5

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Model Transportasi

Menurut Mulyono (2004, p114) persoalan transportasi membahas masalah

pendistribusian suatu komoditas atau prouk dari sejumlah sumber (supply) kepada

sejumlah tujuan (destination, demand) dengan tujuan meminimumkan ongkos

pengangkutan yang terjadi.

Ciri-ciri khusus persoalan transportasi ini adalah:

1. Terdapat sejumlah sumber dan sejumlah tujuan tertentu.

2. Kuantitas komoditas atau barang yang didistribusikan dari setiap sumber dan

yang diminta oleh setiap tujuan, besarnya tertentu.

3. Barang yang dikirim atau diangkut dari suatu sumber ke suatu tujuan, besarnya

sesuai dengan permintaan dan kapasitas sumber.

4. Ongkos pengangkutan komoditas dari suatu sumber ke suau tujuan, besarnya

tertentu.

Secara diagramatik, model transportasi dapat digambarkan sebagai berikut:

Misalkan ada m buah sumber dan n buah tujuan.

6

Sumber

a

Tujuan

b

i = 1 11X

12X

nX1

.

.

.

.

i = 2 21X

22X

nX 2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

i = 3 31X

32X

nX 3

.

.

.

.

j = 1

j = 2

j = 3

.

.

.

.

j = n

Gambar 2.1 Model Transportasi

Dimana,

Masing-masing sumber mempunyai kapasitas ia , i = 1, 2, 3, ..., m.

Masing-masing tujuan membutuhkan komoditas sebanyak jb , j = 1, 2, 3, ..., n.

7

Jumlah satuan (unit) yang dikirimkan dari sumber i ke tujuan j adalah sebanyak

ijX

Ongkos pengiriman per unit dari sumber i ke tujuan j adalah ijC .

Dengan demikian perumusan matematisnya adalah sebagai berikut:

Meminimumkan: z = ∑∑= =

m

i

n

jijij XC

1 1

Berdasarkan pembatas: miaX i

n

jij ,...,3,2,1,

1==∑

=

njbX i

m

iij ,...,3,2,1,

1

==∑=

0≥ijX untuk seluruh i dan j.

Sebagai ilustrasi, jika ada 2 buah sumber dan 3 tujuan (m=2, n=3)

a1

a2

b1

b2

b3

C11, X11

C12, X

12

C13 , X

13

C 21, X 21

C22, X 22

C23, X23

Gambar 2.2 Ilustrasi Model Transportasi 2 Sumber 3 Tujuan

8

Perumusan matematis:

Meminimumkan:

232322222121131312121111 XCXCXCXCXCXCz +++++=

Berdasarkan pembatas:

32313

22212

12111

2232221

1131211

bXXbXXbXX

aXXXaXXX

=+=+=+

=++=++

Sedangkan matriks berupa tabel dari persamaan tersebut dapat dilihat pada

gambar berikut:

1 2 3 Supply1 C11

X11

C12

X12

C13

X13 a1

2 C21

X21

C22

X22

C23

X23 a2

b1 b3 b3 Gambar 2.3 Matriks Transportasi dalam Tabel

2.2 Model Transshipment

Suatu perluasan dari rumusan transportasi adalah masalah transshipment

(pemindahan), dimana setiap sumber dan tujuan dapat juga menjadi titik perantara

pengiriman dari sumber-sumber atau tujuan-tujuan lain. Berikut adalah diagram

contoh model transshipment.

tujuan

pembatas sumber

pembatas tujuan

sumber (i)

demand

9

Pulo Gadung

Kebayoran

Pasar Boplo

Sumber

( i )

Supply (bal)

(70)

(80)

(50)

Biaya

(70)

Tanggerang

Bekasi

Ciputat

(45)

(60)

(40)

(80)

(36)

(50)

(35)

Demand (bal)

(40)

(100)

(60)

(20)

(27)(17)

(20)

Gambar 2.4 Contoh Persoalan Transshipment

Dalam model ini setiap sumber maupun tujuan dipandang sebagai titik-titik

potensial bagi demand maupun supply. Oleh karena itu, untuk menjamin bahwa

tiap titik potensial tersebut mampu manampung total barang di samping jumlah

barang yang telah ada pada titik-titik itu kuantitas supply dan demand-nya masing-

masing sebesar B. ∑∑==

=≥m

jj

m

ii baB

11dari pemodelan transportasi.

