9.1 Nilai Optimum dan Nilai Ekstrem

Dalam ilmu ekonomi kita mengenal tentang maksiminasi dan minimasi dengan istilah umum optimasi, yang berarti “mencari yang terbaik” . Akan tetapi hal ini berbanding terbalik karena istilah tersebut tidak memiliki kaitannya dengan matematika murni. Oleh karena itu, istilah kolektif untuk maksimum dan minimum sebagai konsep matematik ialah nilai ekstremum, yang berarti nilai ekstrem9.2 Maksimum dan Minimum Relatif : Uji Derivatif-

PertamaEkstrem Relativ Vs Absolut

Maksimum absolut pasti merupakan maksimum relatif atau salah satu

titik akhir fungsi . Jadi, bila kita mengetahui semua maksimum relatif, maka kita

hanya perlu memilih yang terbesar dan membandingkannya dengan titik akhir

guna menentukan maksimum absolut

Bab 9

.Selanjutnya, nilai-nilai ekstrem yang dipertimbangkan akan merupakan ekstrem relatif atau ekstrem lokal, kecuali bila ditentukan lain.

Uji Derivatif-Pertama

Derivatif pertama adalah turunan pertama suatu fungsi. Misal

fungsi y=f(x), maka f’(x) digunakan dalam mencari nilai ekstrem.

Uji derivatif pertama untuk ekstrem relatif. Jika derivatif pertama pada

fungsi f(x) pada x=x0 adalah f’(x0) = 0, maka nilai fungsi x0,f’(x0)

merupakan

a. Maksimum relatif jika f’(x) berubah tanda dari positif ke negatif dari

sebelah kiri titik x0 ke sebelah kanannya

b. Minimum relatif jika f’(x) berubah tanda dari negatif ke positif dari

sebelah kiri titik x0 ke sebelah kanannya

c. Tidak maksimum maupun minimum relatif bila f’(x) mempunyai

tanda yang sama baik sebelah kiri maupun sebelah kanan titik x0

Contoh derivatif pertama sampai kelima suatu fungsi:

Contoh derivatif pertama sampai keempat suatu fungsi rasional:

9.3 Derivatif Kedua dan Derivatif yang Lebih Tinggi

a) x = x0 merupakan titik relatif maksimum jika f "( x ) < 0

b) x = x0 merupakan titik relatif minimum jika f "( x )

> 0

c) x = x0 tidak dapat disimpulkan secara pasti atau uji

derivatif kedua gagal jika f "( x ) = 0

Cara menguji kecekungan adalah sbb :

a) Jika f "( x ) < 0 maka fungsi cekung ke bawah (concave)

b) Jika f "( x ) > 0 maka fungsi cekung ke atas (convex)

Titik belok (inflection point) adalah suatu titik dimana kecekungan

berubah.

Cara mencari titik belok adalah mencari solusi dari f "( x ) = 0

9.4 Uji Derivatif Kedua

Tabel kondisi relative ekstremum : y = f ( x )

9.5 Deret MaclaurinDeret MacLaurin adalah sebuah fungsi yang dapat

dinyatakan dalam bentuk deret polinomial

Tapi tidak semua fungsi bisa dinyatakan dalam bentuk tersebut, contohnya

Untuk itu, Taylor membuat deret yang lebih umum,Deret taylor merupakan derivatif dari Deret Maclaurin. Dapat ditulis dengan

Teorema Taylor dapat ditulis :

Rn = F (n+1)(C) (X-X0 )n+1

(n+1)!

Untuk suatu c diantara x dan x0 . Formula Rn disebut bentuk Lagrange (atau bentuk derivatif) dari sisa

11.1 Versi Diferensial dari Syarat Optimisasi

Syarat Orde Pertama :

Jika diketahui fungsi z=f(x), kita dapat menulis diferensial dz= f’(x) dx

Kondisi derivatif orde pertama “f’(x) = 0” dapat diubah dalam kondisi diferensial

orde pertama ; “dz = 0 untuk sembarang nilai dx yang tidak nol”.

Syarat Orde Kedua :

Syarat cukup orde kedua untuk titik ekstrem z adalah, dalam istilah derivatif,

f”(x) < 0 (untuk suatu maksimum) dan f”(x) > 0 (untuk suatu minimum) pada

titik stasioner.

d2x d(dz) = d[f’(x) dx]

= [df’(x)] dx

=[f”(x) dx] dx = f”(x) dx2

Dapat diterjemahkan masing – masing, menjadi untuk

sembarang nilai.

