BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Himpunan 1. …repository.ump.ac.id/6179/3/BAB II.pdf8 (ii) dan...

23
4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Himpunan 1. Pengertian Himpunan Himpunan merupakan konsep mendasar yang terdapat dalam ilmu matematika. Himpunan adalah kumpulan obyek yang didefinisikan secara jelas. Ada tiga cara untuk menyatakan himpunan, yaitu: a. dengan mendaftar anggota-anggotanya; Contoh: b. dengan menyatakan sifat yang harus dipenuhi oleh anggotanya; Contoh: himpunan huruf vokal pada kata MATEMATIKA c. dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan. Contoh: Berdasarkan jumlah anggotanya, himpunan dibagi menjadi tiga, yaitu: a. Himpunan kosong atau himpunan hampa Himpunan ini dilambangkan dengan , disebut himpunan kosong karena himpunan ini tidak memiliki anggota. b. Himpunan berhingga Himpunan ini mempunyai anggota yang banyaknya berhingga. Contoh : c. Himpunan tak berhingga Himpunan ini mempunyai anggota yang banyaknya tak berhingga. Karakteristik Ideal Semu Dalam Semigrup..., Marufah Muasyaroh, FKIP, UMP, 2014

Transcript of BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Himpunan 1. …repository.ump.ac.id/6179/3/BAB II.pdf8 (ii) dan...

Page 1: BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Himpunan 1. …repository.ump.ac.id/6179/3/BAB II.pdf8 (ii) dan masing-masing adalah himpunan bagian dari gabungan keduanya. dan . Contoh: Diberikan himpunan

4

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

A. Himpunan

1. Pengertian Himpunan

Himpunan merupakan konsep mendasar yang terdapat dalam ilmu

matematika. Himpunan adalah kumpulan obyek yang didefinisikan secara

jelas. Ada tiga cara untuk menyatakan himpunan, yaitu:

a. dengan mendaftar anggota-anggotanya;

Contoh:

b. dengan menyatakan sifat yang harus dipenuhi oleh anggotanya;

Contoh: himpunan huruf vokal pada kata MATEMATIKA

c. dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan.

Contoh:

Berdasarkan jumlah anggotanya, himpunan dibagi menjadi tiga, yaitu:

a. Himpunan kosong atau himpunan hampa

Himpunan ini dilambangkan dengan , disebut himpunan kosong

karena himpunan ini tidak memiliki anggota.

b. Himpunan berhingga

Himpunan ini mempunyai anggota yang banyaknya berhingga.

Contoh :

c. Himpunan tak berhingga

Himpunan ini mempunyai anggota yang banyaknya tak berhingga.

Karakteristik Ideal Semu Dalam Semigrup..., Marufah Muasyaroh, FKIP, UMP, 2014

Page 2: BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Himpunan 1. …repository.ump.ac.id/6179/3/BAB II.pdf8 (ii) dan masing-masing adalah himpunan bagian dari gabungan keduanya. dan . Contoh: Diberikan himpunan

5

2. Himpunan Bagian

Terdapat himpunan dan himpunan , jika setiap anggota dari

himpunan merupakan anggota dari himpunan , maka dapat dikatakan

bahwa adalah himpunan bagian (subset) dari dan dilambangkan

dengan . Jika merupakan himpunan bagian dari , dapat juga

ditulis dengan dan dibaca “ adalah superset dari ” atau “

mengandung ”. Selanjutnya dan digunakan jika bukan

himpunan bagian dari . Artinya terdapat satu atau lebih anggota

himpunan yang bukan merupakan anggota himpunan . Himpunan

kosong dianggap sebagai himpunan bagian dari setiap himpunan.

Terdapat beberapa sumber yang membedakan antara himpunan

bagian (subset) dan himpunan bagian murni (proper subset). Himpunan

bagian murni didefinisikan sebagai berikut: himpunan merupakan

himpunan bagian murni dari himpunan jika dan hanya jika dan

. Penelitian ini menggunakan satu istilah saja yaitu himpunan bagian

(subset).

