BAB 2

TINJAUAN KEPUSTAKAAN

2.1. Pelat Lantai

Pelat lantai merupakan salah satu dari komponen struktur konstruksi baik pada

gedung maupun jembatan dan biasanya dibangun dengan konstruksi beton bertulang.

Berdasarkan perilaku pelat lantai dalam menahan beban yang bekerja, pelat lantai dibagi

menjadi 2 yaitu pelat lantai satu arah (one-way slab) dan pelat lantai dua arah (two-way

slab). Pada umunya pada pelat lantai satu arah, rasio bentang panjang (Ly) terhadap

bentang pendek (Lx) ≥ 2, sehingga beban yang bekerja pada struktur cenderung

menyebar pada kedua sisi tumpuan terdekat. Sedangkan pada pelat pelat lantai dua arah,

rasio Ly terhadap Lx pada umumnya < 2, sehingga beban yang bekerja pada struktur

menyebar pada keempat sisi tumpuan.

Gambar 2.1 Pelat Lantai

6

Gambar 2.2 Pelat Lantai Satu Arah Gambar 2.3 Pelat Lantai Dua Arah

Dalam merencanakan pelat lantai yang perlu dipertimbangkan tidak hanya

pembebanan, tetapi juga ukuran dan syarat-syarat tumpuan pada tepi. Syarat-syarat

tumpuan menentukan jenis perletakan dan jenis penghubung di tempat tumpuan. Bila

pelat dapat berotasi bebas pada tumpuan, maka pelat itu dikatakan ditumpu bebas sesuai

pada Gambar 2.4, contohnya seperti pelat yang bertumpu pada tembok bata. Bila

tumpuan mencegah pelat berotasi dan relatif sangat kaku terhadap momen puntir, maka

pelat itu terjepit penuh, seperti pada Gambar 2.5 dimana pelat yang monolit dengan

balok yang tebal. Bila balok tepi tidak cukup kuat untuk mencegah rotasi sama sekali,

maka pelat itu terjepit sebagian atau terjepit elastis seperti ditunjukkan pada Gambar 2.6.

Gambar 2.4 Tepi Ditumpu Bebas

7

Gambar 2.5 Tepi dengan Tumpuan Terjepit Penuh

Gambar 2.6 Tepi dengan Tumpuan Terjepit Sebagian

Sistem pelat lantai biasanya terbuat dari beton bertulang yang dicor di tempat,

namun dengan kemajuan teknologi saat ini penggunaan prategang banyak diaplikasikan

pada konstruksi beton sebagai pengganti tulangan utama. Penggunaan prategang pada

konstruksi pelat lantai dapat menghilangkan kekurangan yang ada pada pelat beton

bertulang non-prategang terutama dalam hal serviceability, seperti lendutan maupun

getaran yang terjadi akibat beban yang bekerja.

8

2.2. Pelat Lantai Beton Bertulang

Pelat lantai dua arah melentur dengan bentuk permukaan seperti mangkuk jika

dibebani dalam dua arah. Oleh karena itu, pelat ini harus ditulangi dalam kedua arah

dengan tulangan berlapis tegak lurus satu dengan lainnya. Analisis elastis teoritis dari

pelat semacam ini merupakan masalah rumit karena sifatnya yang sangat sulit

ditentukan. Diperlukan teknik numerik seperti beda hingga dan elemen hingga, tetapi

metode ini tidak praktis untuk perencanaan rutin.

2.2.1. Kekuatan Lentur Penampang Beton Bertulang

Perhitungan kekuatan dari suatu penampang yang terlentur harus

memperhitungkan keseimbangan dari tegangan dan kompatibilitas regangan, serta

konsisten dengan anggapan:

• Bidang rata yang tegak lurus sumbu tetap rata setelah mengalami lentur.

• Beton tidak diperhitungkan dalam memikul tegangan tarik.

• Distribusi tegangan tekan ditentukan dari hubungan tegangan-regangan beton.

• Regangan batas beton yang tertekan diambil sebesar 0,003.

Hubungan distribusi tegangan tekan beton dari regangan dapat dianggap

dipenuhi oleh distribusi tegangan beton persegi ekivalen, yang diasumsikan bahwa

tegangan beton = 0,85 f’c terdistribusi merata pada daerah tekan ekivalen yang dibatasi

oleh tepi tertekan terluar dari penampang dan suatu garis yang sejajar dengan sumbu

netral sejarak a = β c dari tepi tertekan terluar tersebut. Diagram regangan dan tegangan

pada penampang beton bertulang dapat dilihat pada Gambar 2.7 di bawah ini.

