Modul 6 · 2012. 4. 2. · Turunan pertama (first order conditions) 4. Turunan kedua (second order...

Modul 6

Ekonomi Produksi Pertanian

Program Studi Agribisnis

Fakultas Pertanian

Universitas Brawijaya

Ekonomi Produksi Pertanian: Pendekatan Neoklasik

Transliterasi, Interpretasi dan Penulisan Kembali dari Agricultural Production Economics dengan Penyesuaian dan Pengayaan Materi DAVID L.DEBERTIN – TATIEK KOERNIAWATI

VI-2

VI. MAKSIMALISASI PADA KASUS DUA INPUT

Deskripsi Materi Pembelajaran:

Bab ini menjelaskan konsep dasar maksimalisasi dan minimalisasi fungsi dengan dua atau

lebih input untuk menghasilkan satu output secara matematis. Syarat keharusan (necessary

condition) dan syarat kecukupan (sufficient condition) untuk maksimalisasi atau

minimalisasi fungsi produksi diturunkan secara rinci. Selain itu juga akan dijelaskan

mengapa pada kondisi tertentu fungsi produksi dapat dimaksimalkan atau sebaliknya,

diminimalkan. Contoh fungsi dan penerapan aturan maksimalisasi dan minimalisasi juga

dipelajari pada kegiatan belajar ini.

Tujuan Pembelajaran:

Kompetensi dasar yang harus dikuasai peserta ajar setelah mengikuti satu kali tatap muka

di kelas selama 2X50 menit, membaca modul,melakukan kajian pustaka selama 2X60

menit dan mengerjakan tugas terstruktur mandiri selama 2X60 menit, adalah menjelaskan

kembali kata kunci dan definisi serta memahami, menggambarkan grafik dan menghitung

berdasarkan formula matematis, konsep-konsep sebagai berikut:

1. Maksimalisasi

2. Minimalisasi

3. Turunan pertama (first order conditions)

4. Turunan kedua (second order conditions)

5. Teorema Young

6. Syarat keharusan (necessary conditions)

7. Syarat kecukupan (sufficient conditions)

8. Matriks

9. Matriks dari turunan parsial

10. Prinsip minor

11. Maksimum lokal

12. Maksimum global

13. Saddle point

14. Determinan

15. Nilai kritis (critical value)

16. Maksimalisasi dan minimalisasi tak terkendala

17. Maksimalisasi dan minimalisasi terkendala



VI-3

Materi Pembelajaran

6.1. Konsep Dasar Maksimalisasi

Peta isokuan dapat diilustrasikan seperti kontur peta suatu bukit atau pegunungan. Tinggi

pegunungan pada suatu titik dapat diukur dari jumlah output yang diproduksinya. Sebuah

isokuan menghubungkan semua titik-titik yang memproduksi sejumlah input yang sama,

atau dengan kata lain memiliki elevasi (ketinggian bukit) yang sama.Pada dasarnya,

isokuan terdiri dari sejumlah cincin konsentrik (bayangkan cincin-cincin konsentrik

tersebut sebagai peta kontur sebuah pegunungan yang menghubungkan titik-titik sudut

elevasi atau ketinggian bukit yang sama).

Beberapa isokuan infinit dapat digambarkan, di mana setiap isokuan menunjukkan level

perbedaan output yang sedikit berbeda. Isokuan tidak berpotongan satu sama lain. Hal ini

mengimplikasikan bahwa kombinasi dua input yang sama tidak dapat menghasilkan level

output yang berbeda. Kuantitas output yang diproduksi dari setiap kombinasi dua input

bersifat unik.

Jika isokuan merupakan cincin-cincin konsentrik, maka setiap isokuan yang digambarkan

di dalam isokuan lain menunjukkan level output yang sedikit lebih tinggi dibandingkan

isokuan yang terletak di bagian luar cincin konsentrik tersebut (lihat gambar 5.1.). Jika

isokuan tidak berbentuk cincin, maka level output tertinggi biasanya digambarkan oleh

isokuan yang jaraknya terjauh dari titik pusat (origin). Setiap isokuan mewakili kuantitas

output yang berbeda.

