04/21/23 1

BAB. 10 Dinamika Sistem

Partikel

04/21/23 2

Benda, disebut sebagai sistem (kesatuan, kelom-pok) partikel.

Wujud benda, dapat berupa zat padat dan zat alir (fluida).

Fluida dapat berupa zat cair atau gas.

Pembicaraan dinamika sistem partikel diasumsi-kan dengan massa partikel tetap.

Wujud benda berupa padat maupun fluida, diten-tukan oleh perilaku interaksi partikel antar zat di dalam sistem zat tersebut.

04/21/23 3

Gerak Pusat Massa

Misal terdapat partikel massa m1 ; m2 ; ……. mn

dan berposisi pada ; r1; r2 ; ………rn dan seluruh

partikel merupakan kesatuan. Posisi sistem pusat massa didefinisikan sebagai;

M

rm

m

rm

m

m

m

m

m

m

n

iii

i

n

iii

n

nnc

11

2

22

1

11

....... rrr

R

M

vm

dt

dm

Mdt

d iic

ii

cc

vrR

v 1

icM pPv

04/21/23 4

M

ymy

n

iii

c

1

M

xmx

n

iii

c

1

M

zmz

n

iii

c

1 M

zmymxm iiiiiic

kjiR

ˆˆˆ

M

zyxm iiiic

)ˆˆˆ( kjiR

M

m iic r

R

kjir ˆˆˆiiii zyx

kjiR ˆˆˆcccc zyx

04/21/23 5

Contoh.

Sistem terdiri dari tiga partikel sama dan memi-liki massa satu satuan massa dengan posisi dan kecepatan sebagai berikut.

r1 = i + j , v1 = 2 j

r2 = j + k , v2 = j

r3 = k , v3 = i + j + k

Carilah posisi kecepatan dan p linier sistem massa tersebut !

Penyelesaian.

m1 = m2 = m3 = 1 satuan

04/21/23 6

Posisi pusat massa,

3

2 2)()(

321

kjikkjjiR

mmmc

v pusat massa,3

2 4)( 2

321

kjikjijjv

mmmc

p pusat massa, kjikji

vp 2 43

2 43

cc

04/21/23 7

Partikel Bebas.

Partikel bebas, partikel yang tidak memiliki inter-aksi dengan partikel lain.

Sistem partikel bebas (sistem partikel tertutup), memiliki p tetap (hukum Newton I).

Pusat massa sistem tertutup bergerak dengan v tetap dalam sistem inersial.

Pusat massa partikel sistem tertutup relatif diam pada kerangka acuan inersial pusat massa (vc = 0).

Pernyataan vc = 0, disebut kerangka acuan C atau kerangka acuan pusat massa.

04/21/23 8

Momentum sistem partikel dalam kerangka acu-an C momentumnya selalu nol (P = pi = 0).

Kerangka acuan C, disebut kerangka acuan mo-mentum nol (karena vc relatif diam pada pusat massa).

Kerangka acuan C penting pada beberapa perco-baan yang dilakukan di dalam laboratorium [ke-rangka acuan L (laboratorium) dapat dipermudah analisisnya dalam kerangka acuan C].

04/21/23 9

S S!

Sistem S terbuka (artinya parti-kel penghuni S dapat berinter-aksi dengan partikel lain di se-keliling S).

Sistem lain S!, secara bersama-sama S membentuk sistem tertutup (sistem S + S!, sistem tertutup).

Partikel anggota S, tidak hanya berinteraksi dengan partikel sesama anggota, tetapi juga dengan partikel di luar S (yaitu S!).

Momentum partikel S (disebut pi) dan S! (disebut pj) sehingga partikel sistem S + S! momentum total.

P = Σ pi + Σ pj = tetap atau P = Ps + Ps! = tetap

04/21/23 10

Perubahan p yang dialami oleh partikel S akan diikuti oleh partikel dari S! dengan nilai sama besar tetapi berlawanan tanda sehingga jika di-jumlahkan besarnya nol.

