BAB V

PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINIER SERENTAK

1. Pengantar

Persamaan Nonlinear serentak adalah kumpulan dari dua atau lebih

persamaan nonlinear. Contoh persamaan nonlinear sbb :

Ada dua metode yang bisa digunakan untuk menyelesaikan persamaan

nonlinear serentak yaitu metode Newton Raphson dan Metode Iterasi bentuk

x = F(x, y, z, …..). Kedua metode tersebut sebenarnya juga dapat digunakan untuk

menyelesaikan persamaan linear serentak. Penyelesaian persamaan nonlinear

serentak ordo tinggi dilakukan dengan cara yang sama dengan persamaan nonlinear

ordo dua, tetapi penyelesaiannya akan semakin kompleks dan jumlah iterasinya

semakin banyak.

2. Metode Newton Raphson

Metode Newton Raphson untuk persamaan nonlinear serentak adalah

metode penyelesaian persamaan serentak nonlinear yang dilakukan dengan proses

iterasi. Kelebihan penyelesaian persamaan nonlinear serentak dengan metode

newton raphson ini adalah proses iterasinya yang cepat, tetapi penyelesaian metode

ini akan menjadi kompleks jika digunakan untuk menyelesaikan persamaan nonlinear

serentak ordo tinggi (lebih dari ordo tiga) sebab akan terjadi pencarian nilai

determinan matriks ordo tinggi. Pada pembahasan ini akan dibatasi hanya pada dua

persamaan serentak nonlinear.

Metode Komputasi, Penyelesaian Persamaan Nonlinear Serentak

Cara Penyelesaian dengan Metode Newton Raphson

a. Pandang dua persamaan nonlinear serentak .

F ( x,y ) = 0

G ( x,y ) = 0

Anggap x0, y0 merupakan nilai pendekatan dari akar-akar dimana h dan

k adalah koreksi-koreksinya, sehingga :

x = x0 + hy = y0 + k

Maka fungsinya menjadi :

F ( x0 + h, y0 + k ) = 0

G (x0 + h, y0 + k ) = 0

b. Karena h dan k relatif kecil, maka kwadrat, perkalian dan pangkat tinggi

darinya dihapus dan persamaannya menjadi sederhana, yaitu :

Dengan aturan Cramer diperoleh h untuk k.

Koreksi pertama h1 dan k1 adalah :

Metode Komputasi, Penyelesaian Persamaan Nonlinear Serentak

45

Koreksi tambahan didapat dengan menggunakan rumus-rumus ini

berkali-kali dan mencari nilai-nilai yang terbaik dari x dan y dengan

mensubstitusikan hasil h dan k di setiap langkah.

Notasi berarti nilai jika (x = x0) dan (y = y0).

Notasi berarti nilai jika (x = x1) dan ( y = y1 ) dan

seterusnya.

Contoh. 5.1

Tentukan penyelesain fungsi berikut dengan pendekatan (x=3.4 , y=2.2)

dengan metode Newton Raphson.

Penyelesaian :

Metode Komputasi, Penyelesaian Persamaan Nonlinear Serentak

46

sehingga :

Lakuka iterasi selanjutnya seperti cara diatas hingga diperoleh h dan k nol.

3. Metode Iterasi x = F (x, y, z, ……)

Metode iterasi x = F (x, y, z, ……) adalah metode penyelesaian persamaan

serentak nonlinear dengan membentuk persamaan nonlinear menjadi bentuk

x = F (x, y, z, ……). Kelebihan metode iterasi ini adalah langkah penyelesaiannya

lebih sederhana dari metode Newton Raphson, tetapi keterbatasannta adalah jumlah

iterasinya lebih banyak dari metode newton raphson terutama untuk persamaan

nonlinear serentak ordo tinggi. Pada kesempatan ini dibatasi hanya untuk

penyelesaian 2 persamaan nonlinear serentak.

Cara penyelesaian dengan Metode Iterasi x = F (x, y, z, ……)

a. Ubah bentuk persamaan nonlinear serentak menjadi bentuk berikut,

persamaan diatas dapat diselesaikan jika memenuhi syarat berikut,

b. Tentukan titik awal x10 dan x2

0 , kemudian uji titik pendekatan tersebut

hingga memenuhi syarat diatas.

c. Lakukan iterasi dengan mengikuti langkah-langkah diatas sampai

diperoleh nilai x1 dan x2 yang tidak berubah.

Metode Komputasi, Penyelesaian Persamaan Nonlinear Serentak

47

Contoh. 5.2

Tentukan penyelesaian fungsi berikut dengan

Metode Iterasi x = F (x, y, z, ……)

Penyelesaian :

Sekarang mulai laksanakan iterasi

Iterasi pertama, (n=0), diperoleh

Metode Komputasi, Penyelesaian Persamaan Nonlinear Serentak

48

Iterasi kedua, (n=1), diperoleh

Lakukan iterasi selanjutnya dengan cara yang sama seperti diatas. Iterasi

akan berhenti setelah nilai x1 dan x2 tidak berubah.

Soal-Soal

1. Selesaikan dengan metode Newton Raphson persamaan serentak berikut :

Metode Komputasi, Penyelesaian Persamaan Nonlinear Serentak

49

2. Selesaikan dengan metode Iterasi persamaan serentak berikut :

Metode Komputasi, Penyelesaian Persamaan Nonlinear Serentak

50