Sedangkan bila peta isokuan digambarkan sebagai sekelompok cincin konsentrik, maka

cincin-cincin ini akan menjadi semakin mengecil ke arah pusat diagram. Semakin tinggi

level output yang dihasilkan, akan semakin kecil cincin isokuan. Hal ini menunjukkan

bahwa pilihan kombinasi dua input untuk menghasilkan output tersebut semakin terbatas.

Cincin-cincin konsentris tersebut pada akhirnya akan menjadi satu titik yang disebut titik

global output maksimum dan merupakan posisi di mana petani hanya akan berproduksi

bila input diperoleh secara gratis atau tidak terdapat kendala utilitasi input lainnya. Titik

tunggal tersebut juga merupakan perpotongan antara dua ridge lines. MRS isokuan dari

satu titik tunggal tidak didefinisikan, namun titik ini merepresentasikan jumlah output

maksimum yang dapat diproduksi dengan mengombinasikan dua input x1 dan x2.

Nilai maksimum dan minimum keduanya memiliki nilai nol. Dengan demikian adalah

tidak mungkin membedakan nilai minimum dan maksimum hanya dari slopenya. Dalam

hal ini aturan matematika memungkinkan dibedakannya nilai minimum dan maksimum

melalui turunan kedua (second order conditions).

6.2. Fungsi Maksimum

Bagaimana kombinasi input x1 dan x2 dari fungsi produksi dua input menghasilkan output

maksimum merupakan persamaan matematika yang terdiri dari dua prosedur sebagai

berikut:

Untuk fungsi produksi .)1.6...().........,( 21 xxfy turunan pertama atau syarat keharusan

untuk maksimalisasi output adalah 01 xy atau f1 =0 ….(6.2.) dan 02 xy atau



VI-4

f2=0…..(6.3.). Persamaan (6.2.) dan (6.3.) memastikan bahwa tititik tersebut adalah

tingkatan relatif aksis x1 dan x2.

Turunan kedua maksimalisasi output mensyaratkan turunan parsial dari turunan pertama.

Terdapat empat alternatif turunan kedua dari derivasi turunan pertama terhadap x1 dan x2

yaitu:

.)4.6.(....................11

2

1

2

11 fxyxxy

.)5.6.......(..........1221

2

21 fxxyxxy

.)6.6.......(..........2112

2

12 fxxyxxy

.)7.6.(....................22

2

2

2

22 fxyxxy

Teorema Young menyatakan bahwa urutan dari diferensiasi parsial tidak berbeda sehingga

f12=f21.

Maksimalisasi turunan kedua mensyaratkan f11>0 ..............(6.8.) dan f11f22>f12f21....(6.9.)

Karena f12f21 non negatif maka syarat f11f22 positif untuk persamaan (6.9) terpenuhi dan

f11f22 bernilai positif hanya bila f22 negatif. Turunan pertama dan kedua ini merupakan

syarat keharusan dan kecukupan untuk maksimalisasi fungsi produksi dua input.

6.3. Beberapa Contoh Ilustratif

Misal .)10.6(..........1010 2

2

2

121 xxxxy

Turunan pertama atau syarat keharusan tercapainya maksimalisasi adalah:

.)11.6......(..........0210 11 xf

.)12.6...(..............................51 x

.)13.6.....(..........0210 22 xf

.)14.6..(..............................52 x

Nilai kritik dari fungsi adalah titik di mana slope fungsi sama dengan nol. Nilai kritik dari

fungsi tersebut di atas tercapai pada saat x1=5 dan x2=5. Titik ini dapat merupakan posisi

maksimum, minimum atau titik tengah (saddle point).

Selanjutnya prinsip maksimalisasi mensyaratkan kondisi turunan kedua sebagai berikut:

.)15.6......(..........dan 0 2112221111 fffff

Untuk persamaan (6.10.) :

.)16.6........(..............................0211 f

.)17.6....(........................................222 f

.)18.6.......(..............................02112 ff

Dengan demikian .)19.6.(..........0421122211 ffff

Syarat keharusan dan kecukupan untuk memaksimalkan persamaan (6.10.) pada x1=5.

x2=5, terpenuhi. Fungsi ini diilustrasikan pada diagram A gambar 6.1.