Ps = - Ps! atau pi = - pj

Interaksi partikel isi S dan S! menggambarkan per tukaran p.

Bila pertukaran p tersebut berjalan dalam waktu dt yang mendekati nilai nol sehingga berlaku:

04/21/23 11

dt

d

dt

d ss!PP

Perubahan p tiap satuan waktu sistem S! disebut F luar yang didesakkan pada sistem S,

FPFP is dt

d

dt

d

Fℓ (gaya luar) merupakan perubahan p tiap satuan waktu sistem S sebagai hasil interaksi dengan S!.

F dalam yang ada pada S (merupakan interaksi partikel penyusun S) tidak menghasilkan per ubah-an p total (sebagai akibat prinsip kekekalan p).

04/21/23 12

Gaya luar (Fℓ) dari sistem S!, maka Fℓ = - Fℓ! (me-

rupakan hukum aksi-reaksi, antara sistem S de-ngan S!).

Kecepatan pusat massa sistem S menjadi,

ccs

c dt

dM

dt

d

MvFv

Pv percepatan

Gerak pusat massa sistem partikel sama dengan tingkah laku benda jika dikenai gaya luar yang ber-titik tangkap pada pusat massanya.

04/21/23 13

Contoh.

Benda massa M dijatuhkan, pada saat ketinggian 2000 m pada saat memiliki v = 60 m s-1 dan pecah menjadi dua bagian sama besar. Sesaat setelah ledakan salah satu bagian ber-v 80 m s-1 ke bawah. Carilah posisi pusat massa sistem 10 detik setelah ledakan !

Penyelesaian.80 m s-1

60 m s-1

2000 m

Asumsi setelah terjadi ledakan gaya luar tidak berubah (pusat massa benda terus bergerak setelah ledakan).

04/21/23 14

Setelah ledakan pusat massa benda setinggi,

Cara lain,

h = ho + vot + ½ g t2

Diisikan besaran yang (diketahui),

h = (2000 m) - 60 m s-1 (10 s) - ½ (9,8 m s-2)(10 s)2

= 910 m

Dihitung langsung posisi pusat tiap massa bagian, setelah 10 detik ledakan.

M vo = m1 v1 + m2 v2 , (m1 = m2 =½ M).

2 vo = v1 + v2 ,

2 (- 60 m s-1) = (- 80 m s-1) + v2 v2 = - 40 m s-1.

04/21/23 15

Kedua bagian benda, bergerak secara bersm.

Bagian pertama, setelah 10 detik

h1 = ho + v1 t + ½ g t2

h1 = (2000 m) - 80 m s-1 (10 s) - ½ (9,8 m s-2)(10 s)2

= 710 m

Bagian kedua, setelah 10 detik

h2 = ho + v2 t + ½ g t2

h2 = (2000 m) - 40 m s-1 (10 s) - ½ (9,8 m s-2)(10 s)2

= 1110 m

Pusat massa dihitung lewat formula,

04/21/23 16

m 9102

7101110

221

21

2211

hh

hmm

hmhmh

Hasil kedua perhitungan sama.

04/21/23 17

Contoh.

Dua buah massa m dan M, (m < M) dihubungkan dengan tali dilewatkan piringan. Piringan dapat berputar pada sumbunya. Hitunglah a pusat massa sistem tersebut ? Segala sesuatu yang berhubungan dengan piringan dan tali diabaikan.

Penyelesaian

Misal M bergerak turun (m naik) akan mengguna-kan percepatan yang sama yaitu,

gmM

mMa

mM

amaMacm

)( ) ( ,massapusat Percepatan

04/21/23 18

(karena percepatan M turun dan m naik dengan ni-

lai sama).

gmM

mMacm

2

,massapusat Percepatan

mM

amaMa

mM

xmxMx cmcm

2121 ,massapusat Posisi

Cara lain.

Karena a1 = - a2 = a (arah berlawanan)

gmM

mMacm

2

,massapusat Percepatan

04/21/23 19

Hubungan (Fℓ) dengan Gaya Penyusun Sistem

Sistem tertutup, terdiri dari dua partikel m1 dan m2.

