Bab 1 Sinyal dan Sistem∗

Tujuan Pembelajaran

Peserta mengenal konsep Sinyal Waktu Diskrit dan WaktuKontinu:

1. Peserta mengenali sinyal di alam serta pemodelannyasebagai fungsi

(a) Peserta dapat melakukan transformasi Waktudari Sinyal, mende�nisikan sinyal periodik, sinyalganjil, genal, serta dapat memeriksa periodisitas.

(b) Peserta mengetahui model sinyal periodik: sinu-soidal dan eksponensial, serta penyusunan sinyalperiodik dari kedua sinyal ini.

(c) Peserta mengetahui sinyal unit implus dan danunit step, serta penyusunan sinyal dari kombinasikedua sinyal ini.

2. Peserta dapat memodelkan sistem secara waktu diskritdan waktu kontinu sebagai persamaan input/output

(a) Peserta mengenali sistem dalam alam serta mod-elnya (persamaan I/O)

(b) Peserta dapat menghitung respons sistem ter-hadap sebuah input

(c) Peserta mengenali jenis-jenis sistem berdasarkanperilaku/sifat dasarnya, serta memeriksa sifatdasar nya

(d) Peserta dapat menentukan luaran sistemberdasarkan sifat dasarnya.

1 Konteks dan Latar Belakang

Sinyal dan sistem perlu dipahami dalam tiga konteks re-alitas: realitas yang di alami pancaindera, realitas yangdituangkan dalam bahasa, dan realitas yang dibangun didunia maya (realitas digital) seperti diperlihatkan padaGambar 1.Ada dua elemen dalam memahami realitas: (i) stimulus

dan (ii) entitas penghasil stimulus. Stimulus ini dimod-elkan sebagai sinyal, dan entitas dimodelkan sebagai sistem.Dalam realitas yang dialami pancaindera (realitas alamiah),stimulus harus memiliki tingkat energi minimal tertentu un-tuk bisa dideteksi indera. Stimulus dengan tingkat ener-gi rendah dapat dilalukan pada entitas (sistem/instrumen)yang memperkuat energi stimulus sehingga dapat terdeteksiindera.

∗©2012 Armein Z R Langi, STEI ITB. v 12.05 alpha

Fig. 1: Konteks sinyal dan sistem dalam tiga realitas

Untuk memfasilitas pemahaman manusia tentang real-itas, trerdapat realitas yang dideskripsikan ke dalam ba-hasa. Di dalam realitas yang berada dalam pikiran manusiaini, stimulus menjadi peristiwa (event). Selanjutnya enti-tas menjadi sistem dengan perubahan keadaan yang meng-hasilkan peristiwa tersebut. Realitas bahasa yang lebihkhusus menggunakan logika, matematika dan pemodelan.Pemodelan dapat diterima apabila prediksi perilakunya da-pat dikon�rmasi pada realitas alamiah.

Berbekal realitas alamiah dan realitas bahasa (khususnyamodel matematis), kita dapat membangun realitas mayaberbasis komputasi. realitas ini merupakan hybrid dari re-alitas alamiah dan bahasa. Komputer (hardware) adalahinstrumen yang berada pada realitas alamiah, tapi peri-lakunya ditentukan program (software) yang adalah sistemdi realitas bahasa.

Tujuan akhir dari kuliah sinyal sistem adalah membekalipeserta dengan pengetahuan dan kemampuan untuk dap-at membangun realitas baru (alamiah, bahasa, dan maya)untuk meningkatkan kualitas hidup manusia.

2 Ringkasan Konsep Sinyal dan Sistem

Tabel 1 meringkas konsep sinyal dan sistem. Konsep sinyaldari sistem dibangun dari berbagai persepektif, seperti per-spektif �sik (alamiah), bahasa, visual 2D, matematika (real,kompleks), dan instrumen komputer.