9

Gambar 2.7 Regangan dan Tegangan pada Penampang Beton Bertulang

Diagram pada Gambar 2.7 menyatakan bahwa regangan tekan beton dan batas

leleh baja yang disyaratkan tercapai bersamaan. Suatu keadaan pembebanan terhadap

lentur murni adalah bila penampang hanya dibebani momen lentur, maka terdapat

keseimbangan dalam berupa ∑H = 0, ini berarti C = T. Dari Gambar 2.7 didapat

ba'f85,0C c ⋅⋅= ....................................................... (2.1)

ss fAT ⋅= ................................................................. (2.2)

sehingga:

ss fAbac'f85,0 ⋅=⋅⋅ ............................................... (2.3)

dimana nilai β bergantung pada mutu beton, yaitu:

85,0;MPa30'funtuk c =β≤ ........................................................................ (2.4)

( )30'f008,085,0;MPa30'funtuk cc −−=β> ............................................. (2.5)

tetapi nilai β pada persamaan (2.5) tidak boleh kurang dari 0,65. Dan kapasitas momen

penampang dapat ditulis:

LTLCM n ⋅=⋅= ................................................... (2.6)

10

2.2.2. Metode Desain

Perencanaan pelat dua arah umumnya didasarkan pada koefisien momen empiris,

dimana meskipun koefisien ini tidak memprediksi variasi tegangan secara akurat,

menghasilkan pelat dengan keseluruhan faktor keamanan yang memadai. Jika pada satu

bagian pelat diberikan tulangan terlalu banyak dan terlampau sedikit pada bagian lain,

perilaku pelat yang dihasilkan mungkin masih baik. Jumlah tulangan total dalam pelat

lebih penting daripada penempatannya yang tepat.

Pelat dua arah yang ditumpu pada keempat tepinya adalah struktur statis tak

tentu, untuk mempermudah analisis dan perencanaan dapat digunakan Tabel 1 pada

lampiran. Tabel 1 menunjukkan momen lentur yang bekerja pada jalur selebar 1 meter,

masing-masing pada arah-x dan arah-y, dimana:

MLx = momen lapangan maksimum per meter lebar di arah-x

MLy = momen lapangan maksimum per meter lebar di arah-y

M tx = momen tumpuan maksimum per meter lebar di arah-x

M ty = momen tumpuan maksimum per meter lebar di arah-y

M tix = momen jepit tak terduga per meter lebar di arah-x

M tix = momen jepit tak terduga per meter lebar di arah-y

Penggunaan Tabel dibatasi dengan beberapa syarat:

• Beban terbagi rata.

• Perbedaan yang terbatas antara besarnya beban maksimum dan minimum pada

panel di pelat, yaitu: maksuminu w4,0w ≥

11

• Perbedaan yang terbatas antara beban maksimal pada panel yang berbeda-beda,

yaitu: terbesarw8,0terkecilw maksumaksu ≥

• Perbedaan yang terbatas pada panjang bentang, yaitu: bentang terpendek ≥ 0,8

bentang panjang.

Bila syarat-syarat batas dipenuhi, Tabel 1 akan memberikan nilai-nilai yang

aman terhadap momen lentur maksimum. Dalam nilai-nilai ini juga diperhitungkan

pengaruh panel yang dibebani dan panel tak dibebani. Momen jepit tak terduga dianggap

sama dengan setengah momen lapangan di panel yang berbatasan.

Rasio tulangan lentur pada suatu penampang beton harus lebih besar dari rasio

tulangan minimum dan lebih kecil dari rasio tulangan maksimum yang disyaratkan.

Berdasarkan SNI 03-2847-2002, rasio tulangan minimum pada pelat lantai ditentukan

sebagai berikut dengan beberapa kondisi, yaitu:

• Pelat yang menggunakan batang tulangan ulir mutu 300 = 0,002

• Pelat yang menggunakan batang tulangan ulir atau jaring kawat las (polos atau

ulir) mutu 400 = 0,0018

• Pelat yang menggunakan tulangan dengan tegangan leleh melebihi 400 Mpa

yang diukur pada regangan leleh sebesar 0,35 % = ( )yf

4000018,0

dimana:

fy = tegangan leleh baja tulangan

12

Sedangkan rasio tulangan maksimum diambil sebesar 0,75 ρb, dimana ρb adalah rasio

tulangan pada kondisi keruntuhan berimbang.

+β=ρ

yyb f600

600

f

c'f85,0 ....................................... (2.7)

Dengan menurunkan persamaan (2.5), rasio tulangan yang dibutuhkan pada suatu

penampang beton untuk menahan momen lentur yang bekerja dapat dihitung dengan

persamaan (2.8) berikut ini.

