. Oleh karena itu. sin (210o) = sin 210o = sin (180o + 30o)= (sin 30o)12e. tan (330o) = tan 330o Sudut 330o terletak di kuadaran IV. Oleh karena itu, tan (330o) = tan 330o = tan (360o 30o) = (tan 30o) = tan 30o13327 June 2012 16. C. Hubungan Perbandingan Trigonometri dan Identitas TrigonometriNilai-nilai perbandingan trigonometri dari suatu-sudutmempunyai suatu hubungan tertentu. Di antarahubungan-hubungan perbandingan itu adalah sebagaiberikut.2 2 1. sin + cos =12 2 2. sec = 1 + tansin 3. tancos2 2 4. cos 1 csc27 June 2012 17. D. Fungsi Trigonometri dan Grafiknya1. Fungsi TrigonometriPemetaan-pemetaan atau fungsi-fungsi trigonometri sin tan cos(a)(b)(c)a. Gambar (a), fungsi sinus didefinisikan f : sin , R, dengan f() = sin .b. Gambar (b), fungsi kosinus didefinisikan f : cos , R, dengan f() = cos .c. Gambar (c), fungsi tangen didefinisikan f : tan , B, dengan f() = tan . 27 June 2012 18. 2. Grafik Fungsi Trigonometri Periode fungsi f(x) = sin x dan f(x) = cos x adalah 2 atau 360o.Amplitudo fungsi f(x) = sin x dan f(x) = cos x adalah 1. a. Grafik Fungsi f(x) = sin x1) Pilih titik-titik untuk sudut-sudut istimewa2) Carilah nilai sinus masing-masing titik dan tampilkan dalam tabel berikut. 1 1 1 1 2 5 7 4 3 5 11x02 6 4 3 2 3 6 6 3 2 3 6 1 1 1 1 1 1 1 11sin x0 2 3 1 3 0 3 1 30 2 2 2 2 2 2 2 2227 June 2012 19. Berdasarkan tabel di atas, grafiknya tampak pada gambar berikut.Y1 f(x)sin x 2 0 X-1Amplitudo 1Periode 2 Dari gambar di atas terlihat bahwa 1 sin x 1, untuk 0 x 2. Hal yang sama juga berlaku secara umum untuk < x < .27 June 2012 20. b. Grafik Fungsi f(x) = cos x 0 11 1 1 2 5 7 4 3511 x2 64 3 2 3 6 6 3 236 cos x 1 11 1 0 1 1 1 101 1 13 2 3 1 3 3 22 2 2 2 2 2 2 2 Jika ditampilkan grafiknya adalah sebagai berikut.Y1 Amplitudo = 1 f(x) cos x Periode = 2.1 cos x 12 0X-127 June 2012 21. c. Grafik Fungsi f(x) = tan x 1 1 1 1 2 5 7 4 3 5 11 x 0 2 6 4 3 2 3 6 6 3 2 3 6 1 1 1 3 1tan x0 3 133 3 0 3 3 3 0 3 3 3 3Jika ditampilkan grafiknya adalah sebagai berikut.Y1 f(x)tan x 1 3 202 2 X < tan x < Periode = -127 June 2012 22. F. Persamaan Trigonometri 1. Persamaan Trigonometri Sederhana Persamaan trigonometri dengan sudut derajatApabila sin xo = sin o maka x = o + k.360 atauxo = (180o o) + k.360oApabila cos xo = cos o maka xo = o + k.360o atau xo = o + k.360oApabila tan xo = tan o maka xo = o + k.180o. Persamaan trigonometri dengan sudut radianApabila sin x = sin maka x = + k . 2 atau x = ( - ) + k . 2Apabila cos x = cos maka x = + k . 2 atau x = - + k . 2Apabila tan x = tan maka x = + k . 2 atau x = +k. 27 June 2012 23. Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri berikut. Jawab : Nilai x yang memenuhi adalah (untuk k = 0). 7 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah 627 June 2012 24. 2. Persamaan Trigonometri Bentuk a cos x + b sin x = c Bentuk a cos x + b sin x dapat diarahkan ke bentuk k cos (x ). Perlu diketahui bahwa cos (x ) = cos x cos + sin x sin sehingga a cos x + b sin x = k . cos (x )= k(cos x cos + sin x sin ) = (k cos ) cos x + (k.sin ) sin x Hal ini sama artinya dengan a = k cos dan b = k sin Ingat: cos2 + sin2 = 1Oleh karena itu, a2 + b2 = (k . cos )2 + (k.sin )2= k2(cos2 + sin2 ) = k2a2 + b2 = k2dengan syarat k2 c2 27 June 2012 25. G. Rumus-Rumus Segitiga1. Aturan Sinus Dalam setiap segitiga ABC dengan panjang sisi-sisi BC, AC, dan AB berturut-turut adalah a, b, dan c satuan panjang dan besar sudut di hadapan sisi-sisi itu berturut-turut adalah , , , berlaku aturan sinus berikut. a b c sin sin sin Jika panjang sisi salah satu sudut dan besar sudut di hadapan sisi tersebut diketahui.27 June 2012 26. Contoh:Pada segitiga ABC, sisi AC = 16 cm, AB = 21 cm, dan = 42o, tentukansudut-sudut segitiga ABC yang lain.Jawab:Diketahui, AC = b = 16 cm, = 42o, AB = c = 21 cm,=?BC = a = ? =?b csin sin16 21sin 42o sin21 sin 42 o sin0,8782 16Dengan menggunakan kalkulator, diperoleh = 61,43oSetelah besar sudut dan diketahui, besar sudut juga dapatdicari. = 180o ( + ) = 180o (42o+ 61,43o) = 76,57o.27 June 2012 27. 