Dengan demikian, bila ada persoalan transportasi sebagai berikut:

Tabel 2.1 Contoh Persoalan Transportasi

T1 T2 T3 Supply

S1 10

20

30

100

S2 20

50

40

200

Demand 100 100 100

10

Maka pemodelan transshipment-nya adalah:

Tabel 2.2 Contoh Persoalan Transshipment

S1 S2 T1 T2 T3 Supply

S1 10

20

30

100 + B

S2 20

50

40

200 + B

T1 B

T2 B

T3 B

Demand B B 100 + B100 + B100 + B

Model diatas baru lengkap apabila ongkos per unit pengangkut untuk baris-

baris-baris dan kolom-kolom yang lainnya telah ditetapkan. Dalam hal ini perlu

diingat bahwa ongkos per unit pada elemen-elemen diagonal adalah nol.

2.3 Metode Northwest-Corner

Metode Northwest-Corner digunakan untuk menentukan solusi awal.

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

Mulai dari pojok barat laut tabel dan alokasikan sebanyak mungkin pada 11X

tanpa menyimpang dari kendala penawaran atau permintaan (artinya 11X

ditetapkan sama dengan yang terkecil di antara nilai supply dan demand)

),min( 1111 baX = , jika 11 ab < maka ;111 bX = jika 11 ab > maka 111 aX = . Kalau

111 bX = , maka yang mendapat giliran untuk dialokasikan adalah 12X sebesar

),min( 211 bba − ; kalau 111 aX = (atau 11 ab > ), maka selanjutnya yang mendapat

11

giliran untuk dialokasikan adalah 12X sebesar ),min( 211 aab − . Demikian

seterusnya.

Contoh:

Tabel 2.3 Tabel Hasil Perhitungan Metode Northwest-Corner

T1 T2 T3 T4 Supply

S1 10 5

0 10

20

11

15

S2 12

7 5

9 15

20 5

25

S3 0

14

16

18 5

5

Demand 5 15 15 10

5)5,15min(5;15 1111 ==⎯→⎯== Xba

10)15,10min(15;10 12211 ==⎯→⎯==− Xbba

Langkah selanjutnya adalah mengisi 2b sampai penuh dengan

mengalokasikan sebesar 5 pada 22X , yaitu jumlah kekurangan yang terjadi dalam

pemenuhan kebutuhan pada 2b .

Dengan melanjutkan prosedur di atas, maka akan diperoleh berturut-turut:

5,15 2423 == XX dan 34X = 5, yang bersama-sama dengan 11X , 12X , dan 22X

membentuk solusi layak basis awal Z = 410.

2.4 Metode Least Cost

Metode Least Cost atau ongkos terkecil berusaha mencapai tujuan minimisasi

biaya dengan alokasi sistematik kepada kotak-kotak sesuai dengan besarnya biaya

transpor per unit.

12

Prosedur metode ini adalah:

1. Plih variabel ijX (kotak) dengan biaya transpor ( ijC ) terkecil dan alokasikan

sebanyak mungkin. Untuk ijC terkecil, ijX = minumum ( ji DemandSupply , ).

Ini akan menghabiskan baris i atau kolom j.

2. Dari kotak-kotak sisanya yang layak (yaitu yang tidak terisi atau tidak

terhilangkan), pilih nilai ijC terkecil dan alokasikan sebanyak mungkin.