VI-5

Gambar 6.1. A. Alternatif Second Order Condition (Debertin, 1986)

Pada fungsi .)20.6......(..........1010 2

2

2

121 xxxxy

Turunan pertama adalah: .)21.6....(....................0210 11 xf .)22.6........(51 x

.)23.6.........(..........0210 22 xf .)24.6........(..........52 x

Syarat minimum turunan kedua adalah .)25.6........(....................011 f

.)26.6.(..............................21122211 ffff

Untuk persamaan (6.20.) kondisi orde kedua (turunan kedua) adalah:

.)28.6........(....................2

.)27.6..(....................02

22

11

f

f

Sehingga terbukti .)29.6...(....................0421122211 ffff

Syarat keharusan dan kecukupan untuk minimalisasi persamaan (6.20) terpenuhi pada

x1=5, x2=5. Fungsi ini diilustrasikan pada diagram B gambar 6.1.

Gambar 6.1.B. Alternatif Second Order Condition (Debertin, 1986)



VI-6

Pada fungsi .)30.6......(..........1010 2

2

2

121 xxxxy turunan pertama adalah

.)31.6.....(..........0210 11 xf , .)32.6..(..........51 x

.)34.6.........(..........5.),33.6......(....................0210 222 xxf

Untuk persamaan (6.30.) turunan kedua adalah:

.)36.6(....................2.);35.6.......(..........02 2211 ff

.)37.6..(........................................0421122211 ffff

Syarat keharusan dan syarat kecukupan maksimalisasi dan minimalisasi untuk persamaan

(6.30.) tidak terpenuhi pada x1=5;x2=5. Fungsi ini memiliki titik tengah (saddle point)

yang unik sebagaimana diilustrasikan pada diagram C gambar 6.1. yang menunjukkan nilai

maksimum dengan arah paralel terhadap aksis x1 namum bernilai minimum dengan arah

paralel terhadap aksis x2.

Gambar 6.1.C Alternatif Second Order Condition (Debertin, 1986)

Fungsi .)38.6......(....................1010 2

2

2

121 xxxxy juga memiliki titik tengah

(saddle point) serupa dengan aksis yang berkebalikan di mana nilai minimum paralae

dengan aksis x1 sedangkan nilai maksimum paralel dengan aksis x2. Permukaan fungsi ini

ditunjukkan pada diagram D gambar 6.1.



VI-7

Gambar 6.1.D Alternatif Second Order Condition (Debertin, 1986)

Selanjutnya untuk fungsi )39.6(....................1022 21

2

2

2

121 xxxxxxy

Turunan pertama fungsi tersebut adalah:

.)41.6.....(....................01022

.)40.6.....(....................01022

122

211

xxf

xxf

Dengan menyelesaikan persamaan untuk nilai x2 diperoleh:

.)42.6.......(..............................1022 12 xx

.)43.6....(........................................15 12 xx

Persamaan (6.43.) dimasukkan ke persamaan (6.40.) untuk mencari 1f pada x1=0,25

(6.44.). Dan x2=5x1-5 x2=0,25

Sehingga turunan kedua fungsi adalah:

.)46.6..(....................02

.)45.6..(....................02

22

11

f

f

.)47.6(....................102112 ff

Jadi .)48.6(....................096100421122211 ffff

Walaupun syarat keharusan untuk maksimum pada x1=x2=0,25 terpenuhi, namun syarat

kecukupan (turunan kedua) tidak terpenuhi. Pada perhitungan di atas, turunan parsial

kedua 1211 ff kurang dari hasil turunan parsial silang yang kedua ( 2112 ff ) sehingga

021121211 ffff .

Pada kasus ini, titik tengah (saddle point) berbentuk seperti burung yang sedang

mengembangkan sayapnya (lihat diagram E gambar 6.1.) di mana nilai minimum berada di

satu sisi dan nilai maksimum pada sisi lain (x1,x2 =0,25). Meski demikian saddle point tak

lagi paralel terhadap aksis namum bergerak di antara kedua aksis. Hal ini merupakan

dampak dari penurunan parsial silang kedua yang hasilnya lebih besar dari penurunan

langsung yang kedua.