F12 merupakan gaya yang dimi-liki partikel m1 karena berinter-aksi dengan partikel m2.

m1

m2

F2

F1

F12

F21

F12 = - F21

F21 merupakan gaya yang dimi-liki partikel m2 karena berinter-aksi dengan partikel m1.

F1 dan F2 ,resultan gaya luar yang bekerja pada par tikel m1 serta m2.

Dalam sistem dua massa, berlaku hukum ke dua Newton dengan formulasi persm,

04/21/23 20

Bab 6-20

21221211 dan FFpFFp dt

d

dt

d

Resultan F sistem, 2121 FFppP dt

d

dt

d

Perubahan p total sistem tiap satu satuan waktu = jumlah F luar yang bekerja pada partikel m1 dan m2.

FpP idt

d

dt

d

F luar memberi warna gerakan sistem partikel (dapat diartikan benda).

04/21/23 21

Massa Reduksi

Dua partikel massa m1 dan m2

saling berinteraksi (tanpa ada

aksi gaya luar).

Gaya F12 dan F21, merupakan

gaya dalam (internal, gaya in-

teraksi). F12 & F21 // r12

r12 merupakan garis hubung kedua partikel.

Persm gerak relatif sistem partikel terhadap 0,

212

2121

1 Fv

danFv

dt

dm

dt

dm

m1

m2

F12

F21

r1

r2

x

r12

0

04/21/23 22

1221

212

21

1

1221 11

FFFvv

mm

vvdt

d

mmdt

d

dt

d

21

21

21

m

111)( reduksi Massa

mm

m

mm

)( 121212

1221 aFF

v

dt

dvv

dt

d

v12 kecepatan partikel m1 relatif terhadap partikel m2

a12 percepatan partikel m1 relatif terhadap partikel m2

Jika nilai massa m1 m2 maka massa reduksi,

2

11

2

1

1 1 1 m

mm

m

mm

pendekatan.

Bila, m1 = m2 nilai massa reduksi = ½ m1.

04/21/23 23

Contoh.

Diamati dua partikel massa m1 dan m2 ber-v, v1 dan

v2. Hitung v pusat massa relatif terhadap pengamat

dan p tiap partikel relatif terhadap pusat

massanya !

Penyelesaian.

Kecepatan relatif pusat massa (dua partikel) terha

dap pengamat,

21

2211

mm

mmc

vvv

Kecepatan relatif tiap partikel terhadap pusat massa

adalah,

04/21/23 24

21

212

21

22111

1!1

)(

,pertama Partikel

mm

m

mm

mmc

vv

vvv

vvv

21

211

21

22112

2!2

)(

,kedua Partikel

mm

m

mm

mmc

vv

vvv

vvv

04/21/23 25

Kedua kecepatan, nampak berlawanan sebagai aki

bat pengamatan pada kerangka acuan C, (pc = 0)

(jumlah momentum sistem tidak berubah).

)(

)( ,pertama partikel Momentum

21

21

2121!11

vv

mm

mmm

vvv

)(

)( ,kedua partikel Momentum

21

21

2121!22

vv

mm

mmm

vvv

04/21/23 26

Momentum Sudut Sistem (L)

F2

m1

m2

F12

F21

r1

r2

x

r12

F1

0

Momentum sudut (L) partikel re-

latif terhadap suatu titik tertentu,

dinyatakan sebagai L = r × mv

atau L = r × p dan momen gaya

= dL/dt.

Momen sistem dua partikel ber-laku, 1 = dL1/dt dan 2 = dL2/dt.

21221211

2121

FFrFFr

ττLL

dt

d1 = r1 x (F1 + F12) dan 2 = r2 x (F2 + F21)

04/21/23 27

0

)(

2211

12212211

2122121121

FrFr

FrrFrFr

FFrFFrLLdt

d

Hukum kedua Newton untuk masing-masing partikel,

Partikel pertama, m1 a1 = F1 + F12

Partikel kedua, m2 a2 = F2 + F21

Karena bergerak, tiap partikel suatu saat ber-v, v1 dan v2.