Sinyal adalah model dari besaran �sik yang berubah ter-hadap waktu. Besaran ini bisa dideteksi dengan alat ukur

1

3 Jenis Sinyal 2

Tab. 1: Ringkasan Sinyal dan sistemRealitas Dunia Energi Kontinu Dunia Bahasa Diskrit Dunia Maya Digital

Elemen Stimulus Entitas Event Entitas Data Proses

Komputasi

Fisik Energi

(berubah)

Pengubah

Energi

Peristiwa Keadaan /

State /

Penyebab

Peristiwa

Data Bit +

Jaringan

Prosesor +

Algorima +

Memori

Bahasa Sinyal Sistem Sinyal Sistem Sinyal Sistem

Visual 2D

Matematika (Real) Fungsi kontinu

s (t)

Persamaan

I/O +

Di�erential

Equations

Deret s [n] Persamaan

I/O +

Di�erence

Equations

Bilangan {1,

3, 2, 7,...}

Algoritma

Matematika

(Real-Kompleks)

Fourier CT Fourier CT Fourier DT Fourier DT DFT/FFT DFT/FFT

Filter /

Goertzel

Matematika

(Kompleks)

Laplace Laplace Z Z

Instrumen

(Elektro/nik,

Komputer)

Microphone,

Camera

Filter Analog;

Converters;

Modem

Filter Digital;

Samplers;

Modem

Network,

Terminal

Computers,

DSP, Gadgets

apabila ia memiliki cukup energi E. Agar dinamika sumbersinyal bisa diamati, maka sinyal perlu merambat, menem-bus medium (yakni sistem), untuk tiba di tempat pengamat.Namun medium seringkali bersifat resistif, mengambil ener-gi dari sinyal, sehingga tidak banyak lagi energi yang tersisauntuk diamati di tempat penerima.

Sifat peredaman medium ternyata bergantung dari se-buah besaran yang disebut frekuensi. Setiap sinyal memili-ki karakteristik frekuensi. Bisa dikatakan energi dari sinyaldibawa secara efektif oleh komponen berfrekuensi tertentu.Setiap medium juga memiliki karakteristik frekuensi, yangdisebut respons frekuensi (frequency response) dari medi-um ini. Kecocokan antara karakteristik frekuensi sinyaldan respon frekuensi medium menentukan apakah sinyalberhasil merambat untuk tiba di pengamat dengan ener-gi yang cukup untuk diukur atau tidak. Sifat medium yangmenapis atau melalukan sinyal berdasarkan karakteristikfrekuensi disebut �lter.

Dengan hadirnya komputer, yang merupakan teknologidigital, maka sinyal dapat direpresentasikan sebagai datakomputer. Sinyal yang berupa data komputer ini disebutsinyal digital. Sebuah alat yang disebut analog to digital

converter (ADC) dapat mengubah sinyal analog menjadisinyal digital. Karakteristik utama sinyal digital adalahvaribel independen dari sinyal digital tidak lagi waktu kon-tinu, melainkan waktu diskrit (discrete time).

Sinyal digital juga merambat secara digital melalui sistemkomputer dan jaringan data. Sistem digital ini menjadimedium bagi sinyal digital, dan juga memiliki karakteristikfrekuensi. Sehingga medium digital ini adalah juga �lter,tepatnya �lter digital.

3 Jenis Sinyal

Sinyal dapat dikategorikan ke dalam berbagai jenis, sepertidiperlihatkan pada Gambar 2.

3.1 Sinyal Waktu Kontinu dan WaktuDiskrit

Secara umum sinyal analog dimodelkan sebagai besaranx(t), yaitu besaran yang berubah terhadap waktu kontinut. Sedangkan sinyal digital dimodelkan sebagai x[n], yaitubesaran yang berubah terahap indeks (waktu) diskrit n.Arus listrik misalnya sebagai besar muatan listrik yang

bergerak dalam satuan waktu (i(t) = ddtQ(t) Ampere) mem-

bawa energi, sehingga bisa diukur. Bila arus sebesar inimenembus sebuah entitas hambatan (resistor) sebesar Rohm, maka dalam durasi waktu[t1, t2] resistor ini mendisi-pasi energi sebesar

E =

ˆ t2

t1

i2(t)Rdt (1)

