BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Proyek Konstruksi

Proyek konstruksi adalah suatu rangkaian kegiatan yang melibatkan banyak pihak

dan sumber daya untuk mencapai suatu tujuan tertentu (Ervianto, 2005). Proses ini

biasanya dilakukan dalam jangka waktu pendek dan hanya satu kali. Dikarenakan

melibatkan banyak pihak dan banyak faktor maka kegiatan proyek ini sangat riskan dalam

menimbulkan konflik.

Proyek konstruksi mempunyai tiga karakteristik, yaitu unik, melibatkan sumber

daya dan membutuhkan organisasi. Dalam menyelesaikan proyek harus memperhitungkan

tiga hal, yaitu spesifikasi (tepat mutu), time schedule (tepat waktu), dan biaya / cost (tepat

biaya). Berikut ini merupakan penjelasan mengenai tiga karakteristik proyek konstruksi

(Ervianto, 2005) :

a. Bersifat unik

Proyek disebut unik karena setiap proyek tidak pernah terjadi suatu rangkaian

kegiatan yang sama persis dan melibatkan pekerja yang berbeda – beda.

b. Melibatkan sumber daya

Proyek konstruksi melibatkan sumber daya dalam pelaksanaannya hingga

selesai. Sumber daya yang dimaksud adalah pekerja, uang, mesin, metode, dan

material. Keseluruhan sumber daya ini diatur oleh manajer proyek.

c. Membutuhkan organisasi

Kegiatan proyek yang melibatkan banyak orang memerlukan sebuah

organisasi. Di dalam organisasi itu sendiri terdapat sejumlah individu dengan

karakter, keahlian, dan hasrat yang berbeda – beda. Hal utama yang harus

dilakukan oleh manajer proyek adalah menyatukan semua individu tersebut

menjadi satu visi atau tujuan.

2.2 Teori Graph

Graph dapat didefinisikan menggunakan G = (V, E), di mana V itu merupakan himpunan

berhingga tidak kosong dari vertex – vertex = {v1, v2, v3 ... vn} dan E tersebut merupakan

himpunan sisi (edges) yang mana menghubungkan sepasang vertex {e1, e2, e3 ... en}.

5

6

Vertex di dalam graph ini merupakan kota, sedangkan edge atau sisi itu merupakan rute

atau jalur yang menghubungkan antar vertex / kota.

Gambar 2.1 Graph dengan 4 vertex

Berikut ini merupakan keterangan dari gambar di atas,

G merupakan graph dengan,

V ={a, b, c, d}

E = {(a, b), (a, c), (a, d), (c, a), (c, d), (b, b), (b, d), (d, b)}

= {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8}

Pada umumnya graph dapat dibedakan menjadi dua jenis, yaitu sebagai berikut

1. Graph tak-berarah (undirected graph) adalah graph yang mana edge-nya tidak

memiliki arah tertentu.

Gambar 2.2 Graph tak berarah

2. Graph berarah (directed graph atau digraph) adalah graf yang mana semua edge-

nya memiliki arah tertentu.

Gambar 2.3 Graph berarah

d

b

c

a

7

2.3 Graph Hamilton

Lintasan Hamilton itu adalah lintasan yang melewati setiap vertex di dalam suatu graph

tepat satu kali. Apabila lintasan itu kembali ke vertex awal maka akan terbentuk lintasan

tertutup (sirkuit), lintasan tertutup tersebut dinamakan sirkuit Hamilton. Jadi, sirkuit

Hamilton itu adalah sirkuit yang melewati setiap vertex di dalam suatu graph tepat satu

kali. Suatu graph yang memiliki sirkuit Hamilton seringkali dinamakan graph Hamilton,

sedangkan yang memiliki lintasan Hamilton seringkali disebut graph semi-Hamilton.

Setiap graph yang lengkap adalah graph Hamilton.

Gambar 2.4 Gambaran Graph Hamilton

Keterangan gambar:

a) Graph yang memiliki lintasan Hamilton (misal: c, b,a, d)

b) Graph yang memiliki sirkuit Hamilton (a, b, c, d, a)

c) Graph yang tidak memiliki lintasan maupun sirkuit Hamilton

2.4 Dynamic / Multistage Programming

Dynamic / multistage programming adalah salah satu metode pendekatan

matematika tentang optimisasi proses banyak tahap. Metode ini digunakan untuk

menyelesaikan persoalan dengan membagi suatu permasalahan menjadi bagian yang lebih

kecil atau sub problem kemudian menggabungkan kembali bagian – bagian tersebut untuk

mendapatkan jawaban yang dikehendaki (Mulyono, 2007). Penerapan dynamic

programming mampu menyelesaikan masalah – masalah sebagai berikut,

a. Masalah alokasi

b. Masalah muatan (knapsack / cargo-loading problem)

