TEOREMA

UJI TURUNAN

Agustina Pradjaningsih, M.Si.

Jurusan Matematika FMIPA UNEJ

agustina.fmipa@unej.ac.id

UJI TURUNAN I-ekstrim relatif

Andaikan f kontinu pada selang

(a,b), yang memuat titik kritis c :

(i) Jika f’(x)0 untuk setiap x pada (a,c) dan

Jika f’(x)<0 untuk setiap x pada (c,b) maka

f punya nilai maksimum relatif/lokal

(ii) Jika f’(x)<0 untuk setiap x pada (a,c) dan

Jika f’(x)>0 untuk setiap x pada (c,b) maka

f punya nilai minimum relatif/lokal

0' cf

0' xf 0' xf

a bc0 x

y

)i(

0' cf

0' xf

0' xf

a bc0 x

y

)ii(

GRAFIK

Karena f ’(x)>0, x(a,c) T4

x1[a,c] & x1≠c f(x1)<f(c)…(a)

Karena f ’(x)<0, x(c,b) T4

x2[c,b] & x2≠c f(x2)<f(c)….(b)

dari (a),(b) & ekstrim relatif, diperoleh

f(x) f(c)

x(a,b) & x≠c sehingga

f punya maksimum relatif di c■

BUKTI

(i)

Karena f ’(x)<0, x(a,c) T4

x1[a,c] & x1≠c f(x1)>f(c)…(a)

Karena f ’(x)>0, x(c,b) T4

x2[c,b] & x2≠c f(x2)>f(c)…(b)

dari (i), (ii) & ekstrim relatif, diperoleh

f(c) f(x)

x(a,b) & x≠c sehingga

f punya minimum relatif di c■

BUKTI

(ii)

xx

xxxf

3 jika 8

3 jika 4)(

2

Tentukan dari fungsi berikut

dimana ekstrim relatif f, dimana f

turun, naik!

Contoh 1

Jawab

Titik kritis adalah titik singular dan

titik stasioner

stasioner titik 0 0)0(' 0untuk

singular titik 3ada tidak )3(' 1)3('

6)3('

3untuk

1)('3dan 2)('3

fx

ff

f

x

xfxxxfx

turun-1x > 3

maksimum relatiftidak ada5x = 3

naik+0 < x < 3

minimum relatif0-4x = 0

turun -x < 0

Keteranganx )(xf )(' xf

Kesimpulan

f naik pada (0,3)

f turun pada (-,0) dan (3, )

-4 minimum lokal f pada x=0

5 maksimum lokal f pada x=3

Misalkan c bilangan kritis fungsi f

dimana f ’(c)=0 & f ada untuk semua

nilai x pada interval terbuka yang

memuat c. Jika f”(c) ada dan :

UJI TURUNAN II-ekstrim relatif

(i) Jika f”(c)<0

f punya nilai maksimum relatif di c.

(ii) Jika f”(c)>0

f punya nilai minimum relatif di c.

Diketahui f”(c) ada dan f”(c)<0

sehingga menurut definisi turunan

terdapat selang terbuka I yang

memuat c sehingga untuk setiap x≠c

dalam I,

0c

)c(')('

x

fxf

0c

)c(')('lim)c("

c

x

fxff

x

BUKTI

(i)

a. xI1 selang terbuka, x<c (ujung kanan I1),

x-c<0 diketahui f’(c)=0 sehingga

f ’(x)-f ’(c)>0f ’(x)>f’(c)f’(x)>0

b. xI2 selang terbuka, x>c (ujung kiri I2),

x-c>0 diketahui f ’(c)=0 sehingga

f ’(x)-f ’(c)<0f ’(x)<f’(c)f ’(x)<0

Dari (a) dan (b) f ’(x) berganti tanda (+ -)

bila x naik melalui c, berdasar Teorema Uji

Turunan I, f mempunyai maksimum

relatif di c.

Diketahui f”(c) ada dan f”(c)>0

sehingga menurut definisi turunan

terdapat selang terbuka I yang memuat

c sehingga untuk setiap x≠c dalam I,

0c

)c(')('

x

fxf

0c

)c(')('lim)c("

c

x

fxff

x

BUKTI

(ii)

a. xI1 selang terbuka,x<c (ujung kanan I1),

x-c<0 diketahui f’(c)=0 sehingga

f ’(x)-f ’(c)<0 f ’(x)<f’(c)f ’(x)<0

b. xI2 selang terbuka,x>c (ujung kiri I2),

x-c>0 diketahui f ’(c)=0 sehingga

f ’(x)-f ’(c)>0f ’(x)>f’(c)f ’(x)>0

Dari (a) dan (b) f ’(x) berganti tanda (- +)

bila x turun melalui c, akibatnya berdasar

Teorema Uji Turunan I, f mempunyai

minimum relatif di c.

