10. Mek - Dinamika Gerak Rotasi

• Besaran Fisis• Gerak 1D & 2DA

• Hukum GerakNewton

• Aplikasi HukumNewton

B

• Kerja & Energi• Kekekalan

EnergiC

• Momentum• Gerak RotasiD

• Gravitasi• Gerak PeriodikE

• MekanikaFluida

• Gelombang & Bunyi

F

Torka Torka dan Percepatan Sudut pada Benda Tegar Kerja dan Daya pada Gerak Rotasi Momentum Sudut Kekekalan Momentum Sudut Giroskop dan Presisi Menggelinding

Subtopik

• Besaran Fisis• Gerak 1D & 2DA

• Hukum GerakNewton

• Aplikasi HukumNewton

B

• Kerja & Energi• Kekekalan

EnergiC

• Momentum• Gerak RotasiD

• Gravitasi• Gerak PeriodikE

• MekanikaFluida

• Gelombang & Bunyi

F

Mendefinisikan arti torka yang dihasilkan sebuahgaya.

Menganalisa hubungan torka total dengan gerakrotasi benda

Menganalisa gerak benda menggelinding. Menyelesaikan masalah kerja dan daya pada gerak

rotasi. Mendefinisikan arti momentum sudut partikel /

benda tegar. Menganalisis gerak dengan momentum sudut

berubah terhadap waktu. Menjelaskan gerak presesi giroskop

Tujuan Instruksional Khusus

Suatu gaya bekerja pada benda hingga

benda tersebut bergerak melingkar.

Percepatan linear /tangensial benda

(pada arah ) adalah

aθ = αr

Hk. Newton 2 pada arah

Fθ = maθ = mαr Mengalikan persamaan di

atas dengan r memberikan

rFθ = mr2α

4

Dinamika Rotasi : Apa yang MembuatBenda Bergerak Melingkar?

θ̂

•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar

A

•Kerja dan Dayapada Gerak RotasiB

•Momentum Sudut C

•Kekekalan Momentum Sudut D

•Giroskop dan Presisi E

•MenggelindingF

θ̂r

aθ

α

F

m

r̂θ^

Fθ

rFθ = mr2α= Ι α, Ingat: Ι =mr2

Definisi torka: τ = rFθ.

τ sama dengan gaya tangensial Fθdikali dengan lengan r.

Konvensi arah torka:

+ z jika membuat sistem

berputar CCW.

- z jika membuat sistem

berputar CW.

5

Dinamika Rotasi : Torka (Momen Gaya)

ατ θ I== rF

Counter clockwise (CCW) Clockwise (CCW)

r

aθ

α

F

m

r̂θ^

Fθ


A


•Momentum Sudut C



•MenggelindingF

Gaya-gaya bekerja pada banyak partikel,total torka adalah

Partikel terhubung secara rigid (Hanya ada satu αuntuk semua partikel)

6

Torka Sistem Partikel

r1

r2r3

r4

m4

m1

m2

m3

ωF4

F1

F3

F2

ii

iii

ii rmFri

ατ

θ ∑∑Ι

= 2,

ατ I=∑i

i

ατ I=NET


A


•Momentum Sudut C



•MenggelindingF

Bentuk ini analog dengan FNET = ma

Torka analog dengan gaya:

Ukuran puntiran (twist) yang dilakukan gaya. Momen inersia Ι analog dengan.

Ι lebih besar, dibutuhkan torka lebih besar untukmenaikkan percepatan angular.

Satuan Torka kg m2/s2 = (kg m/s2) m = Nm

7

Dinamika Rotasi : Apa yang MembuatBerputar?