( )

c'f7,1

f2

db

M

c'f7,1

f4ff

2y

2u

2y2

yy

Φ

Φ−Φ±Φ

=ρ .................................. (2.8)

dimana:

Φ = faktor reduksi

Mu = momen lentur yang bekerja

2.2.3. Lendutan Pelat Beton Bertulang

Berdasarkan SK-SNI T-15-1991, lendutan pada pelat lantai beton bertulang

dapat dihitung dengan persamaan berikut ini, yaitu:

ec

2n

I E 48

l M 5=∆ ....................................................................... (2.9)

gcr

3

a

crg

3

a

cre II

M

M1I

M

MI ≤

−+

= ............................... (2.10)

t

grcr Y

I FM

⋅= ....................................................................... (2.11)

13

dimana:

M = momen yang bekerja pada penampang yang ditinjau

ln = panjang bersih bentang

Ec = modulus elastisitas

Ie = momen inersia efektif

Icr = momen inersia penampang retak transformasi

Ig = momen inersia penampang utuh terhadap sumbu berat penampang, seluruh

batang tulangan diabaikan

Ma = momem maksimum pada komponen struktur saat lendutan dihitung

Mcr = momen pada saat timbul retak pertama kali

Fr = modulus retak beton

= 0,7 fc' (untuk beton normal)

Yt = jarak dari garis netral penampang utuh (tulangan diabaikan) ke serat tepi baja

2.3. Pelat Lantai Beton Prategang

Penggunaan prategang sebagai pengganti tulangan utama dapat mengatasi

kekurangan-kekurangan yang terkait dengan pelat lantai beton bertulang. Lendutan,

yang selalu menjadi pertimbangan dalam desain, dapat lebih terkontrol dengan

penggunaan prategang pada pelat lantai. Konsep beton prategang sendiri adalah

pemberian gaya prategang atau tegangan kepada kabel prategang yang diaplikasikan ke

dalam beton. Kabel prategang merupakan baja mutu tinggi dengan tegangan tarik dapat

mencapai 1860 MPa, kabel prategang dapat berupa dalam bentuk kawat tunggal (wire),

untaian kawat (strand), kawat batangan (bar). Pemberian gaya prategang dapat

14

dilakukan sebelum atau sesudah beton dicor. Pemberian prategang sebelum dilakukan

pengecoran disebut juga sistem pratarik (pretensioned) sedangkan pemberian prategang

setelah dilakukan pengecoran disebut sistem pascatarik (post-tenioned). Tipikal baja

prategang yang biasa digunakan ditunjukkan pada Tabel 2.1 di bawah ini.

Tabel 2.1 Tipikal Baja Prategang

(sumber: Desain Praktis Beton Prategang, 2008)

2.3.1. Pengaruh Prategang

Pemberian gaya prategang pada beton prategang akan memberikan tegangan

tekan pada penampang. Tegangan ini memberikan perlawanan terhadap beban luar yang

bekerja. Pengaturan posisi penengangan pada penampang akan memberikan keuntungan

lebih. Apabila gaya prategang bekerja tidak pada pusat penampang tetapi dengan

eksentrisitas seperti pada Gambar 2.9, maka ada tambahan tegangan akibat eksentrisitas

tersebut.

Jenis Material

Diameter (mm)

Luas (mm2)

Beban Putus (kN)

Tegangan tarik (MPa)

3 7,1 13,5 1900 4 12,6 22,1 1750 5 19,6 31,4 1600 7 38,5 57,8 1500

Kawat tunggal (Wire)

8 50,3 70,4 1400 9,3 54,7 102 1860 12,7 100 184 1840

Untaian kawat

(Strand) 15,2 143 250 1750 23 415 450 1080 26 530 570 1080 29 660 710 1080 32 804 870 1080

Kawat batangan

(Bar)

38 1140 1230 1080

15

Gambar 2.8 Prategang dengan Eksentrisitas

Selain tegangan akibat prategang, pada penampang beton juga bekerja tegangan

akibat beban yang bekerja, tegangan yang bekerja pada penampang beton dapat

diilustrasikan seperti pada Gambar 2.9 di bawah ini.

Gambar 2.9 Diagram Tegangan

Dari diagram tegangan pada Gambar 2.9 dapat disimpulkan resultan tegangan di

serat atas maupun serat bawah penampang beton adalah sebagai berikut:

TT

pT Z

M

Z

eP

A

P−⋅+−=σ ............................................ (2.12)

BB

pB Z

M

Z

eP

A

P+⋅−−=σ ........................................... (2.13)

e

P P

L

CL

q

h

b

b

h +

TZM−

BZM+

TZeP⋅+

BZeP⋅−

AP−

AP−

+ =

Bσ

Tσ

16

dimana:

σT = tegangan pada serat atas beton

σB = tegangan pada serat bawah beton

Pp = gaya prategang

A = luas penampang beton

e = eksentrisitas kabel prategang

ZT = modulus penampang serat atas beton

ZB = modulus penampang serat bawah beton

Dalam mendesain beton prategang, penampang struktur dapat didesain

mengalami prategang penuh (fully prestressed) atau prategang sebgaian (partial

prestressed). Prategang penuh adalah dimana pada penampang struktur tidak diizinkan

adanya tegangan tarik pada penampang baik pada tahap transfer sampai dengan masa

layan, dalam hal ini maka σB = 0. Sedangkan prategang sebagian adalah dimana

penampang struktur direncanakan untuk dapat menerima tegangan tarik pada lokasi

penampang selama masa transfer dan masa layan, dalam hal ini maka σB ≠ 0.