3. Lanjutkan proses ini sampai semua penawaran dan permintaan terpenuhi.

Contoh:

Tabel 2.4 Tabel Hasil Perhitungan Metode Least Cost

T1 T2 T3 T4 Supply

S1 10

0 15

20

11

15

S2 12

7

9 15

20 10

25

S3 0 5

14

16

18

5

Demand 5 15 15 10

Dengan mengambil contoh diatas, 03112 == CC adalah ongkos terkecil dari

keseluruhan tabel. Maka 12X dan 31X mendapat prioritas pengalokasikan pertama

kali. Jumlah unit yang dialokasikan masing-masing adalah 12X = min

( 2,1 DemandSupply ) = 15. dan 31X = min ( 1,3 DemandSupply ) = 5. Selanjutnya

lihat ongkos terkecil berikutnya, yaitu 22C = 7. Tetapi, karena tujuan kedua

( 2Demand ) telah terisi penuh, maka lihat ongkos terkecil berikutnya, diperoleh

23C = 9. Alokasikan 23X = min ( 3,2 DemandSupply ) = min (25,15) = 15. Dengan

13

menjalankan prosedur di atas, diperolah 24X =10. Maka 233112 ,, XXX dan 24X

bersama-sama membentuk solusi layak basis awal Z = 335.

2.5 Metode Pendekatan Vogel

Metode Pendekatan Vogel atau Vogel’s Approximation Method (VAM)

melakukan alokasi dalam suatu cara yang akan meminimumkan penalty

(opportunity cost) dalam memilih kotak yang salah untuk suatu alokasi. Proses

Metode Pendekatan Vogel dapat diringkas sebagai berikut:

1. Hitung penalty untuk tiap kolom dan baris dengan jalan mengurangkan elemen

ongkos terkecil dari yang kedua terkecil.

2. Selidiki kolom atau baris dengan penalty terbesar. Alokasikan sebanyak

mungkin pada variabel dengan ongkos terkecil, sesuaikan supply dan demand,

kemudian tandai kolom atau baris yang sudah terpenuhi. Kalau ada 2 buah

kolom atau baris yang sudah terpenuhi secara simultan, pilih salah satu untuk

ditandai, sehingga supply atau demand sama dengan nol, tidak akan terbawa

lagi dalam perhitungan penalty pada iterasi berikutnya.

3. Bila tinggal 1 kolom atau baris yang belum ditandai, stop iterasi.

Bila tinggal 1 kolom atau baris dengan supply atau demand positif yang belum

ditandai, tentukan variabel basis pada kolom atau baris dengan cara ongkos

terkecil (least cost).

Bila semua baris dan kolom yang belum ditandai mempunyai supply dan

demand sama dengan nol, tentukan variabel-variabel basis yang berharga nol

dengan cara ongkos terkecil, kemudian stop.

14

Jika syarat-syarat diatas tidak terjadi, hitung kembali penalty untuk baris atau

kolom yang belum ditandai. Kembali ke nomor 2.

Contoh:

Tabel 2.5 Tabel Perhitungan Iterasi Pertama Vogel

T1 T2 T3 T4 Supply Penalty

Baris

S1 10

0

20

11

15 10

S2 12

7

9

20

25 2

S3 0

14

16

18

5 14

Demand 5 15 15 10 Penalty Kolom 10 7 7 7

Kerena baris ketiga memiliki penalty terbesar (=14) dan karena 31C = 0

merupakan ongkos terkecil di dalam barisnya, maka dialokasikan 31X = 5. Dengan

demikian, baris 3 dan kolom 1 sudah terpenuhi secara simultan. Dalam hal ini bisa

dipilih baris 3 atau kolom 1 yang akan ditandai. Misalkan dipilih kolom 1 untuk

ditandai, maka sisa supply untuk baris 3 menjadi 0.

Tabel baru menjadi:

15

Tabel 2.6 Tabel Perhitungan Iterasi Kedua Vogel

T1 T2 T3 T4

Sisa Supply

Penalty Baris

S1 10

0

20

11

15 11

S2 12

7

9

20

25 2

S3 0 5

14

16

18

0 -

Sisa Demand 0 15 15 10

Penalty Kolom - 7 11 9

Selanjutnya ulangi kembali perhitungan penalty. Dapat dilihat bahwa baris 1

dan kolom 3 mempunyai penalty yang sama (=11) sehingga kembali dapat dipilih

salah satu untuk ditandai. Misalkan dipilih kolom 3 untuk ditandai, maka

alokasikan 23X =15. Sisa supply untuk baris 2 sekarang menjadi 10.

