(1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1....
54
Transcript of (1) teorema penggunaan turunan · PDF filePenggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1....
Pada materi sebelumnya telah
dijelaskan bahwa Teorema Nilai
Rata-Rata (TNR diferensial)
memegang peranan penting dalam
kalkulus.
Pembuktian TNR membutuhkan
Teorema ROLLE (kalkulus diferensial)
yang selanjutnya akan dipakai pada
Penggunaan Turunan, Kalkulus
Integral danAnalisis Numerik.
Penggunaan Turunan yang akan
dibahas adalah
1. Penggambaran grafik fungsi
2. Pencarian nilai optimum
Pada materi tersebut dibutuhkan
beberapa teorema dan beberapa
konsep yang akan saling menunjang
satu sama lain.
Pada materi turunan dijelaskan bahwa
kemiringan garis singgung merupakan
tafsiran geometris dari TURUNAN
fungsi, sehingga turunan dapat digunakan
sebagai alat bantu menggambar grafik
fungsi.
Bantuan tersebut dalam hal penentuan
titik-titik garis singgung atau penentuan
interval dimana grafik terletak di atas
garis singgung atau dibawahnya dst.
ILUSTRASI GRAFIK
11, yxA
22 , yxB
33 , yxC
44 , yxD
55 , yxE
66 , yxF
77 , yxG
y
x
naik
cekung kebawah
cekung keatas
maks mutlak
min lokal
maks lokal
min mutlak
maks lokal
min lokal
naik
turun
cekung keatas
cekung kebawah
titik belok
88 , yxH
ekstrim relatif/ekstrim lokal
(i) F punya nilai maksimum
relatif di c jika ada selang
terbuka I memuat c dimana f
terdefinisi, sehingga f(c)≥f(x),
xI a c b x
a c b x
(ii) F punya nilai minimum
relatif di c jika ada selang
terbuka I memuat c dimana f
terdefinisi, sehingga f(c)≤f(x),
xI
Jika fungsi f mempunyai nilai
maksimum relatif atau nilai minimum
relatif di c, maka f dikatakan
mempunyai ekstrim relatif di c.
Jika f(x) ada untuk semua nilai x dalam
selang terbuka (a,b) dan jika f
mempunyai ekstrim relatif di c dimana
a<c<b maka f’(c) ada dan f’(c) = 0.
TEOREMA 1
(ii) f punya minimum relatif di c. Jika
f’(c) ada maka
menurut definisi (ii) >0 sehingga jika
0c)( -)(c0 fxfx
c
c)( -)(limc)('
x
fxff
cx
B
U
K
T
I
(i) f punya maksimum relatif di c. Jika
f’(c) ada maka
menurut definisi (i) >0 sehingga jika
0c)( -)(0 fxfcx
c
c)( -)(limc)('
x
fxff
cx
kasus (i)
0)c('0
c
)c(lim
0c
)c(0c
0)c('0c
)c(lim
0c
)c(c0
fx
fxf
x
fxfx
fx
fxf
x
fxfx
cx
cx
-Jika x mendekati c dari kanan x – c > 0 & jika
berdasar teorema tambahan limit jika limitnya ada maka
-Jika x mendekati c dari kiri x – c < 0 & jika
berdasar teorema tambahan limit jika limitnya ada maka
0)c(' 0)c(' 0)c(' fffKarena f’(c) ada dan serta maka
-Jika x mendekati c dari kanan x – c > 0 & jika
berdasar teorema tambahan limit jika limitnya ada maka
-Jika x mendekati c dari kiri x – c < 0 & jika
berdasar teorema tambahan limit jika limitnya ada maka
0)c('0
c
)c(lim
0c
)c(0c
0)c('0c
)c(lim
0c
)c(c0
fx
fxf
x
fxfx
fx
fxf
x
fxfx
cx
cx
0)c(' 0)c(' 0)c(' fffKarena f’(c) ada dan serta maka
kasus (ii)
Bila fungsi f didefinisikan di suatu
bilangan c maka syarat perlu
(bukan syarat cukup) agar f
mempunyai ekstrim relatif di c
adalah f’(c)=0 atau f’(c) tidak ada.
Bila c bilangan dalam daerah asal f
dan bila f ’(c)=0 atau f ’(c) tidak ada
maka c dikatakan bilangan kritis
dari f.
Andaikan f didefinisikan pada suatu
selang yang memuat c, misalkan I.
Jika f(c) adalah titik ekstrim maka c
haruslah suatu titik kritis , yakni c
berupa salah satu :
1. Titik ujung dari selang
2. Titik stasioner dari f [f ’(c)=0]
3. Titik singular dari f [f ’(c) tidak
ada]
TEOREMA 2
(1) f(c) nilai maksimum relatif f pada I
Andaikan c bukan titik ujung dan bukan titik
singular maka c titik stasioner. Karena f(c)
maksimum dari definisi (i), f(c)≥f(x), xI
f(x)-f(c)≤0.
