DEFINISI DASAR-

HIMPUNAN FUZZY

1.1.Definisi Dasar

Himpunan klasik (crisp) secara normal didefinisikan sebagai suatu kumpulan anggota

atau objek Xx yang dapat berhingga, terhitung (countable) atau overcountable. Setiap

elemen tunggal dapat menjadi anggota himpunan A atau bukan anggota himpunan dari A.

Dalam kasus sebelumnya, pernyataan “X adalah anggota dari A” adalah benar, sedangkan

dalam kasus selanjutnya pernyataan adalah salah.

Himpunan klasik tersebut dapat didefinisikan dalam cara yang berbeda; pertama

dengan mendaftar anggota-anggota himpunan; menjelaskan himpunan secara analisis,

sebagai contoh, dengan pernyataan keanggotaan })5|{( xxA ; atau mendefinisikan

keanggotaan elemen dengan menggunakan fungsi karakteristik, di mana 1 menunjukkan

anggota dan 0 menunjukkan bukan anggota. Untuk himpunan fuzzy, fungsi karakteristik

mengijinkan derajat keanggotaan yang bevariasi untuk anggota-anggota himpunan yang

diberikan.

Definisi 1-1

Jika X adalah kumpulan objek yang dinotasikan dengan X, maka himpunan fuzzy A dalam X

adalah himpunan pasangan berurutan:

}|))(,{( XxxxA A

)(xA disebut fungsi keanggotaan atau derajat keanggotaan (juga derajat

kekompatibilitasan/kecocokan atau derajat kebenaran) dari X termuat di A yang memetakan X

ke ruang keanggotaan M (ketika M hanya memuat dua titik 0 dan 1, maka A bukan

himpunan fuzzy, dan )(xA identik dengan fungsi karakteristik himpunan bukan fuzzy).

Range dari fungsi keanggotaan adalah himpunan bagian dari bilangan riil yang mempunya

supremum berhingga. Anggota dengan derajat keanggaotan nol umumnya tidak didaftar.

Contoh 1-1a

Seorang realtor (makelar barang tak bergerak) ingin mengklasifikasikan rumah yang

ditawarkan kepada kliennya. Satu indikator kenyamanan dari rumah tersebut adalah jumlah

kamar tidur dalam rumah. Diberikan X = {1, 2, 3, …, 10} adalah himpunan tipe rumah yang

tersedia yang menunjukkan X = jumlah kamar tidur dalam suatu rumah. Maka himpunan

fuzzy “kenyamanan tipe rumah untuk sebuah keluarga dengan 4 orang” dapat didefinisikan

sebagai berikut

A = {(1, 0.2), (2, 0.5), (3, 0.8), (4, 1), (5, 0.7), (6, 0.3)}

Dalam literature lain dijumpai penulisan definisi suatu himpunan fuzzy dengan cara yang

lain:

1. Suatu himpunan fuzzy dapat diulis dengan notasi himpunan pasangan berurutan,

dengan elemen pertama adalah anggota himpunan tersebut dan yang kedua adalah derajat

keanggotaannya(seperti Contoh 1-1a di atas).

1

Contoh 1-1b

A = “himpunan bilangan riil yang lebih besar dari 10”

}|))(,{( XxxxA A

dimana

10,))10(1(

10,0)(

12 xx

xxA

Contoh 1-1c

A = “himpunan bilangan riil yang dekat dengan 10”

}))10(1()(|))(,{( 12 xxxxA AA

Lihat Gambar 1-1

Gambar 2-1. Bilangan riil yang dekat dengan 10

2. Suatu himpunan fuzzy dapat direpresentasikan dengan menyatakan fungsi

keanggotaannya [seperti halnya, Negoita dan Ralescu, 1975].

n

i

iiAAA xxxxxxA1

2211 /)(.../)(/)(

atau X

A xx /)(

Contoh 2-1d

A = “bilangan bulat yang dekat dengan 10”

A = 0.1/7 + 0.5/8 + 0.8/9 + 1/10 + 0.8/11 + 0.5/12 + 0.1/13

Contoh 2-1e

A = ”bilangan riill yang dekat dengan 10”

R

xx

A /)10(1

12

Telah disebutkan bahwa fungsi keanggotaan tidak dibatasi dengan nilai antara 0 dan 1. Jika

supX 1)( xA , maka himpunan fuzzy tersebut disebut normal. Suatu himpunan fuzzy tak

kosong selalu dapat dinormalisasikan dengan membagi )(xA dengan supX 1)( xA . Dalam

hal ini, untuk lebih mudahnya, akan diasumsikan secara umum dalam buku ini bahwa

himpunan fuzzy yang akan dibahas dalam buku ini adalah sudah dinormalisasi. Untuk

merepresentasikan himpunan fuzzy, dalam buku ini akan digunakan notasi no.1 yang

diilustrasikan dalam Contoh 2-1b dan 2-1c di atas.