Sebagai tambahan dari gaya-gaya yang telah dijelaskan yang dapat disebut juga

gaya longitudinal, profil kabel prategang yang digunakan juga menghasilkan gaya

transversal (gaya ke atas). Gaya tansversal yang dihasilkan berpeilaku berbeda-beda

pada setiap profil kabel prategang. Untuk profil kabel yang parabolis dengan

kelengkungan yang konstan seperti pada Gambar 2.10, maka gaya transversal akibat

gaya prategang Pp akan berperilaku seperti pada Gambar 2.11.

17

Gambar 2.10 Profil kabel Prategang

Gambar 2.11 Gaya Transversal akibat Profil Kabel Parabolis

Gaya transversal wP biasa disebut juga sebagai beban ekivalen (equivalent load), dimana

nilainya dapat ditulis sebagai berikut:

2

pP L

eP8w

⋅= ........................................................... (2.14)

dimana:

wP = beban ekivalen

L = panjang bentang

Tidak seperti beton bertulang, beton prategang mengalami beberapa tahap

pembebanan. Pada setiap tahap pembebana harus dilakukan pengecekan atas kondisi

serat tertekan dan serat tertarik pada setiap penampang. Tahap pembebanan pada beton

prategang adalah saat masa peralihan (transfer) dan masa layan (service). Baja

prategang akan mengalami kehilangan gaya prategang pada setiap tahap pembebanan

hingga akhirnya menjadi gaya prategang efektif pada saat masa layan. Kehilangan gaya

e

Pp Pp

L

CL

wP

L

18

prategang pada saat masa peralihan disebut juga kehilangan gaya sesaat (immediate

losses) yang disebabkan oleh perpendekan elastis pada beton maupun tendon, gesekan

pada kabel prategang serta gesekan pada angkur kabel prategang. Sedangkan kehilangan

gaya yang terjadi pada masa layan disebut juga kehilangan gaya jangka panjang (time-

dependent losses) yang disebabkan oleh susut dan rangkak pada beton serta relaksasi

baja. Terminologi dalam gaya prategang dapat dilihat pada Gambar 2.12 berikut ini:

Gambar 2.12 Terminologi dalam Gaya Prategang

dengan Pj adalah gaya prategang kabel pada saat dilakukan penarikan; Pi adalah gaya

prategang awal sesaat setelah penarikan dan kehilangan gaya sesaat; Pe adalah gaya

prategang efektif selama masa layan dan setelah kehilangan gaya total.

2.3.2. Metode Desain

Asumsikan sebuah panel pelat lantai dua arah seperti pada Gambar 2.1, dimana

keempat sisi panel tersebut bertumpu pada dinding atau balok dan berisi tendon

parabolis pada arah-x dan arah-y. Jika tendon prategang pada setiap arah tersebar merata

maka gaya ke atas per satuan luas yang dihasilkan tendon adalah:

2y

yyPy2

x

xxPx

L

eP8wdan

L

eP8w

⋅=⋅= ............................................. (2.15)

dimana:

Px = gaya prategang per satuan lebar pada arah-x

Py = gaya prategang per satuan lebar pada arah-y

Pj Pi Pe

Kehilangan gaya sesaat

Kehilangan gaya jangka panjang

19

ex = eksentrisitas kabel arah-x

ey = eksentrisitas kabel arah-y

Lx = bentang pendek

Ly = bentang panjang

Jika wb adalah beban terdistribusi merata yang akan diseimbangkan, maka dapat ditulis:

pypxb www += ..................................................... (2.16)

Jumlah kabel prategang terkecil dapat dicapai jika semua beban diseimbangkan

oleh kabel pada bentang pendek. Dalam desain lebih disukai untuk mendistribusi

prategang sebanyak seperti beban didistribusikan ke tumpuan, misalnya lebih banyak

prategang pada bentang pendek daripada bentang panjang, sehingga beban ekivalen

yang ditahan oleh tendon pada bentang pendek dapat dihitung dengan:

b4y

4x

4y

px wLL

Lw

+α= ........................................... (2.17)

dimana α bergantung pada kondisi tumpuan, dan nilainya ditunjukkan pada Tabel 2.2

berikut ini:

Tabel 2.2 Nilai α untuk Berbagai Kondisi Tumpuan

α Kondisi Tumpuan

1,0 4 sisi menerus atau tidak menerus 1,0 2 sisi yang berdekatan tidak menerus 2,0 1 sisi panjang tidak menerus 0,5 1 sisi pendek tidak meneurs 2,5 2 sisi panjang dan 1 sisi pendek tidak menerus 0,4 2 sisi pendek dan 1 sisi panjang tidak menerus 5,0 2 sisi panjang tidak menerus 0,2 2 sisi pendek tidak menerus

(sumber: Design of Prestressed Concrete, 1990)

20

Pada pelat dua arah, tipe-tipe tumpuan pada keempat sisinya menentukan

perhitungan momen lentur pada setiap arahnya. Tumpuan pada setiap sisi bisa berupa

tumpuan bebas, sendi elastis atau terjepit penuh. Pada pelat dua arah, momen yang

bekerja berkembang sebagai aksi dari aksi dua arah pada bentang panjang dan pendek.