Dalam waktu dt kedua partikel berpindah sejauh dr1 dan dr2 sehingga diperoleh,

04/21/23 28

Partikel pertama, m1 a1 . dr1 = F1 . dr1 + F12 . dr1

Partikel kedua, m2 a2 . dr2 = F2 . dr2 + F21 . dr2

m1 a1 . dr1 + m2 a2 . dr2 = F1 . dr1 + F2 . dr2

+ F12 . (dr1 - dr2)

m1 v1 dv1 + m2 v2 dv2 = F1 . dr1 + F2 . dr2 + F12 . dr12

B

A

B

A

v

v

v

v

ddddvvmdvvmoo

12122211222111 r.Fr. Fr .F

Dalam waktu to t, partikel berpindah dari A B.

)( 2

1)(

2

1 kiri, Ruas 2

022222

2011

211 vmvmvmvm

04/21/23 29

d

B

A

B

A

WWddd 12122211 kanan, Ruas r.Fr. Fr .F

oEkEkvmvmvmvm )( 2

1)(

2

1 2

0222011

222

211

Disusun Persamaan, ΔEk = Ek – Eko = Wℓ + Wd

Ek = kerja yang dilakukan oleh sistem karena

adanya gaya yang bekerja padanya (baik gaya

luar maupun dalam).

04/21/23 30

Contoh.

04/21/23 31

Hukum Kekekalan Energi Sistem

Jika hukum interaksi dua partikel memiliki gaya bersifat konservatif, sehingga memunculkan kon sep energi potensial (Ep) yang tergantung pada posisi koordinat massa partikel m1 dan m2 ber-laku,

12121212 EpEpd o

B

A

r.F

Ep12 nilai Ep saat t dan (Ep12)o nilai saat to dise-but Ep dalam suatu sistem nilainya tergantung pada jarak r12 .

Ek – Eko = Wℓ + (Ep12)o - (Ep12)

04/21/23 32

(Ek + Ep) = Wℓ + (Ek + Ep12)o

Persm tersebut merupakan pernyataan hukum

kekekalan energi, sebagai akibat adanya prinsip

kekekalan momentum serta asumsi konserva-

tisasi gaya.

Besaran Ek + Ep12 = U, disebut "proper energi" sehingga diperoleh, U – Uo = Wℓ.

Perubahan proper energi (U) = kerja yang dilaku kan oleh sistem karena adanya gaya luar.

Bila di dalam sistem tidak ada gaya luar (partikel bebas atau sistem disekap), Wℓ = 0 U - Uo = 0 atau U = Uo.

04/21/23 33

Jika dalam sistem yang terlindungi, Ek bertambah

maka Ep berkurang atau sebaliknya (karena jum-

lahnya harus tetap).

Bila sistem terdiri lebih dari dua partikel, Ep diper-oleh dari tiap pasangan partikel,

U = Ek + Epd = ½ m v2 + Epij

22

222

211

2

2

1.....

2

1

2

1

2

1nvmvmvmmvEk

Epd = Epij = Ep12 + Ep13 + ……+ Ep1n + Ep2n + Epnm

Bila dalam sistem bekerja gaya luar bersifat konser vatif berarti Wℓ = (Epℓ)o - (Epℓ).

04/21/23 34

Besaran (Epℓ)o - (Epℓ ), Ep yang berhubungan de-ngan gaya luar dari keadaan awal dan akhir sistem. (U + Epℓ) = (U + Epℓ )o

Energi total sistem, E = U + (Epℓ) = Ek + Epd + Epℓ

04/21/23 35

04/21/23 36

Tumbukan

Dua partikel bergerak saling mendekati satu de-ngan yang lain (melakukan interaksi sehingga ge-rak mereka berubah, artinya mereka telah melaku-kan pertukaran momentum dan energi).

Dengan melakukan pertukaran energi dan mo-mentum artinya kedua partikel tersebut telah melakukan tumbukan.

