fungsi

PAGE 15Bab 2. Fungsi

BAB 2. FUNGSI

A. Relasi dan Fungsi

Definisi :

Misalkan A dan B dua himpunan tak kosong. Relasi T dari himpunan A ke B adalah himpunan bagian dari A x B.

Jadi relasi A ke B merupakan himpunan (x,y), dengan x pada himpunan bagian A dan y pada himpunan bagian B.

contoh 1 : { (x,y) : -3 x 3 dan x2 + y2 = 9, }

Definisi :

Fungsi adalah aturan perkawanan antara anggota-anggota himpunan A dan himpunan B yang memenuhi syarat-syarat setiap anggota himpunan A mempunyai kawan tunggal anggota himpunan B.

A B A B

( a )

( b )

A B

(c)

Gambar 1. Fungsi dari A ke BSelanjutnya ;

f disebut fungsi dari A ke B ditulis f : A B

f disebut fungsi dari A ke B jika f A x B dengan syarat komponen pertama yaitu anggota A hanya timbul ( terjadi ) tepat satu kali.

f(x) disebut nilai fungsi f di xA= Df disebut domain (daerah asal) fungsi fB= Cf disebut Kodomain fungsi f Rf = f(x) : x Df disebut Range (daerah hasil) dari fSetiap unsur x A dengan kawannya y= f(x) B, dapat disusun sebagai pasangan berurutan (x,y), sehingga f dapat ditulis sebagai himpunan pasanganpasangan berurutan sebagai berikut :

f = (x,y) : y = f(x), x A

= (x , f(x) ): x A

Selanjutnya pada pembicaraan berikutnya,unsur-unsur pada himpunan adalah bilangan nyata.

Contoh 2 : A : -2,-1,0,1 dengan rumus f(x) =x2 + 1

maka f =(-2,5),(-1,2),(0,1),(1,2)

Contoh 3 : g = (x,y) : y2 = x , x > 0 bukan fungsi, karena untuk setiap bilangan nyata

x > 0, mempunyai dua kawan y = .

Jika pada suatu fungsi domain tidak disebutkan secara khusus, maka domain diambil bilangan nyata yang mempunyai nilai fungsi nyata.

Contoh 4 : f : f(x) = domainnya himpunan bilangan nyata x, sehingga 3 .

Pada contoh di atas Df = R : f(x) = bilangan nyata = R : = bilangan nyata }

= R : x2 9 0 }

= R : 3 }

dan Rf = { : 3 }

Definisi :

Jika f suatu fumgsi, maka grafik f adalah himpunan semua titik T(x,y) dimana (x,y) f.

contoh 5 :Buatlah sketsa grafik dari f(x) :x2 1

Penyelesaian.Dalam kasus ini daerah asal fungsi f adalah himpuan semua bilangan nyata R.Untuk menggambar grafiknya bisa dimulai dengan membuat titik-titik ysng berpadanan, kemudian menghubungkan titik-titik tersbut dengan kurva mulus, sehingga kita peroleh grafik seperti yang diperlihatkan pada gambar 1.2 berikut ;

y

0 x -1

Gambar 2

Untuk menggambar suatu grafik dengan mudah, terlebih dahulu perlu dilakukan suatu analisa tentang persamaan fungsinya. Antara lain apakah grafik tersebut mempunyai titik/garis simetri, titik ekstrem, asimtot dan lain-lain. Hal ini akan dibahas pada bagian lain.

B. Operasi pada fungsi

Seperti halnya bilangan, fungsi juga dapat dioperasikan satu dengan yang lain untuk menghasilkan fungsi yang baru.

Definisi :

Jika f dan g dua buah fungsi, maka didefinisikan operasi-operasi berikut :

a. ( f + g ) (x) = f(x) + g(x)

b. ( f g ) (x) = f(x) g(x)

c. ( f . g ) (x) = f(x) . g(x)d. ( ) (x) =

Daerah asal dari fungsi-fungsi diatas adalah sama,yaitu Df + g = Df g = Df . Dg , kecuali kita harus mengecualikan 0 (nol) dari daerah asal untuk menghindari pembagian oleh nol.

contoh 6 :Misalkan f = f(x) = , g = g(x) = , Df = [-1, +] dan Dg = [4, +]

maka (f + g) (x) = +

( f g) (x) = -

( f . g ) (x) = .