Contoh II.A.2

Diberikan , , dan . Karena setiap anggota

himpunan merupakan anggota himpunan , maka atau dapat

ditulis dengan . Sedangkan pada himpunan terdapat satu anggota

himpunan yaitu yang bukan merupakan anggota himpunan maka

.

Karakteristik Ideal Semu Dalam Semigrup..., Marufah Muasyaroh, FKIP, UMP, 2014

Page 3: BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Himpunan 1. …repository.ump.ac.id/6179/3/BAB II.pdf8 (ii) dan masing-masing adalah himpunan bagian dari gabungan keduanya. dan . Contoh: Diberikan himpunan

6

Teorema II.A.2

Jika dan , maka .

Bukti

(i) , maka berakibat

(ii) , maka berakibat

Berdasarkan (i) dan (ii) maka berakibat , dengan kata lain

terbukti bahwa .

3. Himpunan Kuasa

Apabila suatu himpunan yang anggotanya berupa himpunan

disebut dengan keluarga himpunan atau kelas himpunan. Himpunan dari

seluruh himpunan bagian suatu himpunan merupakan salah satu contoh

kelas himpunan atau keluarga himpunan. Secara spesifik keluarga dari

semua himpunan bagian dari suatu himpunan disebut dengan himpunan

kuasa dari , dan dilambangkan dengan . Jika terdapat suatu himpunan

berhingga , misalkan banyaknya anggota himpunan adalah , maka

himpunan kuasa dari mempunyai anggota sebanyak .

(Lipschutz, 1981)

4. Himpunan Semesta

Semua himpunan merupakan suatu himpunan bagian dari

himpunan tertentu. Himpunan tertentu yang dimaksud merupakan suatu

himpunan yang dikenal dengan himpunan semesta. Himpunan semesta

dinyatakan dengan notasi atau ( merupakan singkatan dari semesta,

sedangkan merupakan singkatan dari universal).

Karakteristik Ideal Semu Dalam Semigrup..., Marufah Muasyaroh, FKIP, UMP, 2014

Page 4: BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Himpunan 1. …repository.ump.ac.id/6179/3/BAB II.pdf8 (ii) dan masing-masing adalah himpunan bagian dari gabungan keduanya. dan . Contoh: Diberikan himpunan

7

5. Kesamaan Dua Himpunan

Dua buah himpunan dikatakan sama apabila anggota-anggota himpunan

dari kedua himpunan tersebut sama.

Definisi II.A.5

Himpunan dan himpunan adalah sama jika dan hanya jika

dan . (Theresia, 1989)

6. Operasi Himpunan

Suatu himpunan dapat dikenai oleh operasi yang berlaku pada

himpunan. Operasi-operasi yang berlaku dalam suatu himpunan yaitu:

gabungan/union, irisan/intersect, komplemen, selisih/difference, dan

jumlah/symmetry difference.

a. Gabungan/Union

Salah satu operasi yang berlaku pada himpunan adalah operasi

gabungan/union.

Definisi II.A.6.a

Gabungan dari himpunan dan himpunan adalah himpunan semua

anggota himpunan atau atau kedua-duanya. (Theresia, 1989)

Gabungan dari himpunan dan ditulis dengan yang dibaca

“gabungan dari himpunan dan himpunan ”. Secara singkat definisi

di atas dapat dituliskan sebagai berikut:

Berdasarkan uraian tersebut, maka:

(i) .

Karakteristik Ideal Semu Dalam Semigrup..., Marufah Muasyaroh, FKIP, UMP, 2014

Page 5: BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Himpunan 1. …repository.ump.ac.id/6179/3/BAB II.pdf8 (ii) dan masing-masing adalah himpunan bagian dari gabungan keduanya. dan . Contoh: Diberikan himpunan

8

(ii) dan masing-masing adalah himpunan bagian dari gabungan

keduanya. dan .

Contoh: Diberikan himpunan dan , maka

.

b. Irisan/Intersect

Selain operasi gabungan/union, dalam himpunan juga berlaku

suatu operasi yang disebut dengan irisan/intersect.