Tabel 2.7 Tabel Perhitungan Iterasi Ketiga Vogel

T1 T2 T3 T4

Sisa Supply

Penalty Baris

S1 10

0

20

11

15 11

S2 12

7

9 15

20

10 13

S3 0 5

14

16

18

0 -

Sisa Demand 0 15 0 10

Penalty Kolom - 7 - 9

Dengan menghitung penalty yang baru diperoleh penalty terbesar untuk baris 2

(=13) sehingga alokasikan 22X = 10. Kemudian tandai baris 2.

16

Tabel 2.8 Tabel Perhitungan Iterasi Keempat Vogel

T1 T2 T3 T4 Sisa

Supply

S1 10

0

20

11

15

S2 12

7 10

9 15

20

0

S3 0 5

14

16

18

0

Sisa Demand 0 5 0 10

Supply yang masih tersedia adalah 15 (baris 1), sedangkan demand yang

belum terpenuhi adalah kolom 2 sebanyak 5 dan kolom 4 sebanyak 10.

Karena tidak ada pilihan lain, maka alokasikan 12X = 5 dan 14X =10 dengan

metode least cost. Pengisian tabel selesai dengan solusi layak basis awal Z = 315:

,15,10,10,5 23221412 ==== XXXX dan 31X = 5.

Tabel 2.9 Hasil Akhir Alokasi dengan Metode Pendekatan Vogel

T1 T2 T3 T4 Supply

S1 10

0 5

20

11 10

15

S2 12

7 10

9 15

20

25

S3 0 5

14

16

18

5

Demand 5 15 15 10

2.6 Metode Pendekatan Russell

Berikut adalah prosedur Metode Pendekatan Russell:

17

1. Untuk setiap baris iSupply yang masih menjadi pertimbangan atau belum

terisi, tentukanlah iu yang merupakan biaya per unit ( ijC ) terbesar yang masih

ada dalam baris tersebut.

2. Untuk setiap kolom jDemand yang masih menjadi pertimbangan atau belum

terisi, tentukanlah jv yang merupakan biaya per unit ( ijC ) terbesar yang masih

ada dalam kolom tersebut.

3. Untuk setiap variabel ijX yang sebelumnya belum dipilih dalam baris-baris

dan kolom-kolom ini, hitunglah jiijij vuC −−=Δ .

4. Pilih variabel yang mempunyai nilai negatif (mutlak) terbesar dari ijΔ (kalau

ada yang sama pilih secara arbitrer). Lanjutkan proses ini mulai dari nomor 1

lagi sampai tidak ditemukan nilai negatif (mutlak) terbesar dari ijΔ .

Contoh:

Tabel 2.10 Contoh Soal untuk Metode Pendekatan Russell

T1 T2 T3 T4 Supply

S1 10

0

20

11

15

S2 12

7

9

20

25

S3 0

14

16

18

5

Demand 5 15 15 10

Hasil perhitungan iterasi pertama contoh soal dihitung secara berurutan dapat

dilihat pada Tabel 2.11 dibawah ini.

18

Tabel 2.11 Hasil Iterasi Pertama Russell 1u 2u 3u 1v 2v 3v 4v ijΔ Alokasi

20 20 18 12 14 20 20 =Δ11 -22

=Δ12 -34 *

=Δ13 -20

=Δ14 -29

=Δ 21 -20

=Δ 22 -27

=Δ 23 -31

=Δ 24 -20

=Δ31 -30

=Δ32 -18

=Δ33 -22

=Δ34 -20

=12X 15

Dari tabel 2.11 dapat dilihat nilai ijΔ negatif terbesar ada pada 12Δ sehingga

alokasi sebanyak mungkin pada =12X min( 21, DemandSupply ) = 15 sebagai

variabel dasar (alokasi) pertama. Karena telah memenuhi 1Supply dan 2Demand

maka baris 1 dan kolom 2 tidak menjadi pertimbangan lebih lanjut.

Hasil-hasil perhitungan iterasi berikutnya termasuk urutan variabel-variabel

dasar (alokasi-alokasi), diperlihatkan dalam Tabel 2.12.