Resistor ini dimodelkan sebagai sistem yang mengubah kan-dungan energi dari sinyal i(t).Besaran listrik lain yang umum dikenal adalah tegan-

gan listrik (v(t) = i(t)R). Kita dapat mende�nisikan dayalistrik sebagai P (t) = v(t)i(t). Bagi kasus beban resistif,energi yang dibawa arus listrik adalah

E =

ˆ t2

t1

1

Rv2(t)dt =

ˆ t2

t1

v(t)i(t)dt =

ˆ t2

t1

P (t)dt (2)

Dalam konteks ini, baik arus listrik (i(t)) maupun tegan-gan listrik (v(t)) dipandang sebagai sinyal yang membawa

3 Jenis Sinyal 3

Fig. 2: Kategori jenis sinyal.

informasi mengenai sumber dari energi yang dibawanya. Di-namika berubahnya sinyal terhadap waktu mencerminkandinamika sumber dari sinyal itu.Perhatikan bahwa bila resistor bernilai 1 Ohm, maka en-

ergi yang didisipasi adalah

E =

ˆ t2

t1

v2(t)dt (3)

dengan daya

P =1

t2 − t1

ˆ t2

t1

v2(t)dt (4)

Sinyal listrik seperti v(t) dan i(t) adalah besaran denganvariabel independen waktu yang kontinu (continuous time).Sinyal ini dapat digambarkan seperti gelombang, di manasemakin kuat sinyal ini semakin besar gelombangnya. Be-sar energi yang dibawa sinyal dicerminkan oleh besar gelom-bang. Sinyal gelombang yang berubah terhadap waktu yangkontinu ini disebut sinyal analog.Sinyal analog disebut membawa energi sebesar

E =

ˆ t2

t1

x2(t)dt (5)

dengan daya

P =1

t2 − t1

ˆ t2

t1

x2(t)dt (6)

Dengan meminjam analogi yang sama, energi yangdibawa sebuah sinyal digital selama durasi indeks waktu[n1, n2] dide�nisikan sebagai

E =

n2∑n=n1

x2[n] (7)

dengan daya

P =1

n2 − n1 + 1

n2∑n=n1

x2[n] (8)

Dalam praktek dikenal besaran root mean square (rms)untuk sinyal x(t) dalam durasi waktu[t1, t2] dengan de�nisi

xrms ≡

√1

t2 − t1

ˆ t2

t1

|x(t)|2 dt (9)

dan untuk besaran digital dalam durasi indeks [1, N ]

xrms =

√√√√ 1

N

N∑n=1

|x[n]|2 (10)

Cari xrms dari x(t) = a cos(ωt)Karena x(t)2 = a2 cos2 (ωt) = a2( 12 + 1

2 cos (2ωt)), maka

xrms = a/√2.

Perhatikan bahwa untuk sinyal baik analog maupun dig-ital berlaku

P = x2rms (11)

Untuk bisa memahami bagaimana �lter bekerja �yaknimeredam atau memperkuat energi sinyal dalam medium�kita perlu mende�nisikan dahulu karakteristik frekuensidari sinyal, baik sinyal analog maupun sinyal digital.

3.2 Transformasi Waktu Sinyal

3.2.1 Sinyal Periodik

Karena medium cenderung menyerap energi sinyal, ma-ka sinyal yang berhasil diamati biasanya sinyal memilikikemampuan men-sustain energi dalam durasi yang cukuplama. Karena kapasitas sumber energi itu sendiri cukup ter-batas, maka strategi yang dipilih adalah mengulang-ulangpengiriman energi secara berkala. Sinyal bentuk ini bersifatperiodik.Sinyal analog disebut periodik bila ada sebuah konstanta

T (yang disebut periode dasar atau fundamental) sehinggauntuk −∞ < t <∞ berlaku

x(t+ T ) = x(t) (12)

3 Jenis Sinyal 4

Sinyal digital disebut periodik bila ada konstanta N (yangdisebut periode dasar atau fundamental) sehingga untuk−∞ < n <∞ berlaku

x([n+N ] = x[n] (13)

Sinyal periodik memiliki energi tak terhingga karenadurasi sinyal yang tak terhingga. Namun demikian sinyalini dapat memiliki daya terbatas, yakni

P =1

T

ˆ T

0

x2(t)dt = x2rms (14)

dan

P =1

N

N−1∑n=0

x2[n] = x2rms (15)

Jadi sinyal periodik adalah sinyal daya.

