BAB 10

PERILAKU DINAMIK SISTEM ORDE SATU

10.1 Sistem Orde Satu

Sistem orde satu adalah proses yang keluarannya mengikuti persamaan differensial orde satu.

a ₁dydt

+a ₀ y=¿ b f(t) ...(10.1)

f(t) adalah masukan. Jika a₀ ≠ 0, persamaan (10.1) dapat ditulis:

a ₁a ₀

dydt

+ y= ba ₀

f(t)

a ₁a ₀

=τ p b

a ₀=Kp

Sehingga persamaan (10.1) menjadi:

τ pdydt

+ y = Kp f(t) ...(10.2)

τ p disebut konstanta waktu proses dan Kp disebut pembesaran keadaan tunak (steady state gain atau static gain).

Kondisi awal proses jika persamaan dinyatakan dalam variabel penyimpangan adalah:

y(0) = 0 f(0) = 0

Persamaan (10.2) diubah menjadi fungsi transfer proses orde satu:

G(s) = y (s )f (s )

= Kp

τ p s+1 ...

(10.3)

Contoh dalam matematis:

Laju akumulasi = Laju alir masuk – Laju alir keluar

dMdt

=M i-M₀

Massa merupakan hasil kali dari densitas dengan volume, sehingga:d [ ρ .V ]

dt= ρ. Fi−ρ . F ₀

Tidak ada perubahan densitas per satuan waktu, sehingga:

ρ .dFdt

=ρ ¿Fi-F₀]

d [ A .h ]dt

=Fi – F0

A .dhdt

+h .dAdt

= F i – F0

Tidak ada perubahan luas permukaan terhadap waktu, sehingga:

A .dhdt

=Fi – F0

F ₀= hR

A∗dh(t)dt

= F i - hR

...(tidak tunak)

A∗dh(s)dt

= F is - h sR

...(tunak)

A .dh(t)

dt - A .

dh(s )dt

= F i - F is - hR

+ h sR

A.¿ - dh(s)

dt¿ = F i - F is –(

h−h sR

¿

A.dhdt

=¿Fi(t) - h(t)

R

τ=A∗R

A*dhdt

=¿Fi(t) - h(t)

R

A*R .dhdt

=¿Fi(t) * R – h(t)

τ s1 * h(s) = Fi (s) * R – h (s)

Fungsi transfer orde pertama = K p

(τ∗s)+1 =

R(τ∗s)+1

τ s * h(s) + h(s) = Fi (s) * R

( τs + 1) * h(s) = Fi (s) * R

h(s) = R

(τs+1) * Fi(s)

h(s) = Kp

(τs+1) * Fi(s)

10.2 Proses-Proses yang Dimodelkan sebagai Sistem Orde Satu

Proses orde satu dicirikan oleh:

1. kemampuan menyimpan material, energi atau momentum,

2. memiliki tahanan terhadap aliran massa, energi, momentum.

Respons dinamik tangki yang memiliki kemampuan menyimpan cairan atau gas mengikuti model orde satu. Tahanannya mewakili pompa, perpipaan, kerangan, bendungan, baik dalam aliran masuk maupun keluar. Padatan, cairan ataupun gas yang dapat menyimpan kalor (kapasitas kalor, cp), juga mengikuti model orde satu. Tahanannya terkait dengan perpindahan kalor melalui dinding, gas maupun cairan. Proses-proses yang memiliki kemampuan menyimpan massa atau energi dan dapat bertindak sebagai penyangga (buffer) antara aliran masuk dengan aliran keluar.

Proses dalam pabrik kimia umumnya adalah sistem orde satu dengan keterlambatan, yang memiliki kemampuan terutama menyimpan massa maupun energi.

10.3 Respons Dinamik Pure Capasitive ProcessFungsi transfer pure capasitive process diberikan pada persamaan:

Transformasi Laplace

Kps

...(10.4)

Bagaimana y(t) berubah terhadap waktu, jika f(t) mendapat gangguan unit step, f(t) = 1, untuk t > 0

Untuk gangguan fungsi tangga satuan (unit step):

f(s) = 1s

Dari persamaan (10.4):

y(s) = Kps ²

Inversi persamaan terakhir:

y(t) = Kp t

Tampak bahwa keluaran membesar secara linier terhadap waktu, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 10.3 dan: t →∞ y(t) → ∞

Respons pada Gambar 10.3, menunjukkan karakteristik pure capasitive process, yang diberi nama pure integrator karena bertindak sebagai integrator antara keluaran dengan masukan.

Gambar 10.3 Respons pure capasitive process

Sebuah pure capasitive process akan menyebabkan persoalan pengendalian yang rumit, karena tidak memiliki kemampuan mengatur sendiri. Setiap perubahan pada aliran masuk akan mengakibatkan tangki banjir atau kosong. Sifat ini dikenal sebagai non-self-regulation (tidak memiliki kemampuan mengatur sendiri).

Proses yang bersifat sebagai pure integrator, yang paling umum dijumpai di pabrik kimia adalah tangki berisi cairan, tangki gas, sistem penyimpanan bahan baku atau produk dan sebagainya.

y(t)

t

Kp