Pp 2(bab 2)

Limit & Kontinuitas

KALKULUS - 1 Slide - Slide - 11

Pertemuan # 4:Pertemuan # 4:

LLimitimit dan dan

KKontinuitas ontinuitas

Limit & Kontinuitas


2.3 Konsep Limit

Definisi IntuitifMisalkan y=f(x) suatu fungsi, a dan L bilangan riil

sedemikian hingga:• Bila x dekat a tetapi tidak sama dg a (xa), f(x) dekat

ke L• Bila x mendekati a tetapi xa, maka f(x) mendekati L• Misalkan f(x) dapat kita buat sedekat mungkin ke L dg

membuat x cukup dekat a tetapi tdk sama dg a• Maka dapat dikatakan bhw limit f(x) bila x mendekati a

adalah L,Lxf

ax

)(lim

Limit & Kontinuitas


Contoh

1. 5

4

6

4lim

2

2

2

xx

xx

0.82 8.02

0.800042.001 79996.0999.1

0.803922.1 7959.09.1

81818.05.2 7778.05.1

83333.03 75.01

)()(

xfxxfx

Limit & Kontinuitas


Andaikan n bilangan bulat positif, k konstanta, dan f dan g adalah fungsi-fungsi yang mempunyai limit di c. Maka :

Teorema Limit

kk1) limcx

cx2) limcx

f(x)limkkf(x)cx

cx

3)lim

g(x)limf(x)limg(x)f(x)cxcx

cx

4)lim

g(x)limf(x)limg(x)f(x)cxcx

cx

lim5)

g(x)limf(x).limf(x).g(x)cxcx

cx

lim6)

g(x)limf(x)/limg(x)

f(x)7)

cxcxcx

lim

n

cx

n

cx

f(x)limf(x)8) lim

nn

cx

limf(x)f(x)9) lim

Limit & Kontinuitas


Contoh

1) 42limxlim32)(3x2x2x

2xlim

2limxlim2xlim2)2x(xlim2)3x3x

2

3x

2

3x

1326922(3)(3)2

3)

7limlim9

2limlim3

)79(lim

)23(lim

79

23

22

22

2

2

2lim

xx

xx

x

x

x x

x

x

x

x

x

25

4

718

26

79(2)

23(2)

Limit & Kontinuitas


4) )x(9limx9 2

4x

2

4xlim

525)49( 2

5)

h

)xh2hx(xlim

h

xh)(x 222

0h

22

0hlim

2xh)(2xlimh

h2hxlim

0h

2

0h

6) )2(lim).32(lim)2)(32(lim111

xxxx

xxx

5)1.(5)21).(31.2(

Limit & Kontinuitas


1)

Limit Fungsi

Beberapa limit fungsi yang istimewa, yaitu :

1x

xsin1) lim

0x

untuk x kecil maka sin x x

1sinx

x2) lim

0x

1x

xtg3) lim

0x

Dapat dibuktikan berdasarkan (1) sbb :

x(cosx)

sinxlim

x

tanxlim

0x0x

11.1(cosx)

1lim.

x

sinxlim

0x0x

Limit & Kontinuitas


4) 1tanlim

0

x

x

x

5) ex

x

x

11lim

6) ex x

x

/1

01lim Bukti :

Misalkan , berarti x 0 maka y sehingga :

y

1x

e)y

1(1limx)(1lim y

y

1/x

0x

7) 1x

x)ln(1lim

0x

Bukti :1/x

0x0xx)ln(1lim

x

x)ln(1lim

1elnx)(1limln 1/x

0x

Limit & Kontinuitas


Contoh :

2

1.

tan6x

6x

3x

tan3xlim

tan6x

tan3xlim1)

0x0x

2

1.1.1

2

1

6xtan6x

lim

1.

3x

tan3xlim

2

1

06x

03x

2)

x

x x

21lim

Misalkan x = 2y, maka y bila x , sehingga :

2

2y

y

2y

x

x

xe

y

11lim

2y

21lim

x

21lim

3) 3

3x

x

3x

x

3x

xe

x

11lim

x

11lim

x

11lim

Limit & Kontinuitas


Beberapa macam metode untuk menentukan limit :

a) Menentukan limit dengan memfaktorkan : Umumnya metode ini digunakan untuk menyelesaikan limit aljabar pada fungsi pecahan : Langkah-langkah yang digunakan adalah menyederhanakan bentuk pecahan tersebut dengan memfaktorkan. Contoh

2)1x

1x1)

2

1xlim

1)(x

1)1)(x(xlim

1x

21)(xlim1x

3)1)(x(x

3)2)(x(xlim

34xx

65xxlim

2x2

2

2x

3

4

1)(x

2)(xlim

2x

Limit & Kontinuitas


b. Menentukan limit dengan merasionalkan bentuk akar : Agar pecahan dapat disederhanakan pembilang dan penyebut dikalikan dengan akar sekawannya.

Contoh :

2x

14x31) lim

2x

2x

1)(4x9lim

2x

)14x2)(3(x

4x8lim

2x

)14x2)(3(x

2)4(xlim

2x

3

2

14x3

4lim

2x

23x

23x

23x

1)(xlim

23x

1xlim2)

2

2

21x21x

43)(x

2)3x1)((xlim

2

2

1x

1x

2)3x1)((xlim

2

2

1x

1)1)(x(x

2)3x1)((xlim

2

1x

22

4

1x

2)3x(lim

2

1x

Limit & Kontinuitas


2)

c. Menentukan limit dengan membagi pembilang dan penyebut dengan variabel pangkat tertinggi.