Syarat Diferensial versus Syarat Derivatif

Secara lebih spesifik, syarat orde nilai pertama(nilai dz yang

sama dengan nol) dan syarat orde kedua (untuk d2x negatif atau

positif) dapat digunakan dengan validitas yang sama untuk semua

kasus yang diberikan dengan umgkapan “untuk sembarang nilai dx

yang tidak sama dengan nol” yang harus dimodifikasi untuk

menggambarkan perubahan jumah variabel pilihan.

dx ≠ 0

Syarat Orde 1

• Suatu fungsi 2 peubah memiliki nilai maksimum

relatif pd titik (xo, yo) jika terdapat lingkaran

berpusat di (xo, yo) s.d.h utk setiap (x, y) di dlm

lingkaran dan f memiliki nilai maksimum mutlak

di (xo, yo) bila utk semua titik (x, y) di domain f

• Jika f memiliki nilai ekstrim relatif pada titik (xo,

yo) dan bila turunan parsialnya ada pada titik tsb

maka fx (xo , yo ) = 0 dan f y (xo , yo ) = 0

11.2 Nilai Ekstrem fungsi dua variabel

Syarat Orde 2

Misal f fungsi 2 peubah dg turunan parsial orde 2

kontinu dalam beberapa lingkaran pada titik kritis (xo, yo) dan

misalkan D = f xx (xo , yo ) f yy (xo , yo )− f xy 2 (xo , yo )

a. Jika D > 0 dan f xx (xo , yo ) > 0 , maka f punya minimum

relative

b. Jika D > 0 dan f xx (xo , yo ) < 0 ,maka f punya maksimum

relatif

c. If D < 0 , maka f memiliki titik pelana (a saddle point)

d. If D = 0 , maka tdk ada kesimpulan yg dpt digambarkan

Setiap suku mempunyai derajat yang sama- yaitu, dimana

jumlah eksponen dalam setiap suku sama, plinom ini disebut sebagi

suatu bentuk (form). Misal :

4x – 9y + z adalah bentuk linear dalam tiga varibel

4x2 – xy + 3y2 adalah bentuk kuadrat dalam 2 variabel

Kita juga akan menjupai kuadrat dalam tiga variabel seperti x2 + 2xy – yw + 7w2, atau juga dalam n variabel

Diferensial Total Orde Kedua sebagai Suatu Bentuk Kuadrat

Q = au2 + 2huv + bv2

dx = u

dy = v

11.3 Bentuk Kuadrat – Suatu Ekskursi

Variabel

11.4 Fungsi Tujuan dengan Lebih dari Dua Variabel

Syarat Orde Pertama untuk Titik Ekstrem

Pembahasan sebelumnya menyatakan bahwa, untuk

memperoleh suatu maximum atau minimum dari z

diperlukan dz = 0 untuk sembarang nilai dx1, dx2, dan dx3

tidak nol. Karena nilai dz sekarang

dz= f1 dx1 + f2 dx2 + f3 dx3 , f1 = f2 = f3 = 0

Jadi, syarat perlu untuk titik ekstrem adalah, bahwa

semua derivative parsial orde pertama adalah nol, sama

seperti untuk kasus dua variable

Syarat Orde Kedua

d2z = d (dz) = f11 dx12 dx1 + f12 dx1 dx2 + f13 dx1 dx3 + f21 dx2

dx1 + f22 dx + f23 dx2 dx3 + f31 dx3 dx1 + f32 dx3 dx2 + f33 dx

=|H| yang minor utamanya bisa

dinyatakan sbb |H1| = f11 |H2| = |H3| = |H|

Jadi, berdasarkan criteria determinan untuk kedefinitan

p[ositif dan negative, kita dapat menyatakan syarat cukup orde

kedua untuk suatu titik ekstrem dari z sebagai berikut

Z* adalah suatu bila d2z definit negative atau d2z definit positif

Kasus n-Variabel

Z= f (x1, x2, … , xn) diferensial totalnya akan menjadi

dz = f1 dx1 + f2 dx2 + … + fn dxn

Sehingga syarat perlu untuk titik ekstrem (dz =

0 untuk sembarang dz, tidak semuanya nol) berarti

bahwa semua n dserivatif positif parsial orde

pertama harus sama dengan nol

Z* = f(x*1 ,……x*

n)

