i

BUKU DIKTAT ANALISA VARIABEL KOMPLEKS

OLEH :

DWI IVAYANA SARI, M.Pd

i

DAFTAR ISI

BAB I. BILANGAN KOMPLEKS ............................................................................ 1 I. Bilangan Kompleks dan Operasinya ................................................................ 1 II. Operasi Hitung Pada Bilangan Kompleks ......................................................... 1 III. Kompleks Sekawan .......................................................................................... 3 IV. Interpretasi Geometris Bilangan Kompleks ...................................................... 3 V. Modulus (Nilai Mutlak) dari Bilangan Kompleks ............................................. 5 VI. Bentuk Kutub (Polar) dan Eksponen dari Bilangan Kompleks .......................... 7 VII. Pangkat dan Akar dari Bilangan Kompleks ...................................................... 9 VIII. Akar Bilangan Kompleks ................................................................................. 11

BAB II. FUNGSI, LIMIT DAN KEKONTINUAN .................................................. 13 I. Konsep – Konsep Topologi pada Fungsi Kompleks .......................................... 13 II. Fungsi Kompleks ............................................................................................. 16 III. Komposisi Fungsi ............................................................................................ 18 IV. Interpretasi Geometris ...................................................................................... 19 V. Limit ................................................................................................................ 20 VI. Kekontinuan fungsi .......................................................................................... 24

BAB III. TURUNAN ................................................................................................. 26 I. Definisi Turunan .............................................................................................. 26 II. Syarat Chauchy – Riemann .............................................................................. 27 III. Syarat C – R pada Koordinat Kutub ................................................................. 30 IV. Aturan Pendiferensial ....................................................................................... 31 V. Fungsi Analitik ................................................................................................ 31 VI. Titik Singular ................................................................................................... 32 VII. Fungsi Harmonik ............................................................................................. 33

1

BILANGAN KOMPLEKS

Dengan memiliki sistem bilangan real ℝ saja kita tidak dapat menyelesaikan

persamaan + 1 = 0. Jadi disamping bilangan real kita perlu bilangan jenis baru.

Bilangan jenis baru ini dinamakan bilangan imajiner atau bilangan kompleks.

I. BILANGAN KOMPLEKS DAN OPERASINYA

Definisi 1.1

Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk:

+ atau + , dan bilangan real dan = – 1.

Notasi

Bilangan kompleks dinyatakan dengan huruf , sedang huruf dan

menyatakan bilangan real. Jika = + menyatakan sembarang bilangan

kompleks, maka dinamakan bagian real dan bagian imajiner dari . Bagian real

dan bagian imaginer dari bilangan kompleks biasanya dinyatakan dengan Re( ) dan

Im( ).

II. OPERASI HITUNG PADA BILANGAN KOMPLEKS

Definisi 2.1

Bilangan kompleks = + dan bilangan kompleks = + dikatakan

sama, = , jika dan hanya jika = dan = .

Definisi 2.2

Untuk bilangan kompleks = + dan = + jumlah dan hasil kali

mereka berturut-turut didefinisikan sbb:

+ = ( + ) + ( + )

• = ( – ) + ( + )

1

2

Himpunan semua bilangan kompleks diberi notasi ℂ

Jadi ℂ = { | = + , ∈ ℝ, ∈ ℝ}

Jika Im( ) = 0 maka bilangan kompleks menjadi bilangan real , sehingga

bilangan real adalah keadaan khusus dari bilangan kompleks, sehingga ℝ ⊂ ℂ . Jika

Re( ) = 0 dan Im( ) ≠ 0, maka menjadi dan dinamakan bilangan imajiner

murni. Bilangan imajiner murni dengan = 0, yakni bilangan , dinamakan satuan

imajiner.

Sifat-sifat lapangan bilangan kompleks

Himpunan semua bilangan kompleks bersama operasi penjumlahan dan

perkalian (ℂ , +,•) membentuk sebuah lapangan (field). Adapun sifat-sifat lapangan

yang berlaku pada bilangan kompleks z1,z2 dan z3 adalah sebagai berikut:

1. + ∈ ℂ dan • ∈ ℂ (sifat tertutup)

2. + = + dan • = • (sifat komutatif)

3. ( + )+ = + ( + ) dan ( • ) • = • ( • ) (sifat

assosiatif)

4. • ( + ) = • + • (sifat distribtif)

5. Ada 0 = 0 + 0 ∈ ℂ , sehingga + 0 = (0 elemen netral penjumlahan)

6. Ada 1 = 1 + 0 ∈ ℂ , sehingga • 1 = (1elemen netral perkalian)

7. Untuk setiap = + ℂ, ada – =– – ℂ, sehingga + (– ) = 0

8. Untuk setiap = + ℂ, ada = sehingga • = 1.

dengan, =1

=1

+

=1

+ .−−

=−+

= + − +

Tugas: Buktikan sifat-sifat 1 – 8 menggunakan definsi yang telah diberikan.

3

Contoh 2.1

1. Jika = + dan = + , buktikan bahwa: − = x – x +

i(y – y )

2. Diketahui: = 2 + 3 dan = 5– . Tentukan + , – , , dan

III. KOMPLEKS SEKAWAN

Jika = + bilangan kompleks, maka bilangan kompleks sekawan dari

ditulis , didefinisikan sebagai = (x, – y) = x – iy.