3.2.2 Sinyal Genap dan Ganjil

Sinyal simetri adalah sinyal yang memiliki besaran yangserupa menurut cerminan waktu. Ada dua jenis sinyalsimetri: sinyal ganjil dan sinyal genap. Sebuah sinyal CTdisebut ganjil bila

x (t) = −x (−t) (16)

dan pada kasus DT

x [n] = −x [−n] (17)

Sinyal CT dan DT yang bersimetri genap masing-masingmemenuhi persamaan

x (t) = x (−t) (18)

x [n] = x [−n] (19)

Sebuah sinyal x (t) dapat diuraikan menjadi dua sinyalganjil xo (t) dan genap xe (t) menurut

xo (t) =1

2[x (t)− x (−t)] (20)

xe (t) =1

2[x (t) + x (−t)] (21)

Perhatikan bahwa xo (t) ganjil karena memenuhi Per-samaan (16). Selanjutnya xe (t) genap karena memenuhiPersamaan (18). Kemudian dengan mudah diperlihatkan

x (t) = xo (t) + xe (t) (22)

Dengan cara yang sama sinyal x [n] dapat diuraikan men-jadi dua sinyal ganjil xo [n] dan genap xe [n].

3.3 Sinyal Sinusoidal dan SinyalEksponensial

3.3.1 Sinusoidal

Sinyal periodik yang banyak dikenal orang adalah sinyalsinusoidal, seperti untuk kasus sinyal analog

x(t) = A cos (ωt+ θ) = A cos (2πft+ θ) (23)

dimana A, ω = 2πf dan θ adalah bilangan nyata (re-al). Sinyal ini periodik dengan periode T = 1/f . Periodeini menjadi panjang gelombang. Besaran ω dan f masing-masing dikenal sebagai frekuensi sinyal sinusoidal dalam ra-dian dan dalam Hertz. Besaran θ sering disebut fase darisinyal sinusoid. Besaran A disebut amplituda.

Latihan: Buktikan bila T = 1/f , x(t) pada Pers. (23) peri-odik.

Bukti: x(t + T ) = A cos (2πf(t+ T ) + θ) =A cos (2πft+ 2πfT + θ)

Bila T = 1/f , maka

x(t+ T ) = A cos (2πft+ 2π + θ) = A cos (2πft+ θ) =x(t)

Sinyal digital juga mengenal bentuk sinuosidal

x[n] = A cos (ωn+ θ) = A cos (2πfn+ θ) (24)

namun sinyal ini tidak selalu periodik. Sinyal ini hanyaperiodik dengan periode N bila f = k

N adalah pecahanyang sudah disederhanakan.

Latihan Buktikan bila f = kN adalah pecahan yang sudah

disederhanakan, maka x[n] pada Pers. (24) periodikdengan periode N .

Bukti: x[n + N ] = A cos(2π k

N (n+N) + θ)

=

A cos(2π k

N n+ 2πk + θ)

Karena f = kN , maka

x[n + N ] = A cos(2π k

N n+ θ)= A cos (2πft+ θ) =

x[n]

Frekuensi dari sinyal sinusoidal digital memiliki sifat pe-riodik. Sinyal dengan frekuensi ω1 dan ω2 = ω1 + 2πk(k = · · ·−2,−1, 0, 1, 2, · · · ) adalah identik. Jadi sinyal sinu-soidal dengan frekuensi yang unik adalah sinyal sinuosidalyang memiliki frekuensi −π < ω < π. Sinyal sinusoidal pa-da frekuensi ω2 di luar interval ini merupakan alias (identik)dengan ω1 di mana −π < ω1 < π dan ω2 = ω1 + 2πk.