VI-8

Gambar 6.1.E Alternatif Second Order Condition (Debertin, 1986)

Pada contoh sebelumnya dijelaskan bahwa fungsi polinomial berpotensi memiliki nilai

maksima dan minima pada level x1 dan x2 positif dan finit. Jika nilai maksimum tercapai,

resultan peta isokuan akan terdiri dari sejumlah cincin konsentris yang berpusat pada titik

maksimum di mana ridge lines berpotongan pada titik maksimum tersebut.

Contoh:

.)49.6......(..........10 5,0

2

5,0

1 xxy

.)50.6......(..........5 5,0

2

5,0

11 xxf

.)51.6.....(..........5 5,0

2

5,0

12

xxf

Turunan pertama dari persamaan (6.49.) sama dengan nol, bila masing-masing nilai x1 dan

x2 diasumsikan sama dengan nol. Namun tidak terdapat kemungkinan nilai 1f dan 2f

sama dengan nol pada kombinasi x1 dan x2 yang bernilai positif. Oleh karena itu fungsi

tersebut tidak memiliki nilai maksimum.

6.4. Prinsip-Prinsip Aljabar Matriks

Aljabar matriks adalah perangkat matematika yang sangat efektif untuk menetapkan

apakan suatu fungsi memiliki nilai maksimum atau minimum. Sebuah matriks terdiri dari

sejumlah angka yang disebut nilai atau elemen serta diatur dalam baris dan kolom sebagai

berikut:

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

....................(6.52.)

Matriks (6.52.) adalah matriks bujur sangkar 3X3, sebab memiliki tiga kolom dan tiga

baris. Untuk setiap elemen, notasi subscript menunjukkan posisi elemen berdasarkan

urutan baris dan kolom. Setiap matriks bujur sangkat memiliki determinan. Untuk matriks

1X1 misalnya, determinannya adlaah a11. Untuk matriks bujur sangkar 2X2,

determinannya adalah a11a22-a12a21. Sedangkan determinan untuk matriks bujur sangkar



VI-9

3X3 adalah a11a22a33+a12a23a31+a21a32a13-a31a22a13-a11a32a23-a33a21a12. Determinan matriks

yang lebih besar dari 3X3 sangat sulit dihitung secara manual dan umumnya untuk

menghitung digunakan programasi komputer.

Prinsip minor matriks dapat diperoleh dengan menghapus seluruh baris dan kolom pertama

dari matriks selain elemen yang berlokasi di baris dan kolom pertama (a11) dan mencari

resultan determinan. Dalam contoh berikut ini, baris dan kolom pertama dihapus dan

determinan matriks 2X2 yang tersisa kemudian dihitung. Pada contoh di atas, prinsip

minor yang kedua adalah 21122211 aaaa . Prinsip minor yang ketiga dapat dihitung dengan

menghapus seluruh baris dan kolom dengan baris atau kolom bernotasi lebih besar dari 3

sehingga resultan determinan diperoleh.

Second order condition, atau turunan kedua dapat dengan lebih mudah dijelaskan melalui

pendekatan aljabar matriks. Turunan langsung dan silang kedua dari dua input fungsi

produksi adalah matriks bujursangkar 2X2:

2221

1211

ff

ff ....................................(6.53)

Persamaan minor dari persamaan (6.53) adalah:

231222112

111

ffffH

fH

..................................................(6.54)

Dengan mengasumsikan turunan orde pertama terpenuhi, maksimalisasi turunan orde

kedua mensyaratkan prinsip minor H1 dan H2 bertanda negatif sehingga H1<01 dan H2>0.

Sedangkan minimalisasi mensyaratkan prinsip minor positif, H1 dan H2 >0.

Saddle point menghasilkan kondisi :

0;0 21 HH atau 0;0 21 HH

6.5. Contoh Ilustratif

Ilustrasi kondisi orde kedua dapat dipelajari dari dua input polinomial sebagai berikut:

)55.6........(..........03,02,1124003.02,11240 4

2

3

2

2

22

4

1

2

1

2

11 xxxxxxxxy

Fungsi ini memiliki sembilan nilai dengan turunan pertama sama dengan nol. Setiap nilai

tersebut adalah nilai kritis (critical values) yang menunjukkan maksimum, minimum dan

saddle point. Gambar 6.1 mengilustrasikan kondisi orde kedua:

211212112111 , ffffHfH .