Definisi II.A.6.b

Irisan dari himpunan dan adalah himpunan yang anggota-

anggotanya adalah anggota himpunan dan himpunan . (Theresia,

1989)

Irisan dari himpunan dan ditulis dengan yang dibaca

“irisan dan ”. Secara singkat definisi di atas dapat dituliskan

sebagai berikut:

Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa:

(i) .

(ii) Setiap dan keduanya mengandung sebagai himpunan

bagian.

(iii) Jika tidak ada anggota yang dimiliki bersama oleh dan , maka

Contoh: Diberikan himpunan dan ,

maka .

Karakteristik Ideal Semu Dalam Semigrup..., Marufah Muasyaroh, FKIP, UMP, 2014

Page 6: BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Himpunan 1. …repository.ump.ac.id/6179/3/BAB II.pdf8 (ii) dan masing-masing adalah himpunan bagian dari gabungan keduanya. dan . Contoh: Diberikan himpunan

9

c. Komplemen Suatu Himpunan

Suatu himpunan yang anggota-anggotanya bukan merupakan

anggota dari suatu himpunan tetapi merupakan anggota himpunan

semesta disebut dengan komplemen dari himpunan dan

dinotasikan dengan atau . Komplemen dari suatu himpunan

dapat ditulis sebagai berikut:

Beberapa hal yang harus diperhatikan terkait dengan komplemen

suatu himpunan yaitu:

(i) Gabungan dari suatu himpunan dengan komplemennya

merupakan himpunan semesta , maka .

Himpunan dan merupakan himpunan yang saling lepas,

maka .

(ii) Komplemen dari himpunan semesta adalah himpunan kosong

dan sebaliknya, maka dan .

(iii) Komplemen dari komplemen himpunan adalah himpunan itu

sendiri, maka .

d. Selisih Dua Himpunan

Operasi lain yang berlaku dalam himpunan adalah selisih.

Selisih dua himpunan dan adalah irisan dari himpunan dan

komplemen atau dapat ditulis sebagai berikut:

Karakteristik Ideal Semu Dalam Semigrup..., Marufah Muasyaroh, FKIP, UMP, 2014

Page 7: BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Himpunan 1. …repository.ump.ac.id/6179/3/BAB II.pdf8 (ii) dan masing-masing adalah himpunan bagian dari gabungan keduanya. dan . Contoh: Diberikan himpunan

10

Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa:

(i) Suatu himpunan mengandung himpunan atau dengan

kata lain merupakan himpunan bagian dari , maka

.

(ii) Himpunan dan merupakan himpunan-

himpunan yang saling lepas, sehingga irisan dari himpunan-

himpunan tersebut merupakan himpunan kosong .

e. Jumlah Dua Himpunan

Jumlah himpunan dan himpunan ditulis dengan

adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota

himpunan atau tetapi bukan anggota irisan dari himpunan dan

. Jumlah kedua himpunan tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut:

Operasi-operasi yang berlaku dalam himpunan mempunyai

beberapa sifat sederhana yang terdapat dalam teorema-teorema berikut.

Teorema II.A.5.1

Jika himpunan merupakan himpunan bagian dari , maka irisan

dari himpunan dan himpunan adalah himpunan atau .

Bukti

Diketahui bahwa sehingga berlaku maka . Kemudian

untuk menunjukkan bahwa maka ditunjukkan bahwa

dan .

Karakteristik Ideal Semu Dalam Semigrup..., Marufah Muasyaroh, FKIP, UMP, 2014

Page 8: BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Himpunan 1. …repository.ump.ac.id/6179/3/BAB II.pdf8 (ii) dan masing-masing adalah himpunan bagian dari gabungan keduanya. dan . Contoh: Diberikan himpunan

11

(i) Ambil sembarang maka dan . Karena

maka untuk berakibat , dengan kata lain .

(ii) Untuk sembarang maka karena , dengan kata

lain .

Berdasarkan (i) dan (ii) maka terbukti bahwa dan

berlaku, sehingga .

Teorema II.A.5.2

Jika himpunan merupakan himpunan bagian dari , maka

gabungan himpunan dan himpunan adalah himpunan atau

.