Pengertian tumbukan tidak perlu bersinggungan secara fisik (bila telah berinteraksi, artinya telah melakukan tumbukan).

Gaya-gaya yang bekerja pada proses tumbukan

adalah pasangan gaya aksi-reaksi

04/21/23 37

Selama tumbukan mereka di bawah pengaruh gaya aksi-reaksi satu dengan lainnya.

Dalam tumbukan berlaku hukum ketiga Newton.

Momentum total partikel sebelum dan sesudah tumbukan tetap (dapat terjadi besar momentum sudut tetap).

)( )( !222

!111

!2

!121 vvvvpppp mm

v1, kecepatan partikel satu, sebelum tumbukan dan v1

! sesudah tumbukan.

Dua partikel bergerak dengan kecepatan tetap sebelum dan sesudah bertumbukan.

04/21/23 38

Gaya-gaya yang berperan selama dalam tumbuk- an adalah gaya dalam (momentum dan energi-nya kekal).

Bila gaya-gayanya konservatif Ek tetap (Ep sebe- lum dan sesudah tumbukan sama).

Energi total,

)(2

1 )(

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2!2

222

2!1

211

2!22

2!11

222

211

vvmvvm

vmvmvmvm

v2, kecepatan partikel dua, sebelum tumbukan dan v2

! sesudah tumbukan.

04/21/23 39

Bila p dan E dibagikan dihasilkan bentuk,

)( )(

)()( !2

!121

!22

!11

vvvv

vvvv

Perbandingan antara kecepatan relatif sesudah tum bukan dengan sebelum tumbukan disebut koefisien restitusi atau koefisien tumbukan (e).

21

!2

!1

vv

vve

)( )( )( )( !22

!222

!11

!111 vv .vvvv .vv mm

04/21/23 40

Klasifikasi tumbukan

menyatu benda kedua

mbukan setelah tu sekali sama lentingtidak

energi)kekekalan

kukumberlaku (tidak

berkurangmekanik energi

sebagian lenting

energidan momentum

kekekalan hukumberlaku sempurna lenting

Tumbukan

04/21/23 41

F21 F12

tumbukan kontak langsungm1

m2

Macam-macam tumbukan

Fp

F12

F21

He4

hamburan

t

F12

F21

F

04/21/23 42

Tumbukan yang dipenuhi oleh hukum kekekalan

momentum dan energi disebut tumbukan elastik

sempurna.

Tumbukan dengan energi sesudah dan sebelum

tumbukan tetap (Ek = Ek! – Ek = 0), tumbukan

tersebut terpenuhi oleh nilai (e = 1).

Tumbukan lenting sempurna (e = 1).

v1 v2 - v1 - v2

sebelum tumbukan sesudah tumbukan

04/21/23 43

Tumbukan tidak lenting sama sekali (jika kedua

partikel bergabung lalu bergerak bersama-sama,

dipenuhi v1! = v2

! = v).

Kecepatan gabungan dua benda (v) setelah tum-

bukan nilainya (hukum kekekalan momentum),

21

2211

mm

mm

vv

v

Tumbukan tidak lenting sama sekali, (e = 0)

v1

v2 m1m2

Sebelum tumbukan

vm1 + m2

Setelah tumbukan

04/21/23 44

Antara dua tumbukan (lenting dan tidak lenting

sama sekali), dinamakan tumbukan lenting seba

gian (tumbukan non elastik) dipenuhi oleh nilai

e, (0 e 1).

Tumbukan lenting sebagian, (0< e < 1)

04/21/23 45

Contoh.

Benda massa 1 kg bergerak dengan kecepatan, v1 = 3 i – 2 j. Benda kedua massa 2 kg bergerak dengan kecepatan, v2 = 4 j – 6 k. Kedua benda bertumbukan dengan tidak lenting sama sekali. Tentukan kecepatan benda setelah tumbukan !

Penyelesaian.

kji

kjjiv

vvv

4 2

kg )21(

) 6 4)(kg 2() 2 3)(kg 1(21

2211

mm

mm

,besar kecepatan setelah tumbukan

√21 m s-1.