Metode ini digunakan untuk jenis fungsi pecahan dengan x mendekati tak hingga (x ), dilakukan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan variabel pangkat tertinggi.

01

lim xx

Contoh :

32

23

x 2x6x3

74xx1) lim

3

3

3

2

3

33

2

3

3

xx

2xx

6xx

3x

7x

4xx

x

lim

2

1

332

33

x2

3

x x1xx

x2xlim

1x

2xlim

limit)ada(tak

x1x1

2lim

3x

Limit & Kontinuitas


Limit Kiri dan Limit kanan

Jika x mendekati a dari kiri, maka x a- Jika x mendekati a dari kanan, maka x a+ Secara limit kedua pernyataan diatas ini ditulis sebagai berikut :

ada, berarti fungsi memiliki limit kiri

ada, berarti fungsi memiliki limit kanan

ada, mengandung arti bahwa keduanya limit kiri dan kanan ada dan sama.

f(a)limax

f(a)limax

f(a)limax

Limit & Kontinuitas


Selidiki :

Jawab : Untuk : , maka - dan 0.

Maka :

Untuk : , maka + dan .

Maka :

Limit kiri limit kanan, sehingga tidak ada.C

xx /10 23

1lim

0xx

1 x/12

3

1

03

1

23

1lim

/10

xx

0xx

1 x/12

01

23

1lim

/10

xx

xx /10 23

1lim

Contoh :

Limit & Kontinuitas


Kontinuitas

Sebuah fungsi f(x) dikatakan kontinu di x = xo jika :

(i) f(xo) terdefinisi,

(ii) ada,

(iii)

f(x)limoxx

)f(xf(x)lim oxx o

Contoh : f(x) = x2 + 1 kontinu di x = 2, karena : Persyaratan ini mengandung arti bahwa fungsi hanya mungkin kontinu pada titik dalam daerah definisinya. Sebuah fungsi yg kontinu disetiap titik dlm suatu interval dikatakan kontinu dlm interval tersebut, dan diskontinu pada x = xo jika satu atau lebih syarat untuk kontinuitas tidak berlaku dititik tersebut.

f(2)5f(x)lim2x

Limit & Kontinuitas


Contoh diskontinuitas :

1) adalah diskontinu pada x = 2, karena :

(i) f(2) tidak terdefinisikan (mempunyai penyebut nol)

(ii) tidak ada (sama dengan ) Fungsi ini kontinu dimana-mana kecuali pada x = 2 dimana fungsi tsb dikatakan memp. diskontinuitas yg berhingga.

2x

1)x(f

)(lim2

xfx

Limit & Kontinuitas


Contoh-contoh :

1) Hitunglah :

105.2xlim55xlima)2x2x

31841)4x(xlim 2

2x

)b

5

1

2)(xlim

2)(xlim

2x

2xlimc)

3x

3x

3x

39

)x(25limx25limd) 2

4x

2

4x

2) Hitunglah :

7

1

3x

1lim

4)3)(x(x

4xlim

12xx

4xlima)

4x4x24x

Limit & Kontinuitas


b) 2

9

3x

93xxlim

3)3)(x(x

9)3x3)(x(xlim

9x

27xlim

2

3x

2

3x2

3

3x

c)

2

22

2x

2

2

2

2

2x

2

2

2x

x4

)5x)(3x(4lim

)5x(3

)5x(3

5x3

x4lim

5x3

x4lim

6)5x(3lim 2

2x

d)

limitadatak;

1x

2xlim

1)(x

2)1)(x(xlim

1)(x

2xxlim

4x

21x

2

2

1x

Limit & Kontinuitas


c)

b)

3) Hitung :

3

1

09

03

7/x9

2/x3lim

79x

23xlima)

xx

1006

006

1/x3/x6

1/x2/x6lim

43x6x

12x6xlim

2

2

x2

2

x

limit)ada(tidak5/x1/x

4lim

5x

4xlim

2x2

3

x

Limit & Kontinuitas


Soal-soal :

1) Selesaikan :

4x)(xlima) 2

2x

23x

1xlimb)

21x

4)3x2x(xlimc) 23

1x

34xx

23xxlimd)

2

2

1x

44ww

6)w2)(w(wlime)

2

2

2w

1/33

2y 4y

8y4ylimf)

4u

12uulimg)

2

2

2u

3

2

1x 1)(x

1)(3xlimh)

12yy

3)2y1)(y(ylimi)

2

2

1y

1/234

5w19)9w(2wlimj)

Limit & Kontinuitas


3) Hitung :

x

cosx1lima)

0x

sin(2x)

tan(3x)limb)

0x

sin(3x)

2sinxsin(2x)limc)

0x

cosx1

2xlimd)

0x

2sinxcosx

sin(4x)lime)

0x

2

2

0x x

(x/4)sinlimf)

x

a)sin(xa)sin(xlimg)

0x

1)tan(x

1)5sin(xlimh)

0x

Limit & Kontinuitas


4) Tentukan : 6) Tentukan titik2 diskontinu & jenis diskontinuitas dari fungsi-fungsi :1)]ln(3x1)[ln(9xlima)

x

1)}ln(x5)4x{ln(xlimb) 2

x

5n

n n

11limc)

4x

x 15x

15xlimd)

13n

n 5n

10nlime)

15n

n 3n

11limf)

9x

27xf(x)a)

3

3

1x

1xf(x)b)

2

5x3

x4f(x)c)

2

2

4x

16xf(x)d)

2

4

Pp 2(bab 2)

Documents

Transcript of Pp 2(bab 2)