c. Masalah capital budgeting

d. Masalah pengendalian persediaan

e. Stagecoach (shortest route) problem

d c

ba

cd

ba

cd

ba

8

Pada dynamic programming, rangkaian keputusan yang optimal dibuat dengan

menggunakan Prinsip Optimalitas. Prinsip Optimalitas: jika solusi optimal, maka bagian

solusi pada tahap ke-k juga optimal. Prinsip optimalitas berarti bahwa bahwa jika kita

bekerja dari tahap k ke tahap k+1, kita dapat menggunakan hasil optimal dari tahap k tanpa

hasus kembali ke tahap awal. Ongkos pada tahap k+1 = (ongkos yang dihasilkan pada

tahap k) + (ongkos dari tahap k ke tahap k+1). Dengan prinsip optimalitas ini dijamin

bahwa pengambilan keputusan yang benar untuk tahap – tahap selanjutnya.

2.4.1 Model Dynamic programming

Pada umumnya model dari dynamic programming dituliskan sebagai berikut:

Keterangannya sebagai berikut,

= return pada tahap n dari nilai status input dan keputusan

= kondisi awal

= kondisi akhir

= keputusan yang dibuat pada setiap tahap

= keputusan pada tahap akhir

= return function

= return optimal pada tahap n – 1 dari nilai status input dan

keputusan

Dalam penelitian ini, model dari Dynamic programming menjadi seperti di bawah ini,

Keterangannya sebagai berikut,

= panjang optimal dari lintasan

9

= himpunan berhingga yang tidak kosong dari vertex – vertex pada

sebuah graph

= himpunan vertex pada suatu graph yang dikurang vertex 1 (awal)

= vertex yang terhubung ke vertex 1 (awal)

= bobot dari vertex 1 (awal) ke k

2.4.2 Konsep Dasar Dynamic programming

Dynamic programming mempunyai beberapa konsep dasar. Adapun konsep – konsep

dasar tersebut adalah sebagai berikut,

a. Dekomposisi

Permasalahan dynamic programming itu dapat dipecah menjadi sub-permasalahan

atau tahapan yang lebih kecil dan berurutan. Setiap tahap itu dapat disebut juga

sebagai titik keputusan. Pada suatu tahap, setiap keputusan yang dibuat akan

mempengaruhi keputusan – keputusan pada tahap berikutnya.

b. Status

Status adalah kondisi awal (Sn) dan kondisi akhir (Sn-1) di setiap tahap, yang mana

di setiap tahap tersebut dibuat keputusan (Dn). Status akhir pada sebuah tahap

tergantung kepada status awal dan keputusan yang dibuat pada tahap yang

bersangkutan. Status akhir pada suatu tahap merupakan awal bagi tahap

berikutnya.

c. Variabel Keputusan dan Hasil

Keputusan yang dibuat pada setiap tahap (Dn) merupakan keputusan yang

berorientasi kepada return yang diakibatkannya (Rn │ Dn), tingkat maksimal atau

minimal.

d. Fungsi Transisi

Fungsi transisi itu menjelaskan secara pasti bagaimana tahap – tahap itu saling

berhubungan. Fungsi ini berbentuk fungsi hubungan antar status pada setiap tahap

yang berurutan. Fungsi transisi secara umumnya berbentuk seperti di bawah ini:

Sn-1 = Sn - Dn

Di mana Sn-1 = status pada tahap n-1, atau status akhir pada tahap-n. Sn adalah

status awal pada tahap-n.

10

e. Optimasi Tahap

Optimasi tahap dalam dynamic programming adalah menentukan keputusan

optimal pada setiap tahap dari berbagai kemungkinan nilai status inputnya.

Fungsi umum dari keputusan optimal sebagai berikut,

fn (Sn, Dn) = return pada tahap-n dari nilai status input Sn, dan keputusan, Dn

fn *(S) = return optimal pada tahap-n dari nilai input status Sn

f. Fungsi Rekursif

Fungsi rekursif umumnya digunakan pada berbagai program komputer, di mana

nilai sebuah variabel pada fungsi tersebut merupakan nilai kumulatif dari nilai

variabel tersebut pada tahap yang sebelumnya. Pada dynamic programming,

penulisan fungsi umumnya sebagai berikut:

prosedur optimasi diawali dari tahap akhir menuju tahap awal (backward).

2.4.3 Karakteristik Dynamic programming

Karakteristik dynamic programming adalah:

1. Permasalahan dapat dipecah menjadi beberapa tahap (stages). Keputusan

kebijakan yang standard dan saling berhubungan dibutuhkan setiap tahap.

2. Sejumlah status (state) dimiliki setiap tahap. Pada umumnya, sekumpulan status

ini merupakan berbagai kemungkinan kondisi yang timbul dari sistem

permasalahannya. Informasi yang dibutuhkan diberikan status ini dan berdampak

pada tahap yang berikutnya. Jumlah status pada setiap tahap bisa definit atau

infinit.

3. Setiap keputusan kebijakan yang dibuat pada suatu tahap ditransformasikan ke

dalam status yang berkaitan pada tahap berikutnya. Hubungan antar status pada

suatu tahap yang berurutan dapat bersifat deterministik atau probabilistik.