() (x) =

dengan Df + g = Df g = Df . Dg = [4, +] , dan Df /g = (4, +]

Definisi :

Jika f = y = f(x) fungsi berkorespondensi 1-1, maka invers dari f ditulis f-1 didefinisikan sebagai x = f-1 (y) bila dan hanya bila y = f(x) dengan Df = Rf-1 , Df-1 = Rf .

Jadi x = f-1(f(x)) untuk setiap x Df dan y = f ( f-1(x) ) untuk setiap y Df-1contoh 7 : Invers dari fungsi y = f(x) = x2 + 2 adalah f-1 (x) =

Definisi :

Diberikan dua buah fungsi f dan g, maka fungsi bersusun f o g adalah fungsi yang didefinisikan sebagai (f o g ) (x) = f (g(x) )

Pada fungsi bersusun ini Df o g Dg dan Rf o g Rf

contoh 8 : f = f(x) = 2x +1 dan g = g(x) = x2 maka f = (f o g ): f( g(x) ) = f(x2) = 2x2 +1 dengan Df o g adalah himpunan semua bilangan nyata x.

Misalkan g dan h dua buah fungsi dengan g = {(t,x) : x = g(t) } dan h = { (t,y) : y = h(t)}

maka dapat disusun relasi {(x,y) :x= g(t) dan y= h(t) } dengan tDg Dh dan jika g mempunyai invers g-1 : g-1 (x) = t maka

y = h(t) = h(g-1(x)) menentukan fungsi dari x ke y, misalkan f. Sehingga relasi diatas menjadi fungsi : f ={ (x,y) : y = (g-1(x) )} dengan Df = RgFungsi f yang didefinisikan sebagai :

x = g (t)

y = h (t)

disebut fungsi parameter dengan t sebagai parameternya.

contoh 9 :

x = a cos t y = sin tC. Jenis-jenis fungsi

Secara garis besar fungsi dikelompokan menjadi dua , yaitu fungsi aljabar dan fungsi transenden.

1. Fungsi Aljabar

Fungsi yang dapat disusun dari fungsi identitas f(x) = x dan fungsi konstan f(x) = k ( k konstanta nyata ) yang didalamnya memuat operasi-operasi penjumlahan, pengurangan, pembagian, perpangkatan atau pengambilan akar disebut fungsi aljabar. Termasuk dalam fungsi aljabar adalah fungsi rasional dan fungsi irrasional contoh 10 : f(x) = x2 + 2x + 1 ( fungsi rasional bulat)

g(x) = ( fungsi rasional pecah)Fungsi rasional bulat sering dinamai fungsi polynomial yang berbentuk

y = nxn + (n-1)xn-1 + (n-2)xn-2 + . . . . + ax2 +bx + c

C.1.a. Fungsi LinearRumus umum: y = mx + c, dengan m adalah gradien/arah garis

Gambar fungsi linear berbentuk garis lurus.

Jika m positif garis lurus naik dari kiri ke kanan, jika m negatif garis lurus turun dari kiri ke kanan

Rumus Fungsi Linear

1). Persamaan garis melalui (x1,y1) dan (x2,y2) adalah

2). Persamaan garis melalui (x1,y1) dengan gradien m adalah

3). g1g2 ( m1=m2

4). g1g2 ( m1.m2 = -1

Contoh: Gambarlah (1). y = 6 + 3x

(2). 4x 2y + 8 = 0

C.1.b. Fungsi Kuadrat

y= ax2 + bx + c

Gambarnya berbentuk parabola, dengan langkahnya:(i). Tentukan titik potong terhadap sumbu x, dan sumbu y

(ii). Tentukan titik stasioner (x,y) = (-b/2a, -D/4a)

(iii). Tentukan domainnya kemudian gambar grafiknyaC.1.c. Fungsi Polinomial

y= axn + bxn-1 + cxn-2 + ... + dx + eContoh:

Gambarlah: 1). y = x2

2). y = x2 - 4

3). y = x2 + 2x 3

2. Fungsi Transenden

Yang termasuk fungsi transenden adalah fungsi goniometri, fungsi siklometri, fungsi logaritma, fungsi eksponensial, dan fungsi hiperbolik.