Fungsi ini berbeda dari fungsi sebelumnya di mana terdapat beberapa kombinasi x1 dan x2

yang menghasilkan nilai kritis dengan slope fungsi sama dengan nol. Ada satu titik

maksimum global untuk fungsi tersebut meski terdapat beberapa local maxima. Kondisi

maksimum global dapat dibayangkan sebagai puncak gunung tertinggi di mana local

maximum sebagai puncak-puncak gunung di sekitamya. Terdapat sejumlah saddle point .

Kondisi orde kedua dapat diverifikasi dengan mencermati gambar 6.2.



VI-10

Gambar 6.2. Polinomial Tiga Dimensi

4

2

3

2

2

22

4

1

2

1

2

11 03,02,1124003.02,11240 xxxxxxxxy

Tabel 6.1. Nilai Kritis untuk Polinomial 4

2

3

2

2

22

4

1

2

1

2

11 03,02,1124003.02,11240 xxxxxxxxy

2x 1x

2.54 6,93 16,24

16,24

Lokal Saddle Global

Maksimum: Titik: Maksimum:

y=232,3 y=209,5 y=379,8

H1<0 H1>0 H1<0

H2>0 H2<0 H2>0

6,93

Saddle Lokal Saddle

Titik: Minimum: Titik:

y=61,9 y=39,1 y=209,5

H1<0 H1>0 H1<0

H2<0 H2>0 H2<0

2,54

Lokal Saddle Lokal

Maksimum: Titik: Maksimum:

y=84,8 y=61,9 y=232,3

H1<0 H1>0 H1<0

H2>0 H2<0 H2>0

6.6. Maksimalisasi Fungsi Profit dengan Dua Input

Kegunaan kriteria maksimalisasi fungsi produksi juga dapat dijelaskan melalui aplikasi

fungsi profit usahatani jagung, sebagai berikut:

)56.6...(..........).........,( 21 xxfy

di mana:

y : Panen jangung dalam bu/acre

1x : Jumlah pupuk K

2x : Jumlah pupuk P



VI-11

Semua input lain diasumsikan tidak berubah, atau sudah dimiliki oleh petani. Keputusan

yang harus diambil petani adalah mengalokasikan dua jenis pupuk N dan P untuk

memaksimalkan keuntungan usahatani.

Jumlah penerimaan atau nilai produk total yang diperoleh dari penjualan jagung dari 1 acre

lahan adalah: TVP=py.........................................................(6.57)

Di mana:

p : Harga jagung per bu

y : Hasil panen jagung bu/acre

Total biaya input adalah:

)58.6......(........................................2211 xvxvTFC

Fungsi keuntungan usahatani:

)59.6.........(........................................TFCTVP

)60.6...(........................................2211 xvxvpy

)61.6.(..............................),( 221121 xvxvxxpf

Turunan pertama untuk kondisi maksimalisasi dapat disusun sebagai berikut:

)63.6.......(........................................0

)62.6........(........................................0

222

111

vpf

vpf

Persamaan (6.62) dan (6.63) mensyaratkan slope fungsi TVP terhadap kedua input sama

dengan slope fungsi TFC masing-masing input pupuk P dan K yang digunakan.

)65.6.....(..................................................

)64.6......(..................................................

22

11

vpf

vpf

Nilai produk marginal sama dengan biaya marginal masing-masing input. Bila petani dapat

membeli pupuk K dan P pada harga pasar, biaya marginal akan sama dengan harga input

yaitu v1 dan v2, sehingga:

)68.6...(........................................//

)67.6.........(..............................//

)66.6..(..............................1//

2121

2121

2211

vvff

vvpfpf

vpfvpf

Karena f1 adalah MPP x1 dan f2 adalah MPP x2 maka rasio produk marginal adalah MRTS

x1 untuk x2 atau MRTSx1x2. Oleh sebab itu titik maksimalisasi keuntungan adalah:

)70.6..(..............................//

)69.6.(............................../

2112

2121

vvdxdx

vvxMRSx

Kondisi turunan kedua juga memegang peranan penting, dengan mengasumsikan harga

input adalah v1 dan v2 maka turunan kedua fungsi profit adalah:

..(6.73).................... Young) (teorema

)72.6.(..............................