ατ I=NET Hukum Newton II untuk rotasi•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar

A


•Momentum Sudut C



•MenggelindingF

Ingat! Definisi torque:

rp = jarak terdekat darititik tumpu rotasi keperpanjangan gariskerja gaya

Notasi Vektor

8

Torka

Fr

Fr

Frτ

φφ

θ

sin sin

==

=

Frp=τ

r

φ

rp

F

φFθ

Fr φ


A


•Momentum Sudut C



•MenggelindingF

Jika φ = 0o, maka τ = 0

Dan jika φ = 90o, maka τ = maximum

9

Torka

Fsinr φτ =

r

F

r

F


A


•Momentum Sudut C



•MenggelindingF

Manakah torka terbesar pada kasus berikut ketikagaya diberikan untuk memutar benda? Pada keduakasus besar dan arah gaya yang diberikan sama.

(a) kasus 1

(b) Kasus 2

(c) sama

10

Torka

L

L

F F

sumbu

kasus 1 kasus 2


A


•Momentum Sudut C



•MenggelindingF

Torka = F x (jarak terdekat)

Gaya yang diberikan sama.

Jarak terdekat sama

Torka sama!

11

Solusi

L

L

F F

Kasus 1 Kasus 2

L


A


•Momentum Sudut C



•MenggelindingF

Conceptual Checkpoint

Balok Yang Mana Mendarat Duluan?

Dua sistem yang diperlihatkan dibawah ini berbeda hanya pada letakmassa yang dapat bergerak, jauh dengan sumbu rotasi (kiri) atau dekatdengan sumbu rotasi (kanan). Jika balok yang tergantung dilepas secarabersamaan dari keadaan diam, apakah yang akan teramati (a) balok dikiri tiba duluan, (b) balok di kanan tiba duluan, atau (c) kedua balok tibabersamaan.


A


•Momentum Sudut C



•MenggelindingF


Alasan dan PembahasanBalok mengerjakan total torka eksternal yang sama besar pada masing-masing sistem. Tetapi, moment inersia sistem di kanan kurang darimoment inersia sistem di kiri karena massa yang dapat bergerak lebihdekat ke sumbu rotasi. Karena percepatan angular berbanding terbalikdengan moment inersia (α=τnet/I), sistem di kanan mempunyaipercepatan angular lebih besar, dan memenangkan lomba.


A


•Momentum Sudut C



•MenggelindingF


Jawaban(b) Balok di kanan tiba duluan.


A


•Momentum Sudut C



•MenggelindingF

Gaya F melakukan kerja pada suatu benda. Benda tersebut bergerak melingkar pada sumbu tetap. Untuk suatu perpindahan angular dθ yang sangatkecil, kerja yang dilakukan adalah

dW = F.dr = FR dθ cos(β)

= FR dθ cos(90-φ)= FR dθ sin(φ)= FR sin(φ) dθ

dW = τ dθ

Setelah proses integrasi diperoleh W = τθ Analog dengan W = F •∆r W akan negatif jika τ dan θ berlainan tanda

15

Kerja

R

F

dr = R dθdθ

axis

φ

β

•Torka •Torka dan Percepatan Sudut pada Benda Tegar

A

•Kerja dan Daya pada Gerak Rotasi B

•Momentum Sudut C



•MenggelindingF

Ingat! Teorema Kerja – Energi Kinetik: ∆K = WNET

Teorema ini berlaku umum, sehingga dapat jugadiaplikasikan pada gerak melingkar.

Jadi, untuk suatu benda yang berputar pada sumbutetap berlaku

16

Kerja & Energi Kinetik :

( ) NETif WK =−=∆ 22I21 ωω


A


•Momentum Sudut C



•MenggelindingF

Seutas benang ringan dililitkan 10 kali mengelilingisebuah cakram bermassa M = 40 g dan berjejari R = 10 cm. Cakram berotasi pada sumbu tetap yang melalui pusat massanya. Benang ditarik dengangaya F = 10 N hingga seluruh benang terlepas. (Asumsikan benang tidak selip dan cakram padamulanya tidak berputar).

Berapakah kecepatan cakram

berputar setelah seluruh

benang terlepas?