19

Tabel 2.12 Hasil Perhitungan Semua Iterasi Russell

Iterasi 1u 2u 3u 1v 2v 3v 4v ijΔ terkecil Alokasi

1

2

3

4

20 20 18

- 20 18

- 20 -

- 20 -

12 14 20 20

12 - 16 20

- - 9 20

- - - 20

=Δ12 -34

=Δ31 -30

=Δ 23 -20

=Δ 24 -20

=12X 15

=31X 5

=23X 15

=24X 20

Alokasi secara penuh hasil perhitungan metode pendekatan Russell dengan solusi

basis awal Z = 335 : 12X , 31X , 23X , dan 24X disajikan dalam Tabel 2.13.

Tabel 2.13 Hasil Akhir Alokasi Metode Pendekatan Russell

T1 T2 T3 T4 Supply

S1 10

0 15

20

11

15

S2 12

7

9 15

20 10

25

S3 0 5

14

16

18

5

Demand 5 15 15 10

2.7 Metode Multiplier

Setelah solusi layak dasar awal diperoleh dari masalah transportasi, langkah

berikutnya adalah menekan kebawah biaya transpor dengan memasukkan variable

nonbasi (yaitu alokasi barang ke kotak kosong ke dalam solusi). Proses evaluasi

variable nonbasis yang memungkinkan terjadinya perbaikan solusi dan kemudian

mengalokasikan kembali dinamakan Metode multiplier. Cara ini dikembangkan

berdasarkan teori dualitas. Untuk tiap basis i dari tabel transformasi dikenal suatu

20

multiplier iu , dan untuk kolom j disebut multiplier jV sehingga untuk tiap variabel

basis ijX didapat persamaan: ijji Cvu ++ .

Dari persamaan di atas dapat dihitung beberapa penurunan ongkos

transportasi per unit untuk tiap variabel nonbasis ijX sebagai berikut:

jiijij vuXC −−= .

Sebagai contoh ada solusi awal yang telah didapat dari Metode Nortwest-

Corner

Tabel 2.14 Solusi Awal Hasil Perhitungan Metode Nortwest-Corner

T1 T2 T3 T4 Supply

S1 10 5

0 10

20

11

15

S2 12

7 5

9 15

20 5

25

S3 0

14

16

18 5

5

Demand 5 15 15 10

Basis awal:

11X : 101111 ==+ Cvu

12X : 01221 ==+ Cvu

22X : 72222 ==+ Cvu

23X : 92332 ==+ Cvu

24X : 202442 ==+ Cvu

34X : 183443 ==+ Cvu

21

Dengan menentukan 0=iu , maka harga-harga multiplier yang lain dapat

dicari sebagai berikut:

1011 =+ vu 10 v1 =

021 =+ vu 0 v2 =

722 =+ vu 7 u 2 =

932 =+ vu 2 v3 =

2042 =+ vu 13 v4 =

1843 =+ vu 5 u3 =

Tabel 2.15 Perhitungan Iterasi Pertama Multiplier

10 v1 = 0 v2 = 2 v3 = 13 v4 =

0=iu 10 •

0 •

20 +18

11 -2

7 u 2 = 12 -5

7 •

9 •

20 •

5 u3 = 0 -15

14 +9

16 +9

18 •

5 15 15 10

Untuk menentukan entering variable, alokasi yang sudah terpenuhi

(disimbolkan dengan •) tidak diperhitungkan :

5212121 −=−−= uvCC

15133131 −=−−= uvCC

18311313 =−−= uvCC

2411414 −=−−= uvCC

9233232 =−−= uvCC

22

9333333 =−−= uvCC

Entering variable adalah 31X karena memberikan penurunan ongkos per unit

yang terbesar, yaitu sebanyak 15 satuan ongkos per unit. Dengan demikian, dapat

dibuat sebuah loop yang berawal dan berakhir pada variabel 31X .

Tabel 2.16 Tabel Closed-Loop Iterasi Pertama

T1 T2 T3 T4 Supply

S1 10 5

0 10

20

11

15

S2 12

7 5

9 15

20 5

25

S3 10 31X

14

16

18 5

5

Demand 5 15 15 10

- +

- +

-+

Tanda - dan + menyatakan bahwa variabel yang bersangkutan (pada

masing-masing kotak) akan bertambah atau berkurang besarnya sebagai akibat

perpindahan kolom dan perpindahan baris.