)71.6..(..............................

21122112

2222

1111

pfpf

pf

pf

Atau dalam bentuk matriks:

)74.6....(..............................2221

1211

pfpf

pfpf



VI-12

Kondisi maksimalisasi:

)76.6(....................0

)75.6.(..............................0

21122211

11

pfpfpfpf

pf

Prinsip minor harus dimulai dengan tanda minus. Persamaan (6.75) dan (6.76)

mensyaratkan fungsi VMP untuk x1 dan x2 berslope negatif. Dengan harga input tetap,

fungsi biaya input memiliki slope konstan sehingga MFC sama dengan nol. Pemenuhan

atas kedua persyaratan ini menghasilkan satu titik maksimalisasi profit global. Dengan

demikian pada titik maksimalisasi ini, bila petani akan menambah alokasi salah satu input,

ia harus mengurangi alokasi input lainnya, kecuali kedua input tersebut gratis.

6.7. Perbandingan Kriteria Maksimalisasi Output

Sebagai perbandingan kriteria maksimalisasi keuntungan dengan kriteria maksimalisasi

output dapat diikuti langkah-langkah sebagai berikut:

)80.6.......(..............................0

)79.6.........(....................0

)78.6.........(....................0

)77.6....(....................).........,(

21

22

1

21

1

ff

MPPxf

MPPxf

xxfy

Turunan kedua pada kondisi maksimalisasi mensyaratkan f11<0 dan f11f22>f12f21. MPP

untuk kedua input berslope negatif. Turunan pertama dan kedua merupakan syarat

keharusan dan syarat kecukupan matematik yang menentukan pusat peta isokuan dari

rangkaian cincin konsentris sebagaimana telah dijelaskan pada bagian sebelumnya.

)84.6.........(..........1//

)83.6.........(....................0

)82.6........(....................0

2211

22

11

vpfvpf

vpf

vpf

Kondisi orde kedua maksimalisasi profit mensyaratkan:

)87.6...(........................................0)(

)86.6.........(..............................0

)85.6........(....................0

21122211

2

22122211

11

ffffp

pfpfpfpf

pf

Karena p2 bernilai positif, syarat tanda turunan kedua baik untuk maksimalisasi profit dan

output sama.

6.8. Latihan Soal

Kerjakan soal-soal berikut ini:

1. Apakah fungsi 21xxy memiliki titik maksimum? Jelaskan!

2. Apakah fungsi 2

2

2

1 2xxy memiliki titik maksimum? Jelaskan!

3. Apakah fungsi 3

2

2

22

3

1

2

11 05,01,005,01,0 xxxxxxy memiliki titik

maksimum? Jika berapa level penggunaan input yang memaksimalkan nilai

produk?

4. Misal harga output adalah Rp 3 dan masing harga input x1=Rp 5 dan harga input

x2=Rp4. Mungkinkah produksi usahatani yang dilakukan petani memperoleh

keuntungan? Jelaskan syarat keharusan dan syarat kecukupan yang harus dipenuhi!



VI-13

Rancangan Tugas

Tujuan Tugas :

Menjelaskan kembali definisi dan memahami konsep teoritis bahan kajian pada modul 6.

Uraian Tugas:

1. Obyek garapan:

a. Latihan soal pada modul 6

b. Simulasi presentasi kelompok dengan menggunakan alat bantu flipchart

2. Batasan tugas:

a. Tugas yang diberikan pada modul 6 adalah tugas individual

(dikumpulkan dalam waktu satu minggu jadual menyesuaikan)

dan tugas kelompok

b. Mahasiswa wajib mendiskusikan jawaban tugas dengan anggota

kelompok yang lain

c. Mahasiswa diwajibkan menghimpun seluruh materi perkuliahan

baik print out modul, hand out, catatan kuliah dan tugas-tugas yang

diberikan selama satu semester dengan format kertas yang sama

yaitu ukuran folio. Hal ini dimaksudkan untuk memudahkan

penjilidan di akhir semester.

d. Menghimpun informasi dalam urutan yang logik dan mengelola

informasi agar dapat menjadi sumber pembelajaran yang baik adalah

salah satu learning skill yang harus dimiliki oleh mahasiswa. Oleh

karena itu seluruh materi belajar yang telah dihimpun akan

dievaluasi oleh tim dosen sebagai indikator proses belajar Anda.