17

Contoh: Cakram & Benang

F

RM


A


•Momentum Sudut C



•MenggelindingF

Kerja yang dilakukan W = τ θ Torque τ = RF (ketika φ = 90o)

Perpindahan angular θ adalah2π rad/revolusi x 10 revolusi

Maka W = (0,1 m)(10 N)(20π rad) = 62,8 J

18

Cakram & Benang…

τ θ

F

RM


A


•Momentum Sudut C



•MenggelindingF

Ingatlah Ι untuk sebuah cakram yang diputar padasumbunya

19

Cakram & Benang…

2NET I

21K J 62,8 W W ω=∆===

2

21I MR=

WMRK =

=∆ 22

21

21 ω

( )( )( )22 1,004,0

8,6244kg

JMR

W==ω ω = 792,5 rad/s

RM

ω


A


•Momentum Sudut C



•MenggelindingF

Benang dililitkan mengelilingi dua buah cakram pejaldan ditarik dengan gaya identis sejauh jarak yang sama. Cakram 1 mempunyai jari-jari lebih besar tetapimomen inersia yang sama dengan momen inersiacakram 2. Kedua cakram, yang awalnya diam, berputar bebas pada sumbu yang melalui pusatmassanya masing-masing. Cakram manakah yang

mempunyai kecepatanangular terbesar setelah

ditarik?(a) Cakram 1 (b) Cakram 2(c) Sama

20

Kerja & Energi

FF

ω1ω2


A


•Momentum Sudut C



•MenggelindingF

Kerja kedua cakram sama!

W = Fd Perubahan energi kinetik kedunya juga sama karena

W = ∆K

Diketahui

Maka jika I1 = I2

21

Solusi

2I21 ω=∆K

d

FF

ω1ω2


A


•Momentum Sudut C



•MenggelindingF

22

Tabel Perbandingan Gerak

23

Melepas Bola di Ontang Anting•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar

A


•Momentum Sudut /An gularC



•MenggelindingF

Si dufan sedang duduk di bangku terluar “ontanganting” yang berputar dengan ω konstan. Dufanmemegang bola di tangannya. Bola tersebutkemudian dilepaskan. Kemanakah arah bola?

Rotasi

(c)

ω

(b)(a)

(d)


A





•MenggelindingF

Sesaat sebelum dilepaskan, kecepatan bola mempunyai arah tangensial terhadap lingkaran putaran bola.

Solusi

ω


A





•MenggelindingF

Setelah dilepaskan, bola akan mempertahankanarahnya kalau tidak ada gaya luar yang bekerja danmengubah arah geraknya.


A





•MenggelindingF

Telah dilihat sebelumnya

Bagaimana versi untuk rotasi ?

Analogi gaya F pada rotasi adalah torka

Analogi momentum p pada rotasi adalah suatumomentum angular

Momentum Angular : Definisi

dtd

EXTpF =

0=EXTFMomentum kekal jika


A





•MenggelindingF

i

j

Suatu distribusi benda titik berputar pada bidang x-ymengelilingi sumbu z, seperti pada gambar. Total momentum angular terhadap origin adalah jumlahmomentum angular setiap benda titik:

Momentum Angular Benda Pejalpada Sumbu Tetap:

kvrmmi

iiii

iiiii

iˆ∑∑∑ =×=×= vrprL

r1

r3

r2

m2

m1

m3

ωv2

v1

v3

L pada arah z.

Menggunakan vi = ω ri , diperoleh

ωIL =

(ketika ri dan vi

tegak lurus)

Analog dengan p = mv

krmi

iiˆL 2∑= ω


A





•MenggelindingF

Secara umum, untuk suatu benda yang berputar pada sumbu (z) dapat dituliskanLZ = I ω

Arah LZ didapatkan dengan aturan tangankanan (sama dengan ω).

Subscript Z diabaikan untukpenyerdehanaan,dan dituliskan L = I ω

Momentum Angular Benda Pejal pada SumbuTetap:

ωI=ZL

ω

z


A


•Momentum Sudut C



•MenggelindingF


Momentum Angular?