Pada sebuah permasalahan dengan n-tahap, terdapat dua input, yaitu: (1) state

pada tahap-n (Sn) dan decision variable (Xn). Sedangkan outputnya adalah: (1)

return atau akibat dari setiap Xn yang dipilih, fn (S, Xn); dan (2) status baru yang

menjadi input pada tahap berikutnya (Sn-1). Return function menentukan hubungan

11

antara Xn dan fn (S, Xn). Transition function menentukan hubungan antar status

pada tahapan tertentu.

4. Optimalitas yang dikembangkan Bellman menjadi prinsip solusi pada dynamic

programming.

5. Persoalan dynamic programming diselesaikan mulai dari solusi awal pada suatu

tahap, kemudian secara berurutan menuju tahap berikutnya dengan proses yang

terbalik (backward induction process). Keputusan pada tahap berikutnya bersifat

independen terhadap keputusan sebelumnya.

6. Hubungan dalam bentuk fungsi rekursif (recursion relationship) menjadi prinsip

bagi solusi optimal yang dihasilkan pada setiap tahap. Pada umumnya bentuk

fungsi rekursif sebagai berikut,

fn *(Sn) = max/min {fn (Sn, Xn)}

Keterangan:

fn *(Sn) = adalah hasil optimal dari keputusan pada tahap-n.

2.4.4 Ciri – ciri dasar permasalahan dynamic programming

Permasalahan dynamic programming memiliki ciri – ciri dasar sebagai berikut,

1. Dalam suatu permasalahan dynamic programming, optimasi pada suatu tahap

merupakan tanda keputusan tentang suatu masalah pada tahap sebelumnya. Hal ini

bukan keserentakan. Dari hal tersebut dapat diartikan untuk menyelesaikan suatu

masalah dengan dynamic programming , masalah tersebut harus dipisahkan

menjadi n sub problem.

2. Apabila ada masalah yang memerlukan pilihan atau keputusan yang dibuat pada

masing – masing tahap, artinya masalah tersebut berkaitan dengan Dynamic

programming. Sistem status atau state pada setiap tahap mengatur dan

mencerminkan seluruh kemungkinan pilihan.

3. Return function berhubungan dengan setiap keputusan pada setiap tahap. Return

function mengevaluasi keputusan yang dibuat, artinya apa saja yang diberikan

kepada tujuan keseluruhan dari masalah tersebut (maksimisasi atau minimisasi).

4. Fungsi transisi menghubungkan setiap tahap proses keputusan dengan tahap yang

berdekatan.

5. Untuk menghubungkan kebijaksanaan optimum pada tahap n dengan n-1

menggunakan suatu hubungan rekursif. Prosedur rekursif ada dua macam, yaitu:

12

a. Foreward recursive equation (perhitungan dari depan ke belakang)

b. Backward recursive equation (perhitungan dari belakang ke depan)

Langkah – langkah untuk mengembangkan dynamic programming adalah sebagai

berikut:

1. Buat karakteristik struktur solusi optimal.

2. Lakukan pendefinisian secara rekursif nilai solusi optimal.

3. Penghitungan nilai solusi optimal secara maju ataupun mundur.

4. Buat konstruksi solusi optimal.

2.4.5 Pencarian solusi optimal dalam penelitian ini

Langkah – langkah yang perlu dilakukan untuk menyelesaikan masalah dalam

penelitian ini adalah sebagai berikut,

Langkah pertama,

Menentukan basis dari graph dengan persamaan

,

Langkah kedua,

Lakukan penghitungan untuk , hitung menggunakan persamaan

Dengan ketentuan,

adalah bobot rute terpendek

adalah rangkaian jalur S dikurangi vertex j

i dan j adalah vertex –vertex dalam V

adalah bobot dari vertex i ke j

Dari hasil tersebut dilanjutkan menghitung untuk hingga .

13

Langkah ketiga,

Setelah diperoleh hasil dari langkah di atas, kemiduain hitung persamaan hubungan

rekursif,

Dengan ketentuan,

adalah panjang optimal dari tour

adalah himpunan vertex dari suatu graph yang dikurang vertex 1 (awal)

adalah himpunan berhingga tidak kosong dari vertex-vertex sebuah graph

adalah vertex yang terhubung ke vertex 1 (awal)

adalah bobot dari vertex 1 (awal) ke k

Langkah keempat,

Setelah mendapatkan hasil dari persamaan rekursif di atas, maka akan didapatkan

bobot rute terpendek. Dari hasil tersebut masih perlu kita hitung

untuk memperoleh solusi optimal / rute terpendek. artinya adalah

panjang jalur dari vertex awal (1) menuju vertex 1 setelah melewati vertex 2, 3, 4, ..., n

dengan urutan seminimum mungkin kemudian dicari pembentuk dari solusi optimal

yang diperoleh.