F adalah cekung sempurna

z* adalah maksimum absolut yang tunggal

z* adalah maksimum absolut

z* adalah maksimum relatif

d2z adalah definit negatif pada z*

(syarat cukup orde kedua)

d2z semi definit negatif pada z*

(syarat perlu orde kedua)

F adalah cekung

d2z adalah Definit negatif dimana saja

d 2z adalah Definit

negatif dimana saja

11.5 Syarat orde kedua dalam hubungannya dengan kecembungan dan kecekungan

Pengecekan kecembungan dan kecekungan

Suatu fungsi f adalah (cembung atau cekung) bila, untuk setiap pasangan titik u dan v yang berbeda dalam domain f, dan untuk 0 < 0 < 1

Dalil untuk fungsi-fungsi dengan jumlah berapapun :

Dalil I (fungsi linear) :

jika f(x) = fungsi linear, maka f(x) = fungsi cekung dan juga fungsi

cembung, tetapi tidak sempurna

Dalil II (negatif dari suatu fungsi) :

jika f(x) fungsi cekung, maka f(x) adalah fungsi cembung, dsb, demikian

juga, bila f(x) = fungsi cekung sempurna, maka f(x) adalah fungsi cembung

sempurna, dsb.

Dalil III (jumlah dari suatu fungsi) :

jika f(x) dan g(x) kedua-duanya = fungsi cekung (cembung), maka f(x) +

g(x) juga merupakan fungsi cekung (cembung) dan bila satu atau keduanya

cekung sempurna (cembung sempurna), maka f(x) + g(x) adalah cekung

sempurna (cembung sempurna)

Fungsi yang dapat dideferensialkan

Fungsi yang dapat dideferenialkan (fx) adalah (cekung,

cembung) jika, untuk setiap titik tertentu u dan setiap titik lain v domain.

Fungsi Cembung vs Himpunan Cembung

Kombinasi linear dari dua vektor u dan v dapat ditulis sebagai

K1u + k2v, dimana k1 dan k2 adalah dua skalar

Oquv membentujk jajaran genjang, maka diperoleh

u = q + v atau q = u – v

Kombinasi cembung dari vektor u dan v dapat dinyatakan delam bentuk

vektor q

W = Ɵu + (1-Ɵ)v = Ɵu + v – Ɵv = Ɵ(u –v) +v = Ɵq + v

11.6 Penerapan EkonomiPERMASALAHAN PERUSAHAAN MULTI PRODUKAusmsikan bahwa perusahaan dengan dua produk berada pada keadaan persaingan sempurna Maka,fungsi pendapatannya akan menjadi :

R1 = P10Q1 +P20Q2

P = hargaQi = tingkat output produk ke-iFungsi biaya perusahaan :C = 2Q1

2 + Q1Q2 + 2Q22

Fungsi laba perusahaan :

Mencari tingkat Q1 dan Q2 yang,dalam kombinasi,akan memaksimumkan π :

Dengan menetapkan keduanya sama dengan nol,maka :

Yang menghasilkan pemecahan tunggal :

DISKRIMINASI HARGA

Fungsi pendapatan total dan fungsi biaya total :

R = R1(Q1) + R2(Q2) + R3(Q3)

C = C(Q) dimana Q = Q1 +Q 2+ Q3

KEPUTUSAN INPUT DALAM PERUSAHAAN :

L* dan K* adalah persamaan permintaan input perusahaan.Jika kita substitusikan L* dan K* ke dalam fungsi produksi ,kita peroleh :

11.7

y

F(v)

u v X

Fungsi yang data didiferensikan f(x)= f(x1 ,

…,Xn) adalah (cekung cembung) jika,

untuk setiantitik tertentu u= (U1 ,…,Un) dan

setiap titik lain v= (V1 ,…,Vn) dalam

domain,

F(v) () f(u) + Σ fj (u) (Vj - Uj )

Dimana fj (u) ≡∂f/ ∂ Xj dievaluasi pada u=

(U1 ,…,Un)

Fungsi z data didiferensiasikan dua kali

secara kontinu z= f(x1 ,…,Xn) adalah

(cekung/cembung) jika, dan hanya jika, d2

z di mana saja adalah semidefinit

(negative/positif). Fungsi tersebut

dikatakan (cekung/cembung) sempurna

jika (tetapi tidak hanya jika) d2 z dimana

saja adalah definit (negative/positif).

F(u)A

B

C

DF