Apakah sebuah objek yang bergerak dalam lintasan lurus mempunyaimomentum angular tidak nol (a) selalu, (b) kadang-kadang, atau (c) takpernah?


A





•MenggelindingF


Alasan dan PembahasanJawabannya adalah kadang-kadang, karena momentum angular

tergantung pada sumbu rotasi yang dipilih. Jika sumbu rotasi bukan digaris yang di ditarik melalui vektor momentum, seperti pada sketsa dikiri, lengan gaya tidak nol, dan karena itu L=r_|_p juga tidak nol. Jikasumbu rotasi di lintasan gerak, seperti pada sketsa kanan, lengan gayanol; sehingga momentum linier menjari (radial) dari sumbu rotasi dan Lsama dengan nol.


A





•MenggelindingF


Jawaban(b) Sebuah objek yang bergerak dalam lintasan lurus punya atau tidakmempunyai momentum angular, tergantung pada letak sumbu rotasi.


A





•MenggelindingF

dengan dan

Jika torka eksternal yang berkerja nol maka

Kekekalan Momentum Angular

τEXTddt

= LτEXT EXT= ×r FL r p= ×

τEXTddt

= =L 0


A


•Momentum Sudut C

•Kekekalan Momentum Sudut/Angular

D


•MenggelindingF

konstan=L

Contoh Aktif

Pertunjukan Bintang: Hitunglah Laju Angular

Sebuah bintang dengan jejari R = 2,3 x 108 m berputar dengan lajuangular ω = 2,4 x 10-6 rad/s. Jika bintang ini runtuh hingga mempunyaijejari 20,0 km, tentukanlah laju angular akhir bintang ini? (Perlakukanbintang sebagai bola serba sama, dan asumsikan bahwa saat bintangtersebut runtuh, tak ada massa yang hilang.)


A


•Momentum Sudut C


D


•MenggelindingF

Contoh Aktif

Solusi (Uji pemahaman anda dengan mengerjakan perhitungan sepertiyang diindikasikan pada setiap langkah.)

1. Terapkan kekekalan momentum:

2. Tulislah ekspresi momentum inersiaawal dan akhir:

3. Selesaikan agar diperoleh lajuangular akhir:

4. Substitusikan semua nilai numerik:

ffii II ωω =

252

ii MRI =

( ) ( ) ifiifif RRII ωωω 22==

rad/s320=fω

dan 252

ff MRI =


A


•Momentum Sudut C


D


•MenggelindingF

Contoh Aktif

Insightlaju angular akhir ini berkorelasi dengan periode sekitar 20 ms,umumnya (tipikal) periode pulsar. Karena 320 rad/s adalah sekitar 3000rpm, sebuah pulsar, massanya sekitar massa bintang, berputar secepatmesin dalam mobil balap.


A


•Momentum Sudut C


D


•MenggelindingF

Contoh Aktif

Giliran AndaPada radius berapakah periode rotasi bintang akan sama dengan 15 ms?


A


•Momentum Sudut C


D


•MenggelindingF

Contoh Aktif

Momentum Angular Kekal: Hitunglah laju Angular

Seorang anak bermassa 34,0 kg berlari dengan laju 2,80 m/s sejajardengan sisi luar sebuah merry-go-round yang diam. Merry-go-round inimempunyai moment inersia 512 kg.m2 dan jejari 2,31 m. Ketika sanganak telah melompat ke merry-go-round, seluruh sistem mulaiberputar. Berapakah laju angular sistem?


A


•Momentum Sudut C


D


•MenggelindingF

Contoh Aktif

Solusi (Uji pemahaman anda dengan mengerjakan perhitungan sepertiyang diindikasikan pada setiap langkah.)

1. Tulislah momentum angular awal sang anak:

2. Tulislah momentum angular akhir sistem:

3. Buatlah dan dapatkan lajuangular:

4. Substitusikan nilai numerik:

rmvLi =

( )ω2mrILf +=

fi LL = ( )2mrIrmv +=ω

rad/s317,0=ω


A


•Momentum Sudut C


D


•MenggelindingF

Contoh Aktif

InsightJika momen inersia merry-go-round nol, , laju angular menjadi

. Hal ini berarti laju linear anak tadi, , tak berubah.Tetapi, jika laju linear anak berkurang. Pada kasus ini, laju linearanak setelah tumbukan hanya .