Suatu himpunan fuzzy sebenarnya merupakan generalisasi dari himpunan klasik dan

fungsi keanggotaan adalah generalisasi dari fungsi karakteristik. Karena secara umum kita

merujuk pada himpunan semesta (crisp) X, beberapa anggota dari himpunan fuzzy dapat

mempunyai derajat keanggotaan nol. Namun seringnya, lebih tepat untuk memperhatikan

anggota himpunan semesta yang mempunyai derajat keanggotaan dala himpunan fuzzy tidak

nol.

Definisi 2-2

Support dari suatu himpunan fuzzy A, S(A) adalah himpunan klasik dari semua Xx

sedmikian hingga 1)( xA

Contoh 2-2

Perhatikan Contoh 2-1a kembali: Support dari A, yaitu S(A) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Anggota (tipe rumah) {7, 8, 9, 10} bukan bagian dari support A.

Lebih umumnya dan lagi bermanfaat adalah mengenai himpunan -level.

Definisi 2-3

Himpunan klasik dari anggota himpunan fuzzy A yang mempunyai derajat keanggotaan

minimal disebut himpunan -level:

})(|{ xXxA A

Sedangkan })(|{' xXxA A disebut himpunan “strong -level” atau himpunan

“strong -cut”.

Contoh 2-3

Kita merujuk kembali Contoh 2-1a dan mendaftar himpunan -level yang mungkin

A0.2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A0.5 = {2, 3, 4, 5}

A0.8 = {3, 4}

A1 = {4}

Himpunan strong -level untuk = 0.8 adalah A’0.8 = {4}.

Konveksitas juga memainkan peranan penting dalam teori himpunan fuzzy. Berbeda

dengan teori himpunan klasik, kondisi konveksitas didefinisikan dengan merujuk fungsi

keanggotan daripada support suatu himpunan fuzzy.

Definisi 2 – 4

Suatu himpunan fuzzy A dikatakan konveks jika

, ]1,0[,, 21 Xxx

Dengan kata lain, himpunan fuzzy disebut konveks jika semua himpunan -level adalah

konveks.

Gambar 2-2a. Himpunan fuzzy yang konveks

Gambar 2-2b. Himpunan fuzzy yang tidak konveks

))(),(min())1(( 2121 xxxx AAA

x

1

𝜇

x

1

𝜇

Contoh 2 – 4

Gambar 2-2a adalah menggambarkan himpunan fuzzy yang konveks, sedangkan Gambar 2 –

2b menggambarkan himpunan fuzzy yang tidak konveks..

Masalah kekonveksan himpunan fuzzy merupakan hal yang akan sering digunakan

pada bab-bab berikutnya dan kardinalitasnya atau ”power” [Zadeh,1981c].

Definisi 2 – 5

Untuk suatu himpunan fuzzy A, kardinalitas A didefinisikan sebagai

Xx

A xA )(

Dan X

AA disebut kardinalitas relatif dari A.

Kardinalitas relatif dari suatu himpunan fuzzy tergantung pada kardinalitas dari himpunan

semesta X. Jadi, kita harus memilih himpunan semesta yang sama jika ingin membandingkan

antar himpunan fuzzy melalui kardinalitas relatifnya.

Contoh 2 – 5

Untuk himpunan fuzzy tipe rumah yang nyaman untuk keluarga dengan empat orang, dari

contoh 2 – 1a, maka kardinalitas dari A adalah :

|A| = 0.2 + 0.5 + 0.8 +1 + 0.7 + 0.3 = 3.5

Dan kardinalitas relatifnya adalah

35.010

5.3A

Kardinalitas relatif dapadn diinterpretasikan sebagai pembagian elemen X di dalam A., yang

ddiboboti dengan derajat keanggotaannya di dalam A. Untuk X yang tak berhingga,

kardinalitas A didefinisikan sebagai x

A dxxA )( . Tentunya, |A| tidak selalu ada.

2.1 Operasi Teori Himpunan Dasar untuk Himpunan Fuzzy

Fungsi keanggotaan benar-benar merupakan bagian penting dari himpunan fuzzy.