Besar dan arah momen tergantung pada tipe beban, perbandingan panjang sisi panjang

dan pendek, serta tingkat tahan tahanan tumpuan. Dalam peraturan Australia, terdapat

metode yang dapat digunakan dalam menentukan besarnya momen yang terjadi pada

pelat. Besarnya momen dapat dihitung berdasarkan metode desain kekuatan batas (AS

3600-1988) maupun metode desain beban pada masa layan (AS 1480-1982).

Momen postif per lebar pada bentang tengah pelat pada setiap arah dengan

metode desain kekuatan batas adalah:

2yyy

2xxx LwMdanLwM ⋅⋅β=⋅⋅β= ∗∗∗∗ .................................. (2.18)

dimana:

w* = beban rencana terfaktor per satuan luas

βx, βy = koefisien momen (nilainya dapat dilihat pada Tabel 2 pada lampiran)

Momen negatif pada ujung menerus diambil 1,33 kali nilai momen positif tengah

bentang pada arah yang ditinjau, sedangkan momen negatif pada ujung tidak menerus

diambil 0,5 kali nilai momen positif tengah bentang.

Momen positif dan negatif rencana dengan metode desain beban pada masa layan

dapat dihitung dengan:

2yyy

2xxx LwMdanLwM ⋅⋅β=⋅⋅β= ...................................... (2.19)

21

dimana:

w = beban rencana pada masa layan

βx, βy = koefisien momen (nilainya dapat dilihat pada Tabel 3 pada lampiran)

2.3.3. Lendutan Pelat Beton Prategang

Lendutan pelat dua arah adalah kompleks dan mengandung banyak

ketidakpastian. Banyak metode untuk menentukan lendutan pada pelat. Salah satunya

adalah metode klasik yang dipresentasikan oleh Timoshenko dan Woinowsky-Krieger

(1959), yaitu dengan persamaan:

C

Lw 4yβ=∆ ........................................................... (2.20)

( )2

3c

112

hEC

ν−= ........................................................ (2.21)

dimana:

∆ = lendutan pada pelat

β = koefisien lendutan pelat, dapat dilihat pada Tabel 2.3

Ly = bentang panjang pelat

C = persamaan tebal pelat

Ec = modulus beton

h = tebal pelat

ν = rasio Poisson beton

Untuk sebuah pelat lantai beton tanpa retak, efek rasio Poisson sangat kecil sehingga

persamaan (2.17) dapat ditulis menjadi:

22

cc

4y

IE

Lwβ=∆ ........................................................... (2.22)

dimana:

Ic = momen inertia beton per satuan lebar pelat

Tabel 2.3 Koefisien lendutan pelat, β (ν = 0,2)

Pelat Datar. Β untuk Lendutan di Tengah

Bentang

Rasio Bentang Panjang dan

Bentang Pendek

x

y

L

L

Keempat Sisi

Tumpuan Sederhana

Keempat Sisi

Tumpuan Jepit Panel

Terisolasi Tunggal

Panel Interior

1,0 0,00406 0,00126 0,0263 0,00581 1,2 0,00279 0,00085 0,0189 0,00428 1,4 0,00184 0,00059 0,0162 0,00358 1,6 0,00127 0,00035 0,0150 0,00321 1,8 0,00089 0,00023 0,0144 0,00302 2,0 0,00063 0,00016 0,0140 0,00292

(sumber: Desain Praktis Beton Prategang, 2008)

2.3.4. Tulangan Minimum Pelat Prategang

Berdasarkan SNI 03-2847-2002, pada semua komponen struktur lentur yang

menggunakan sistem tendon prategang tanpa lekatan, harus dipasang suatu tulangan

non-prategang minimum. Luas tulangan non-prategang minimum harus dihitung dari:

A004,0A s = ......................................................... (2.23)

Tulangan non-prategang yang ditentukan dari persamaan (2.20) harus disebar merata

pada daerah tarik yang pada awalnya mengalami tekan dan dipasang sedekat mungkin

ke serat tarik terluar dari penampang.

23

Panjang minimum tulangan non-prategang adalah sebagai berikut:

a. Dalam daerah momen positif, panjang minimum tulangan non-prategang adalah

sepertiga bentang bersih dan dipasang sentral dalam daerah momen positif.

b. Dalam daerah momen negatif, tulangan non-prategang harus diperpanjang

hingga seperenam dari bentang bersih pada masing-masing sisi dari komponen

penumpu.