(2) f(c) nilai minimum relatif f pada I
Andaikan c bukan titik ujung dan bukan titik
singular maka c titik stasioner. Karena f(c)
minimum dari definisi (ii), f(c)f(x), xI
f(x)-f(c)0.
B
U
K
T
I
0)c('maka0)c('serta0)c('danada)c('Karena
0)c('0)c(
lim )c('
shg ada,)c('singulark bukan titi c karena
0)c(
sehingga,0 maka ,cjika
0)c('0)c(
lim)c('
shg ada,)c('singulark bukan titi c karena
0)c(
sehingga,0 maka,cjika
-
ffff
fcx
fxff
f
cx
fxf
cxx
fcx
fxff
f
cx
fxf
cxx
cx
cx
kasus (1)
.0)c('maka0)c('serta0)c('danada)c('karena
0)c('0)c()(
lim)c('
shgada, )c(' makasingular k bukan titi c karena
0)c()(
sehingga 0 maka cjika
0)c('0)c()(
lim)c('
shgada, )c(' makasingular k bukan titi c karena
0)c()(
sehingga0makacjika
ffff
fcx
fxff
f
cx
fxf
cxx
fcx
fxff
f
cx
fxf
cxx
cx
cx
kasus (2)
1. f(c) dikatakan nilai maksimummutlak fungsi f jika c di daerah asalf dan f(c)≥f(x) untuk semua nilai xdalam daerah asal f.
2. f(c) dikatakan nilai minimummutlak fungsi f jika c di daerah asalf dan f(c) ≤ f(x) untuk semua nilai xdalam daerah asal f.
ekstrim mutlak/ekstrim global
Ekstrim mutlak suatu fungsi fadalah nilai maksimum mutlak
atau nilai minimum mutlak
fungsi didaerah asal f.
Daerah asal disini bisa berupa
suatu selang ataupun himpunan
dst.
Misalkan f fungsi yg didefinisikan pd [-4,3]
Cari titik-titik kritisnya dan nilai ekstrim nya!
862
1
3
1)( 23 xxxxf
Jawab
•titik-titik ujungnya adalah -4 dan 3
•titik stasionernya x =-3 dan x=2 [jika f ’(x)=0
•titik singularnya tidak ada.
titik-titik kritisnya adalah -4, -3, 2 dan 3
contoh 1
Nilai f(x) pada titik-titik kritisnya adalah
x = -4 f(-4) = 18,67;
x = -3 f(-3) = 21,5;
x = 2 f(2) = 0,67;
x = 3 f(3) = 3,5
Jadi pada selang [-4,3]
f punyai nilai maksimum mutlak 21,5
f punya nilai minimum mutlak 0,67
862
1
3
1)( 23 xxxxf
Bila fungsi f kontinu pada selang
tertutup [a,b] maka fungsi f
mempunyai nilai maksimum dan nilai
minimum mutlak (nilai ekstrim) pada
[a,b] (syarat cukup bukan syarat perlu)
TEOREMA 3
Bukti dapat dilihat pada buku teks
kalkulus lanjut, pada kuliah ini teorema
ini hanya akan dipakai tanpa dibuktikan.
Cari titik kritis fungsi pd I
nilai maksimum & nilai minimum
fungsi kontinu pada selang tertutup I
Terbesar Terkecil
Maksimum Minimum
ujung
stasioner
singular
Hitung fungsi f pd titik kritis
Jawab
f fungsi polinomial → f kontinu pada
[-½,2] sehingga teorema-teorema nilai
ekstrim dapat digunakan
contoh 2
Cari nilai maksimum dan minimum dari
fungsi berikut pada [-½,2]
23 32 xxxf
I.Dicari titik kritis
- Titik ujung adalah -½ dan 2
- Titik stasioner f’(x)=6x2 +6x=-6x(x-1)=0
diperoleh x=0 dan x=1
- Titik singular tidak ada
Jadi titik kritis -½,0,1,2
II. f(-½)=1, f(0)=0, f(1)=1, f(2)=-4
- Nilai maksimum 1 pada x=1 dan x= -½
- Nilai minimum –4 pada x =2
y
x
Andaikan f terdefinisi pada suatu selang I,
(i) f naik pada I jika untuk setiap pasangan
bilangan x1 dan x2 dalam I
x1 x2 f(x1)f(x2)
(ii) f turun pada I jika untuk setiap
pasangan bilangan x1 dan x2 dalam I
x1 x2 f(x1)f(x2)
(iii) f monoton pada I jika f naik atau f
turun pada suatu selang I.
kemonotonan
Misalkan f kontinu pada
selang [a,b], dan terdiferensiasi
pada (a,b):
(i) Jika f’(x)0 untuk setiap x pada
(a,b) maka f naik pada [a,b]
(ii) Jika f’(x)0 untuk setiap x pada
(a,b) maka f turun pada [a,b]
TEOREMA 4
Misalkan x1,x2[a,b] dgn x1x2.