Oleh karena itu tidak mengherankan jika operasi dengan himpunan fuzzy didefinisikan

melalui fungsi keanggotaan. Pertama, kita akan menyajikan konsep yang diusulkan oleh

Zadeh pada tahun 1965 [Zadeh 1965, p. 310]. Hal tersebut bersesuaian dengan kerangka

berpikir yang konsisten untuk teori himpunan fuzzy. Meskipun demikian, hal itu bukan hanya

satu-satunya cara yang mungkin untuk memperluas teori himpunan klasik secara konsisten.

Zadeh dan penulis yang lain mengusulkan definisi lain atau definisi tambahan untuk operasi

teori himpunan yang selanjutnya akan dibahas pada Bab 3.

Definisi 2 – 6

Fungsi keanggotaan )(xC dari irisan BAC didefinisikan dengan

)}(),(min{)( xxx BAC , Xx

Definisi 2 – 7

Fungsi keanggotaan )(xD dari gabungan BAD didefinisikan dengan

)}(),(max{)( xxx BAD , Xx

Definisi 2 – 8

Fungsi keanggotaan dari komplemen himpunan fuzzy yang sudah dinormalisasi A, )(xA

didefinisikan dengan

)(1)( xx AA , Xx

Contoh 2 – 6

Diberikan himpunan fuzzy A adalah “tipe kenyamanan rumah untuk keluarga dengan 4

orang” dari Contoh 2 – 1a dan B adalah himpunan fuzzy “tipe luas rumah” dideinisikan

sebagai berikut

B = {(3, 0.2), (4, 0.4), (5, 0.6), (6, 0.8), (7, 1), (8, 1)}

Irisan BAC adalah

C = {(3, 0.2), (4, 0.4), (5, 0.6), (6, 0.3)}

Gabungan BAD adalah

D = {(1, 0.2), (2, 0.5), (3, 0.8), (4, 1), (5, 0.7), (6, 0.8), (7, 1), (8, 1)}

Komplemen dari B yaitu CB adalah

CB = {(1, 1), (2, 1), (3, 0.8), (4, 0.6), (5, 0.4), (6, 0.2), (9, 1), (10, 1) }

Contoh 2 – 7

Misalkan

A =”bilangan X yang lebih besar dari 10”

B = ”bilangan X yang mendekati 11”

Dengan

}|))(,{( XxxxA A

Di mana

12 ))10(1(

,0)(

xxA

10

10

x

x

Dan

}|))(,{( XxxxB B

Di mana 14 ))11(1()( xxA

Maka

,0

],))11(1(,))10(1min[()(

1412 xxxBA

10

10

x

x

(X adalah bilangan yang lebih besar dari 10 dan mendekati 11)

]))11(1(,))10(1max[()( 1412

xxxBA , Xx

Gambar 2-3 menggambarkan Contoh 2-7 di atas.

Gambar 2-3. Gabungan dan Irisan dari Himpunan Fuzzy

Sebelumnya telah disebutkan bahwa operator min dan maX bukan satu-satunya

operator yang dapat dipilih untuk memodelkan operasi irisan atau pun gabungan antara

himpunan fuzzy. Sehingga muncul pertanyaan, mengapa dipilih min dan maX bukan yang

lain? Bellman dan Giertz menjawab pertanyaan tersebut secara aksioma pada tahun1973

[Bellman dan Giertz, 1973, p. 151]. Mereka membantah berasal dari logika titik, intrepretasi

irisan sebagai ”logika and” dan gabungan sebagai ”logika or”, dan himpunan fuzzy A sebagai

pernyataan ”elemen X adalah anggota himpunan A”, yang dapat diterima sebagai kurang

lebih benar. Hal ini sangat mengandung pelajaran untuk mengikuti alasannya., yang sangat

sederhana untuk pembenaran secara aksiomatik dari model matematika khusus.Oleh karena

itu kita akan mensketalasan merekan: Perhatikan, misalkan diberikan dua pernyataan, S dan

T, yang mempunyai nilai secara berturut-turut )(xS dan )(xT , di mana )(xS , )(xT Î

[0, 1]. Nilai kebenaran dari ”and” dan ”or” mengkombinasikan pernyataan tersebut (S and

T) dan (S or T), yang keduanya ada dalam interval [0, 1] yang diintrepretasikan secara

berturut-turut sebagai fungsi keanggotaan dari irisan dan gabungan S dan T. Sekarang, kita

akan mencari dua fungsi bernilai riil f dan g sedemikian hingga bahwa

),()( TSSandT fx

),()( TSSorT gx

Gellman dan Giertz merasa bahwa batasan berikut ini beralasan untuk dikenakakan pada f

dan g:

f dan g adalah fungsi nondecreasing dan kontinu dalam )(xS dan )(xT ,

f dan g adalah simetri, sedemikian hingga

),(),( STTS ff

),(),( STTS gg

),( SSf dan ),( SSg adalah fungsi monoton naik dalam )(xS .