Latihan: Buktikan x1[n] = A cos (ωn+ θ) identik denganx2[n] = A cos ((ω + 2πk)n+ θ)

Bukti: x2[n] = A cos ((ω + 2πk)n+ θ) =A cos (ωn+ 2πkn+ θ) = A cos (ωn+ θ) = x1[n]

Sebagai sinyal periodik, energi sinyal sinusoidal tak terhing-ga. Daya sinyal sinusoidal adalah

3 Jenis Sinyal 5

P =1

T

ˆ T

0

A2 cos2(ωt+ θ)dt (25)

P = A2/2 (26)

Hasil yang sama diperoleh juga untuk sinusoidal digitalperiodik. Dapat disimpulkan, besar daya dari sinyal sinu-soidal diperlihatkan oleh besar amplituda. Semakin besaramplituda sinusoidal maka semakin besar xrms secara pro-porsional, dan semakin besar daya secara kuadratik.Melalui sinyal sinusoidal kita mengenal frekuensi (ω atau

f). Frekuensi dari sinyal sinusoidal berhubungan erat den-gan periodisitas. Bagi sinyal sinusoidal analog, frekuen-si adalah jumlah osilasi gelombang per satuan waktu.Frekuensi berbanding terbalik dengan periode. Bagi sinyalsinousoidal digital, adanya frekuensi tidak otomatis berar-ti periodik. Kemudian sinyal sinusoidal yang unik hanyaterbatas pada frekuensi −π < ω < π. Dan setiap sinyalsinusoidal membawa daya (atau energi rata-rata) yang be-sarnya berbanding lurus dengan kuadrat amplituda. Seti-ap sinyal sinusoidal membawa nilai RMS berbanding lurusdengan amplituda.

3.3.2 Eksponensial Kompleks

Sinyal periodik yang sangat penting adalah sinyal eksponen-sial kompleks (complex exponential). Kita dapat mende�n-isikan sebuah fungsi kompleks eksponensial menggunakanfungsi sinusoidal menurut identitas Euler:

ejx = cosx+ j sinx

Sebuah sinyal kompleks eksponensial analog dan digitamasing-masing memiliki bentuk

x(t) = cejωt; x[n] = cejωn (27)

Sinyal eksponensial kompleks ini memiliki frekuensi ω danamplituda kompleks c. Karena identitas Euler mengatakanbahwa ejx = cosx + j sinx, maka dengan mudah diper-lihatkan bahwa semua sifat-sifat sinyal sinusoidal di atas�periodisitas, frekuensi, dan daya� dapat berlaku padasinyal eksponensial kompleks. Periode dari sinyal ini samadengan periode dari sinusoidal. Daya dari sinyal ini adalah

P = |c|2 (28)

Lebih lanjut, sinyal eksponensial kompleks dapat diang-gap penyusun dari sinyal sinusoidal, karena sinyal sinu-soidal dapat diuraikan ke dalam sinyal eksponensial kom-pleks melalui identitas

sinx =1

2jejx − 1

2je−jx (29)

cosx =1

2ejx +

1

2e−jx (30)

Perhatikan bahwa sinyal x(t) = A cos (ωt+ θ) dapat dit-ulis menjadi

x(t) =A

2ej(ωt+θ) +

A

2ej(ωt+θ) (31)

= (A

2ejθ)ejωt + (

A

2e−jθ)e−jωt (32)

= s1(t) + s2(t) (33)

di mana s1(t) = (A2 ejθ)ejωt dan s2(t) adalah konjugasi

kompleks dari s1(t). Dengan kata lain dua eksponensialkompleks s1(t) dan s2(t) adalah komponen penyusun sinyalsinusoidal. Karena setiap eksponensial kompleks memili-ki frekuensi sendiri, maka s1(t) dan s2(t) juga dibedakanmelalui frekuensi nya.Perhatikan bahwa daya dari s1(t) dan s2(t) masing-