0=Irv=ω ωrv =

0>Im/s733,0== ωrv


A


•Momentum Sudut C


D


•MenggelindingF

Contoh Aktif

Giliran AndaBerapakah laju awal anak tadi, jika setelah mendarat di merry-go-roundia membutuhkan waktu 22,5 s untuk menempuh satu putaran penuh?


A


•Momentum Sudut C


D


•MenggelindingF

Suatu cakram bermassa M dan berjejari R berputarmengelilingi sumbu z dengan kecepatan angular ωi. Cakram kedua yang identis, awalnya tidak berputar, dijatuhkan pada cakram pertama. Karena gesekanantara kedua cakram, akhirnya kedua cakrambergerak dengan kecepatan angular ωf.

Contoh: Dua cakram

ωi

z

ωf

z


A


•Momentum Sudut C


D


•MenggelindingF

Karena tidak ada gaya luar yang bekerja pada keduacakram maka

momentum angular konstan.

Awalnya, total momentum angular adalah momentum angular cakram yang di bawah:

Contoh: Dua cakram

ii MRL ωω 211 2

1I ==

2

1

ωi

z


A


•Momentum Sudut C


D


•MenggelindingF

Karena tidak ada gaya luar yang bekerja pada keduacakram maka

momentum angular konstan.

Akhirnya, total momentum angular kedua cakram yang berputar adalah:

Contoh: Dua cakram

ff MRL ωωω 22211 II =+= 2

1

ωf

z


A


•Momentum Sudut C


D


•MenggelindingF

Karena Li = Lf

Contoh: Dua cakram

Li Lf

fi MRMR ωω 22

21

=

if ωω21

=Tumbukan tidak elastis ketikaE tidak kekal (gesekan).

ωi

z

ωf

z


A


•Momentum Sudut C


D


•MenggelindingF

Seorang siswa duduk di bangku yang berputarsambil memegang beban pada kedua tangannyayang terentang. Total momen inersia sistem adalahIi, dan berputar dengan laju angular ωi. Siswa tadimenarik tangannya mendekat ke badan sehinggamomen inersia berkurang menjadi If. Laju angular akhir ωf?

Contoh: Bangku berputar

ωi

Ii

ωf

If


A


•Momentum Sudut C


D


•MenggelindingF

Sekali lagi, tidak ada torka luar yang bekerja padasistem siswa dan bangku, maka momentum angular kekal.

Awal : Li = Iiωi

Akhir : Lf = If ωf

Contoh: Bangku berputar…

f

i

i

f

II

=ωω

ωi

Ii

ωf

If

LiLf


A


•Momentum Sudut C


D


•MenggelindingF

Siswa duduk di bangku yang dapat berputar bebas dan berputar dengan kecepatan angular ω1 konstan. Dia menarik tangannya ke dalam, dan berpengaruh pada kekekalan momentum angular sehingga kecepatan angular naik menjadi ω2. Bagaimana dengan energi kinetik: (a) naik (b) turun (c) tetap sama

Momentum Angular

ω1 ω2

I2I1

L L


A


•Momentum Sudut C


D


•MenggelindingF

L kekal:

Solusi

IL

IK22

1 22 == ω (gunakan L = Iω)

K2 > K1 K naik !

ω1 ω2

I2I1

L L

I2 < I1


A


•Momentum Sudut C


D


•MenggelindingF

Ketika siswa harus menarik tangan menuju badan-nya, dia harus melakukan kerja positif!

Teorema kerja/energi kinetik menyatakan bahwa hal tersebut akan meningkatkan energi kinetik sistem!