Bukti

Diketahui bahwa sehingga berlaku maka . Kemudian

untuk menunjukkan bahwa maka ditunjukkan bahwa

dan .

(i) Ambil sembarang maka atau . Karena

maka untuk berakibat , dengan kata lain

(ii) Untuk sembarang maka karena , dengan kata

lain

Berdasarkan (i) dan (ii) maka terbukti bahwa dan

berlaku, sehingga .

Karakteristik Ideal Semu Dalam Semigrup..., Marufah Muasyaroh, FKIP, UMP, 2014

Page 9: BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Himpunan 1. …repository.ump.ac.id/6179/3/BAB II.pdf8 (ii) dan masing-masing adalah himpunan bagian dari gabungan keduanya. dan . Contoh: Diberikan himpunan

12

Teorema II.A.5.3

Jika himpunan merupakan himpunan bagian dari , maka

komplemen dari himpunan merupakan himpunan bagian dari

komplemen himpunan atau .

Bukti

Diketahui bahwa sehingga berlaku maka . Oleh

karena itu apabila diambil sembarang maka , dengan kata

lain .

Teorema II.A.5.4

Jika himpunan merupakan himpunan bagian dari , maka

gabungan antara himpunan dan selisih himpunan dengan himpunan

adalah himpunan atau .

Bukti

Diketahui bahwa sehingga berlaku maka . Untuk

membuktikan bahwa maka dibuktikan bahwa

da .

(i) Ambil sembarang , maka atau .

Jika maka , karena . Sedangkan jika ,

maka tetapi . Oleh karena itu untuk sembarang

berakibat , dengan kata lain

berlaku.

Karakteristik Ideal Semu Dalam Semigrup..., Marufah Muasyaroh, FKIP, UMP, 2014

Page 10: BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Himpunan 1. …repository.ump.ac.id/6179/3/BAB II.pdf8 (ii) dan masing-masing adalah himpunan bagian dari gabungan keduanya. dan . Contoh: Diberikan himpunan

13

(ii) Untuk sembarang maka belum tentu anggota , karena

Oleh karena itu , dengan kata lain

.

Berdasarkan (i) dan (ii) maka terbukti bahwa dan

berlaku, sehingga .

Selain teorema-teorema di atas terdapat beberapa hukum-hukum

aljabar himpunan. Hukum-hukum aljabar himpunan ini dapat digunakan

untuk membuktikan teorema-teorema yang lain. Hukum-hukum aljabar

himpunan tersebut yaitu:

a. Hukum Idempoten: dan

b. Hukum Asosiatif:

dan

c. Hukum Komutatif: dan

d. Hukum Distributif:

dan

e. Hukum Identitas: dan

f. Hukum Komplemen:

dan

g. Hukum De Morgan: dan

7. Himpunan Berindeks

Suatu himpunan dikatakan sebagai himpunan indeks jika untuk

, terdapat suatu himpunan . Himpunan dari himpunan disebut

Karakteristik Ideal Semu Dalam Semigrup..., Marufah Muasyaroh, FKIP, UMP, 2014

Page 11: BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Himpunan 1. …repository.ump.ac.id/6179/3/BAB II.pdf8 (ii) dan masing-masing adalah himpunan bagian dari gabungan keduanya. dan . Contoh: Diberikan himpunan

14

dengan himpunan berindeks. Operasi-operasi gabungan dan irisan telah

didefinisikan untuk dua himpunan. Apabila banyaknya anggota himpunan

berindeks berhingga, misalkan banyaknya adalah , maka:

dan

Kedua konsep berikut kemudian secara umum dapat dinyatakan sebagai

berikut: terdapat suatu sehingga dan

untuk .

B. Semigrup

1. Struktur Aljabar

Definisi II.B.1

Suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi dengan operasi-operasi

biner dan memenuhi aksioma tertentu disebut dengan struktur

aljabar atau himpunan yang berstruktur dan ditulis .