2. Aturan Kosinus Dalam setiap segitiga ABC dengan panjang sisi-sisi BC, AC, dan AB berturut-turut adalah a, b, c dan besar sudut di hadapan sisi-sisi itu berturut-turut adalah , , dan , berlaku aturan kosinus.a2 = b2 + c2 2bc cos b2 = a2 + c2 2ac cos c2 = a2 + b2 2ab cos Aturan kosinus juga dapat digunakan untuk mencari unsur-unsur segitigayang belum diketahui.Aturan sinus tidak dapat digunakan apabila yang diketahui hanya panjangsemua sisinya, tidak ada satu pun suatu sudut dan panjang sisi yang ada dihadapannya diketahui besarnya.Masalah ini dapat diatasi dengan aturan kosinus.27 June 2012 28. Contoh:Diketahui segitiga ABC, dengan panjang BC = 4 cm, AC = 6 cm, dan =65o. Tentukan panjang sisi AB.Jawab :MisalkanBC = a = 4 cm,AC = b = 6 cm, danAB = c.Dengan menggunakan aturan kosinus, panjang AB = c dapat dicari,yaituc2 = a2 + b2 2 ab cos = 42 + 62 (2)(4)(6) cos 65o = 16 + 36 48 (0,4226)c2 = 31,7152 c = 5,631627 June 2012 29. H. Penerapan Trigonometri1. Penerapan Trigonometri untuk Mencari Luas Segitigaa.Jika unsur segitiga yang diketahui adalahsudut , panjang sisi b, dan panjang sisi c.1 L= bc sin A 2b. Jika unsur segitiga yang diketahui adalahsudut , panjang sisi a, dan c.1L=ac sin 2c. Jika unsur segitiga yang diketahui adalah sudut , panjang sisi a, dan b.1 L= ab sin 227 June 2012 30. Contoh:Tentukan luas segitiga ABC apabila yang diketahui A = 120o, panjang AC = 10cm, dan panjang AB = 8 cm.Jawab:MisalkanAC=b = 10 cm,AB=c = 8 cm, dan = 120oRumus yang digunakan :1L= bc sin 2 1L= (10)(8) sin 120O 2 1 1L= (10)(8) 3 2 2 20 327 June 2012 31. 2. Luas Segitiga Jika diketahui panjang ketiga sisinya 32. 2. Penerapan Trigonometri dalam Kasus Umum Contoh 1 : Sebuah alat pengamat digunakan untuk mengamati sebuah balon dengan sudut elevasi 60o. Jarak alat pengamat ke titik yang terletak di tanah tepat di bawah balon adalah 245 m. Tentukan ketinggian balon tersebut. Jawab: Perhatikan sketsa di samping. Masalah tersebut dapat diselesaikan menggunakan tangen sudut.y 0 y tan 60y 245 tan 60 245 3 424,35x 245 Jadi, tinggi balon tersebut adalah 424,35 m 27 June 2012 33. Cara lain adalah menggunakan kosinus. Dengan menggunakan kosinus, terlebih dahulu kalian cari panjang r.x245245 245 cos 60 r 490r rcos 60 0,5 Jadi, panjang r = 490 m.Selanjutnya, dengan menggunakan rumus Pythagoras, dapatdicari tinggi balon, yaituyr2 x2 4902 2452 424 35, Jadi, tinggi balon adalah 424,35 m.27 June 2012 34. Contoh 2:Sebuah pohon diamati oleh pengamat A dengan sudut elevasi 53o. Di lainpihak, pengamat B juga mengamatinya dengan sudut elevasi 30o. Jikajarak kedua pengamat 15 m, tentukan tinggi pohon tersebut.Jawab:Perhatikan sketsa di samping.Pada gambar tersebut, panjang BD dapat dicaridengan aturan sinus. CAD = 53o sehingga BAD =180o 53o = 127o.Karena besar sudut DBA = 30o maka BDA = 180o ( DBA + BAD) = 180o (127o + 30o) = 23o27 June 2012 35. panjang BD panjang AB sin BADsin BDA panjang AB sinBAD panjangBD sin BDA 15 sin 127 sin 23 15 0,7986 30 ,66 m 0,3907Tinggi pohon = panjang CD. Perhatikan segitiga siku-siku BCD. panjang CDsinDBC panjang BDpanjang CD panjang BD sinDBC 30 ,66 sin 30 30 ,66 0,5 15 ,33(tinggi pohon)27 June 2012