2.4. Analisa Dinamik

Pada ilmu statika keseimbangan gaya-gaya didasarkan atas kondisi statik, artinya

gaya-gaya tersebut tetap intensitasnya, tetap tempatnya dan tetap arah/garis kerjanya.

Gaya-gaya tersebut dikategorikan sebagai beban statik. Kondisi seperti ini akan berbeda

dengan beban dinamik dengan pokok-pokok perbedaan sebagai berikut ini:

a. Beban dinamik adalah beban yang berubah-ubah menurut waktu (time varying)

sehingga beban dinamik merupakan fungsi dari waktu.

b. Beban dinamik umumnya hanya bekerja pada rentang waktu tertentu. Untuk

beban gempa bumi maka rentang waktu tersebut kadang-kadang hanya beberapa

detik saja. Walaupun hanya beberapa detik saja namun beban angin dan beban

gempa misalnya dapat merusak struktur dengan kerugian yang sangat besar.

c. Beban dinamik dapat menyebabkan timbulnya gaya inersia pada pusat massa

yang arahnya berlawanan dengan arah gerakan.

d. Beban dinamik lebih kompleks dibanding dengan beban statik, baik dari bentuk

fungsi bebannya maupun akibat yang ditimbulkan.

e. Karena beban dinamik berubah-ubah intensitasnya menurut waktu, maka

pengaruhnya terhadap struktur juga berubah-ubah menurut waktu. Oleh karena

24

itu penyelesaian problem dinamik harus dilakukan seara berulang-ulang

menyertai sejarah pembebanan yang ada. Kalau penyelesaian problem statik

bersifat penyelesaian tunggal (single solution), maka penyelesaian problem

dinamik bersifat penyelesaian berulang-ulang (multiple solutions).

f. Karena beban dinamik menimbulkan respon yang berubah-ubah menurut waktu,

maka struktur yang bersangkutan akan ikut bergetar/ada gerakan. Dalam hal ini

bahan akan melakukan resistensi terhadap gerakan dan umumnya dikatakan

bahan yang bersangkutan mempunyai kemampuan untuk meredam getaran.

Dengan demikian pada pembebanan dinamik, akan terdapat peristiwa redaman

yang hal ini tidak ada pada pembebanan statik.

Pada problem dinamik, setiap titik atau massa umumnya hanya diperhitungkan

berpindah tempat dalam satu arah saja yaitu arah horizontal. Karena simpangan yang

terjadi hanya terjadi dalam satu bidang (2-dimensi) maka simpangan suatu massa pada

setiap saat hanya mempunyai posisi/ordinat tertentu baik bertanda positif maupun

negatif. Pada kondisi 2-D tersebut simpangan suatu massa pada saat t dapat dinyatakan

dalam koordinat tunggal yaitu y(t). Struktur seperti itu dinamakan struktur dengan

derajat kebebasan tunggal. Secara umum bangunan 1-tingkat dianngap hanya

mempunyai derajat kebebasan tunggal (single degree of freedom, SDOF) dan struktur

yang mempunyai n-tingkat akan mempunyai n-derajat kebebasan atau struktur dengan

derajat kebebasan banyak (multi degree of freedom, MDOF). Banyaknya derajat

kebebasan menyatakan banyaknya perpindahan yang independent yang diperlukan untuk

mendefinisikan perpindahan posisi dari massa terhadap posisi awal.

25

Respon struktur akan bergantung pada properti dinamik struktur (kekakuan,

massa dan redaman) dan juga akan bergantung dari beban dinamik serta

macam/jenis/asumsi getaran yang dipakai. Secara umum struktur bangunan gedung

tidaklah selalu dapat dinyatakan di dalam suatu sistem yang mempunyai serajat

kebebasan tunggal (SDOF). Struktur bangunan gedung justru banyak yang mempunyai

derajat kebebasan banyak (MDOF). Pada struktur bangunan gedung bertingkat banyak

umumnya massa struktur dapat digumpalkan pada tempat-tempat tertentu (lumped mass)

yang umumnya pada tiap-tiap lantai-tingkat, maka struktur yang tadinya mempunyai

derajat kebebasan tak terhingga akan menjadi struktur dengan derajat kebebasan

terbatas.

2.4.1. Tipe Getaran

Secara umum gerakan massa suatu struktur dapat disebabkan baik oleh adanya

gangguan luar maupun adanya suatu nilai awal (initial conditions). Peristiwa dengan

gerakan massa akibat adanya nilai awal, misalnya simpangan awal atau kecepatan awal,

biasa disebut dengan getaran bebas (free vibration systems). Sedangkan apabila

goyangan suatu struktur yang diakibatkan oleh adanya gaya luar ataupun adanya getaran

tanah akibat gempa, biasa disebut dengan getaran dipaksa (forced vibration systems).

Namun gerakan suatu massa umumnya akan dihambat/diredam baik karena gesekan

dengan benda-benda sekelilingnya maupun oleh peristiwa intern yang ada pada benda

yang bersangkutan, sehingga gerakan massa tersebut lambat laun akan melemah.