Contoh 3.1

Sekawan dari 3 + 2 adalah 3 – 2 , dan sekawan dari 5 adalah – 5 .

Operasi aljabar bilangan kompleks sekawan di dalam himpunan bilangan

kompleks memenuhi sifat-sifat berikut :

Teorema 3.1

a. Jika bilangan kompleks, maka :

1. =

2. + = 2Re( )

3. − = 2Im( )

4. • = [Re( )] + [Im( )]

b. Jika , bilangan kompleks, maka:

1. + = +

2. − = −

3. • = •

4. = , dengan ≠ 0

IV. INTERPRETASI GEOMETRIS BILANGAN KOMPLEKS

Karena = + dapat dinyatakan sebagai = ( , ), merupakan pasangan

terurut bilangan real, maka dapat digambarkan secara geometri dalam koordinat

Kartesius sebagai sebuah titik ( , ). Pemberian nama untuk sumbu diubah menjadi

sumbu Real dan sumbu diubah menjadi sumbu Imajiner. Bidang kompleks tersebut

di beri nama bidang Argand atau bidang− . Jika kita hubungkan titik asal (0,0)

4

dengan titik ( , ), maka terbentuk vektor; sehingga bilangan kompleks = + =

( , ) dapat dipandang sebagai vektor . Arti geometris dari penjumlahan dan

pengurangan bilangan kompleks dapat dilihat pada gambar berikut.

5

Tugas :

Diketahui 1 = 2 + 3 dan = 5– . Gambarkan pada bidang kompleks (bidang

argand) , , + , − , , , + , −

V. MODULUS (NILAI MUTLAK) DARI BILANGAN KOMPLEKS

Definisi 5.1

Jika = + = ( , ) bilangan kompleks, maka modulus dari , ditulis | | =

| + | = +

Arti geometri dari modulus adalah merupakan jarak dari titik (0,0) ke

= ( , ). Akibatnya, jarak antara dua bilangan kompleks = + dan =

+ adalah ( − ) + ( − ) .

Selanjutnya apabila = + dan real positif, maka | – | = merupakan

lingkaran yang berpusat di titik dengan jari-jari .

Bagaimanakah dengan | – | < dan | – | > , Gambarkanlah pada bidang

.

Teorema 5.1

a. Jika bilangan kompleks, maka berlaku :

1. | | = Re( ) + Im( )

2. | | = | |

3. | | = •

4. | | ≥ |Re( )| ≥ Re( )

5. | | ≥ |Im( )| ≥ Im( )

b. Jika , bilangan kompleks, maka berlaku :

1. | • | = | | • | |

2. = | || |

3. | + | ≤ | | + | |

4. | − | ≥ | | − | |

5. | − | ≥ | | − | |

6

Tugas : Buktikanlah teorema a di atas dengan memisalkan = + , kemudian

berdasarkan hasil a, buktikan juga teorema b !

1. Akan dibuktikan | • | = | | • | |

| • | = |( + ) • ( + )|

= |( − ) + ( + )|

= ( − ) + ( + )

= + − 2 + + − 2

= ( + ) • ( + )

= ( + ) • ( + )

= | | • | |

Jadi, terbukti | • | = | | • | |

2. Akan dibuktikan = | || |

=++ .

−−

=++ +

−+

=++ +

−+

=+ + 2 + + − 2

( + )

=( + ). ( + )( + ). ( + )

=( + )( + )

=| || |

Jadi, terbukti = | || |

7

3. Akan dibuktikan | + | ≤ | | + | |

0 ≤ ( − )

0 ≤ + − 2

2 ≤ +

+ + 2 ≤ + + +

( + ) ≤ ( + )( + )

2( + ) ≤ 2 ( + )( + )

+ 2 + + + 2 +

≤ + + 2 ( + )( + ) + +

( + ) + ( + ) ≤ + + +

( + ) + ( + ) ≤ + + +

| + | ≤ | | + | |

Jadi, terbukti | + | ≤ | | + | |

4. Akan dibuktikan | − | ≥ | | − | |

| | = | − + |

≤ | − | + | |

| | − | | ≤ | − |

Jadi, terbukti | − | ≥ | | − | |

VI. BENTUK KUTUB (POLAR) DAN EKSPONEN DARI BILANGAN

KOMPLEKS

Selain dinyatakan dalam bentuk = + = ( , ), bilangan kompleks

dapat dinyatakan pula dalam bentuk koordinat kutub atau Polar, yaitu = ( , ).

8

Adapun hubungan antara keduanya, ( , ) dan ( , ) adalah:

= cos , = sin

sehingga = arc tan

adalah sudut antara sumbu− positif dengan

didapat juga = + = | |

Jadi, bentuk kutub bilangan kompleks adalah

= ( , ) = (cos + sin ) = cis

dan sekawan dari = ( , ) = (cos + sin )

Definisi 6.1

Pada bilangan kompleks = ( , ) = (cos + sin ), sudut disebut argument dari

, ditulis arg . Sudut dengan 0 < 2 atau − < disebut argument utama

dari , ditulis = Arg z. Pembatasan untuk sudut tersebut dipakai salah satu saja.

Definisi 6.2

Dua bilangan kompleks = (cos + sin ) dan = (cos + sin )

dikatakan sama, jika = , dan = .