(Riyanto, 2011)

Contoh II.B.1

Struktur himpunan bilangan bulat yang dilengkapi dengan operasi

penjumlahan , struktur himpunan bilangan bulat yang dilengkapi

dengan operasi perkalian , atau struktur himpunan bilangan bulat

yang dilengkapi oleh kedua operasi tersebut, penjumlahan dan perkalian

.

Karakteristik Ideal Semu Dalam Semigrup..., Marufah Muasyaroh, FKIP, UMP, 2014

Page 12: BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Himpunan 1. …repository.ump.ac.id/6179/3/BAB II.pdf8 (ii) dan masing-masing adalah himpunan bagian dari gabungan keduanya. dan . Contoh: Diberikan himpunan

15

2. Operasi Biner

Definisi II.B.2

Suatu operasi pada himpunan tidak kosong disebut dengan operasi

biner jika operasi tersebut bersifat tertutup, yaitu maka

. (Riyanto, 2011)

Contoh II.B.2

Operasi penjumlahan matriks persegi ordo bersifat tertutup pada

, dimana merupakan himpunan matriks persegi ordo

yang elemen-elemen pada matriks tersebut merupakan anggota himpunan

bilangan bulat. Hal tersebut dikarenakan ,

berlaku .

Dalam mendefinisikan ketertutupan suatu operasi yang berlaku

pada suatu struktur aljabar dapat menggunakan tabel Cayley jika

himpunan dalam struktur tersebut merupakan himpunan berhingga. Suatu

struktur aljabar mempunyai nama, agar dalam pendefinisiannya lebih jelas.

Struktur aljabar yang satu dengan yang lainnya mempunyai nama yang

berbeda-beda. Hal tersebut disesuaikan dengan aksioma-aksioma yang

berlaku pada struktur tersebut.

3. Grupoid

Definisi II.B.3

Struktur aljabar yang dilengkapi dengan satu jenis operasi biner

disebut dengan grupoid. (Riyanto, 2011)

Karakteristik Ideal Semu Dalam Semigrup..., Marufah Muasyaroh, FKIP, UMP, 2014

Page 13: BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Himpunan 1. …repository.ump.ac.id/6179/3/BAB II.pdf8 (ii) dan masing-masing adalah himpunan bagian dari gabungan keduanya. dan . Contoh: Diberikan himpunan

16

Contoh II.B.3

Struktur aljabar merupakan suatu grupoid, karena operasi – bersifat

tertutup pada himpunan bilangan bulat .

4. Semigrup

Definisi II.B.4

Suatu himpunan tak kosong dengan sebuah operasi dinotasikan

dengan , merupakan suatu semigrup jika memenuhi aksioma

berikut.:

(i) Tertutup, jika diambil sembarang dua anggota himpunan maka

hasil operasinya juga merupakan anggota himpunan . Secara

simbolis dapat ditulis maka

(ii) Operasi bersifat asosiatif,

maka . (Riyanto, 2011)

Suatu semigrup disebut dengan semigrup berhingga jika

semigrup tersebut mempunyai anggota yang banyaknya berhingga.

Apabila terdapat suatu semigrup maka untuk sembarang dan

berlaku: sebanyak faktor.

Berikut ini disajikan beberapa contoh dari struktur semigrup.

Contoh II.B.4.1

Diberikan suatu struktur dimana

dan operasi adalah operasi perkalian matriks. Selidiki apakah

merupakan semigrup?

Karakteristik Ideal Semu Dalam Semigrup..., Marufah Muasyaroh, FKIP, UMP, 2014

Page 14: BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Himpunan 1. …repository.ump.ac.id/6179/3/BAB II.pdf8 (ii) dan masing-masing adalah himpunan bagian dari gabungan keduanya. dan . Contoh: Diberikan himpunan

17

Penyelesaian

Diketahui himpunan dilengkapi dengan

operasi perkalian matriks. Untuk menyelidiki bahwa merupakan

semigrup maka diselidiki apakah operasi perkalian matriks tertutup dan

asosiatif pada himpunan . Ambil sebarang dengan

dan , maka

(i) tertutup

, berlaku

, maka

tertutup terhadap operasi .

