Bab 1

5/25/2018 Bab 1

1/22

Metode Numerik

Bab 1

Interpolasi dan Ekstrapolasi

Didalam pengertian matematika dasar, interpolasi adalah perkiran suatu nilai

tengah dari satu set nilai yang diketahui. Interpoloasi dalam arti luas merupakan

upaya mendefenisikan suatu fungsi dekatan suatu fungsi analitik yang tidak

diketahui atau pengganti fungsi rumit yang tak mungkin diperoleh persamaan

analitiknya. Nilai suatu fungsi y = f(x) diketahui berupa ordinat titik-titikx1, x2, x3,

, xn yang diskontinu (discontinue) atau diskrit (discret). Ekspresi analitik y

= f(x) tidak diketahui. Bab ini akan membahas perkiraan ordinat atau f(x) secara

numerik untuk nilai x yang berlaku di dalam interval interpolasi! maupun di luar

interval titik-titik yang diketahui ekstrapolasi!. "ermasalahan utama dalam

interpolasi dan ekstrapolasi adalah akurasi nilai yang dihasilkannya.

#ungsi interpolasi dan ekstrapolasi merupakan fungsi model dengan bentuk

tertentu yang bersifat umum supaya dapat mendekati fungsi-fungsi yang dipakai

secara luas. $e%auh ini fungsi yang umum digunakan adalah polinomial dan

trigonometri.

"roses interpolasi dilaksanakan dalam dua tahap, yaitu pertama, menentukan

fungsi interpolasi yang merupakan kombinasi dari titik-titik data! yang ada, dan

kedua, mengevaluasi fungsi interpolasi tersebut. Interpolasi dapat dilakukan

untuk kasus dengan dimensi lebih dari satu, misalnya fungsi f(x,y,z). Interpolasi

multidimensi selalu diselesaikan dengan urutan mulai dari interpolasi satu

dimensi.

Yoszi Mingsi Anaperta, ST. MT 1

5/25/2018 Bab 1

2/22

1.1 Interpolasi Kedepan Cara Newton untuk Data dengan

Interval Konstan

"olinomial interpolasi kedepan Ne&ton Ff(x) dengan x0 xn-1

sebagai titik pusatnya yang mempunyai interval (x) tetap sebesar h dapat

dinyatakan sebagai berikut'

(oefisien a0, a1, a2, an tergantung darix0, x1, x2, xn dan nilai f(x) di titik-

titik tersebut. Dalam bentuk lebih rinci persamaan )-)! dapat dinyatakan sebagai

berikut'

disebut dengan perbedaan kedepan atau forward

difference, sehingga interpolasi cara Ne&ton yang didasarkan pada persamaan

)-*! disebut dengan interpolasi kedepan cara Ne&ton. "erbedaan kedepan

dihitung sebagai berikut'

Yoszi mingsi anaperta , ST. MT 2

5/25/2018 Bab 1

3/22

Metode Numerik

$ecara skematis perbedaan kedepan diberikan dalam +abel ).) berikut ini.


5/25/2018 Bab 1

4/22

1.2 Interpolasi Kebelakang Cara Newton untuk Data dengan

Interval Konstan

"olinomial interpolasi kebelakang Ne&ton Fb(x) dengan x0, , xn-1 yang

mempunyai interval (x) tetap sebesar h dapat dinyatakan sebagai berikut'

(oefisien fungsi interpolasi tergantung dari kombinasi data-data yang diketahui.

Dalam bentuk lebih rinci persamaan )-! dapat dinyatakan sebagai berikut'

disebut perbedaan kebelakang atau bacward difference,

sehingga interpolasi cara Ne&ton yang didasarkan pada persamaan )-!

disebut dengan interpolasi kebelakang cara Ne&ton. ntuk n = !, maka

persamaan )-! men%adi'


5/25/2018 Bab 1

5/22

Metode Numerik

"erbedaan kebelakang dihitung sebagai berikut'

$ecara skematis perbedaan kebelakang diberikan dalam +abel ).* berikut ini.

1.3. Interpolasi Cara Lagrange untuk Data dengan Interval Tidak

Konstan

"olinomial Interpolasi "a#ran#eF(x) denganx0, , xn-1 mempunyai interval

(x) tidak konstan dapat dinyatakan sebagai berikut'


5/25/2018 Bab 1

6/22

(oefisien a0, a1, a2, an tergantung dari x0, x1, x2, xn dan nilai f(x) di

titik-titik tersebut. (oefisien-koefisien tersebut dihitung sebagai berikut'

Dengan mensubstitusi persamaan )-/! ke dalam persamaan )-0!, maka

diperoleh persamaan polinomial interpolasi "a#ran#eyang dinyatakan sebagai

berikut'


5/25/2018 Bab 1

7/22

Metode Numerik

"ersamaan )-)1! dapat %uga digunakan, %ika varibel bebasnya adalah y,

sedangkan variabel tak bebasnya adalahx.