Selain penulisan bilangan kompleks = ( , ) = ( , ) = (cos + sin ) =

cis , maka anda dapat menuliskan dalam rumus Euler (eksponen), yaitu = ,

dan sekawannya adalah = .

Tugas: Buktikan bahwa = cos + sin , dengan menggunakan deret MacLaurin

untuk cos , sin dan dengan mengganti = .

Contoh 6.1

Nyatakan bilangan kompleks = 1 + dalam bentuk polar dan eksponen!

Jawab :

= 1 + , = √2, tan = 1, sehingga = 45 =

Jadi = √2 cos + sin = √2 cis = √2

9

VII. PANGKAT DAN AKAR DARI BILANGAN KOMPLEKS

A. Perkalian dan Pemangkatan

Telah kita ketahui bahwa bilangan kompleks dalam bentuk kutub adalah =

(cos + sin ).

Jika = (cos + sin ) dan = (cos + sin ), maka kita peroleh

hasil perkalian keduanya sebagai berikut :

= [ (cos + sin )][ (cos + sin )]

= [(cos cos − sin sin ) + (sin cos + cos sin )]

= [cos( + ) + sin( + )]

Dari hasil perkalian tersebut diperoleh:

arg( ) = + = arg + arg

Pertanyaan :

Bagaimanakah jika kita perkalikan … … … dan … = ?

Jika diketahui:

= (cos + sin )

= (cos + sin )

= (cos + sin ), untuk asli

maka secara induksi matematika, diperoleh rumus perkalian

… … … = … … … [cos( + +⋯+ ) + sin( + + ⋯+

)]

Akibatnya jika, = = ⋯ = = = (cos + sin ) maka

……………… (1)

Khusus untuk = 1, disebut Dalil De-Moivre

(cos + sin ) = cos + sin , dengan asli.

B. Pembagian

Sedangkan pembagian dan adalah sebagai berikut:

=

(cos + sin )(cos + sin )

Setelah pembilang dan penyebut dikalikan dengan sekawan penyebut, yaitu

= (cos + sin )

10

= (cos − sin ), maka diperoleh:

= [cos( − ) + sin( − )]

Dari rumus di atas diperoleh:

arg

= − = arg − arg

Akibat lain jika = (cos + sin ).

maka, 1

=1

[cos(− ) + sin(− )]

untuk, 1

=1

(cos + sin )

setelah pembilang dan penyebut dikalikan sekawan penyebut, maka diperoleh:

. ………………… (2)

Dari (1) dan (2) diperoleh:

, Dalil De-Moivre

berlaku untuk semua bilangan bulat.

Contoh 7.1

Hitunglah: √3−

Jawab:

= √3 −

= | | = √3 + 1 = 2

tan =−1√3

Karena di kuadran IV, maka dipilih = −30

Jadi, √3 − = 2(cos(−30 ) + sin(−30 ))

√3 − = 2 (cos(−180 ) + sin(−180 ))

= 2 (−1 + 0)

= −2

1 =

1[cos(− ) + sin(− )]

= [cos( ) + sin( )]

11

=1

(−2)

=1

64

VIII. AKAR BILANGAN KOMPLEKS

Bilangan kompleks adalah akar pangkat dari bilangan kompleks , jika

= , dan ditulis = .

Jika = (cos + sin ) akar pangkat dari bilangan kompleks =

(cos + sin ), maka dari = diperoleh: (cos + sin ) = (cos +

sin ), sehingga = dan = + 2 , bulat.

Akibatnya, = dan =+ 2

Jadi, akar pangkat dari bilangan kompleks

= (cos + sin ) adalah:

= cos + sin

bulat dan bilangan asli.

Dari persamaan = , ada buah akar berbeda yang memenuhi persamaan itu.

Untuk mempermudah dipilih = 0,1,2,3, … , ( − 1);

0 < 2, sehingga diperoleh , , … , sebagai akar ke- dari .

Contoh 8.1

Hitunglah (−81)

Jawab :

Misalkan = (−81) , berarti harus dicari penyelesaian persamaan = −81

Tulis = (cos + sin ) dan −81 = 81(cos 180 + sin 180 )

sehingga (cos 4 + sin 4) = 81(cos 180 + sin 180 )

diperoleh = 81, atau = 3 dan .

Jadi = 3[cos + sin ]

Keempat akar yang dicari dapat diperoleh dengan mensubstitusi = 0,1,2,3 ke

persamaan terakhir.

12

Latihan Soal Bab I

1. Buktikan Teorema 1 dengan memisalkan = ( , ) = + .

2. Diketahui = 6 + 5 dan = 8– .

Tentukan + , − , ,

3. Jika = −1 − , buktikan + 2 + 2 = 0.

4. Cari bilangan kompleks yang memenuhi sifat:

a. =

b. = −

5. Buktikan untuk setiap bilangan kompleks berlaku: . = . = 2Re( )

6. Hitung jarak antara = 2 + 3 dan = 5– .

7. Gambarkan pada diagram argand dan sebutkan nama kurva yang terjad :

a. | – 5| = 6 dan | – 5| > 6

b. | + | = | – |

c. 1 < | – | < 3

8. Nyatakan bilangan kompleks = 2 − 2 dalam bentuk polar dan eksponen.

9. Hitunglah (−2 + 2 ) .

10. Tentukan himpunan penyelesaian dari: − = 0.

13

FUNGSI, LIMIT DAN KEKONTINUAN

Sebelum dibahas mengenai fungsi kompleks, maka perlu dipelajari konsep-

konsep topologi yang akan digunakan pada fungsi kompleks.