04/21/23 46

Contoh.

Benda massa 4 kg bergerak dengan kecepatan 4 m s-1

ditumbuk oleh benda lain massa 2 kg dari belakang

dengan kecepatan 9 m s-1 sehingga kecepatannya

menjadi 6 m s-1.

Pertanyaan a. berapa besar koefisien tumbukannya ?

b. berapa besar perubahan Ek sistem?Penyelesaian.

p1 + p2 = p1! + p2

!

(4 kg)(4 m s-1) + (2 kg)(9 m s-1) = (4 kg)(6 m s-1)

+ (2 kg)(v2!)

v2! = 5 m s-1

04/21/23 47

2,094

56

restitusi,Koefisien 21

!2

!1

e

vv

vve

J16

)9)(2()4)(4(2

1)5)(2()6)(4(

2

1

)(2

1)(

2

1

2222

222

211

2!22

2!11

!

vmvmvmvm

EkEkEk

Tanda negatif, artinya kehilangan (berkurang, ada yang hilang) energi setelah tumbukan.

04/21/23 48

Contoh.

Bola baja massa m dilemparkan pada pelat baja bermassa M dengan sudut . Bola baja mental (bergerak membalik) dengan sudut θ. Buktikan tan θ = ½ (e – 1) tan !

Penyelesaian.

θ

m

v x

y Bola baja sumbu x berlaku m v cos = m v!

bx atau v cos = v!

bx. Pelat baja sumbu x berlaku M vpx = M v!

px = 0. Bola dan pelat sumbu y berlaku m v sin + M vpy = m v!

by + M v!py

sehingga v sin = v!by + v!

py.

04/21/23 49

Koefisien restitusi,

!!

!!by

21

!2

!1

sin

sin

v

pyby

py

vvve

v

ve

vv

vve

sin )1(

2

1

sin

sin !

!!

!!

vevvvve

vvvby

pyby

pyby

tan)1(

2

1

cos 2

sin 1)-( tan

!

!

ev

ve

v

v

bx

by

04/21/23 50

Dalam peristiwa tumbukan alur penyajian kon-sep (penyelesaian) dapat dilihat dalam bagan di bawah ini.

Bagan.

Tumbukan

Memberlakukan hukum kekekalan momentum

Tidak memasukkanhukum kekekalan Ek.

Memasukkanhukum kekekalan Ek.

04/21/23 51

Memasukan Hukum kekekalan Ek.

Tumbukan lenting sempurna

e = 1

Δv = - Δv!

Tidak memasukan hukum kekekalan Ek.

Tumbukan tidak lenting

Kedua benda bergabung

Kedua benda tetap terpisah

Tumbukan lenting sebagian

0 < e < 1

Tumbukan tidak lenting sama

sekali

v1! = v2

! = v e = 0

v

ve

!

Lanjutan.

04/21/23 52

Soal.

Sebuah peluru bermassa 20 gram ditembakkan pada bandul balistik bermassa 1980 gram sehing-ga akhirnya peluru bersarang dalam bandul. Jika sesaat setelah tumbukan kecepatan bandul dan peluru adalah 2 m s-1, tentukan kecepatan peluru sebelum menumbuk bandul.

Penyelesaian

?

04/21/23 53

Contoh.

04/21/23 54

04/21/23 55

04/21/23 56

04/21/23 57

04/21/23 58

04/21/23 59

Torsi – Momen gaya

Torsi didefenisikan sebagai hasil kali besarnya gaya dengan panjangnya lengan

04/21/23 60

Bab 6-60

Torsi – Momen gaya

Torsi berarah positif apabila gaya menghasilkan rotasi yang berlawanan dengan arah jarum jam.

Satuan SI dari Torsi: newton.m (N.m)

04/21/23 61

Bab 6-61

Hukum Kekekalan Momentum Sudut

dimanaEXTddt

LEXT EXT r FL r p

EXTddt

L 0Jika torsi resultan = nol, maka Jika torsi resultan = nol, maka

Hukum kekekalan momentum sudutHukum kekekalan momentum sudut 21 21 II

dan

04/21/23 62

Bab 6-62

Momentum Sudut: Defenisi & Penurunan

Gerak linear sistem partikel berlaku,

Bagaimana dengan Gerak Rotasi ?