(ii) asosiatif

, berlaku

(a)

(b)

Karakteristik Ideal Semu Dalam Semigrup..., Marufah Muasyaroh, FKIP, UMP, 2014

Page 15: BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Himpunan 1. …repository.ump.ac.id/6179/3/BAB II.pdf8 (ii) dan masing-masing adalah himpunan bagian dari gabungan keduanya. dan . Contoh: Diberikan himpunan

18

Berdasarkan pernyataan (a) dan (b), maka dengan kata lain terbukti

bahwa sifat asosiatif berlaku pada terhadap operasi .

Berdasarkan (i) dan (ii), maka terbukti bahwa merupakan

semigrup.

Contoh II.B.4.2

Diberikan suatu struktur himpunan didefinisikan sebagai berikut

, dimana adalah himpunan bilangan real.

Apakah termasuk semigrup?

Penyelesaian

Himpunan dilengkapi dengan operasi

perkalian biasa membentuk struktur . Kemudian untuk menyelidiki

apakah merupakan semigrup, maka diselidiki apakah operasi perkalian

biasa tertutup dan asosiatif pada himpunan .

(i) Ambil sembarang dimana maka

karena . Dengan kata lain operasi tertutup pada

himpunan .

(ii) Operasi bersifat asosiatif pada himpunan . Karena maka

pada himpunan operasi juga bersifat asosiatif.

5. Subsemigrup

Apabila terdapat suatu himpunan bagian tak kosong dari suatu

semigrup dapat disebut dengan subsemigrup apabila memenuhi aksioma

tertentu. Berikut diberikan definisi subsemigrup.

Karakteristik Ideal Semu Dalam Semigrup..., Marufah Muasyaroh, FKIP, UMP, 2014

Page 16: BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Himpunan 1. …repository.ump.ac.id/6179/3/BAB II.pdf8 (ii) dan masing-masing adalah himpunan bagian dari gabungan keduanya. dan . Contoh: Diberikan himpunan

19

Definisi II.B.5

Diberikan adalah semigrup dan merupakan himpunan bagian tak

kosong dari , disebut subsemigrup dari jika

dan hanya jika merupakan sebuah semigrup.

Contoh II.B.5.1

Berdasarkan Contoh II.B.4.1 merupakan semigrup dengan

. Jika diberikan struktur , dimana

, maka buktikan bahwa merupakan

subsemigrup dari .

Penyelesaian

Diketahui , maka dan .

Kemudian untuk membuktikan bahwa merupakan subsemigrup

dari , maka ditunjukkan bahwa operasi bersifat tertutup dan asosiatif

pada . Ambil sembarang dengan

dan .

(i) Tertutup

, maka

Karakteristik Ideal Semu Dalam Semigrup..., Marufah Muasyaroh, FKIP, UMP, 2014

Page 17: BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Himpunan 1. …repository.ump.ac.id/6179/3/BAB II.pdf8 (ii) dan masing-masing adalah himpunan bagian dari gabungan keduanya. dan . Contoh: Diberikan himpunan

20

Karena , maka terbukti bahwa operasi tertutup pada

himpunan .

(ii) Asosiatif

, maka

(a) Ruas kiri

(b) Ruas kanan

Berdasarkan keterangan (a) dan (b) maka diperoleh bahwa

, dengan kata lain operasi

bersifat asosiatif pada .

Menurut (i) dan (ii) maka diperoleh bahwa merupakan semigrup.

Karena dan semigrup, maka terbukti bahwa merupakan

subsemigrup dari semigrup .

Karakteristik Ideal Semu Dalam Semigrup..., Marufah Muasyaroh, FKIP, UMP, 2014

Page 18: BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Himpunan 1. …repository.ump.ac.id/6179/3/BAB II.pdf8 (ii) dan masing-masing adalah himpunan bagian dari gabungan keduanya. dan . Contoh: Diberikan himpunan

21

Contoh II.B.5.2

Diberikan semigrup dengan merupakan himpunan bilangan asli

dan operasi merupakan operasi penjumlahan biasa. Selidiki apakah

merupakan subsemigrup dari , dengan .