I. KONSEP-KONSEP TOPOLOGI PADA FUNGSI KOMPLEKS

Himpunan pada pembahasan ini adalah koleksi atau kumpulan titik-titik pada

bidang Z. Dianggap anda telah memahami operasi pada himpunan yaitu gabungan,

irisan, penjumlahan dan pengurangan beserta sifat-sifatnya.

1. Lingkungan/persekitaran

a. Persekitaran adalah himpunan semua titik yangterletak di dalam lingkaran

yang berpusat di , berjari-jari , > 0. Ditulis ( , ) atau | – | < .

b. Persekitaran tanpa adalah himpunan semua titik ≠ yang terletak di

dalam lingkaran yang berpusat di , berjari-jari , > 0. Ditulis ∗( > 0, )

atau 0 < | – | < .

Contoh 1.1

a. ( , 1) atau | – | < 1, lihat pada gambar 1

b. ∗( , ) atau 0 < | – | < , lihat pada gambar 2

2

14

2. Komplemen

Andaikan S suatu himpunan. Komplemen dari ditulis , merupakan himpunan

semua titik pada bidang ℤ yang tidak termasuk di .

Contoh 1.2

Gambarkan, = { |Im( ) < 1}, maka = { |Im( )1}.

= { |2 < < 4}, maka = { | 2 atau 4}.

3. Titik limit

Titik zo disebut titik limit dari himpunan S jika untuk setiap N*(zo,) maka

N*(zo,) S . Jika zo ∈ S dan zo bukan titik limit, maka zo disebut titik terasing.

4. Titik batas

Titik zo disebut titik batas dari himpunan S jika untuk setiap N*(zo,) memuat

suatu titik di S dan memuat suatu titik yang tidak di S.

5. Batas dari himpunan S

adalah himpunan semua titik batas dari S.

6. Interior dan Eksterior

Titik zo disebut interior dari himpunan S jika ada N(zo,) sehingga N(zo,) S.

Titik yang bukan titik interior atau bukan titik batas disebut titik eksterior.

7. Himpunan Terbuka

Himpunan S disebut himpunan terbuka jika semua anggota S adalah titik interior S.

15

8. Himpunan Tertutup

Himpunan S disebut himpunan tertutup jika S memuat semua titik limitnya.

9. Himpunan Terhubung

Himpunan terbuka S disebut terhubung, jika setiap dua titik di S dapat

dihubungkan oleh penggal garis yang seluruhnya terletak di S.

10. Daerah domain

Himpunan terbuka S yang terhubung disebut daerah domain.

11. Daerah Tertutup

Daerah tertutup S adalah daerah terbuka digabung dengan batasnya.

12. Penutup dari himpunan S

adalah himpunan S digabung dengan titik limitnya.

Contoh 1.3

1. Diberikan = { || | < 1}, maka:

adalah himpunan terbuka dan terhubung.

Batas dari adalah { | | = 1}.

Penutup dari adalah = { || | ≤ 1}.

16

2. Diberikan = { || | < 1} ∪ {(0,1)}, maka:

B adalah bukan himpunan terbuka dan juga bukan himpunan tertutup.

Titik-titik limit dari adalah { || |1}.

3. Diberikan = { || | 2}, maka:

Titik-titik interior adalah { || | < 2}.

II. FUNGSI KOMPLEKS

Definisi 2.1

Misalkan himpunan titik pada bidang Z.

Fungsi kompleks adalah suatu aturan yang memasangkan setiap titik

anggota dengan satu dan hanya satu titik pada bidang W, yaitu ( , ).

Fungsi tersebut ditulis = ( ).

Himpunan disebut daerah asal (domain) dari , ditulis dan ( ) disebut

nilai dari atau peta dari oleh . Range atau daerah hasil (jelajah) dari ditulis ,

yaitu himpunan ( ) untuk setiap anggota .

17

Contoh 2.1

a) = + 1–

b) = 4 + 2

c) = – 5

d) ( ) =

Contoh a), b), c) adalah fungsi kompleks dengan domain semua titik pada bidang Z.

Contoh d) adalah fungsi kompleks dengan domain semua titik pada bidang Z , kecuali

= − .

Jika = + , maka fungsi = ( ) dapat diuraikan menjadi =

( , ) + ( , ) yang berarti Re( ) dan Im( ) masing-masing merupakan fungsi

dengan dua variabel real dan .

Apabila = (cos + sin ), maka = ( , ) + ( , ).

Contoh 2.2

1. Tuliskan ( ) = 2 – dalam bentuk dan .

Jawab :

Misal = + ,

maka fungsi = ( ) = 2 –

= 2( + ) −

= 2( + 2 − ) –

18

= 2( − ) + (2 − 1).

Jadi = 2( − ) dan = 2 − 1.

2. Jika = (cos + sin ).

Tentukan ( ) = +

Jawab:

( ) = +

= [ (cos + sin )] +

= [cos − sin + 2 sin cos ] +

= (cos − sin ) + sin 2 +

= (cos − sin ) + ( sin 2 + 1)

berarti = (cos − sin ) dan = sin 2 + 1

III. KOMPOSISI FUNGSI

Diberikan fungsi ( ) dengan domain dan fungsi ( ) dengan domain .