1.. Interpolasi Cara Newton untuk Data dengan Interval Tidak

Konstan

"olinomial interpolasi Ne&ton F(x) untuk data dengan interval (x) tidak konstan

dikembangkan dari polinomial interpolasi "a#ran#edan $ewtondan dinyatakan

dengan'

(oefisien b0, b1, b2, bn tergantung dari nilai x0, x1, x2, xn dan

ordinatnya, yaitu masing-masing adalah' f(x)0, f(x)1, f(x2), f(xn) dan dihitung

sebagai berikut'


5/25/2018 Bab 1

8/22

$ecara skematis harga koefisien-koefisien dalam persamaan )-))! diberikan

berikut ini.

1.!. Interpolasi dengan Lengkung Kubik "Cubi# $pline% untuk

Data dengan Interval $e&barang

Interpolasi lengkung kubik menghasilkan nilai interpolasi y = f(x), dengan

kemiringan (s%o&e) dan kurvatur (cur'ature) yang sama di sekitar titik x


5/25/2018 Bab 1

9/22

Metode Numerik

interpolasi. ntuk interval antara xi1 dan xi, polinomial orde tiga mempunyai

turunan kedua sebagai berikut'

adalah koefisien yan tergantung dari nilaix. "enyelesaian persamaan di atas

pada intervalxi-1 danxi akan menghasilkan'

$edangkan pada intervalxi danxi1 akan menghasilkan'

2ika persamaan )-)! diintegrasi relatif terhadap interval (xi - x) akan dihasilkan

persamaan berikut'

sedangkan integrasi persamaan )-)! akan menghasilkan persamaan berikut'


5/25/2018 Bab 1

10/22

c1 dan c2 adalah konstanta integrasi. Integrasi sekali lagi akan menghasilkan'

3engkung kubik pertama melalui titik (xi-1, yi-1) dan titik (xi, yi) mempunyai

bentuk'

selan%utnya'

dimana y*(-)iadalah turunan di sebelah kiri titikx = xi. Demikian %uga lengkung

kubik kedua melalui titik (xi,yi) dan (xi1,yi1) mempunyai ekspresi'

selan%utnya'


5/25/2018 Bab 1

11/22

Metode Numerik

dimana y*()i adalah turunan di sebelah kanan titik x = xi. +urunan di sebelah kiri

dan di sebelah kanan harus mempunyai harga yang sama di titik x = xi,

sehingga'

dengan pengaturan selan%utnya, maka akan diperoleh ekspresi berikut'

ntuk titik data! sebanyak n buah, persamaan sebanyak (n-1) buah, maka

%umlah bilangan tidak diketahui akan ber%umlah (n1) buah, yi4 = 0,n. 5gar

sistem persamaan dapat diselesaikan, maka dibutuhkan tambahan dua

persamaan lagi, yang biasanya berhubungan dengan kondisi batas di titik i = 0

dan i = n. (edua persamaan tersebut biasanya menspesifikasikan kondisi batas,

dalam hal ini mengekspresikan kemiringan di titik i = 0 dan i = n sebagai berikut'

Dalam bentuk matriks, sistem persamaan linier dapat dituliskan sebagai berikut'

Yoszi Mingsi Anaperta, ST. MT

11

5/25/2018 Bab 1

12/22

+ adalah matriks koefisien ai berupa matriks tridiagonal yang elemen-

elemennya didefinisikan sebagai berikut'

/ adalah vektor bilangan tidak diketahui berupa yi, sedangkan / adalah

vektor dengan elemen-elemen yang diketahui dan didefinisikan sebagai berikut'

2ika sistem persamaan linier dapat diselesaikan, maka nilai y di setiap titik x

sembarang diperoleh dengan interpolasi berdasar rumus berikut'


5/25/2018 Bab 1

13/22

Metode Numerik

+urunan y*(-)i dan y*()i masing-masing dapat diperoleh dari persamaan )-*)! dan

)-*6!. $eringkali turunan lebih dipilih, daripada kurvatur, sebagai bilangan tidak

diketahui. +ransformasi kurvatur men%adi turunan mudah dilakukan.