Karena f kontinu pada [x1,x2] dan
terdiferensial pada (x1,x2), dari
teorema TNR bilangan c pada
[x1,x2] sehingga
Dari x1x2 → x2–x10 & f ’(c)0,
sehingga f(x2)–f(x1)0 f(x1)f(x2)
→ f naik pada [a,b]■
12
12 )()((c)'
xx
xfxff
BUKTI
i
Misalkan x1, x2[a,b] dgn x1 x2.
Karena f kontinu pada [x1,x2] dan
terdiferensial pada (x1,x2), dari
teorema TNR bilangan c pada
[x1,x2] sehingga
Dari x1x2 → x2–x10 dan f ’(c)<0,
sehingga f(x2)–f(x1)< 0 f(x1)>f(x2)
→ f turun pd [a,b]■
12
12 )()((c)'
xx
xfxff
BUKTI
ii
Diberikan fungsi f(x) = 2x3+9x2-24x.
Dengan menggunakan teorema
kemonotonan, cari dimana fungsi yang
diberikan naik dan dimana turun.
24186)('
2492)(
2
23
xxxf
xxxxf
contoh 3
Jawab
)(1,dan )4,( padanaik Jadi
04)1)(-(043024186
0)(' jikanaik i)(
22
f
xxxxxx
xff
)1,4( pada turun Jadi
04)1)(-(043024186
0)(' jika turun (ii)
22
f
xxxxxx
xff
f(x) =2x3 + 9x2 - 24x
-20-10
0102030405060708090
100110120
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
y
Andaikan f terdefinisi pada (a,b) yang memuat c
sehingga xc(a,b), titik (x,f(x)) pada grafik terletak
1. Diatas garis singgung pada grafik dititik (c,f(c))
maka grafik fungsi f cekung keatas dititik (c,f(c)).
2. Dibawah garis singgung pada grafik dititik (c,f(c))
maka grafik fungsi f cekung kebawah dititik
(c,f(c)).
(c,f(c))
(c,f(c))
cekung
kebawah
cekung
keatas
kecekungan fungsi
Misalkan f fungsi terdiferensial pada
selang terbuka yang memuat c, maka :
(i) f”(c)>0, f cekung keatas di (c,f(c)).
(ii) f”(c)<0, f cekung kebawah di (c,f(c)).
cekung keatas
x0
y
cekung kebawah
x0
y
TEOREMA 5
c ,0c
)c(')('
limit eoremaberdasar t
0c
)c(')('lim 0)c("
karena
c
)c(')('lim)c("
xx
fxf
x
fxff
x
fxff
cx
cxBUKTI
i
(c , f(c))
Q(x , f(x))
f(x)
T
c x
)c)(c(')c( xffy
Tinjau garis singgung pada grafik f
dititik (c,f(c)). Persamaan garisnya :
Misalkan :
x bilangan pada selang terbuka sehingga x c.
Q titik pada grafik f dengan titik (x , f(x)).
T titik perpotongan garis singgung dan garis
sejajar sumbu y melalui Q.
)c)(c(')]c()([
)]c)(c(')c([)(
xffxfTQ
xffxfTQ
0TQ
Untuk membuktikan f cekung keatas dititik
(c,f(c)) akan ditunjukkan xc diselang
terbuka tersebut.
Menurut TNR terdapat bilangan d antara x dan c
sehingga
Jadi
karena d antara x dan c, dan d pada selang terbuka
yang sama sehingga dengan mengambil x = d.
Diperoleh
)c)(d(')c()(c
)c()()d('
xffxf
x
fxff
0cd
)c(')d('
ff
)]c(')d(')[c(
)c)(c(')c)(d('
ffxTQ
xfxfTQ
)).c(,c( di keatas cekung Jadi
0
positipbilangan sama yang tandapunya
(c)]'-(d)'[dan c)-(
sehingga
0)c(')d(' cdc0c- jika
0)c(')d(' cdc0c- jika
)]c(')d(')[c(
Diketahui
ff
TQ
TQ
ffx
ffxx
ffxx
ffxTQ
c ,0c
)c(')('
limit eoremaberdasar t
0c
)c(')('lim 0)c("
karena
c
)c(')('lim)c("
xx
fxf
x
fxff
x
fxff
cx
cxBUKTI
ii
)c)(c(')c( xffy
Tinjau garis singgung pada grafik f
dititik (c,f(c)). Persamaan garisnya :
Misalkan :
x bilangan pada selang terbuka sehingga x c.
