128

9 TEORI PEMODELAN ELASTISITAS II

Wave Propogation in Saturated Porous Rocks; the Theory of Gassmann, Biot and Geertsma and Smit

Pada tahun 1951, Gassman mengenalkan teorinya tentang elastisitas media porous. Dia memulai dengan sifat elastic batuan kering berpori-pori (skeleton). Ia memperoleh pernyataan untuk menyesuaikan sifat-sifat batuan, ketika itu dipenuhi dengan fluida yang diketahui propertiesnya dibawah asumsi bahwa beberapa gerakan relatif antara fluida dan padatan diabaikan. Berikut ini parameter yang digunakan :

ds, ks densitas dan modulus bulk dari matrix material solid, df, kf densitas dan bulk modulus dari pori-pori berfluida,

Mk ,, bulk modulus, shear modulus dan modulus gelombang bidang dari batu skleton.

Mk ., bulk modulus, shear modulus dan modulus gelombang bidang dari batuan tersaturasi

porositas batuan

Asumsi bahwa fluida dan material padat bergerak relatif pada densitas inersia untuk batuan tersaturasi.

( ) fs ddd ..1 += (9-1) Asumsi ini menunjukkan bahwa fluida tidak merubah propertis skleton padat, dalam ketentuan ini tidak ada perubahan rigidity sehingga,

= (9-2) dan bahwa modulus bulk skeleton adalah sama dengan yang kering dalam status tersaturasi. Modulus bulk dari batuan porous tersaturasi didefinisikan sebagai ratio dari tekanan total p terhadap regangan volume V

V.

VVpk = (9-3)

Tekanan total adalah jumlahan dari tekanan skeleton (atau efektif) peff dan tekanan fluida (atau pori-pori) ppore.

P = peff + ppore (9-4)

dan perubahan volume total adalah jumlah dari perubahan dalam padat dan dalam volume pori-pori berfluida.

fs VVV += (9-5) Perubahan dari volume fluida adalah sederhana :

f

porep k

pVV ..= (9-6)

129

Tekanan skeleton dan tekanan pori-pori pada matrik material padat batuan berpori, Gassmann (1951) telah memberikan hubungan untuk perubahan dari volume padat dalam kaitannya dengan tekanan sekeleton peff dan kaitannya dengan bagian dari tekanan fluida (1-). Ppore untuk material padat sebagai,

( )s

poreeffs k

ppVV

.1.

+= (9-7)

Dengan mempertimbangkan bentuk kubus dari batuan porous, perubahan volume ini dapat diuraikan sebagai efek dari watak skeleton dan tekanan efektif, dan deformasi tambahan dari material padat yang berkaitan dengan tekanan pori, sehingga.

+=

s

poreeff

kp

kp

VV

(9-8)

Penyelesaian untuk modulus bulk dari batuan porous tersaturasi didefinisikan sebagai,

( )

+

+

==

kkkkkk

kkkk

VVpk

ssfs

sfs

11.

111.

1111.

(9-9)

atau

( ) 2

2

/1

1

sfs

s

kk

kk

kk

kk

+

+= (9-10)

Dengan mengikuti persamaan modulus gelombang bidang, maka dapat dituliskan sebagai:

( )2

2

1

1

sfs

s

kk

kk

kk

MM

+

+= (9-11)

Kemudian kecepatan batuan berporous (kering/tidak mengandung fluida) adalah : 2

1

=

dM

v p (9-12)

21

=

dvs

(9-13)

dan untuk fluida tersaturasi pada batuan berpori 2

1

=

dM

v p (9-14)

21

=

dvs

(9-15)

Karena modulus geser tidak dipengaruhi oleh fluida dalam ruang pori, kecepatan dari gelombang S hanya dipengaruhi oleh densitas. Karenanya, kecepatan gelombang S dalam sebuah fluida batuan yang tersaturasi sedang lebih kecil daripada kecepatan di skeleton

130

kosong. Hal ini menunjukkan bahwa modulus bulk fluida mempengaruhi modulus gelombang bidang dan kecepatan gelombang kompresional melalui faktor

fk

. Pengaruh dari fluida

seharusnya menurun dengan menurunnya porositas.