Langka'(langka' interpolasi dengan lengkung kubik)

1.*. Interpolasi dengan Trigoneo&etri untuk Data +eriodik

2ika data-data yang diinterpolasi cenderung bersifat periodik, maka sebaiknya

interpolasi dilakukan dengan menggunakan fungsi trigoneometri. $alah satunya

dapat dinyatakan sebagai berikut'

(oefisien c0, c1, c2, cn tergantung dari nilai x0, x1, x2, xn dan

ordinatnya, yaitu masing-masing adalah' f(x0), f(x1), f(x2), f(xn) dan dihitung

sebagai berikut'


13

5/25/2018 Bab 1

14/22

"ersamaan )-)6! dapat %uga digunakan, %ika varibel bebasnya adalah y,

sedangkan variabel tak bebasnya adalahx.

1.,. Conto' Kasus Ekstrapolasi Kedepan Cara Newton untuk

Data dengan Interval Konstan

+ersoalan

"osisi planet 7ars diukur setiap )1 hari seperti ditun%ukkan pada +abel ).. Dari

data ini diminta untuk memperkirakan posisi panet 7ars pada t = 140,4.

-awaban)

"ersoalan ini merupakan masalah ekstrapolasi, karena harga yang diinginkan

berada di luar interval data-data yang diketahui. Ekstrapolasi dilakukan berdasar

data terakhir, yaitu mulai t 8 )611,. "erhitungan perbedaan nilai kedepan

diberikan berikut ini.


5/25/2018 Bab 1

15/22

Metode Numerik

Ekstrapolasi kedepan cara Ne&ton berdasar persamaan )-*! menghasilkan

polinomial ekstrapolasi dan posisi planet 7ars pada t = 140,4 sebagai berikut'

( ) ( ) ( ) (

08,58122

15167,01314155,181415527158086117862)5,1450(

10

5,13305,1450

10

5,13205,1450

10

5,13105,1450

10

5,13005,1450

!4

4

14

10

5,13105,1450

10

5,13005,1450

!3

111

10

5,13205,1450

10

5,13105,1450

10

5,13005,1450

!2

1054

10

5,13005,14508086117862)5,1450(

10

5,1330

10

5,1320

10

5,1310

10

5,1300

!4

4

10

5,1320

10

5,1310

10

5,1300

!3

111

10

5,1320

10

5,1310

10

5,1300

!2

1054

10

5,13008086117862)(

=++=

+

+

=

+

+

=

Ff

Ff

xxxx

xxx

xxxxxFf


15

5/25/2018 Bab 1

16/22

1.. Conto' Interpolasi Kasus Kedepan Cara Newton untuk

Data dengan Interval Tidak Konstan

+ersoalan)

Dari pengukuran topografi didapatkan data ketinggian dan posisinya sebagai

berikut'

Dari data tersebut diminta membuat fungsi interpolasi kedepan cara Ne&ton

untuk elevasi topografi berdasar data padax = 3.2, ., 4.0, !.0, 5.1 dan 6.2 9

data!. $elan%utnya dengan fungsi tersebut memperkirakan ketinggian di x = 4.4.

-awaban)

#ungsi interpolasi kedepan cara Ne&ton untuk data dengan interval tidak

konstan dinyatakan dalam persamaan )-))!. :arga koefisien-koefisien dalam

persamaan )-))! dihitung dalam tabel berikut ini.

"olinomial interpolasi dengan koefisien seperti tercantum dalam +abel ).9

adalah'


5/25/2018 Bab 1

17/22

Metode Numerik

Dengan demikian untukx = 4.4, maka ketinggiannya adalah'

1./. Conto' Interpolasi Kasus dengan Lengkung Kubik untuk

Data dengan Interval Tidak Konstan

+ersoalan)

Erupsi ;unung "iton de la #ournaise "ulau

5/25/2018 Bab 1

18/22

$tep 2)

membentuk vektor / berdasar persamaan )-61! dengan asumsi bah&a

turunan pada titik akhir sama dengan nol, misalnya'

$etelah melengkapi semua perhitungan, maka vektor / akan berharga'

$tep 3)

menyelesaikan sistem persamaan linier. Berdasar persamaan )-*0!, maka

sistem

persamaan simultan akan mempunyai bentuk sebagai berikut'


5/25/2018 Bab 1

19/22

Metode Numerik

Aektor / merupakan vektor bilangan yang tidak diketahui yang berupa turunan

kedua atau /y**i. $etelah penyelesaian sistem persamaan linier, maka diperoleh'

$tep )

menghitung turunan pertama di sebelah kiri dan kanan x berdasar persamaan )-

*)! dan )-*6! yang diberikan dalam +abel ).0 berikut ini'


19

5/25/2018 Bab 1

20/22

1.10. Conto' Kasus Ekstrapolasi Trigoneo&etri untuk

Data dengan Interval Konstan

+ersoalan

"osisi planet 7ars secara berkala ditun%ukkan pada +abel ).. Dari data ini kita

diminta memperkirakan posisi panet 7ars pada t = 140.4.