Fp

EXTddt

FEXT 0

L r p

r F Untuk Rotasi, analog gaya F F adalah Torsi

analog momentum pp adalah

momentum sudut

p = mv

Momentum kekal jika

04/21/23 63

Bab 6-63

Sistem Partikel

Untuk sistem partikel benda tegar, setiap partikel memiliki kecepatan sudut yang sama, maka mo-mentum sudut total:

1 2 31

n

n ii

L l l l l l

,1 1

n ni

net i neti i

dL dl

dt dt

Perubahan momentum sudut sistem hanya disebabPerubahan momentum sudut sistem hanya disebab--kan oleh torsi gaya luar saja.kan oleh torsi gaya luar saja.

04/21/23 64

Bab 6-64

i

j

k̂vrmmi

iiii

iiiii

i vrprL

Perhatikan sistem partikel benda tegar yang bero-tasi pd bidang x-y, sumbu rotasi z. Total momen-tum sudut adalah jumlah masing2 momentum su-dut partikel:

rr1

rr3

rr2

m2

m1

m3

vv2

vv1

vv3

Arah LL sejajar sumbu z

Gunakan vi = ri , diperoleh

IL

(karena ri dan vi tegak lurus)

analog dengan p = mv !

krmLi

2

iiˆ

04/21/23 65

Vektor Momentum Sudut

Definisi: Momentum sudut dari sebuah benda yang berotasi tehadap sumbu tetap adalah hasil kali dari momen inersia benda dengan ke-cepatan sudut terhadap sumbu rotasi terse-but.

IL

I

dt

dI

dt

Id

dt

Ld

)(

Demikan juga dengan torsi (Hk II Newton untuk gerak rotasi):

04/21/23

Momen Inersia

Untuk benda yang mempunyai distribusi massa kontinu, mo-men inersianya diberikan dalam bentuk integral

dVρrdmrI 22

dm

x

y

zdmrIrmI i

ii 22

dlddrrdV

Dimana Elemen Volume

dimana r dr : perubahan radius, dθ : perubahan sudut, dl : perubahan ketebalan.

04/21/23 67

Bab 6-67

Momen Inersia

Untuk lempengan benda di bawah ini, momen inersia dalam bentuk integral

dlddrrrI 2

Asumsi rapat massa ρ konstan

Kita dapat membaginya dalam 3 integral sbb:

LRdldrdrrI

0

2

00

2

04/21/23 68

Bab 6-68

Hasilnya adalah

LR

I

lr

I L

R

24

44

020

0

4

LRM 2

Massa dari lempengan tersebut

2

2

1MRI Momen Inersia benda

Lanjutan.

04/21/23 69

Bab 6-69

Untuk benda tegar bermassa M yang berotasi terha-dap sumbu putar sembarang yang berjarak h dari sumbu sejajar yang melalui titik pusat massanya (ICM diketahui), momen inersia benda dapat diten-tukan dengan menggunakan:

2MhII cm

Teorema sumbu sejajar

Teorema sumbu sejajar,

Sehingga, teorema Kerja-Energi untuk gerak rotasi menjadi:

21

22

2

1

2

12

1

2

1

IIdIdW

04/21/23 70

2

2

1 IEkrotasi rotasiEkW dimana

Bila ,maka sehingga0 0W

0 rotEk Hukum kekekalan Ek Rotasi

Lanjutan.

04/21/2371

Bab 6-71

Gerak menggelinding pada bidang miring

R x

P

sf

gF

singF

cosgF

N

Gunakan: torsi = I

sing PR F I

Maka:Maka:

2

sin

1 /comcom

ga

I MR

MR2 g sin θ = - I acom

Ip = Icom + MR2

acom = - R

04/21/23 72

Contoh.