2.a. Fungsi Goniometri

Termasuk jenis fungsi ini adalah fungsi sinus, kosinus, tangen, kotangen, sekan, dan kosekan. Biasa kita tulis y = sin x, y = cos x, y = tan x = , dan seterusmya, dinama x dinyatakan dalam radian

Untuk diingat bahwa sudut biasanya diukur dalam derajat atau dalam radian, dimana sudut yang berpadanan dengan satu putaran penuh berukuran 3600 atau 2 radian.

Jadi 1800 = radian.

Rumus-rumus penting yang perlu diingat :

Kesamaan ganjil-genap: Kesamaan fungsi ko-:

sin (-x) = - sin x sin ( - x) = cos xcos(-x) = cos x cos ( - x) = sin xKesamaan pythagoras :sin2 x + cos2 x = 1 ( 1 + tan2 x = sec2 x Kesamaan penambahan :

sin (x + y) = sin x cos y +cos x sin ycos (x + y) = cos x cos y sin x sin y Kesamaan sudut ganda:

sin 2x = 2 sin x cos x ( sin2x = sin (x+x) = sinx cosx + cosx sinx = 2 sinxcosxcos 2x = cos2x sin2x = (1 sin2x ) - sin2x = 1 - 2 sin2x

ataucos 2x = cos2x sin2x = cos2x (1 - cos2x ) = 2cos2x 1

Kesamaan setengah sudut:

sin2x = (1 cos 2x)

cos2x = (1 + cos 2x) Kesamaan jumlah:

sin x + sin y = 2 sin cos

cos x + cos y = 2 cos cos

Kesamaan hasilkali:

sin x sin y = - [cos (x + y) cos(x - y)]

cos x cos y = [ cos (x + y) + cos(x - y)]

sin x cos y = [sin (x + y) + sin (x - y)]

2.b. Fungsi Siklometri

Fungsi siklometri adalah invers dari fungsi goniometri.

y = arc sin x adalah invers dari y = sin x, dimana 1 x 1, -

x

y = arc sin x bila hanya bila x = sin y

y = arc cos x bila hanya bila x = cos y y = arc tan x bila hanya bila x = tan y, dan seterusnya.

2.c. Fungsi Eksponensial Adalah fungsi yang memetakan setiap bilangan nyata menjadi perpangkatan dalam bilngan pokok , dan didefinisikan sebagai :

f : f(x) = ax , dimana a bilangan nyata positif, dan xR a disebut basis fungsi eksponen

y y

0 x 0 x

f(x) = ax, 0 < a < 1 f(x) = ax, a > 0

gambar 1.3

Sifat Fungsi Eksponen untuk , yaitu :

1. Nilai fungsi definit positif ( kurva selalu berada diatas sumbu x).

2. memotong sumbu kartesius di sumbu y di ( 0,1 ).

3. mempunyai asimtot mendatar ( sumbu x).

4. monoton naik untuk dan monoton turun untuk .

5. Mempunyai fungsi invers yaitu fungsi logaritma.Rumus fungsi eksponensial:1.

2.

3.

2.d. Fungsi Logaritma Fungsi logaritma berbentuk y = alog x, dengan a > 0 merupakan invers dari fungsi eksponensial basis a.

Jadi y = alog x adalah invers dari y = ax.

Jika a = 10 biasanya cukup ditulis y = log x, dan jika a = e = 2,7182818 disebut logaritma alam dan biasanya cukup ditulis y = ln x ( ln x = elog x ).

Sifat fungsi logaritma untuk , yaitu :

1. Kurvanya berada di sebelah kanan sumbu y.

2. memotong sumbu kartesius di sumbu x di titik ( 1,0 ).

3. Mempunyai asimtot tegak .

4. monoton naik untuk monoton turun untuk .

5. merupakan fungsi invers dari fungsi eksponen. Gambar grafik fungsi logaritma:

Rumus fungsi logaritma:1. log (xy) = log x + log y

2. log () = log x log y

3.

4.

2.b. Fungsi Hiperbolikus

Fungsi hiperbolik adalah fungsi yang didefinisikan sebagai :

sinh x =

cosh x =

tanh x = , dan seterusnya.