Q titik pada grafik f dengan titik (x , f(x)).
T titik perpotongan garis singgung dan garis
sejajar sumbu y melalui Q.
0TQ
Untuk membuktikan f cekung kebawah dititik
(c,f(c)) akan ditunjukkan xc diselang
terbuka tersebut.
)c)(c(')]c()([
)]c)(c(')c([)(
xffxfTQ
xffxfTQ
Menurut TNR terdapat bilangan d antara x dan c
sehingga
Jadi
karena d antara x dan c, dan d pada selang terbuka
yang sama sehingga dengan mengambil x = d.
Diperoleh
)c)(d(')c()(c
)c()()d('
xffxf
x
fxff
0cd
)c(')d('
ff
)]c(')d(')[c(
)c)(c(')c)(d('
ffxTQ
xfxfTQ
)).c(,c( dikebawah cekung Jadi
0
negatifbilangan beda yang tandapunya
(c)]'-(d)'[dan c)-(
sehingga
0)c(')d(' cdc0c- jika
0)c(')d(' cdc0c- jika
)]c(')d(')[c(
Diketahui
ff
TQ
TQ
ffx
ffxx
ffxx
ffxTQ
Titik (c,f(c)) titik belok (balik) dari fungsi f jika
mempunyai garis singgung di titik (c,f(c)) dan
terdapat selang buka yang memuat c sehingga
untuk x diselang tersebut berlaku :
(i) f”(x) < 0 jika x < c dan f”(x) > 0 jika x > c.
(ii) f”(x) > 0 jika x < c dan f”(x) < 0 jika x > c.
cc
titik belok
Bila fungsi f terdiferensial pada
interval terbuka yang memuat c
dan (c,f(c)) suatu titik belok
(balik) dari grafik fungsi f maka
f ’’(c) ada dan f ’’(c) = 0.
TEOREMA 6
Misalkan g(x)=f ’(x) g’(x)=f”(x).
Karena (c,f(c)) titik belok grafik f menurut
kecekungan fungsi maka f”(x) berganti tanda
di c akibatnya g’(x) berganti tanda di c.
Berdasar teorema uji turunan pertama maka g
mempunyai ekstrim relatif di c dan c bilangan
kritis dari g.
Karena:
g’(c) = f”(c) dan f”(c) ada g’(c) ada
Sehingga berdasarkan teorema
g’(c) = 0 sehingga f”(c) = 0.■
BUKTI
Diberikan fungsi f(x)=1/3x3–x2–3x+4.
Tentukan titik belok, grafik cekung
keatas dan cekung kebawah, sketsa
grafik dan segmen garis singgung
pembelokan grafik f ?
contoh 4
Jawab
f(x) = 1/3x3 – x2 – 3x + 4
f ’(x) = x2–2x–3 = (x–3)(x + 1)
f”(x) = 2x – 2 = 2(x – 1)
f’(x) =(x – 3)(x + 1) = 0
titik kritis x = 3 dan x = -1 titik stasioner
f(-1) = 17/3 (maksimum relatif)
f(3) = -5 (minimum relatif)
f ”(x) = 2(x – 1) = 0
2(x – 1) > 0 (x – 1) > 0 x > 1
maka f ”(x) > 0 jika x > 1 cekung keatas
2(x – 1) < 0 (x – 1) < 0 x < 1
maka f”(x) < 0 jika x < 1 cekung kebawah
titik belok x = 1 f(1) = 1/3
)(xf )(' xf )('' xfx Keterangan
x < -1 + - naik, cekung kebawah
x = -1 0 -4 Maksimum relatif
-1< x < 1 - - turun, cekung kebawah
x = 1 -4 0 Titik belok
1< x < 3 - + turun, cekung keatas
x = 3 -5 0 4 Minimum relatif
x > 3 + + naik, cekung keatas
317
31
Diberikan fungsi f(x)=(1–2x)3. Tentukan
titik belok, titik dimana grafik cekung
keatas dan cekung kebawah, sketsa
grafik grafik f ?
contoh 5
Jawab
f(x) = (1 – 2x)3
f ’(x) = -6(1 – 2x)2
f”(x) = 24(1 – 2x)
f’(x)= -6(1 – 2x)2 = 0
titik kritis x = ½ (titik stasioner)
f(½) = 0
f ”(x) = 24(1 – 2x) = 0
(1 – 2x) > 0 x < ½
maka f ”(x) > 0 jika x < ½ cekung keatas
(1 – 2x) < 0 x > ½
maka f”(x) < 0 jika x > ½ cekung kebawah
titik belok x = ½ f (½) = 0.
x Keterangan
x < ½ - + turun, cekung keatas
x = ½ 0 0 0 Titik belok
x > ½ - - turun, cekung kebawah
)(xf )(' xf )('' xf