Jika , maka ada fungsi komposisi ( )( ) = ( ( )), dengan

domain .

Jika , maka ada fungsi komposisi ( )( ) = ( ( )), dengan

domain .

19

Jadi, tidak berlaku hukum komutatif pada ( )( ) dan ( )( ).

Contoh 3.1

Misal: ( ) = 3 – dan ( ) = + – 1 +

Jika ,

maka ( )( ) = ( ( ))

= (3 – )

= (3 – ) + (3 – )– 1 +

= 9 – 6 – 1 + 3 – – 1 +

= 9 – 3 – 2– 6

Jika ,

maka ( )( ) = ( ( ))

= ( + – 1 + )

= 3 + 3 – 3 + 3 –

Karena 9 – 3 – 2– 6 ≠ 3 + 3 – 3 + 3 –

Jadi, ( )( ) ( )( ) atau (tidak komutatif).

IV. INTERPRETASI GEOMETRIS

Untuk setiap variabel bebas = + anggota domain ada satu dan hanya

satu variabel tak bebas = + yang terletak pada suatu bidang kompleks.

Masing-masing variabel terletak pada suatu bidang kompleks, pada bidang dan

pada bidang . Karena pasangan ( , ) mengandung 4 dimensi, maka kita tidak dapat

menggambarkannya pada satu sistem. Tetapi kita dapat melihat gambaran dari

= ( ). Caranya dengan memandang fungsi tersebut sebagai pemetaan

(transformasi) dari titik di bidang ke titik di bidang dengan aturan . Untuk suatu

titik maka ( ) disebut peta dari .

Contoh 4.1

Diketahui fungsi = 2 – 1 + . Untuk setiap variabel bebas = + didapat nilai

= (2 – 1) + (2 + 1) . Misalnya untuk = 1 + , dan = 2– 3 , berturut-turut

diperoleh: = 1 + 3 , dan = 3– 5 . Gambar dari , , , dan dapat dilihat

di bawah ini:

20

Contoh 4.2

Diketahui fungsi = .

Dengan menggunakan = (cos + sin ), maka diperoleh = = (cos 2 +

sin 2).

Jika sebuah lingkaran pusat berjari-jari pada bidang , maka dapat dipetakan ke

bidang menjadi sebuah lingkaran pusat berjari-jari . Daerah 0 arg

dipetakan menjadi daerah 0 arg 2.

Gambar keduanya dapat dilihat di bawah ini.

V. LIMIT

Diketahui daerah pada bidang dan titik terletak di dalam atau pada

batas . Misalkan fungsi = ( ) terdefinisi pada , kecuali di .

21

Apabila titik bergerak mendekati titik melalui setiap lengkungan sebarang

dan mengakibatkan nilai ( ) bergerak mendekati suatu nilai tertentu, yaitu pada

bidang , maka dikatakan limit ( ) adalah untuk mendekati , ditulis:

lim → ( ) = .

Definisi 5.1

Misalkan fungsi = ( ) terdefinisi pada daerah , kecuali di (titik di dalam

atau pada batas ). limit ( ) adalah untuk mendekati , jika untuk setiap

> 0, terdapat > 0 sedemikian hingga | ( )– | < , apabila 0 < | – | < ,

ditulis:

lim→

( ) =

Perlu diperhatikan bahwa :

1. Titik adalah titik limit domain fungsi .

2. Titik menuju melalui sebarang lengkungan , artinya menuju dari segala

arah.

3. Apabila menuju melalui dua lengkungan yang berbeda, mengakibatkan ( )

menuju dua nilai yang berbeda, maka limit fungsi tersebut tidak ada untuk

mendekati .

Contoh 5.1

Buktikan bahwa: lim → = 5

Bukti:

Misalkan diberikan bilangan > 0, kita akan mencari > 0 sedemikian, sehingga:

22

0 < | – | < → − 5 < , untuk 2.

Lihat bagian sebelah kanan

Dari persamaan kanan diperoleh:

2 − 3 − 2− 2 − 5 < ↔

(2 + 1)( − 2)− 2 − 5 <

↔(2 + 1 − 5)( − 2)

− 2 <

↔ |2( − 2)| <

↔ | − 2| < 2

Hal ini menunjukkan bahwa = telah diperoleh.

Bukti Formal :

Jika diberikan > 0, maka terdapat = , sehingga untuk 2, diperoleh:

0 < | – 2| < →2 − 3 − 2

− 2 − 5

=(2 + 1)( − 2)

− 2 − 5

= |2( − 2)| < 2 =

Jadi, − 5 < apabila 0 < – 2 < =

Terbukti, lim → = 5

Teorema Limit :

Teorema 5.1

Jika fungsi f mempunyai limit untuk menuju , maka nilai limitnya tunggal.

Bukti:

Misal limitnya dan , maka

| ( )− | = | − ( )| = 2

| ( )− | = 2

| − ( ) + ( ) − | ≤ | − ( )| + | ( ) − | = 2 + 2 =

23

Sehingga, | − | ≤

Jadi, =

Teorema 5.2

Misalkan = ( , ) = + dan ( ) = ( , ) + ( , ) dengan domain . Titik

= ( , ) = + di dalam atau batas .