Penyelesaian

Diketahui dan , kemudian untuk menyelidiki apakah

merupakan subsemigrup dari , maka diselidiki apakah operasi tertutup

dan asosiatif pada .

(i) Ambil sembarang , dimana dan dengan

, maka . Karena operasi

tertutup pada maka , sehingga diperoleh

bahwa operasi tertutup pada .

(ii) Asosiatif

Ambil sembarang , karena maka .

Karena merupakan semigrup, maka operasi asosiatif pada ,

sehingga . Berdasarkan keterangan

tersebut, maka diperoleh bahwa operasi asosiatif pada .

Berdasarkan (i) dan (ii) maka diperoleh bahwa merupakan semigrup.

Karena , , dan merupakan semigrup, maka

merupakan subsemigrup dari .

Karakteristik Ideal Semu Dalam Semigrup..., Marufah Muasyaroh, FKIP, UMP, 2014

Page 19: BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Himpunan 1. …repository.ump.ac.id/6179/3/BAB II.pdf8 (ii) dan masing-masing adalah himpunan bagian dari gabungan keduanya. dan . Contoh: Diberikan himpunan

22

Contoh II.B.5.3

Pada Contoh II.B.4.2 telah diperoleh bahwa merupakan semigrup,

dimana didefinisikan sebagai berikut . Jika

, maka buktikan bahwa merupakan

subsemigrup dari .

Penyelesaian

Diketahui sehingga dan

kemudian untuk membuktikan bahwa merupakan subsemigrup dari ,

maka ditunjukkan bahwa merupakan semigrup.

(i) Ambil sembarang diperoleh bahwa karena

maka sehingga operasi tertutup pada .

(ii) maka . Karena sifat

asosiatif berlaku pada terhadap operasi dan

maka sehingga

, dengan kata lain sifat asosiatif berlaku pada

terhadap operasi .

Berdasarkan (i) dan (ii) maka merupakan semigrup. Karena dan

semigrup, maka terbukti bahwa merupakan subsemigrup dari .

Apabila terdapat dua buah himpunan yang merupakan

subsemigrup, maka irisan dari kedua himpunan tersebut merupakan

subsemigrup. Hal tersebut dituangkan dalam Lemma II.B.5 berikut.

Karakteristik Ideal Semu Dalam Semigrup..., Marufah Muasyaroh, FKIP, UMP, 2014

Page 20: BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Himpunan 1. …repository.ump.ac.id/6179/3/BAB II.pdf8 (ii) dan masing-masing adalah himpunan bagian dari gabungan keduanya. dan . Contoh: Diberikan himpunan

23

Lemma II.B.5

Jika semigrup, dan subsemigrup dari , dan ,

maka merupakan subsemigrup dari .

Bukti

Diketahui merupakan semigrup sehingga operasi * bersifat tertutup

dan asosiatif pada , struktur dan merupakan subsemigrup dari

sehingga operasi * juga bersifat tertutup dan asosiatif pada himpunan

dan . Selanjutnya, untuk menunjukkan bahwa subsemigrup dari

, maka ditunjukkan bahwa tertutup dan asosiatif

terhadap operasi .

(i) Ambil sembarang maka dan , dan

. Karena dan merupakan subsemigrup dari , maka

dan sehingga . Dengan kata lain

operasi tertutup pada .

(ii) Ambil sembarang maka dan .

Karena dan merupakan subsemigrup dari , maka sifat asosiatif

berlaku pada dan terhadap operasi , sehingga berlaku

dan . Oleh

karena itu . Dengan kata lain sifat

asosiatif berlaku pada terhadap operasi .

Untuk selanjutnya, apabila terdapat suatu himpunan berindeks yang

merupakan subsemigrup dari suatu himpunan, maka irisan dari himpunan

Karakteristik Ideal Semu Dalam Semigrup..., Marufah Muasyaroh, FKIP, UMP, 2014

Page 21: BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Himpunan 1. …repository.ump.ac.id/6179/3/BAB II.pdf8 (ii) dan masing-masing adalah himpunan bagian dari gabungan keduanya. dan . Contoh: Diberikan himpunan

24

berindeks tersebut juga merupakan subsemigrup. Hal tersebut dituangkan

dalam Teorema II.B.5 berikut.