Diberikan fungsi f(x)=(1/3)x3-x2-3x+4.

Gunakan uji turunan kedua untuk

mencari ekstrim relatif!

Contoh 2

Jawab

f(x)=(1/3)x3-x2-3x+4

f’(x)=x2-2x-3

titik stasioner) f’(x)=0

x2 -2x-3=0 (x – 3)(x +1) = 0

x = 3 dan x = -1

f”(x)=2x-2 f”(-1)=-4 dan f”(3)=4

)(xf )(' xf )('' xf

Minimal relatif40-5x = 3

Maksimal relatif-40x = -1

Keteranganx

317

Tetapi Uji Turunan II,

terkadang gagal karena pada

saat f ’(x)=0 mungkin

f”(x)=0, sehingga tak dapat

ditarik kesimpulan tentang

ekstrim relatif tanpa

informasi tambahan.

Diberikan fungsi f(x)=x2/3–2x1/3.

Tentukan ekstrim relatif f dengan uji

turunan kedua jika memungkinkan.

Contoh 3

Jawab

f(x)=x2/3–2x1/3

f’(x)=⅔ x-1/3-⅔ x-2/3

f”(x)=-(2/9) x-4/3+(4/9) x-5/3

Dengan menggunakan Uji Turunan I,

singular titik 0ada tidak )0('3

2

3

20)('

stasioner titik 1022

03

2

3

20)('

32

31

31

32

31

fxx

xf

xx

xxxf

Dengan menggunakan Uji Turunan II,

82042-

09

4

9

20)(''

31

31

35

34

xxx

xxxf

Tidak dapat digunakan uji turunan kedua

di 0 karena f’(0) tak ada f”(0) tidak

ada.

Mungkin titik (0,0) merupakan titik

belok (informasi tambahan). Pada titik

belok diperlukan f”(x) berganti tanda,

grafiknya mempunyai garis singgung. Di

titik (0,0), garis singgung vertikal.

3

2

31

3

22lim)('lim

00 x

xxf

xx

Naik, cekung kebawah-+x > 8

Naik, titik belok00x = 8

Naik, cekung keatas++1 < x < 8

Min relatif, cekung keatas+0-1x = 1

Turun, cekung keatas+-0 < x < 1

bukan ekstrim, titik belok0x = 0

Turun, cekung kebawah--x < 0

Keteranganx

61

)(xf )(' xf )('' xf

EKSISTENSI-TEOREMA NILAI EKSTRIM

(TNE)

Dapat diterapkan

kontinu - selang tertutup

Interval-interval

Mungkin

EKSTRIM MUTLAK

Tidak Mungkin

EKSTRIM MUTLAK

Misalkan fungsi f kontinu pada selang I

yang memuat bilangan c. Bila f(c) ekstrim

relatif f pada I dan c satu-satunya bilangan di

mana f mempunyai ekstrim relatif, maka

f(c) ekstrim mutlak f pada I.

TEOREMA NILAI EKSTRIM

(i). Bila f(c) maksimum relatif f pada I

f(c) nilai maksimum mutlak f pada I

(ii). Bila f(c) minimum relatif f pada I

f(c) nilai minimum mutlak f pada I

Karena f(c) maks. relatif pd I, tdp selang

terbuka J, dng J I & J memuat c, shg

f(c)≥ f(x) untuk semua x di J

Karena c satu-satunya bilangan di I di mana f

punya maks. relatif, maka

f(c)>f(k) jika kJ, kc

Untuk menunjukkan bahwa f(c) maks. mutlak

pada I, diperlihatkan bahwa

f(c)>f(d) untuk setiap dI, dc

Andaikan bahwa f(c)f(d), karena dc maka

c<d atau c>d.

bukti (i)

Karena f kontinu pd I f kontinu pd [c,d].

Jadi menurut TNE, f punya maks. mutlak

pada [c,d].

Misalkan maks. mutlak ini di e di mana

ced. Diperoleh ec & ed c<e<d shg f

punya maks. relatif di e.

Kontradiksi dng c satu-satunya bilangan di I

di mana f punya maks. relatif.