Gerakan massa struktur yang memperhitungkan adanya gaya redam disebut damped

systems atau sistem gerakan yang diredam. Walaupun demikian, suatu struktur kadang-

kadang dianggap tidak mempunyai redaman atau undamped systems.

26

Tipe gerakan pada struktur dapat dirangkum menjadi:

a. Getaran bebas tanpa redaman (Undamped Free Vibration Systems)

b. Getaran bebas yang diredam (Damped free Vibration)

c. Getaran dipaksa yang tidak diredam (Undamped Forced Vibration Systems)

d. Getaran dipaksa yang diredam (Damped Forced Vibration Systems)

2.4.2. Periode Alamiah, Frekuensi Sudut dan Frekuensi Alamiah

Ada beberapa karakter penting dari suatu struktur yang bersangkutan yang akan

sangat berguna untuk pembahasan-pembahasan respon struktur berikutnya. Karakter-

karakter itu adalah frekuensi sudut (ωn), periode alamiah (Tn) dan frekuensi alamiah (fn).

Frekuensi alamiah adalah frekuensi dimana suatu sistem akan bergetar secara

alami, frekuensi alamiah (f) dinyatakan dalam Hertz atau siklus/detik. Sedangkan

frekuensi sudut adalah frekuensi alamiah yang dinyatakan dalam rad/detik. Periode

alamiah adalah waktu yang diperlukan oleh suatu sistem tanpa redaman untuk

menyelesaikan satu siklus getaran, periode alamiah dinyatakan dalam detik.

Nilai dari ωn, Tn dan fn hanya bergantung kepada nilai massa dan kekakuan dari

struktur, dimana hubungannya dapat dinyatakan sebagai berikut:

m

kn =ω ............................................................... (2.24)

nn

2T

ωπ= ................................................................. (2.25)

nn T

1f = .................................................................. (2.26)

27

dimana:

k = kekakuan struktur

m = massa struktur

2.4.3. Persamaan Diferensial Struktur SDOF

Persamaan keseimbangan dinamik dapat diturunkan dari model matematik dari

struktur SDOF seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.13. Pada Gambar 2.13, P(t)

merupakan beban dinamik yang intensitasnya merupakan fungsi dari waktu. Akibat

beban dinamik, struktur akan bergoyang berganti-ganti ke kanan maupun ke kiri.

Terdapat beberapa parameter penting yang mempengaruhi besar kecilnya goyangan

yaitu massa (m), kekakuan kolom (k) dan koefisien redaman (c). Struktur tersebut

kemudian digambar secara ideal seperti pada Gambar 2.14 dimana pada gambar ini telah

memperhatikan parameter-parameter yang berpengaruh. Pada Gambar 2.15 ditampilkan

model matematik untuk struktur SDOF yang mempunyai redaman. Apabila beban

dinamik P(t) seperti pada Gambar 2.15 bekerja ke arah kanan, maka akan terdapat

perlawanan pegas, damper dan gaya inersia. Gambar 2.16 adalah gambar keseimbangan

dinamik yang bekerja pada massa (m), gambar ini umumnya disebut free body diagram.

q

P(t)

m

c

k

Gambar 2.13 Struktur SDOF Gambar 2.14 Model Fisik Struktur SDOF

28

c

k

P(t)m

FS

FDFI P(t)

Gambar 2.15 Model Matematik Gambar 2.16 Free Body Diagram

Berdasarkan prinsip keseimbangan dinamik pada free body diagram tersebut,

maka dapat diperoleh hubungan:

)t(PFFF SDI =++ ................................................. (2.27)

dimana:

ymFI &&⋅= ............................................................... (2.28)

ycFD &⋅= ................................................................ (2.29)

ykFS ⋅= ................................................................ (2.30)

dimana FI, FD, FS berturut-turut adalah gaya inersia, gaya redaman dan gaya pegas,

sedangkan ydany,y &&& berturut-turut adalah percepatan, kecepatan dan simpangan.

Apabila persamaan (2.28), (2.29), (2.30) disubstitusikan pada persamaan (2.27) makan

akan diperoleh persamaan kesimbangan dinamik sebagai berikut:

)t(Pykycym =⋅+⋅+⋅ &&& ........................................ (2.31)

2.4.4. Persamaan Diferensial Struktur MDOF

Untuk menyatakan persamaan diferensial gerakan pada struktur dengan derajat

kebebasan banyak maka dipakai anggapan dan pendekatan seperti pada struktur dengan

derajat kebebasan tunggal (SDOF). Untuk memeperoleh persamaan diferensial tersebut,

maka tetap dipakai prinsip keseimbangan dinamik (dynamic equation equilibrium) pada