Maka, lim → ( ) = +

jika dan hanya jika lim → ( , ) = dan lim → ( , ) =

Teorema 5.3

Misalkan fungsi dan limitnya ada.

lim ( ) = dan lim ( ) = , maka

1. lim( ( ) + ( )) = + (untuk → )

2. lim( ( ). ( )) = . (untuk → )

3. lim( ( )( )

) = (untuk → )

Tugas : Buktikan ketiga teorema limit tersebut !

Contoh 5.2

Hitunglah lim →

Jawab:

lim→

+ 1− = lim

→

( + )( − )−

= lim→

( + )

= 2

Contoh 5.3

Jika ( ) = + . Buktikan lim → ( ) tidak ada!

Bukti :

Kita tunjukkan bahwa untuk menuju 0 di sepanjang garis = 0, maka

lim→

( ) = lim( , )→( , )

( ) = lim→

= 0 … … … … … … … … (1)

Sedangkan di sepanjang garis = ,

24

lim→

( ) = lim( , )→( , )

( ) = lim→

1 + + 1 = 1 … … … … … … … … (1)

Dari (1) dan (2), terbukti lim → ( ) tidak ada.

VI. KEKONTINUAN FUNGSI

Definisi 6.1

Misalkan fungsi ( ) terdefinisi di pada bidang dan titik terletak pada interior

, fungsi ( ) dikatakan kontinu di jika untuk menuju , maka lim ( ) =

( ).

Jadi, ada tiga syarat fungsi ( ) kontinu di zo, yaitu :

1. ( ) ada

2. lim → ( ) ada

3. lim → ( ) = ( )

Fungsi ( ) dikatakan kontinu pada suatu daerah , jika ( ) kontinu pada setiap titik

pada daerah tersebut.

Teorema 6.1

Jika ( ) = ( , ) + ( , ), ( ) terdefinisi di setiap titik pada daerah ,

dan = + titik di dalam , maka fungsi ( ) kontinu di jika dan hanya

jika ( , ) dan ( , ) masing-masing kontinu di ( , ).

Teorema 6.2

Andaikan ( ) dan ( ) kontinu di , maka masing-masing fungsi :

1. ( ) + ( )

2. ( ). ( )

3. ( )( )

, ( ) 0

4. ( ( )); kontinu di ( ), kontinu di .

Contoh 6.1

Fungsi ( ) = , ≠ 23 + 4 , = 2

, apakah kontinu di 2 ?

25

Jawab :

(2 ) = 3 + 4(2 ) = 3 + 4 ,

sedangkan untuk mendekati 2 , lim ( ) = + 2 ,

sehingga, lim → ( ) ≠ (2 )

jadi ( ) diskontinu di = 2 .

Contoh 6.2

Dimanakah fungsi ( ) = kontinu ?

Jawab :

Coba anda periksa bahwa ( ) diskontinu di = 1 dan = 2. Jadi ( ) kontinu di

daerah | | > 2 .

26

TURUNAN

I. DEFINISI TURUNAN

Diberikan fungsi yang didefinisikan pada daerah dan .

Jika diketahui bahwa nilai lim →( ) ( )

ada, maka nilai limit ini dinamakan

turunan atau derivatif fungsi di titik .

Dinotasikan : ′( ).

Jika ′( ) ada, maka dikatakan terdifferensial atau diferensiabel di .

Dengan kata lain : ( ) = lim∆ →∆∆

= lim∆ →( ∆ ) ( )

∆

Jika terdifferensial di semua titik pada , maka terdifferensial pada

Contoh 1.1

Buktikan ( ) = terdifferensiasi diseluruh ℂ

Bukti :

Ditinjau sebarang titik ℂ.

( ) = lim→

−−

= lim→

( + )( − )−

= 2

Karena sebarang maka ( ) = terdefferensial di seluruh ℂ.

Teorema 1.1

Jika fungsi kompleks dan ( ) ada, maka kontinu di

Bukti :

Diketahui ( ) ada

Akan dibuktikan kontinu di atau lim→

( ) = ( )

3

27

lim→

( ) − ( ) = lim→

( ) ( ) . ( − )

= lim→

( )− ( )− . lim

→( − )

= ( ). 0

= 0

Sehingga, lim→

( ) =, lim→

( ) = ( )

dengan kata lain kontinu di .

Contoh 1.2

Buktikan ( ) = | | kontinu di seluruh bidang kompleks tetapi hanya terdifferensial

di = 0

Bukti :

( ) = | | = + berarti ( , ) = + dan ( , ) = 0

dan kontinu di , maka ( ) kontinu di .

(0) = lim→

( )− (0)− 0

= lim→

| |

= lim→

= 0

Jadi ( ) terdifferensial di = 0.

II. SYARAT CHAUCHY-RIEMANN

Syarat yang diperlukan agar fungsi terdiferensial di = + adalah

syarat Chauchy-Riemann, yang menghubungkan derivatif-derivatif parsial tingkat

pertama dari fungsi bagian real dan fungsi bagian imajiner dari .

Teorema 2.1 (SYARAT CHAUCHY-RIEMANN)

Jika ( ) = ( , ) + ( , ) terdifferensial di = + , maka ( , ) dan

( , ) mempunyai derivatif parsial pertama di ( , ) dan di titik ini dipenuhi

persamaan Cauchy – Riemann.