Jadi pengandaian f(c)f(d) tidak berlaku.

Oleh karena itu f(c)>f(d) untuk dI dng dc

berakibat f(c) maksimum mutlak f pada I.

kasus c<d

Karena f kontinu pd I f kontinu pd [d,c].

Jadi menurut TNE, f punya maks. mutlak

pada [d,c].

Misalkan maks. mutlak ini di p di mana

dpc. Diperoleh pd & pc d<p<c shg f

punya maks. relatif di p.

Kontradiksi dng c satu-satunya bilangan di I

di mana f punya maks. relatif.

Oleh karena itu f(c)>f(d) untuk dI dng dc

berakibat f(c) maksimum mutlak f pada I.

kasus c>d

Karena f(c) min. relatif pd I, tdp selang

terbuka J, dng J I & J memuat c, shg

f(c) f(x) untuk semua x di J

Karena c satu-satunya bilangan di I di mana f

punya min. relatif, maka

f(c)<f(k) jika kJ, kc

Untuk menunjukkan bahwa f(c) min. mutlak

pada I, diperlihatkan bahwa

f(c)<f(d) untuk setiap dI, dc

Andaikan bahwa f(c)f(d), karena dc maka

c<d atau c>d.

bukti (ii)

Karena f kontinu pd I f kontinu pd [c,d].

Jadi menurut TNE, f punya min. mutlak pada

[c,d].

Misalkan min. mutlak ini di e di mana ced.

Diperoleh ec & ed c<e<d shg f punya

min. relatif di e.

Kontradiksi dng c satu-satunya bilangan di I

di mana f punya min. relatif.

Jadi pengandaian f(c)f(d) tidak berlaku.

Oleh karena itu f(c)<f(d) untuk dI dng dc

berakibat f(c) minimum mutlak f pada I..

kasus c<d

Karena f kontinu pd I f kontinu pd [d,c].

Jadi menurut TNE, f punya min. mutlak pada

[d,c].

Misalkan min. mutlak ini di p di mana

dpc. Diperoleh pd & pc d<p<c shg f

punya min. relatif di p.

Kontradiksi dng c satu-satunya bilangan di I

di mana f punya min. relatif.

Oleh karena itu f(c)<f(d) untuk dI dng dc

berakibat f(c) minimum mutlak f pada I.

kasus c>d

Cari maksimum dan minimum pada

(-,) dari fungsi f(x)=x(x3-4)

0012

belok titik 0)("12)("

10)1)(1(4

044

kritis titik 0)('44)('

4)4()(

2

2

2

3

3

43

xx

xfxxf

xxxx

x

xfxxf

xxxxxf

Contoh 4

Minimum relatif120-3x = 1

Turun, cekung ke atas+-0 < x < 1

Naik, cekung ke atas++x > 1

Bukan titik belok0-40x = 0

Turun, cekung ke atas+-x < 0

Keteranganf’’ (x)f’ (x)f (x)x

Menurut TNE, karenaf(x)=-3 min. relatif, maka

f(x)=-3 min. mutlak untuk

f(x)=x(x3-4) yang dicapai

di x=1.

Contoh 5

Cari maksimum dan minimum pada

[0,) dari fungsi

1)(

2

x

xxf

1dan 0 kritisnyatitik

10)1(

1stasioner titik 0)('

0 ujungnyatitik

)1(

1)('

1)(

22

2

22

2

2

xx

xx

xxf

x

x

xxf

x

xxf

.3dan 0 di beloknya titik )[0, pada

3-dan x 3dan 00)1(

)3(2

belok titik 0)(")1(

)3(2)("

42

2

42

2

xx

xxx

xx

xfx

xxxf

Titik Belok0-23/4√3/4x = √3

Turun, cekung ke bawah--1 < x < √3

Maksimum Relatif-1/2-3/21/2x = 1

Turun, cekung ke atas+-x > √3

Naik, cekung ke bawah-+0 < x < 1

Minimum Relatif010x = 0

Keteranganf’’ (x)f’ (x)f (x)x

Menurut TNE, karena

f(x)=0 min. relatif maka

f(x)=0 merupakan

minimum mutlak untuk

f(x)=x/(x2+1) yang

dicapai di x=0.

Sedangkan f(x) = 1/2

adalah maks. relatif

maka f(x)=0

maksimum mutlak

untuk f(x)=x/(x2

+1) yang dicapai di

x=1.