),min(),( TSTSf dan ),max(),( TSTSg . Hal ini mengakibatkan bahwa

penerimaan kebenaran pernyataan ”S and T” lebih memerlukan, dan penerimaan kebenaran

pernyataan ”S or T” lebih sedikit daripada penerimaan pernyataan S atau T sendirian sebagai

benar.

f(1, 1) = 1 dan g(0, 0) = 0.

x

1

𝜇

5

0

10 11

Pernyataan yang ekivalen secara logika harus mempunyai nilai kebenaran yang sama, dan

himpunan fuzzy dengan anggota yang sama harus mempunyai fungsi keanggotaan yang

sama, jadi

S1 and (S2 or S3)

ekivalen dengan

(S1 and S2) or (S1 and S3)

Dan harus sama-sama benar.

Gellman dan Giertz memformulasikan asumsi di atas sebagai berikut:

Menggunakan simbol untuk logika ”and” (=irisan) dan untuk logika ”or”(=gabungan),

Sejumlah asumsi tersebut untuk mengikuti tujuh batasan, yang dikenakan pada du sifat

komutatif (ii), dan assosiatif (iv) antara komposisi biner dan pada interval tertutup [0,

1], yang mutuali distributif (vi) berkenaan dengan lainnya.

1. STTS

STTS

2. )()( UTSUTS

)()( UTSUTS

3. )()()( USTSUTS

)()()( USTSUTS

4. TS dan TS kontinu dan nondecreasing dalam tiap komponen

5. SS dan SS monoton naik dalam S (lihat iii)

6. ),min( TSTS dan ),max( TSTS (lihat iv)

7. 1Ù1 = 1

0 Ú 0 = 0 (lihat v)

Bellman dan Giertz kemudian membuktikan secara matimatis [Bellman dan Giertz,

1973, .154] bahwa

))(),(min()( xxx TSTS

))(),(max()( xxx TSTS

Untuk komplemen, akan beralasan untuk mengasumsikan bahwa jika pernyataan “S” adalah

benar, komplemennya yaitu “nonS” adalah salah, atau jika 1S maka 0nonS dan

sebaliknya. Fungsi h (sebagai pelengkap dalam analogi f dan g untuk irisan gabungan) juga

harus kontinu dan monoton turun, dan kompemen dari komplemen adalah pernyataan awal

atau pernyataan itu sendiri (supaya selaras anatara logika tradisional dan teori himpunan).

Meskipu demikian, syarat-syarat ini tidak cukup untuk menentukan bentuk matematis dari

komplemen secara tunggal. Bellman dan Giertz memerlukan tambahan syarat yaitu

21

21 )( S . Dan asumsi-asumsi lain tentunya dimungkinkan dan masuk akal.

Latihan

1. Modelkankan ekspresi berikut sebagai himpunan fuzzy

a. Bilangan bulat yang besar

b. Bilangan yang sangat kecil

c. Laki-laki berukuran sedang

d. Bilangan yang kira-kira berada antara 10 dan 20

e. Kecepatan tinggi untuk mobil balap

2. Tentukan semua himpunan a -level untuk himpunan fuzzy berikut:

a. A = {(3, 1), (4, 0.2), (5, 0.3), (6, 0.4), (7, 0.6), (8, 0.80, (10, 1), (12, 0.8), (14, 0.6)}

b. )}))10(1()(,{( 12 xxxB B untuk a =, 0.3, 0.5, 0.8

c. }|)(,{( RxxxC C

di mana )(xC = 0 untuk 10x dan

)(xC = 12))10(1( x untuk X > 10

3. Di antara himpunan fuzzy pada no.2 manakah yang konveks dan manakah yang tidak

konveks?

4. Diberikan himpunan semesta X = {1, 2, 3, ..., 10}. Tentukan kardinalitas dan kardinalitas

relatif dari himpunan fuzzy berikut:

a. A dari soal no 2a

b. B = {(2, 0.4), (3, 0.6), (4, 0.8), (5, 0.1), (6, 0.8), (7, 0.6), (8, 0.4)}

c. C = {(2, 0.4), (4, 0.8), (5, 1), (7, 0.6)}

5. Tentukan irisan dan gabungan dari himpunan fuzzy berikut:

a. Himpunan fuzzy A, B, dan C dari soal no. 4

b. B dan C dari soal no. 2

6. Tentukan irisan dan gabungan dari komplemen himpunan fuzzy B dan C dari soal no.4.