Teorema II.B.5

Jika semigrup, subsemigrup dari untuk

(finite/infinite), dan , maka merupakan subsemigrup

dari .

Bukti

Diketahui merupakan semigrup sehingga operasi * bersifat tertutup

dan asosiatif pada , struktur merupakan subsemigrup dari untuk

sehingga operasi * juga bersifat tertutup dan asosiatif pada

himpunan , dan . Selanjutnya, untuk menunjukkan bahwa

subsemigrup dari , ditunjukkan bahwa

tertutup dan asosiatif terhadap operasi yang sama dengan operasi yang

berlaku pada dan .

(i) merupakan himpunan bagian dari dan merupakan

subsemigrup dari , maka sifat asosiatif yang berlaku pada , juga

berlaku pada .

(ii) Selanjutnya, untuk menunjukkan ketertutupan terhadap

operasi yang sama pada dan , ambil sembarang

untuk . Karena maka .

Diketahui bahwa merupakan subsemigrup dari , maka

berlaku , dengan demikian . Jadi

operasi tertutup pada himpunan .

Karakteristik Ideal Semu Dalam Semigrup..., Marufah Muasyaroh, FKIP, UMP, 2014

Page 22: BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Himpunan 1. …repository.ump.ac.id/6179/3/BAB II.pdf8 (ii) dan masing-masing adalah himpunan bagian dari gabungan keduanya. dan . Contoh: Diberikan himpunan

25

C. Ideal

1. Pengertian Ideal

Definisi II.C.1

Diberikan semigrup dan merupakan himpunan bagian tak kosong

dari dengan , maka:

(i) disebut ideal kiri dari , jika ,

(ii) disebut ideal kanan dari , jika , dan

(iii) disebut ideal dua sisi (ideal) dari , jika berlaku keduanya (ideal

kanan dan ideal kiri. (Harju, 1996)

Pada Definisi II.C.1 poin (iii) disebutkan bahwa adalah ideal jika

berlaku ideal kiri dan ideal kanan. Hal ini tidak harus berarti bahwa ideal

kiri sama dengan ideal kanan.

Lemma II.C.1

Sebuah himpunan bagian tak kosong dari semigrup adalah:

(i) Ideal kiri dari semigrup , jika dan maka ,

(ii) Ideal kanan dari semigrup , jika dan maka ,

(iii) Ideal dari semigrup , jika dan maka dan

.

Bukti

Diketahui bahwa dan , maka berdasarkan Definisi II.C.1

diperoleh bahwa:

(i) ideal kiri jika berlaku . Ambil sembarang dan ,

maka terbukti bahwa ,

Karakteristik Ideal Semu Dalam Semigrup..., Marufah Muasyaroh, FKIP, UMP, 2014

Page 23: BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Himpunan 1. …repository.ump.ac.id/6179/3/BAB II.pdf8 (ii) dan masing-masing adalah himpunan bagian dari gabungan keduanya. dan . Contoh: Diberikan himpunan

26

(ii) ideal kanan jika berlaku . Ambil sembarang dan ,

maka terbukti bahwa , dan

(iii) ideal jika berlaku ideal kanan dan ideal kiri. Berdasarkan (i) dan (ii)

maka terbukti bahwa dan .

2. Pengertian Ideal Semu

Berikut diberikan tentang definisi tentang himpunan yang merupakan

hasil operasi himpunan-himpunan bagian dari semigrup dan definisi ideal

semu dalam semigrup.

Definisi II.C.2.1

Diberikan suatu semigrup dengan operasi , jika dan

maka .

Definisi II.C.2.2

Diberikan suatu semigrup , suatu himpunan disebut dengan ideal

semu dalam semigrup jika merupakan himpunan bagian tak kosong

dari dan berlaku . (Ansari, 2009)

Karakteristik Ideal Semu Dalam Semigrup..., Marufah Muasyaroh, FKIP, UMP, 2014