masing adalah A2

4 , sehingga total daya adalah A2

2 sepertiyang diperoleh sebelumnya. Dengan kata lain komponenkompleks eksponensial adalah komponen pembawa energidari sinyal sinusoidal. Merambatnya sinyal sinusoidal di-tentukan oleh merambatnya komponen eksponensial kom-pleks. Kemampuan sinyal sinusoidal menembus mediumditentukan oleh kemampuan individual eksponensial kom-pleks menembus medium ini. Energi sinyal sinusoidaldibagikan kepada komponen frekuensi berbeda untk dikir-im oleh masing-masing komponennya. Dengan demikian,perilaku �lter terhadap sinusoid dapat dipelajari melaluiperilaku �lter terhadap eksponensial kompleks.Konsep bahwa energi sinyal yang merambat melalui medi-

um dibawa oleh komponen kompleks eksponensial denganfrekuensi tertentu melalui amplitudanya adalah konsep pal-ing dasar dari dari pemrosesan sinyal.

3.4 Sinyal Primitif dan Superposisinya

3.4.1 Sinyal Primitif

Dua sinyal primitif di domain waktu adalah sinyal impulssatuan (unit step) dan step satuan (unit step). Untuk CT,kedua sinyal itu adalah δ (t) dan u (t). Sedangkan untukDT, kedua sinyal itu adalah δ [n] dan u [n]. Sinyal-sinyalprimitif ini di de�nisikan sebagai

δ (t) =

{1, t = 0

0, else; u (t) =

{1, t ≥ 0

0, else

δ [n] =

{1, n = 0

0, else; u [n] =

{1, n ≥ 0

0, else

(34)

3.4.2 Sinyal Superposisi dari Sinyal Primitif

Sebuah sinyal x dapat dibangun dengan proses superpo-sisi dari sinyal-sinyal lain si , dalam bentuk kombinasi linierdengan bobot skalar αi

x =∑i

αisi (35)

Misalnya, setiap x [n] dapat dianggap kombinasi linierdari

x [n] =∑

αiδ [n− i] (36)

4 Jenis Sistem 6

3.4.3 Sinyal Superposisi Eksponensial Kompleks

Kita dapat memperluas cakupan peran sinyal eksponensialkompleks sebagai pembawa energi pada frekuensi tertentudari sinyal sinusoidal ke kelas yang lebih luas yaitu sinyalsuperposisi

x(t) =

N−1∑k=0

sk(t) =

N−1∑k=0

ckejωkt (37)

x[n] =

N−1∑k=0

sk[n] =

N−1∑k=0

ckejωkn (38)

Ini berarti sinyal x(t) (atau x[n]) jenis ini merupakan pen-jumlahan (superposisi) dari N buah komponen eksponen-sial kompleks sk(t) = cke

jωkt (dan sk[n] = ckejωkn). Setiap

komponen memiliki frekuensi ωk yang berbeda. Daya darimasing-masing komponen ini adalah

Pk = |ck|2 (39)

dan daya dari sinyal x(t) (atau x[n]) adalah

P =

N−1∑k=0

Pk = |c0|2 + |c1|2 + · · ·+ |cN−1|2 (40)

3.4.4 Sinyal Superposisi Eksponensial Kompleks

Terhubung Harmonis

Sebuah kasus khusus dari sinyal superposisi eksponensialkompleks adalah sinyal di mana sk(t) = cke

jωkt (atausk[n] = cke

jωkn) terhubung erat satu sama lain. Frekuen-si yang satu merupakan kelipatan (harmonis) dari sebuahfrekuensi dasar, yakni

ωk = kω0 (41)

Sinyal jenis ini berbentuk

x(t) =

N−1∑k=0

sk(t) =

N−1∑k=0

ckejkω0t (42)

x[n] =

N−1∑k=0

sk[n] =

N−1∑k=0

ckejkω0n (43)