Rumus-rumus penting :

cosh2x sinh2x = 1

sech2x = 1 tanh2xcosech2x = coth2x 1

Rumus-rumus diatas dengan mudah dapat dibuktikan dengan definisi diatas.

Soal-soal Latihan 1.

1. Jika f(x) = x2 + x, hitunglah masing-masing nilai :

a. f(1) c. f(2k)

b. f(-2) d. f()2. Manakah dari yang berikut menentukan suatu fungsi f dengan rumus y = f(x) ?

a. x2 + y2 = 9 c. xy + y + 3x = 4

b. x = d. 3x =

3. Jika g(t) = cari dan sederhanakan [ g(x + h) g(x)]/ h !

4. Tentukan daerah asal (domain) dan Range (daerah hasil) fungsi berikut :

a. f(x) = c. g(x) = -

b. f(x) = d. h(x) =

5. Jika f(x) = dan g(x) = tentukan jika mungkin :

a. (f + g) (2) c. (g/f) (3)

b. (f o g) () d. (f. g) (0)

6. Tentukan f dan g,jika h(x) = f o g (x) :

a. h(x) = b. h(x) = (x2 + x)127. Andaikan f(x) = dan g(x) = x2 . Tentukan manakah daerah asal:

a. f o g b. g o f8. Sketsakan grafik fungsi berikut :

a. f(x) = x2 , jika 0 x 2

6 x , jika x > 2

b). y = x2 + 2x 3

PR1. Tentukan Himpunan penyelesaian pertidaksamaan di bawah ini

a.

b.

c.

d.

2. Tentukan daerah asal (domain) dan Range (daerah hasil) fungsi berikut :

a). f(x) = c). g(x) = -

b). f(x) = d). h(x) =

3. Andaikan f(x) = dan g(x) = x2 . Tentukan: (a). f o g (b). g o f4. Sketsakan grafik fungsi berikut :

(a). f(x) = x2 , jika 0 x 2 (b). y = x2 + 2x 3 6 x , jika x > 2

_1055947018.unknown

_1056208698.unknown

_1056312898.unknown

_1167804874.unknown

_1299489315.unknown

_1347179427.unknown

_1409472915.unknown

_1409473023.unknown

_1409472876.unknown

_1347179137.unknown

_1347179249.unknown

_1347178718.unknown

_1167805328.unknown

_1167807262.unknown

_1266252226.unknown

_1266252410.unknown

_1266252638.unknown

_1266181423.unknown

_1167807212.unknown

_1167807239.unknown

_1167807097.unknown

_1167805251.unknown

_1167805300.unknown

_1167805037.unknown

_1056313092.unknown

_1056314516.unknown

_1056314878.unknown

_1167804842.unknown

_1056315136.unknown

_1056314635.unknown

_1056313812.unknown

_1056314515.unknown

_1056313120.unknown

_1056313283.unknown

_1056313107.unknown

_1056313073.unknown

_1056312916.unknown

_1056300715.unknown

_1056312662.unknown

_1056312764.unknown

_1056312823.unknown

_1056312858.unknown

_1056312734.unknown

_1056312701.unknown

_1056312631.unknown

_1056312485.unknown

_1056312576.unknown

_1056312610.unknown

_1056300767.unknown

_1056312379.unknown

_1056298434.unknown

_1056298901.unknown

_1056300335.unknown

_1056298633.unknown

_1056209852.unknown

_1056298297.unknown

_1056209787.unknown

_1056158708.unknown

_1056160146.unknown

_1056160856.unknown

_1056206535.unknown

_1056160832.unknown

_1056159525.unknown

_1056160079.unknown

_1056158808.unknown

_1056059670.unknown

_1056156825.unknown

_1056157283.unknown

_1056156247.unknown

_1056156505.unknown

_1056156710.unknown

_1056156205.unknown

_1055947396.unknown

_1056059617.unknown

_1055947122.unknown

_1055868934.unknown

_1055869860.unknown

_1055869998.unknown

_1055870022.unknown

_1055869215.unknown

_1055869156.unknown

_1055868242.unknown

_1055868714.unknown

_1055868844.unknown

_1055868671.unknown

_1055865567.unknown

_1055865630.unknown

_1055864144.unknown