Leaving variable dipilih dari variabel-varibel sudut loop yang bertanda - .

Pada contoh di atas, di mana 31X telah terpilih sebagai entering variable, calon-

calon leaving variable-nya adalah 11X , 22X , dan 34X . Dari calon-calon ini,

pilihlah salah satu yang nilainya paling kecil.

Pada contoh diatas kebetulan ketiganya bernilai sama (=5) sehingga bisa

dipilih salah satu untuk dijadikan leaving variable. Misalkan 34X dipilih sebagai

leaving variable, maka nilai 31X naik 5 dan nilai-nilai variabel basis yang di sudut

loop juga berubah (bertambah atau berkurang 5 sesuai dengan tanda + atau - ).

23

Solusi baru ini adalah seperti pada tabel berikut dengan ongkos transportasi

sebesar: (0 x 10) + (15 x 0) + (0 x 7) + (15 x 9) + (10 x 20) + (5 x 0) = 335.

Tabel 2.17 Hasil Iterasi Pertama Setelah Perputaran Nilai Pada Closed-Loop

T1 T2 T3 T4 Supply

S1 10 0

0 15

20

11

15

S2 12

7 0

9 15

20 10

25

S3 10 5

14

16

18

5

Demand 5 15 15 10

Bandingkan dengan solusi awal pada Tabel 2.4 yang ongkos transportasinya

adalah = 410. Selisih ongkos transportasi (410 – 335 = 75) sama dengan hasil

perkalian antara: jumlah unit yang ditambahkan pada 31X x penurunan ongkos per

unit (5) x (15).

Perhatikan, angka 0 pada 11X dan 22X adalah variabel basis yang berharga 0.

Jadi, tidak boleh dihilangkan karena ia tidak sama dengan kotak-kotak lain yang

tidak ada angkanya (variabel nonbasis).

Sampai tahap ini masih harus memeriksa, barangkali nilai fungsi tujuan

masih bisa diperbaiki. Untuk itu lakukanlah kembali langkah-langkah yang sudah

dikerjakan sebelumnya, dengan mengunakan Tabel 2.17 sebagai solusi awal

(pengganti Tabel 2.14). Sehingga didapat:

Variabel nonbasis Perubahan ongkos per unit

13X 1813 +=C

14X 214 −=C

24

21X 521 −=C

32X 2432 +=C

33X 2433 +=C

34X 1534 +=C

Dengan demikian dipilih 21X sebagai entering variable.

Tabel 2.18 Tabel Perhitungan Iterasi Kedua Multiplier

T1 T2 T3 Toko4 Supply

S1 10 0

0 15

20

11

15

S2 12 21X

7 0

9 15

20 10

25

S3 10 5

14

16

18

5

Demand 5 15 15 10

+

-

-

+

Tabel 2.19 Tabel Perhitungan Iterasi Ketiga Multiplier

T1 T2 T3 T4 Supply

S1 10

0 15

20

11 14X

15

S2 12 0

7 0

9 15

20 10

25

S3 10 5

14

16

18

5

Demand 5 15 15 10

+-

-+

Pada loop yang berasal dan berakhir pada 21X ini, leaving variable-nya ada

dua, yaitu 11X dan 22X . Karena keduanya berharga 0, bisa dipilih salah satu untuk

dijadikan leaving variable. Misalkan 11X adalah leaving variable, maka 21X = 0

25

dengan ongkos transportasi tetap 335. Karena itu, dicoba membuat loop dari

variabel nonbasis yang lain, yang juga dapat menurunkan ongkos transportasi per

unit (yaitu 14X ). Maka didapat: 19;18;19;5 33133211 +=+=+=+= CCCC ;

2;10; 1434 −=+= CC .

Dari Tabel 2.10 terlihat bahwa leaving variable adalah 24X sehingga 14X =

10; 22X = 10; dan 12X = 5.