= = −

28

derivatif di dapat dinyatakan dengan

′( ) = ( , ) + ( , )

Jika persamaan C-R tidak dipenuhi di ( , ) maka

( ) = ( , ) + ( , ) tidak terdifferensial di = +

Contoh 2.1

Buktikan ( ) = | | tidak terdifferensiasi di 0

Bukti :

( ) = + sehingga ( , ) = + dan ( , ) = 0

Persamaan Cauchy – Riemann:

= 2 dan = 2

= 0 dan = 0

= ↔ 2 = 0 … … … … … (1)

= − ↔ 2 = 0 … … … … … (2)

(1) dan (2) tidak dipenuhi jika 0 atau 0, jadi pasti f tidak terdeferensial di

0.

CATATAN :

Syarat C-R hanya syarat perlu untuk keterdifferensialan.

Contoh 2.2

Buktikan fungsi ( ) = ( ) ( )

dan (0) = 0, tidak terdifferensial di 0, memenuhi C-R.

Bukti :

= dengan (0,0) = 0

= dengan (0,0) = 0

(0,0) = lim→

( , 0)− (0,0)= 1

29

(0,0) = lim→

( , 0) − (0,0)= −1

(0,0) = lim→

( , 0) − (0,0)= 1

(0,0) = lim→

( , 0) − (0,0)= 1

Jadi persamaan Cauchy – Riemann terpenuhi.

Tetapi,

lim→

( ) − (0)= lim

→

(1 + ) − (1 − )( + )( + )

Untuk → 0 sepanjang garis real = 0 lim →( ) = 1 +

Untuk → 0 sepanjang garis real = lim → ( )=

Jadi, lim →( ) ( )

tidak ada.

Sehingga tidak terdifferensial di 0 meskipun persamaan C-R dipenuhi di (0,0).

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa :

i) Syarat perlu

( ) = ( , ) + ( , ), = +

′( ) ada maka , , , ada di ( , )

berlaku C-R yaitu :

= dan = −

dan ′( ) = ( , ) + ( , ).

ii) Syarat cukup

( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ) kontinu

pada kitar = + dan di ( , )dipenuhi C-R maka ′( ) ada

Contoh 2.3

Buktikan ( ) = (cos + sin ) terdiferensial untuk setiap dalam ℂ.

Bukti :

30

( , ) = cos ( , ) = cos

( , ) = − sin

( , ) = sin ( , ) = sin

( , ) = cos

Berdasarkan persamaan C-R :

= dan = − dipenuhi di ∀( , )ℂ, dan ada kitar dimana keenam fungsi

kontinu dan C-R dipenuhi di ( , ).

Jadi ′( ) ada ∀ ℂ.

Dan ( ) = ( , ) + ( , )

= cos + sin

III. SYARAT C-R PADA KOORDINAT KUTUB

Jika ( ) = ( , ) + ( , ) dapat diilustrasikan dalam koordinat kartesius

maka dengan menggunakan hubungan = cos dan = sin, diperoleh =

cos + sin , sehingga ( ) = ( ,) + ( ,) dalam sistem koordinat kutub.

Teorema 3.1

Jika ( ) = ( ,) + ( ,) terdiferensial dan kontinu pada suatu kitar ( , ) dan

jika dalam kitar tersebut , , , ada dan kontinu di ( , ) dan dipenuhi C-R

yaitu:

=1

dan

1

= − , ≠ 0

maka ′( ) = ada di = dan ′( ) = (cos – sin ) [ ( , ) +

( , )]

Contoh 3.1

Diketahui ( ) = , tentukan ′( ) dalam bentuk kootdinat kutub.

Jawab :

( ) = = (cos 3 − sin 3), maka :

= cos 3, sehingga = −3 cos 3 dan

= − sin 3

= − sin 3 , sehingga = 3 sin 3 dan

= − cos 3

ada dan kontinu di

setiap (x,y) ℂ

31

keenam fungsi ini kontinu dan syarat C-R dipenuhi untuk semua 0

Jadi ( ) = terdiferensial untuk 0

Dengan demikian ′( ) dalam koordinat kutub adalah :

′( ) = (cos – sin ) (−3 cos 3 + 3 sin 3)

= cis (−) (−3 ) cis(−3)

= −3 (−4)

IV. ATURAN PENDIFERENSIALAN

Jika ( ), ( ) dan ℎ( ) adalah fungsi- fungsi kompleks serta ′( ), ′( ) dan ℎ′( )

ada, maka berlaku rumus-rumus:

1. = 0, ( ) = 1

2. [ ( )] = ( )

3. [ ( ) ± ( )] = ( ) ± ( )

4. [ ( ) ( )] = ( ) ( ) + ( ) ( )

5. ( )( )

= ( ) ( ) ( ) ( )[ ( )]

6. =

7. Jika ℎ( ) = [ ( )] ℎ′( ) = ′[ ( )] ′( ) biasa disebut dengan

komposisi (aturan rantai)

= .