Daya dari masing-masing komponen ini masih tetap samaseperti sebelumnya. Demikian juga daya totalnya. Di sinisk(t) (atau sk[n]) adalah pembawa energi x(t) (atau x[n])

dengan daya sebesar Pk = |ck|2 pada frekuensi ωk = kω0

Perhatikan bahwa sebuah sinyal dasar s0(t) = c0ejω0t

(atau s0[n] = c0ejω0n) cukup untuk digunakan memban-

gun komponen sinyal sk(t) (atau sk[n]) yang lain. Jadisekarang komponen eksponensial terhubung secara harmo-nis. Komponen yang satu adalah harmonis dari komponendasar s0(t) (atau s0[n]).Dengan demikian maka sinyal jenis ini adalah sinyal pe-

riodik dengan periode T = 2π/ω0 atau N = 2πk/ω0 (dimana f0 = ω0

2π = kN adalah bilangan pecahan/rasional yang

sudah disederhanakan).

Fig. 3: Jenis Sistem

Latihan: Buktikan bahwa x(t) =∑N−1k=0 cke

jkω0t periodikdengan periode T = 2π/ω0.

Perhatikan bahwa sk (t+ T ) = ckejkω0(t+2π/ω0) =

ckejkω0tejk2π = cke

jkω0t = sk (t).

Maka x(t+T ) =∑N−1k=0 sk(t+T ) =

∑N−1k=0 sk(t) = x(t)

Latihan: Buktikan bahwa x[n] =∑N−1k=0 cke

jkω0n periodikdengan periode N = 2πk/ω0.

Perhatikan bahwa sk[n + N ] = ckejkω0(n+2πk/ω0) =

ckejkω0nejk

22π.

Sehingga sk[n+N ] = ckejkω0n = sk[n]

Maka x[n+N ] =∑N−1k=0 sk[n+N ] =

∑N−1k=0 sk[n] = x[n]

4 Jenis Sistem

Sistem mengubah sinyal input menjadi sinyal output. Sis-tem dapat dikategorikan ke dalam berbagai jenis, sepertidiperlihatkan pada Gambar 3. Sistem CT mengubah sinyalCT. Sistem DT mengubah sinyal DT.

4.1 Sistem Dengan dan Tanpa Memori

Sebuah sistem F disebut tanpa memori apabila output padasuatu saat hanya bergantung pada input saat itu. UntukCT sistem tanpa memori memenuhi

y (t0) =

{F {x (t)} , t = t0

0, else(44)

sedangkan untuk DT sistem kausal

y [n0] =

{F {x [n]} , n = n0

0, else(45)

Di luar itu, sistem disebut memiliki memori.

4.2 Kausalitas

Sebuah sistem F disebut kausal bila ouput pada suatu wak-tu tertentu hanya ditentukan oleh input pada waktu terse-but atau sebelumnya. Untuk CT sistem kausal memenuhi

y (t0) =

{F {x (t)} , t ≤ t00, t > t0

(46)

sedangkan untuk DT sistem kausal

6 Laboratorium Komputer 7

y [n0] =

{F {x [n]} , n ≤ n00, n > n0

(47)

Sistem yang tidak kausal disebut non causal atau anticausal.

4.3 Stabilitas

Sebuah sistem F disebut stabil bila untuk setiap input xberlaku output bernilai terbatas yaitu

|F {x}| <∞ (48)

Dalam kasus yang lebih umum, sebuah sistem F disebut sta-bil BIBO (bounded-input, bounded-output) apabila berlaku

|x| <∞⇒ |F {x}| <∞ (49)

Sistem yang tidak memenuhi satu dari keduasyarat/kondisi ini disebut tidak stabil.

4.4 Time Invariance

Sebuah sistem F disebut time invariant bila input yang ter-tunda akan menghasilkan output yang tertunda. Untuk ka-sus CT, berarti

y (t) = F {x (t)} ⇐⇒ y (t− t0) = F {x (t− t0)} (50)

sedangkan untuk kasus DT, berlaku

y [n] = F {x [n]} ⇐⇒ y [n− n0] = F {x [n− n0]} (51)

4.5 Linieritas

Sebuah sistem F di sebut linier bila untuk setiap input x1

dan x2 (baik untuk DT maupun CT) berlaku

F {α1x1 + α2x2} = α1F {x1}+ α2F {x2} (52)

5 Soal-Soal Latihan

1. Tentukan komponen sinyal genap dan komponen sinyalganjil dari sinyal-sinyal berikut:

(a) Sinyal x [n] = {1, 2, 4,3, 2, 3, 4, 3, 2, 1}(b) Sinyal eksponensial kompleks x (t) = ej2t

2. Tunjukkan bahwa sinyal x (t) = 2 cos (10t+ 1) −sin (4t− 1) adalah sinyal periodik. tentukan periodefundamental dari sinyal tersebut.

