BAB IVPenggunaan Turunan

IV. PENGGUNAAN TURUNAN

Tujuan pembelajaran :

1. Mencari titik-titik kritis dari suatu fungsi dengan menggunakan turunan

pertama sesuai definisi titik kritis.

2. Menghitung nialai ekstrim (maksimum dan minimum) dari suatu fungsi

dengan menggunakan turunan pertama.

3. Menentukan kemonotonan (naik dan turun) grafik dari suatu fungsi

dengan menggunakan turunan pertama.

4. Menentukan kecekungan (kebawah dan keatas) dan titik balik grafik dari

suatu fungsi dengan menggunakan turunan kedua.

5. Menggambarkan grafik suatu fungsi dimana dari grafik tersebut dapat

diketahui nilai ekstrim, kemonotonan, kecekungan dan titik balik serta

sifat fungsinya.

6. Menyelesaikan persoalan lain (soal cerita) untuk masalah maksimum dan

minimum dengan menggunakan turunan.

Maksimum dan Minimum.

Definisi 4.1.1. (nilai maksimum dan minimum)

Misalkan S daerah asal f dan S memuat titik c, kita katakan bahwa :

1. f (c) adalah nilai maksimum f pada S jika f (c) > f (x), untuk setiap x S.

2. f (c) adalah nilai minimum f pada S jika f (c) < f (x), untuk setiap x S.

3. f (c) adalah nilai ekstrim f pada S jika f (c) adalah nilai maksimum atau nilai

minimum.

Tidak semua fungsi mempunyai nilai maksimum atau minimum, fungsi yang tidak

mempunyai nilai maksimum atau minimum dapat mempunyai maksimum atau

minimum dengan membatasi daerah asalnya.

Matematika I48

BAB IVPenggunaan Turunan

Teorema 4.1. (eksistensi ekstrim)

Jika f kontinu pada interval tertutup [a, b] maka f mempunyai maksimum dan

minimum.

Biasanya fungsi yang ingin kita maksimum dan minimumkan akan mempunyai suatu

interval I sebagai daerah aslnya. Beberapa dari interval ini mempunyai titik ujung. Jika

sebuah titik dimana f ’(c) = 0, maka c disebut titik stasioner. Jika c adalah titik dalam

dari I dimana f ’(c) tidak ada, maka c disebut titik singular. Sebarang titik dalam daerah

asal f yang termasuk salah satu dari ketiga titik yang dikemukakan diatas disebut tittik

kritis dari f.

Definisi 4.1.2. (titik kritis)

Misalkan fungsi f kontinu pada interval terbuka I yang memuat c, titik (c, f (c))

dinamakan titik kritis dari f jika f ’(c) = 0 atau f ’(c) tidak ada.

Catatan : titik kritis tidak selalu merupakan tittik ekstrim.

Teorema 4.1.2. (titik kritis terhadap nilai ekstrim)

Misalkan f punya tururnan pada interval I yang memuat titik c . Jika f (c) adalah nilai

ekstrim maka c haruslah suatu titik kritis yaitu c berupa salah satu dari :

1. Titik ujung dari I

2. Titik stasioner dari f atau titik c dimana f ’(c) = 0.

3. Titik singular dari f atau titik c dimana f ’(c) tidak ada.

Contoh 4.1.

Carilah nilai ekstrim dari fungsi f (x) = - 2x3 + 3x2, pada I = [- ½ , 2]

Penyelesaian.

f (x) = - 2x3 + 3x2, pada [- ½ , 2]. Sebelum mencari nilai ekstrim maka akan di cari titik-

titik kritis yaitu :

1. Titik ujung : karena I merupakan interval tertutup maka x = - ½ dan x = 2

merupakan titik-titik ujung dari f pada I.

Matematika I49

BAB IVPenggunaan Turunan

2. Titik stasioner : f (x) = - 2x3 + 3x2 f ’(x) = - 6x2 + 6x, untuk

menentukan titik stasioner, misalkan f ’(x) = 0 sehingga – 6x2 + 6x = 0 atau -6x

(x – 1) = 0 sehingga x = 0 atau x = 1 merupakan titik stasioner dari f pada I.

3. Titik singular : karena f ’(x) terdefinisi pada seluruh bilangan riil maka

titik singular tidak ada.

Jadi titik kritis dari funsi f adalah : x = - ½ , x = 0, x = 1 dan x = 2.

Untuk menentukan nilai ekstrim dari f, gantilah nilai x pada f (x) = - 2x 3 + 3x2 dengan

titik-titik kritis, maka

f (- ½ ) = - 2 (- ½ )3 + 3 (- ½ )2 = 1,

f ( 0 ) = - 2 ( 0 )3 + 3 ( 0 )2 = 0,

f ( 1 ) = -2 ( 1 )3 + 3 ( 1 )2 = 1, dan

f ( 2 ) = - 2 ( 2 )3 + 3 ( 2 )2 = - 4.

Dari nilai-nilai tersebut maka nilai ekstrim dari f adalah : nilai maksimum (fmaks) = 1

dicapai pada x = - ½ dan x = 1, dan nilai minimum (fmin) = - 4 dicapai pada x = 2.

Grafik fungsinya dapat dilihat pada gambar berikut.

Uji Turunan Pertama.

Definisi 4.2. (kemonotonan)

Misalkan f terdefinisi pada interval I (terbuka, tertutup, atau tak satupun), kita katakan

bahwa :

Matematika I

maks maks

min

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

sumbu x

sumb

u y

gambar 4.1. grafik f(x) = -2x 3 + 3x 2

50

BAB IVPenggunaan Turunan

1. f naik pada I jika untuk setiap pasangan bilangan x1 dan x2 dalam I dimana

x1 < x2, maka f (x1) < f (x2).