V. FUNGSI ANALITIK

Definisi 5.1

Fungsi analitik di , jika ada > 0 sedemikian, hingga ′( ) ada untuk setiap

( , ) (persekitaran )

Fungsi analitik untuk setiap ℂ dinamakan fungsi utuh

32

Contoh 5.1

1. ( ) =

2. ( ) = +

diperoleh : = ; = sehingga

= 3 ; = 0 ; = 0; = 3

dengan menggunakan persamaan C-R :

3 = 3 = ± dan = = 0

persamaan C-R dipenuhi dan kontinu digaris = ±

berarti ′( ) ada hanya di = ±

Jadi ( ) tidak analitik dimanapun karena tidak ada kitar.

Misalnya dan analitik pada , maka :

± merupakan fungsi analitik

merupakan fungsi analitik

/ merupakan fungsi analitik dengan ≠ 0

ℎ = ∘ merupakan fungsi analitik

berlaku aturan L’hospital yaitu :

lim→

( )( ) =

′( )′( ) , dengan ( ) ≠ 0 dan ′( ) ≠ 0

VI. TITIK SINGULAR

Definisi 6.1

Titik disebut titik singular dari jika tidak analitik di tetapi untuk setiap kitar

dari memuat paling sedikit satu titik dimana analitik.

Jenis kesingularan ( ) atau titik singular antara lain :

1. Titik singular terisolasi

Titik dinamakan titik singular terisolasi dari ( ) jika terdapat > 0 demikian

sehingga lingkaran | – | = hanya melingkari titik singular lainnya. Jika

seperti itu tidak ada, maka = disebut titik singular tidak terisolasi.

2. Titik Pole (titik kutub)

33

Titik = disebut titik pole tingkat n, jika berlaku

lim→

( − ) ( ) = ≠ 0

Jika = 1, disebut sebagai titik pole sederhana.

3. Titik Cabang

Dari fungsi bernilai banyak dapat menjadi titik singular.

4. Titik Singular dapat dihapuskan

Titik singular disebut titik singular dapat dihapuskan dari f(z) jika

lim → ( ) ada.

5. Titik Singular Essensial

Titik singular = yang tidak memenuhi syarat titik singular pole titik cabang

atau titik singular yang dapat dihapuskan disebut titik singular essensial.

6. Titik Singular tak hingga

Jika ( ) mempunyai titik singular di = , maka sama dengan menyatakan

( ) mempunyai titik singular di = 0.

Contoh 6.1

( ) =( )

berarti titik = adalah titik pole tingkat 2 dari ( )

( ) = | | tidak merupakan titik singular

( ) = ln( + – 2) maka titik cabang adalah = 1 dan = −2 karena

( + – 2) = ( – 1)( + 2) = 0

VII. FUNGSI HARMONIK

( ) = ( , ) + ( , ) analitik pada maka dan mempunyai derivatif

parsial di semua orde yang kontinue pada . Jadi dalam berlaku C-R , = dan

= – .

Karena derifatif-derivatif parsial dari dan kontinue dalam , maka berlaku

= . Jika dalam = dan = – diderivatifkan parsial terhadap dan

maka ( , ) berlaku = = 0 dan = = 0.

34

Jika analitik pada maka dan pada memenuhi persamaan

differensial Laplace dalam 2 dimensi.

+ = 0

dan dimana ( ) = ( , ) + ( , ) analitik pada suatu domain maka ( )

harmonik pada domain tersebut.

Dua fungsi dan sedemikian sehingga ( ) = ( , ) + ( , ) analitik dalam

suatu domain dinamakan dua fungsi yang harmonik konjugat dalam domain itu.

Contoh 7.1

Diberikan ( , ) harmonik pada dan tentukan fungsi yang harmonik konjugat

dengan = 4 – 12 , ( , ) ℂ

Jawab :

Misal diklaim konjugatnya adalah ( , )

jadi ( ) = ( , ) + ( , ) analitik pada ℂ sedemikian sehingga berlaku C-R

= dan = –

= 4 – 12 = 4 – 12

= 12 – 4 = – 6 + ( )

karena =– maka −12 + ( ) = −12 + 4 sehingga ( ) = 4

diperoleh ( ) = + C

Jadi = – 6 + +

CARA MILNE THOMSON

Cara yang lebih praktis menentukan fungsi harmonik konjugat atau dari fungsi

harmonik diberikan ( , ) harmonik pada andaikan ( , ) sehingga

( ) = ( , ) + ( , ) analitik pada

′′( ) = ( , ) + ( , )

sesuai persamaan C-R : ”( ) = ( , ) – ( , )

= + dan = − sehingga diperoleh

=+ 2 dan =

− 2

35

( ) =+ 2 ,

− 2 −

+ 2 ,

− 2

Suatu identitas dalam dan , jika diambil = maka

( ) = ( , 0) − ( , 0). Jadi ( ) adalah fungsi yang derivatifnya ( , 0) −

( , 0) kemudian didapat ( , )

Contoh 7.1

Dari Contoh 1 dengan = 4 – 4 , ( , ) ℂ, jika diselesaikan dengan

menggunakan cara Milne Thomson.

Jawab :

= 4 – 12

= 12 – 4

( ) = ( , 0)− ( , 0)

= – (– 4 )

= 4

sehingga ( ) = +

( ) = ( + ) +

= 4 – 4 + ( – 6 + ) +

36

DAFTAR PUSTAKA

Ruel V. Churchill. 1984. Complex variables and applications. New York : McGraw-Hill.

Marsden, Jerrold. E. 1999. Basic Complex Analysis. New York: California State

University.