3. Diketahui x1 (t) dan x2 (t) adalah sinyal periodik den-gan periode fundamental masing-masing T1 dan T2.Pada kondisi apakah jumlah sinyal x (t) = x1 (t) +x2 (t) periodik, dan berapakah periode fundamentaldari sinyal x (t) jika sinyal ini periodik?

4. Tentukan energi dan daya dari masing-masing sinyalberikut

Tab. 2: Tabel sinyal x[n]A B

1 n x[n]2 -5 03 -4 04 -3 05 -2 16 -1 27 0 38 1 39 2 110 3 111 4 012 5 013

(a) Sinyal x [n] =(12

)nu [n]

(b) Sinyal x [n] = cos(π4n)

5. Cari xrms dari x(t) = a cos(ωt)

Jawab: Karena x(t)2 = a2 cos2 (ωt) = a2( 12 +12 cos (2ωt)), maka xrms = a/

√2.

6. Diketahui sistem-sistem: (i) y(t) = x(t) cos(3t) di mana

ω 6= 0, dan (ii) y(t) =´ t−∞ x (τ) dτ

(a) Apakah sistem linier?

(b) Apakah sistem time invariant?

(c) Apakah sistem causal?

(d) Apakah sistem stabil?

7. Diketahui sistem-sistem: (i) y[n] =(− 1

3

)n(x [n] + 2),

(ii) y[n] =∑nk=1

(x2 [k]− x [k + 1]

), dan (iii) y[n] =∑n

k=−∞(12

)n−kx [k].

(a) Apakah sistem linier?

(b) Apakah sistem time invariant?

(c) Apakah sistem causal?

(d) Apakah sistem stabil?

6 Laboratorium Komputer

Sinyal dan sistem dapat disimulasikan di komputer.

1. Sebuah sinyal digital x[n] ={· · · , 0, 1, 2,3, 3, 1, 1, 0, · · · } dengan sample padan = 0 diberi notasi tebal (bold). Tabel dan kur-va sinyal menggunakan sebuah spreadsheet, untukn = −5 : 5, diperlihatkan pada Tabel 2 dan Gambar 4.

2. Energi dari sinyal x[n] = {· · · , 0, 1, 2,3, 3, 1, 1, 0, · · · },dengan n1 = −5 dan n2 = 5 adalah

E = 12 + 22 + 32 + 32 + 12 + 12 = 25

6 Laboratorium Komputer 8

Fig. 4: Gambar sinyal.

Tab. 3: Menghitung energi dan daya dari sinyal.A B

1 n x[n]2 -5 03 -4 04 -3 05 -2 16 -1 27 0 38 1 39 2 110 3 111 4 012 5 01314 Energi = 25.0015 Durasi = 1116 Daya = 2.27

B14 =SUM(B2:B12*B2:B12) (ctrl-enter)

B15 =COUNT(B2:B12) (enter)

B16 =SUM(B2:B12*B2:B12)/COUNT(B2:B12) (ctrl-enter)

dan daya

P =1

11

(12 + 22 + 32 + 32 + 12 + 12

)= 2.27

Hasil yang sama diperoleh menggunakan spreadsheetpada Tabel 3. Perhatikan bahwa pada spreadsheet, ru-mus untuk menghitung Energi pada sel B14 dan Dayapada sel B15 memanfaatkan fungsi array1 yang tersediapada spreadsheet.

1 Pada spreadsheet seperti Microsoft Excel, fungsi array diperoleh

dengan memasukkan formula pada sel yang dipilih kemudian diikuti

dengan menekan simultan tombol [ctrl − enter].