-awaban)

"ersoalan ini merupakan masalah ekstrapolasi data periodik, sehingga dapat

diker%akan menggunakan ekstrapolasi trigoneometri. Ekstrapolasi trigoneometri

dilakukan berdasar data terakhir, yaitu mulai t 8 )611. perhatikan kembali

+abel ).!. "erhitungan koefisien-koefsien fungsi ekstrapolasi diberikan berikut

ini.


5/25/2018 Bab 1

21/22

Metode Numerik

(oefisien-koefsien tersebut disubstitusi ke dalam persamaan )-66! akan

menghasilkan persamaan ekstrapolasi berikut ini.

:asil ekstrapolasi cara trigoneometri (125!6) berbeda cukup %auh dengan hasil

ekstrapolasi kedepan cara Ne&ton (207302). :al ini disebabkan oleh ketelitian

masing-masing interpolator yang berbeda. Dari keduanya tidak dapat ditentukan

mana yang lebih baik, karena keduanya tidak mempunyai mekanisme

pengukuran kesalahan. $elain itu tidak ada informasi posisi planet 7ars pada t =

140.4 hasil observasi. Dengan memperhatikan latar belakang masalahnya,

lintasan planet merupakan sesuatu yang sifatnya berkala atau periodik yang

tidak dapat diantisipasi oleh ekstrapolasi kedepan cara Ne&ton.

1.11. Ko&entar

Interpolasi dan ekstrapolasi merupakan prosedur untuk memperkirakan nilai atau

data yang tidak diketahui berdasar kombinasi beberapa nilai atau harga yang

diketahui. 7etode atau cara yang dipergunakan untuk itu banyak sekali.

Beberapa metode yang diberikan dalam bab ini hanya sebagian diantaranya.

Dalam bab ini hanya diberikan contoh fungsi interpolasi berupa polinomial dan

trigoneometri satu dimensi. "embaca dapat mencari sendiri beberapa metode

lainnya.


21

5/25/2018 Bab 1

22/22

(ata kunci dalam masalah interpolasi dan ekstrapolasi adalah ketelitian

interpolasi. Dalam bab ini hanya diberikan metode-metode klasik, padamana

tidak disertakan hal-hal berikut ini' kriteria interpolasi, ekspresi dan optimasi

ketelitian interpolasi. $atu-satunya metode interpolasi dalam bab ini yang

menyertakan kriteria interpolasi adalah interpolasi lengkung kubik, dengan

kriterianya adalah kesamaan kemiringan dan kurvatur di sebelah kiri dan kanan

titik interpolasi. 7asalah interpolasi dan ekstrapolasi dalam bab ini bertu%uan

hanya untuk memberi pemahaman kepada pembaca tentang adanya distribusi

data dalam fungsi sederhana. :asil interpolasinya sendiri bukan merupakan

tu%uan dari bab ini.

Bagian III buku ini akan membahas pemodelan data yang berkenaan dengan

masalah interpolasi dan ekstrapolasi menggunakan metode-metode mutakhir

dan lebih baik yang didasarkan pada model deterministik maupun statistik

spasial statistik!, baik untuk satu maupun multi dimensi. :asil interpolasi dengan

ketelitiannya yang optimal merupakan tu%uan dari Bagian III. Dengan demikian

keunggulan masing-masing metode-metode interpolasi dan ekstrapolasi dapat

dianalisis dan dibandingkan secara kuantitatif.

Dari beberapa fungsi interpolasi yang diberikan dalam Bab ) dapat disimpulkan,

bah&a masalah utama dalam penyusunan fungsi interpolasi adalah penentuankoefisien fungsi interpolasi. Dalam hal ini besarnya koefisien tersebut tidak

ditentukan misalnya tergantung dari %arak antara titik interpolasi dan titik-titik

lainnya. Dalam aplikasi ilmu-ilmu kebumian, data merupakan fungsi dari %arak.

2adi penentuan koefisien fungsi interpolasi atau kemudian disebut dengan bobot

merupakan masalah yang sangat kritis dalam pemodelan data. Bobot titik-titik di

sekitar titik interpolasi dengan demikian lebih besar dari bobot titik-titik yang lebih

%auh dari titik interpolasi.

ntuk keperluan interpolasi dan ekstrapolasi dalam bidang ilmu-ilmu kebumian

disarankan menggunakan metode-metode yang akan diberikan dalam Bagian III,

karena ketelitiannya dapat dipertanggung%a&abkan dan diu%i secara statistik serta

sesuai untuk aplikasi ilmu-ilmu kebumian.


Bab 1

Documents

Transcript of Bab 1