Solusi optimal adalah :

Tabel 2.20 Tabel Hasil Akhir Perhitungan dengan Metode Multiplier

T1 T2 T3 T4 Supply

S1 10

0 5

20

11

15

S2 12 0

7 10

9 15

20

25

S3 10 5

14

16

18

5

Demand 5 15 15 10

Dengan ongkos transportasi Z = 315.

2.8 Pengetahuan Dasar Algoritma

Dalam konteks matematika dan ilmu komputer, algoritma adalah sebuah

prosedur (Suatu himpunan instruksi yang terdeskripsi dengan jelas beserta dengan

urutan pengerjaannya) untuk menyelesaikan suatu tugas, dengan diberikan suatu

kondisi awal, dan akan berhenti pada kondisi akhir yang telah diketahui. Secara

informal, konsep dari algoritma diilustrasikan dengan contoh sebuah resep.

Konsep algoritma berawal pada penggabungan urutan-urutan prosedur

menjadi satu untuk menyelesaikan permasalahan matematik, seperti mencari faktor

26

persekutuan terbesar dari dua bilangan. Konsep tersebut diresmikan pada tahun

1936 melalui Mesin Turing Alan Turing, dan kalkulus lambda Alonzo Church,

yang pada akhirnya membentuk fondasi ilmu komputer. Kebanyakan algoritma

dapat diimplementasikan secara langsung ke dalam bahasa pemrograman,

algoritma lainnya setidaknya dapat disimulasikan secara teoritis oleh program

komputer.

2.8.1 Sejarah Singkat Algoritma

Kata algoritma berasal dari nama seorang matematikawan Persia abad ke-9

Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Kata algoritma pada awalnya

hanya merupakan istilah yang diperuntukkan aturan-aturan dalam melakukan

operasi aritmatik menggunakan bilangan Hindu-Arab, namun pada evolusinya

melalui terjemahan eropa latin nama al-Khwarizmi diterjemahkan menjadi

algorithm pada abad 18. Definisnya pun mengalami pengembangan sehingga dapat

berarti semua prosedur untuk menyelesaikan suatu masalah atau untuk melakukan

suatu tugas.

Pertama kali suatu algoritma ditulis untuk komputer berjudul Ada Byron’s

notes on the analitycal engine pada tahun 1842, di mana nama Ada Byron diterima

secara luas sebagai programmer pertama di dunia. Namun, karena Charles

Babbage tidak pernah menyelesaikan analytical engine-nya, algoritma tersebut pun

tidak pernah diimplementasikan.

2.8.2 Pseudocode

Algoritma adalah kumpulan langkah-langkah untuk melakukan perhitungan.

Kebanyakan algoritma akan diimplementasikan sebagai program komputer.

Algoritma dapat ditulis dalam notasi apapun termasuk dalam Bahasa Inggris untuk

27

tujuan dokumentasi dan penelitian. Namun suatu cara yang lebih disukai untuk

menulis algoritma adalah dengan menulisnya dalam bentuk pseudocode. Notasi

pseudocode dapat menghindari ambiguitas dalam bahasa, dan juga dapat

diterjemahkan ke dalam bahasa pemrograman secara langsung.

Salah satu contoh dari algoritma yang paling sederhana adalah untuk

menemukan bilangan yang paling besar dari suatu daftar bilangan tidak terurut,

yang apabila ditulis dalam Bahasa Inggris adalah sebagai berikut:

1. Let us assume the first item is largest.

2. Look at each of the remaining items in the list and make the following

adjustment.

If it is larger than the largest item we gathered so far, make a note of it.

3. The latest noted item is the largest in the list when the process is complete.

Algoritma di atas apabila ditulis menjadi pseudocode menjadi seperti berikut di

bawah ini:

Algorithm LargestNumber Input: A non-empty list of numbers L. Output: The largest number in the list L. largest ← L0 for each item in the list L≥1, do if the item > largest, then largest ← the item return largest