2. f turun pada I jika untuk setiap pasangan bilangan x1 dan x2 dalam I dimana

x1 < x2, maka f (x1) > f (x2).

3. f monoton pada I jika ia naik atau turun pada I.

Teorema 4.2. (uji turunan pertama untuk kemonotonan)

Misalkan f kontinu pada I dan punya turunan pada setiap titik dalam dari I,

1. Jika f ’(x) > 0 untuk setiap x I, maka f naik pada I.

2. Jika f ’(x) < 0 untuk setiap x I, maka f turun pada I.

Contoh. 4.2.

Jika f (x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 7, tentukanlah dimana grafik f (x) naik dan dimana grafik

f (x) tururn.

Penyelesaian.

berdasarkan teorema 4.2, maka kita perlu mencari f ’(x) untuk menentukan

kemonotonan.

Jika f (x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 7 f ’(x) = 6x2 – 6x – 12. untuk menentukan dimana

f ’(x) > 0 dan dimana f ’(x) < 0, misalkan f ’(x) = 0 6x2 – 6x – 12 = 0 atau

6 (x + 1) (x – 2) = 0 dengan demikian diperoleh titik pemecah x = -1 dan x = 2 yang

akan membagi garis bilangan riil menjadi tiga bagian yaitu x < -1, -1 < x < 2 dan x > 2.

Dan dengan mengambil titik-titik uji : -2, 0, dan 3, maka kita dapatkan kesimpulan

seperti yang dinyatakan dalam tabel berikut :

Interval Titik uji Hasil uji f ’(x) = 6x2 – 6x – 12 Tanda

(- , -1) - 2 24 +

(- 1, 2) 0 - 12 -

( 2, ) 3 24 +

atau dengan garis bilangan riil :

(+) (-) (+)

-1 2 uji terhadap f ’(x)

jadi dapat di simpulkan bahwa grafik fungsi f (x) naik pada I = (- , -1) dan

I = ( 2, ), dan grafik fungsi f (x) turun pada I = (- 1, 2)

Matematika I51

BAB IVPenggunaan Turunan

Grafik fungsinya dapat dilihat pada gambar berikut

Uji Turunan Kedua

Definisi 4.3.1.

Misalkan f (x) punya turunan pada interval terbuka, I = (a, b), jika f ’(x) naik pada I

maka f dan grafiknya cekung keatas disana, dan jika f ’(x) turun pada I maka f dan

grafiknya cekung kebawah pada I.

Teorema 4.3. (uji turunan kedua untuk kecekungan)

Misalkan f terdiferensialkan dua kali (punya turunan kedua) pada interval terbuka

I = (a, b), oleh karenanya :

1. Jika f ’’(x) > 0 untuk semua x I, maka grafik f (x) cekung ke atas pada I

2. Jika f ’’(x) < 0 untuk semua x I, maka grafik f (x) cekung ke bawah pada I

Matematika I

f naik f turun

f naik

-3 -2 -1 0 1 2 3-40

-30

-20

-10

0

10

20gambar 4.2. grafik f(x) =2x3 + 3x2-12x+7

sumbu x

52

sum

bu y

BAB IVPenggunaan Turunan

Definisi 4.3.2. (titik belok / titik balik)

Andaikan fungsi f (x) kontinu di titik c, kita sebut (c, f(c)) suatu titik balik dari grafik

fungsi f (x) jika f (x) cekung keatas pada suatu sisi dan cekung ke bawah pada sisi

lainnya dari titik c.

Dalam pencarian titik-titik balik, kita mulai dengan mengenali titik-titik x dimana

f ’’(x) = 0 dan dimana f ’’(x) tidak ada, kemudian kita periksa apakah ianya benar-

benar merupakan titik balik.

Contoh 4.3.1.

Jika diberikan fungsi f (x) = x3 – x2 – 3x + 4, tentukan lah dimana kah grafik fungsi f

(x) naik, tururn, cekung keatas dan cekung ke bawah.

Penyelesaian.

Menentukan kemonotonan (dengan uji turunan pertama)

f (x) = x3 – x2 – 3x + 4 f ’(x) = x2 – 2x – 3 = (x + 1) (x – 3), misalkan f ’(x) = 0

(x + 1) (x – 3) = 0 diperoleh titik pemecah x = - 1 atau x = 3 yang mebagi grais

bilangan riil menjadi tiga bagian, sehingga dengan mengambil titik uji di dapat

kesimpulan yang dinyatakan dalam tabel berikut :

Interval Titik uji Hasil uji f ’(x) = x2 – 2x – 3 Tanda

(- , -1) - 2 5 +

(- 1, 3) 0 - 3 -

( 3, ) 4 5 +

dengan garis bilangan riil

(+) (-) (+)

uji terhadap f ’(x)

- 1 3

f naik pada (- , - 1) dan (3, ), turun pada (- 1, 3).

Menentukan kecekungan

f ’(x) = x2 – 2x – 3, maka f ’’(x) = 2x – 2. berdasarkan teorema 4.3, maka

Matematika I53

BAB IVPenggunaan Turunan

kita menguji turunan kedua. misal f ’’(x) = 0 2x – 2 = 0 x = 1, sehingga

(-) (+)

uji terhadap f ’’(x)

1

maka f cekung kebawah pada (- , 1) dan cekung keatas pada (1, ).

Grafik fungsinya dapat dilihat pada gambar berikut

Matematika I

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-6

-4

-2

0

2

4

6

sumbu x

su mb

u y

gambar 4.3. grafik f(x) =1/3x3-x2-3x+4

54