BAB 1 PENGANTAR

Bab ini menyajikan tentang materi pengantar untuk mata kuliah

struktur Aljabar. Bab ini bertujuan untuk membantu mahasiswa untuk

menyiapkan diri dalam menempuh matakuliah Struktur Aljabar. Pada

dasarnya grup adalah tentang himpunan, homomorfisma grup adalah suatu

fungsi dan operasi biner adalah operasi yang berlaku di dalam suatu grup.

Itulah sebabnya, materi himpunan, fungsi dan operasi biner diangkat

sebagai materi pengantar dalam modul ini.

Secara garis besar tujuan dari bab ini adalah untuk mengingat

kembali materi yang pernah anda pelajari sebelumnya. Jadi secara umum

tujuan dari bab ini adalah agar mahasiswa dapat:

1. menjelaskan relasi antar himpunan;

2. mengidentifikasikan jenis fungsi;

3. mengidentifikasikan apakah suatu operasi merupakan operasi biner atau

bukan

1.1 Himpunan

Deskripsi Himpunan.

Himpunan adalah salah satu konsep yang tidak didefinisikan.Tetapi sebuah

himpunan dapat dideskripsikan. Himpunan dideskripsikan sebagai

sekumpulan objek yang mempunyai syarat tertentu dan terdefinisi dengan

jelas well-defined.

Contoh:

1. Kumpulan mata kuliah yang paling mudah.

Kumpulan objek ini bukanlah sebuah himpunan, karena syarat

keanggotaannya tidak jelas. Kita tidak dapat menggolongkan suatu

objek (mata kuliah) bisa masuk dalam kumpulan ini atau tidak. Setiap

individu memiliki pendapat yang berbeda-beda tentang objek-objek

mana yang bisa menjadi anggota kumpulan tersebut;

2. Kumpulan bilangan prima kurang dari 10.

Kumpulan ini merupakan sebuah himpunan.Kita dapat dengan jelas

menggolongkan apakah sebuah objek termasuk dalam anggota

kumpulan ini atau tidak;

3. S = kumpulan beberapa bilangan asli.

S bukan merupakan himpunan karena tidak dapat dinyatakan apakah 5

anggota S ataukah 5 bukan anggota S;

4. S = kumpulan empat bilangan asli pertama,

S adalah suatu himpunan karena elemen-elemen S dapat disebutkan

secara definitif, yakni 1, 2, 3, 4.

Notasi Himpunan

Notasi Himpunan Himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf besar,

misal : A, B, C, D, Sedang anggota suatu himpunan dinyatakan dengan huruf

kecil. Berikut ini adalah 3 cara menyatakan himpunan:

1. Dengan mendaftar anggotanya

Contoh: P = { 2, 4, 6, 8}

2. Dengan menyatakan sifat-sifat yang dipenuhi anggotanya

Contoh: P = himpunan bilangan asli genap kurang dari 10

3. Dengan notasi pembentuk himpunan

Contoh: P = { x | x adalah bilangan asli genap kurang dari 10}

Jika 2 adalah anggota P maka ditulis 2 P sedangkan 3 bukan

anggota P ditulis` 3

Himpunan Kosong

Definisi:

Himpunan kosong adalah suatu himpunan yang tidak mempunyai anggota.

Notasi: atau { }

Contoh:

A = { Bilangan asli kurang dari 1 }. Tidak ada satupun bilangan asli yang

kurang dari satu. Oleh karena itu A = { }

Himpunan Semesta

Definisi:

Himpunan semesta adalah himpunan yang mempunyai anggota semua subjek

yang sedang dibicarakan.

Notasi: S atau U

Contoh:

B = { x | x2 4 = 0, x R}

Maka S = { x | x R }

Himpunan berhingga (finit) dan tak berhingga (infinit)

Definisi:

Suatu himpunan dikatakan berhingga jika himpunan itu beranggotakan elemen

elemen yang berbeda dan banyaknya tertentu (jika kita membilang banyak

anggota yang berbeda dalam himpunan itu, proses membilang yang kita

lakukan akan berakhir). Jika tidak demikian maka himpunan tersebut adalah

himpunan infinit (tak berhingga). Dapat juga dikatakan bahwa suatu

himpunan dikatakan finit jika dapat dibuat sebuah fungi bijektif (satu-satu)

dari himpunan tersebut ke initial segment dari himpunan bilangan asli.

Contoh:

Himpunan P dan B pada contoh sebelumnya adalah contoh himpunan finit.

Sedangkan himpunan S adalah himpunan infinit, mengapa?

Himpunan Bagian (Subset)

Definisi :

Himpunan A disebut himpunan bagian (subset) dari himpunan B jika setiap

anggota himpunan A juga anggota himpunan B.

Notasi : A B

Note:

1. adalah subset dari setiap himpunan.

2. Jika A bukan subset B ( ) maka ada (paling sedikit satu) anggota

A yang bukan anggota B.

3. Dua himpunan A dan B dikatakan dapat dibandingkan (comparable)

jika A B atau

B A

Untuk setiap himpunan misal A, maka A dan keduanya merupakan subset

dari himpunan A. Himpunan A sendiri disebut sebagai subset tak sejati

(improper subset) dari A, sedangkan himpunan-himpunan bagian yang lain

merupakan himpunan bagian sejati (proper subset)

Contoh:

Jika himpunan A = {bilangan asli kurang dari 5}, coba anda tentukan semua

proper subset dan improper subsetnya!

Bagaimana dengan himpunan bilangan kompleks K = {a+bi | a, b R}?,

dapatkah anda menentukan himpunan-himpunan bilangan lain yang

menjadi subsetnya?

Himpunan yang Sama

Definisi :

Himpunan A dan B adalah sama ( A = B ) jika dan hanya jika

Contoh:

A = {1, 2, 3, 4} dan B = { 2, 4, 1, 3} maka A = B

Himpunan P = {a, b, c} dan Q = {b, a, c, b, c} adalah himpunan yang sama.

Himpunan N = {x|x2 8x + 12 = 0} dan M = {2, 6} adalah himpunan

yang sama

Himpunan yang Berpotongan

Definisi:

Dua himpunan A dan B dikatakan berpotongan ( A B) jika dan hanya jika

ada anggota A yang bukan anggota B dan ada anggota B yang bukan

anggota A

Contoh:

A`= {bilangan prima kurang dari 10} dan B = { bilangan asli genap

kurang dari 10}, keduanya adalah himpunan yang berpotongan karena

ada 3 anggota A yang bukan anggota B dan ada 4 anggota B yang

bukan anggota A, tetapi ada 2 yang merupakan anggota A dan B

Himpunan yang Lepas

Definisi :

Dua himpunan A dan B dikatakan lepas ( A || B ) jika dan hanya jika kedua

himpunan itu tidak kosong dan tidak mempunyai elemen yang sama.

Contoh:

C = { bilangan asli } dan D = { bilangan bulat negatif } maka C || D

Dua Himpunan yang Ekivalen

Banyak anggota yang berbeda dalam suatu himpunan finit A disebut

bilangan kardinal himpunan A, ditulis n(A).

Contoh:

1. A = { x | x merupakan bilangan prima yang kurang dari 20 },

atau A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}

maka n(A) = 8

2. T = {kucing, a, Amir, 10, paku}

maka n(T) = 5

Definisi1.7 :

Dua himpunan A dan B dikatakan ekivalen (AB) jika dan hanya jika

banyak anggota kedua himpunan itu sama.

Secara simbolic :

A ~ B n(A) = n(B)

Contoh :

Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }

maka A ~ B sebab n(A) = n(B) = 4