Solusi

ω1

I1

ω2

I2

L L


A


•Momentum Sudut C


D


•MenggelindingF


Membandingkan Energi Kinetik

Seorang skater menarik lengannya ke dalam hingga mengurangimomen inersianya dengan faktor 2, dan melipat-duakan lajuangularnya. Apakah energi kinetik akhir skater ini (a) sama dengan, (b)lebih dari, atau (c) kurang dari energi kinetik mula-mula?


A


•Momentum Sudut C


D


•MenggelindingF


Alasan dan PembahasanMarilah kita hitung dan bandingkan energi kinetik awal dan akhir skaterini. Energi kinetik awal adalah

Setelah menarik lengannya ke dalam, skater mengurangi momentinersianya menjadi setengah nilai awal dan melipat-duakan laju angular.Dengan demikian, energi kinetik akhirnya adalah

Demikianlah, kenyataan bahwa K tergantung pada kuadrat ωmenyebabkan peningkatan energi kinetik. Sumber dari tambahan energiini adalah kerja yang dilakukan oleh otot di lengan skater saat diamenarik lengannya kearah badan.

.21 2

iii IK ω=

( )( ) ( ) .222221

21 2

2122

iiiiifff KIIIK ==== ωωω


A


•Momentum Sudut C


D


•MenggelindingF


Jawaban(b) Energi kinetik skater bertambah.


A


•Momentum Sudut C


D


•MenggelindingF

Giroskop•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar

A


•Momentum Sudut C



•MenggelindingF

Gerak Giroskop

Frekuensi rotasi roda

Moment inersia roda terhadapsumbu rotasi

Perubahan momentum angular

Kecepatan angular presisi

Sepatu Roda•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar

A


•Momentum Sudut C



•MenggelindingF

Roda dapat menggelinding

Terkadang roda meluncur

Roda berputar dengan kecepatan tertentu

Pusat massa roda bergerak dengan kecepatantertentu

56

Pengamatan Sepatu Roda•Torka •Torka dan Percepatan Sudut pada Benda Tegar

A


•Momentum Sudut C



•MenggelindingF

Silinder dengan I tertentu menggelinding turun disuatu bidang miring:

57

Gerak Menggelinding

h

v = 0

ω = 0 K = 0

R∆K = - ∆U = Mgh

22

21I

21

MvK += ω

v = ωR

M


A


•Momentum Sudut C



•MenggelindingF

Jika tidak selip/tergelincir:

58

Menggelinding...

v 2v

Lantai sebagai acuan

v

Pusat massa sebagai acuan

v

dengan v = ωR

ω


A


•Momentum Sudut C



•MenggelindingF

59

Menggelinding...

22

21

I21

MvK += ω

( ) 2222 121

21

21

MvcMvcMRK +=+= ω

Gunakan v = ωR dan I = cMR2 .

Sehingga: ( ) MghMvc =+ 2121

11

2+

=c

ghv


A


•Momentum Sudut C



•MenggelindingF

Secara umum, variabel rotasi adalah vektor (mempunyai arah)

Jika bidang rotasi berada pada bidang x-y, aturannya adalah

Berputar CCW mempunyai arah sumbu + z

Berputar CW mempunyaiarah sumbu - z

60

Arah Gerak

x

y

z

x

y

z


A


•Momentum Sudut C



•MenggelindingF

Counter clockwise (CCW)

Clockwise (CCW)

Untuk mencari arah vektor rotasi, lengkungan jari-jari menunjukkan arah benda berputar, dan ibu jarimenunjukkan arah vektor rotasi!

Umumnya sumbu z digunakan menunjukan arahrotasi. θ = θz

ω = ωz

α = αz

61

Arah Rotasi: Aturan Tangan Kanan

x

y

zx

y

z


A


•Momentum Sudut C



•MenggelindingF

Sebuah piringan berputar dengan kecepatan angular awal ω0 sebesar 500 rad/s. Pada t = 0 piringan mulaimelambat dengan perlambatan 0.5 rad/s2. Berapalamakah waktu yang diperlukan hingga piringanberhenti?