Gambar 2.5 Gambar Pseudocode Mencari Nilai Terbesar

2.8.3 Analisis Algoritma

Pada prakteknya, kebanyakan orang yang mengimplementasikan algoritma

ingin mengetahui seberapa banyak sumber daya tertentu yang diperlukan untuk

algoritma tersebut. Sumber daya yang dimaksud di sini adalah storage (besar

memori komputer) dan waktu. Beberapa metode telah dikembangkan untuk

28

memberikan jawaban yang bersifat kuantitatif untuk pertanyaan di atas; misalnya,

algoritma pencarian bilangan terbesar seperti yang pernah disebut sebelumnya

memerlukan waktu O(n), menggunakan notasi big O, dengan n sebagai jumlah

bilangan yang terdapat pada daftar. Pada setiap satuan waktu, algoritma di atas

hanya perlu menyimpan 2 nilai: bilangan terbesar yang telah ditemukan sampai

saat tersebut, dan posisi sekarang pada daftar. Oleh karena itu, algoritma tersebut

dikatakan memerlukan storage O(1).

Algoritma yang berbeda mungkin dapat menyelesaikan tugas yang sama

dengan kumpulan instruksi yang berbeda, yang dapat berakibat pada perbedaan

waktu dan/atau storage yang diperlukan.

Waktu proses (computing time) suatu algoritma, dapat dibedakan mejadi dua

hal, yaitu:

1. Apriori analysis, yaitu analisis untuk mendapatkan waktu proses dalam bentuk

fungsi matematik, yang disebut sebagai fungsi batas waktu proses. Analisis ini

dilakukan sebelum algoritma tersebut diproses dengan suatu komputer. Fungsi

waktu ini sering disimbolkan dengan notasi Big O.

2. Aposteriortesting, yaitu analisis untuk mendapatkan waktu proses aktual suatu

algoritma. Hasil perhitungan waktu didapat pada saat algoritma diproses pada

suatu komputer.

2.8.4 Notasi Big O

Dalam membandingkan kecepatan proses algoritma selanjutnya, penulis

menggunakan notasi Big O karena notasi ini paling luas digunakan di dunia

komputer dibanding notasi-notasi lainnya.

29

Notasi Big O merupakan suatu notasi matematika untuk menjelaskan batas

atas dari magnitude suatu fungsi dalam fungsi yang lebih sederhana. Dalam dunia

ilmu komputer, notasi ini sering digunakan dalam analisis kompleksitas algoritma.

Notasi Big O pertama kali diperkenalkan pakar teori bilangan Jerman, Paul

Bachman tahun 1894, pada bukunya yang berjudul Analytische Zahlentheorie edisi

kedua. Notasi tersebut kemudian dipopulerkan oleh pakar teori bilangan Jerman

lainnya, Edmund Landau, dan oleh karena itu, terkadang disebut sebagai symbol

Landau.

Notasi Big O sangat berguna saat menganalisis efisiensi suatu algoritma.

Sebagai contoh, waktu (atau jumlah langkah) yang diperlukan oleh suatu algoritma

untuk menyelesaikan tugas dengan ukuran n adalah T(n) = 4n2-2n+2. Untuk n yang

besar, hasil perhitungan n2 menjadi dominan, sehingga perhitungan yang lain dapat

diabaikan (misalnya saat n=500, 4n2 1000 kali lebih besar dari 2n, sehingga

mengabaikan 2n+2 tidak akan membawa efek yang besar pada tujuan utama pada

umumnya). Kemudian koefisien pada polinomial pun dapat dihilangkan dengan

alasan yang sama, sehingga dengan notasi big O, dapat disimpulkan: )()( 2nOnT ∈

bahwa algoritma di atas memiliki kompleksitas waktu dengan orde )( 2nO .

Untuk membandingkan kompleksitas algoritma yang satu dengan yang lain,

dapat digunakan tabel jenis kompleksitas di bawah, yang diurutkan berdasarkan

kompleksitas yang paling baik ke yang paling buruk.

30

Tabel 2.21 Tabel Jenis Kompleksitas Notasi Nama

O(1) Konstan

O(log * n) Logaritma iterative

O(log n) Logaritmik

O([log n]c) Polilogaritmik

O(n) Linier

O(n log n) Linierithmik, loglinier, quasilinier or supralinier

O(n2) Kuadratik

O(nc), c > 1 Polinomial (kadang disebut algebraic)

O(cn) Eksponensial (kadang disebut geometric)

O(n!) Faktorial, kombinatorial

O(nn) -