3. Metodologi dan acuan tugas:

a. Baca modul, dan rujukan pustaka yang dianjurkan.

b. Agendakan kegiatan belajar kelompok dan konsultasikan jadual

kegiatan belajar kelompok kepada asisten.

c. Tugas individu ditulis tangan pada kertas folio bergaris dengan margin

kiri dan kanan masing-masing 3 cm. Tuliskan nama, NIM dan nama

kelompok pada sudut kanan atas. Berikan nomor halaman pada lembar

kerja Anda di sudut kanan bawah. Jangan lupa menuliskan keterangan

tugas yang Anda kerjakan dan pengerjaan harus berurutan dari tugas

nomor 1,2 dan seterusnya.



VI-14

d. Tugas individu dikumpulkan tiap minggu, pengaturan jadual

pengumpulan tugas diatur oleh asisten.

e. Dokumen portofolio materi pembelajaran (print out modul, hand out

dan catatan) serta dokumen tugas dan latihan dilengkapi dengan print

out cover, lembar evaluasi dan daftar isi.

4. Keluaran tugas:

a. Masing-masing mahasiswa mengumpulkan satu dokumen tugas

individu.

b. Laporan kegiatan kelompok yang ditulis pada buku kelompok

c. Mahasiswa melakukan presentasi kelompok dengan alat bantu flip chart

yang sudah dibuat minggu lalu.

Kriteria Penilaian:

1. Kejelasan dan kelengkapan penguasaan konsep-konsep utama modul 6.

2. Kemampuan mengomunikasikan gagasan kreatif dan kerja sama tim

assesment dilakukan oleh asisten selama berlangsungnya proses diskusi dan

praktikum dalam kelas

Tabel 5.5 Kriteria Penilaian Kemampuan Menulis Laporan

Kriteria SKOR INDIKATOR KINERJA

Sangat kurang <20 Tidak ada ide yang jelas untuk menyelesaikan masalah

(tugas dan latihan yang diberikan)

Kurang 21–40 Ada ide yang dikemukakan, namun kurang sesuai dengan

permasalahan

Cukup 41– 60 Ide yang dikemukakan jelas dan sesuai, namun kurang

inovatif

Baik 61- 80 Ide yang dikemukakan jelas, mampu menyelesaikan

masalah, inovatif, cakupan tidak terlalu luas

Sangat Baik >81 Ide, jelas, inovatif, dan mampu menyelesaikan masalah

dengan cakupan luas



VI-15

Tabel 5.6 Kriteria Penilaian Kerja Sama Kelompok oleh Sesama Anggota dan Asisten

Kriteria dan

Dimensi

Penilaian

Luar Biasa Baik Di bawah harapan

Kontribusi

Pada Tugas

Sangat berkontribusi dalam

hasil kerja tim.

Berkontribusi secara

“adil” dalam hasil kerja

tim.

Membuat beberapa

kontribusi nyata dalam hasil

kerja tim.

Kepemimpinan

Secara rutin melakukan

kepemimpinan yang baik.

Menerima ”pembagian

yang adil” dari tanggung

jawab kepemimpinan.

Jarang atau tidak pernah

berlatih tentang memimpin.

Kolaborasi

Menghargai pendapat

orang lain dan

berkontribusi besar dalam

diskusi kelompok.

Menghargai pendapat

orang lain dan

berkontribusi dalam

diskusi kelompok.

Tidak berkontribusi pada

diskusi kelompok atau

sering gagal berpartisipasi.

Modul 6 · 2012. 4. 2. · Turunan pertama (first order conditions) 4. Turunan kedua (second order...

Documents

Transcript of Modul 6 · 2012. 4. 2. · Turunan pertama (first order conditions) 4. Turunan kedua (second order...