62

Contoh•Torka •Torka danPercepatan Sudutpada Benda Tegar

A


•Momentum Sudut C



•MenggelindingF

Sebuah piringan berputar dengan kecepatan angular awal ω0 sebesar 500 rad/s. Pada t = 0 piringan mulaimelambat dengan perlambatan 0,5 rad/s2. Berapalamakah waktu yang diperlukan hingga piringanberhenti?

Didapatkan α = - 0,5 rad/s2

Gunakan dengan kondisi ω = 0

Sehingga

63

Contoh

tαωω += 0

αω0−=t

min7,161000/5,0/500

2 === ssradsradt

ω

α


A


•Momentum Sudut C



•MenggelindingF

Sebuah bola menggelinding di lantai, bola tersebutnaik pada bidang miring seperti pada gambar. Kemana arah vektor percepatan angular ketika bola naik ke bidang miring?

(a) Menurun bidang miring

(b) Masuk bidang gambar

(c) Keluar bidang gambar

64

Rotasi


A


•Momentum Sudut C



•MenggelindingF

Ketika bola berada di bidang miring, bola berputarsearah jarum jam tetapi percepatan linear a selalumengarah ke bawah (gravitasi)

Karena itu, dengan aturan tangan kanan, diperolehα keluar bidang gambar!

65

Rotasi…

vα


A


•Momentum Sudut C



•MenggelindingF

Seutas benang dililitkan mengelilingi suatu cakrambermass M dan berjejari R. Cakram awalnya diam dipermukaan datar licin (lihat gambar). Benang ditarikdengan gaya F dan tidak selip di cakram.

Berapakah panjang benang (L) yang telah dilepaskan setelah cakram bergerak sejauh D?

66

Rotasi pada Sumbu Bergerak

FR

M


A


•Momentum Sudut C



•MenggelindingF

Pusat massa bergerak sesuai dengan F = Ma

Perpindahan pusat massa

Cakram akan berputar mengelilingi pusat massa sesuai dengan τ = Iα

67

Rotasi pada Sumbu Bergerak...

MFa =

22

221 t

MFatD ==

MRF

MR

RF 2

21I 2

===τα


A


•Momentum Sudut C



•MenggelindingF

Sehinga perpindahan angular

68


aα

2

21

I MR=

22

21 t

MRF

==θ αt

FR

M


A


•Momentum Sudut C



•MenggelindingF

Sehingga diketahui perpindahan pusat massa dan sudut rotasi sebagai fungsi waktu

Bagi (2) dengan (1):

69


2

2t

MF

D = 2tMRF

=θ(1) (2)

RD2

=θ

DR 2=θ

Panjang benang ditarik L = Rθ: DL 2=

FD

θ


A


•Momentum Sudut C



•MenggelindingF

Sebuah benda bermass M, jari-jari R, dan momen inertia I menggelinding tanpa selip menuruni bidang miring dengan kemiringan θ terhadap horizontal. Berapakah percepatanya?

Gerak pusat massa dan gerak rotasi benda diselesaikan secara terpisah...

70

Menggelinding

θ

R

I

M


A


•Momentum Sudut C



•MenggelindingF

Gaya gesek Statis f menyebabkan bendamenggelinding, belum diketahui, harus diselesaikan.

Pertama perhatikan diagram benda bebas dangunakan

FNET = MaCM :Pada arah x Mg sin θ - f = Ma

Sekarang perhatikan rotasi terhadap pusat massadan gunakan τ = Iα bahwa

τ = Rf dan A = αR

71

Menggelinding...

RaIRf = 2R

aIf =

M

θ

f

Mg


A


•Momentum Sudut C



•MenggelindingF

Ada dua persamaan:

Kombinasikan untuk mengeliminasi f:

Untu bola:

72

Menggelinding...