29

suatu massa yang ditinjau. Namun pada struktur dengan derajat kebebasan banyak,

persamaan diferensial gerakannya merupakan persamaan yang dependent atau coupled

karena kesimbangan dinamik suatu massa yang ditinjau dipengaruhi oleh kekakuan,

redaman dan simpangan massa sebelum dan sesudahnya. Penyelesaian persamaan

coupled harus dilakukan secara simultan artinya dengan melibatkan semua persamaan

yang ada. Sehingga persamaan keseimbangan dinamik untuk derajat kebebasan banyak

dapat ditulis dalam matriks:

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { })t(FYKYCYM =++ &&& ........................... (2.32)

dimana:

[M] = matriks massa

[C] = matriks redaman

[K] = matriks kekakuan

{ }Y&& = vektor percepatan

{ }Y& = vektor kecepatan

{ }Y = vektor simpangan

{F(t)} = vektor beban

2.4.5. Eigen Problem

Dalam menyelesaikan persamaan dinamik MDOF diperlukan nilai frekuensi

alamiah dan pola getar, yang dimana kedua parameter ini tercakup dalam eigen problem.

Dalam eigen problem, frekuensi alamiah disebut sebagai eigen value dan pola getar

adalah eigen vector {Ф}. Persamaan eigen problem dinyatakan sebagai berikut:

[ ] [ ]{ }{ } 0MK 2 =Φω− .............................................. (2.33)

30

Persamaan (2.30) akan ada nilainya apabila determinan dari matriks yang merupakan

koefisien dari vektor {Ф} adalah nol, sehingga:

[ ] [ ] 0MK 2 =ω− .................................................... (2.34)

Hasil analisa akan memberikan satu set nilai ωn sesuai dengan banyaknya derajat

kebebasan, dimana untuk setiap ωn akan didapat juga satu set nilai eigen vector.

2.4.6. Getaran pada Pelat Beton Prategang

Dalam beberapa tahun terakhir, getaran menjadi kriteria desain penting dalam

lantai beton, khususnya lantai dengan bentang panjang dan rasio kerampingan yang

tinggi. Masalah paling umum yang mengganggu penghuni gedung adalah getaran yang

disebabkan oleh bunyi kaki menapak.

Dalam menilai getaran pada lantai, frekuensi dan amplitudo dari gerakan

sangatlah penting. Biasanya, amplitudo dinyatakan sebagai percepatan puncak,

walaupun kadang-kadang pengukuran seperti kecepatan ataupun perpindahan juga

digunakan. Secara umum, manusia lebih responsif terhadap frekuensi getaran yang

cukup rendah, jadi percepatan yang lebih besar pada frekuensi yang tinggi lebih dapat

diterima daripada pada frekuensi yang lebih rendah.

Pada tahun 1994, U.K. concrete Society mengajukan prosedur perhitungan

getaran dengan mengasumsikan kalau lantai bergetar dalam dua set pola yang bebas

pada dua arah bentang yang saling tegak lurus. Persamaan yang diberikan adalah untuk

pelat dua arah yang menerus. Persamaan (2.35) sampai (2.38) adalah persamaan getaran

pelat pada arah-x, namun karakteristik pada arah-y dapat ditentukan dengan mengganti

parameter arah-x menjadi parameter arah-y.

31

Rasio aspek efektif dai panel pelat ditentukan sebagai berikut:

4

x

y

y

xxx I

I

L

Ln=λ ..................................................... (2.35)

dimana:

Ix = momen inersia arah-x

Iy = momen inersia arah-y

nx = jumlah bentang arah-x

Nilai λx digunakan untuk menghitung faktor modifikasi (kx).

untuk solid atau waffle slabs; 2x

x

11k

λ+= ................................................... (2.36)

untuk ribbed slabs; 4x

x

11k

λ+= ............................................... (2.37)

Untuk pelat dengan balok di sepanjang garis kolom, frekuensi alamiah dari pelat

tersebut adalah:

4y

ycxnx

Lw

gIE

2kf

π= ................................................ (2.38)

dimana:

w = beban per satuan luas

g = gaya gravitasi

2.5. SAP2000

SAP2000 merupakan salah satu program analisa struktur yang dikeluarkan oleh

Computer and Structure, Inc yang biasa disingkat CSI. CSI merupakan perusahaan

32

perangkat keras komputer yang telah banyak mengeluarkan program-program bantu

dalam analisa struktur seperti SAP2000, ETABS, SAFE dan sebagainya.

Secara garis besar program SAP2000 dapat digunakan untuk melakukan analisa

linier dan non-linier, statik maupun dinamik stuktur 3-dimensi. Pada dasarnya SAP2000

menggunakan metode elemen hingga (FEM) sebagai pendekatan dalam memprediksi

perilaku struktural dan juga untuk menyelesaikan masalah struktural yang rumit. Salah

satu fitur dalam SAP2000 adalah program ini dapat melakukan analisa modal Eigen dan

Ritz, dimana fitur tersebut sangat membantu dalam melakukan penelitian ini.