2RaIf =

+

θ=

IMR sinMRg 2

2

a

θ=

+

θ= sin

MRMR

sinMRg22

2

ga75

52

mafMg =-θsin

a

θ

R

I

M


A


•Momentum Sudut C



•MenggelindingF

Dua silinder pejal seragam dari alumunium dibuatdengan bantuan mesin. Satu silinder mempunyaijejari dua kali jejari yang lain.

Jika keduanya diletakkan di puncak bidang miring yang sama dan dilepaskan, manakah yang bergerak lebih cepat saat berada di dasar bidangmiring?

(a) yang besar

(b) yang kecil

(c) sama

73

Rotasi


A


•Momentum Sudut C



•MenggelindingF

Perhatikan salah satu. Misalkan mempunyai jari-jariR, bermassa M dan bergerak dari ketinggian H

Kekekalan Energi

74

Rotasi…

H

- ∆U = ∆K 22

21

I21

MVMgH += ω

2

21

I MR=RV

=ωtetapi dan

22

22

21

21

21

MVR

VMRMgH +

=

222

43

21

41

MVMVMVMgH =+=


A


•Momentum Sudut C



•MenggelindingF

75

Rotasi…

2

43

MVMgH =Sehingga: 2

43

VgH =

gHV34

=

Maka, (c) tidak tergantung ukuran,

Selama bentuknya sama !!


A


•Momentum Sudut C



•MenggelindingF

Sebuah bola bowling bermassa M dan jari-jari Rdilempar dengan kecepatan awal v0. Awalnya tidakberputar. Setelah meluncur dengan gesekan kinetiksepanjang lintasan sejauh D bola menggelinding danmempunyai kecepatan baru sebesar vf. Koeficiengesek kinetik antara bola dan lintasan sebesar µ. Berapakan kecepatan akhir, vf, bola?

76

Meluncur ke Menggelinding

vf= ωRω

f = µMg

v0

D


A


•Momentum Sudut C



•MenggelindingF

Ketika meluncur, gaya gesek akan mempercepatbola pada arah sumbu x: F = -µMg = Masehingga a = -µg

laju bola v = v0 - µgt (1)

Gesekan memberikan torque pada pusat massabola.Menggunakan τ = Iα dan ingat I = 2/5MR2 untuk bola pejal berotasi pada sumbu melalui pusat massa:

77

Meluncur ke Menggelinding...

αµτ 2

52

MRMgR ==Rg

25µα =

tRg

t2

50

µαωω =+= (2)


A


•Momentum Sudut C



•MenggelindingF

Menggunakan (2) dapat diselesaikan t sebagai fungsi ω:

Masukkan ke (1) dan menggunakan vf = ωR (kondisi untuk menggelinding tanpa meluncur):

78

Meluncur ke Menggelinding...

gR

tµω

52

=

075

vv f = Tidak tergantung pada µ, M, g!!

x

vf= ωRω

f = µMg

v0

D


A


•Momentum Sudut C



•MenggelindingF

Sepasang massa digantungkan melalui sebuah katrol besar berbentuk cakram.

Carilah percepatan kotak Untuk massa tergantung F = ma

-m1g + T1 = -m1a

-m2g + T2 = m2a

Untu katrol

79

Mesin Atwoods dengan KatrolBermassa

Ra

I I== ατ

MRaRa

21

IRT - RT 21 ==

2

21

I MR=(Karena untuk cakram)

m2m1

R

M

y

x

m2g

aT1

m1g

a

T2

α


A


•Momentum Sudut C



•MenggelindingF

Ada tiga persamaan dengan tiga variabel yang tidakdiketahui (T1, T2, a). Selesaikan untuk a.

-m1g + T1 = -m1a (1)

-m2g + T2 = m2a (2)

(3)

80

Mesin Atwoods dengan KatrolBermassa

gMmm

mma

++

−=

221

21

Ma21

T - T 21 =

m2m1

R

M

y

x

m2g

aT1

m1g

a

T2

α


A


•Momentum Sudut C



•MenggelindingF

10. Mek - Dinamika Gerak Rotasi

Documents

Transcript of 10. Mek - Dinamika Gerak Rotasi