Pada tahun 1956, Biot memperkenalkan paper dasarnya tentang teori turunan dari elastic waves in a fluid saturated porous solid. Teori ini adalah pengembangan dari teori Gassmanns. Biot memasukan efek dinamik yang melewati hubungan pori dalam teorinya dan viskositas fluida serta permeabilitas hidrolik skeleton kedalam modelnya. Dia mengasumsikan bahwa pori-pori fluida dapat relatif mengalir ke solid, karena kehilangan viskous tentang gesekan. Biot memperoleh sebuah pasangan dari persamaan diferensial yang menguraikan pasangan motion of the solid-fluid system. Di menunjukkan keberadaan dari dua gelombang dilatasi, gelombang seismik (normal) gelombang pertama dan sebuah gelombang kedua dimana, pada frekuensi rendah, atenuasi gelombang tinggi menyebar. Keberadaan dari gelombang kedua telah dibuktikan oleh Plona (1980). Teori penyelidikan dari de la Cruz dan Spanos (1985) juga memperkirakan dua gelombang rotasi untuk sebuah viskositas atau modulus geser tinggi dari pori fluida.

Sifat viskousitas dari model dalam suatu frekuensi tergantung kecepatan gelombang (dan atenuasi). Dalam teori Biot, frekuensi karakteristik fc didefinisikan sebagai:

hydrf

fc kd

f..2.

pi

= (9-16)

dengan f adalah viskositas dari pori fluida, adalah porositas, df adalah densitas pori fluida, dan khydr adalah permeabilitas hydraulik. Frekuensi karakteristik ini membagi perilaku elastik ke dalam dua frekuensi yang tercakup dalam hubungan gerakan fluida, yaitu: dalam range frekuensi rendah (misal, pada frekuesi jauh dibawah frekuensi kritikal), gerakan dikontrol oleh viscous (berlapis) berlawanan dengan solid dan pada range frekuensi tinggi (misal, frekuensi jauh diatas frekuensi kritis), inersia dari dominasi fluida. Tabel IX.1 menunjukkan beberapa nilai dari frekuensi karakteristik.

Tabel IX.1.

131

Geertsma dan Smit (1961) mengembangkan teori Biot untuk kecepatan dalam hubungannya frekuensi karakteristik (range frekuensi rendah) pada batuan yang umumnya ditemui. Untuk gelombang kompresi pertama sebagai :

22

02

24

04

2

+

+

=

ff

vv

ff

vv

v

c

pp

c

pp

p (9-17)

denganpp vv ,0 adalah kecepatan pada frekuensi nol/ rendah dan kecepatan frekuensi tinggi.

Kecepatan gelombang kompresi dalam suatu batuan porous tersatutasi fluida pada frekuensi rendah mengikuti persamaan Gassmanns

21

0

.

54

+

=

d

kv p

(9-18)

Kecepatan gelombang kompresi dalam suatu batuan porous tersatutasi fluida pada frekuensi tinggi diberikan oleh hubungan :

21

11 1

..21134

..

+

+

+

+

=

fs

s

ssffp kk

kk

akk

kk

dd

ak

addv (9-19)

dengan a adalah derajat tingkat dari gabungan antara fluida pori dan skeleton padat.

Pada frekuensi rendah, penggabungan antara pori fluida dan matrix adalah sempurna, sehingga a , ini menunjukkan bahwa teori Gassmanns merupakan sebuah kasus spesial (frekuensi nol) pada teori umum Biot dan Geertsma - Smit. Sehingga kecepatan gelombang S adalah,

12

..

=

addv fs (9-20)

Dan untuk frekuensi tinggi adalah 12

.

= dvs (9-21) Terdapat beberapa aspek signifikan dari teori ini :

1. Persamaan Biot terdiri dari sifat elastic, densitas dan porositas. Tetapi satu parameter utama dari teori Gassmann-Biot adalah modulus bulk skeleton k . Modulus ini sendiri adalah fungsi dari porositas dan juga pengaruh lainnya (tekanan, struktur internal). Sehingga untuk menentukan kecepatan membutuhkan penentuan modulus bulk skeleton.

2. Geertsma dan Smit (1961) memperoleh hubungan empiris antara modulus skeleton, porositas dan madulus matrix padat untuk sandstone bersih:

+=

.501skk (9-22)

132

3. Murphy dkk (1933) memperoleh dari pengukuran ultrasonik pada sandstone dan sample batupasir dibawah tekanan 50 MPa berikut ini hubungan empiris untuk modulus bulk Skeleton untuk 0,35

( )2.95,1.39,31.18,38 +=k (9-23) ( )2.19,2.48,31.65,42 += (9-24)

untuk > 0,35 ( )58,22.60,62exp +=k (9-25) ( )73,22.69,62exp += (9-26)

dimana modulus dalam GPa.

4. Gambar 9.1 merupakan perbandingan penurunan modulus bulk skeleton terhadap porositas. Perbedaan dikarenakan oleh perbedaan watak skeleton dari penelitian sample yang dikumpulkan (tipe batuan).

Gambar 9.1. Penurunan bulk modulus skeleton terhadap peningkatan porositas.

Persamaan (9-12) dapat digunakan untuk transformasi dari nilai kecepatan dry state into fluid saturated state kecepatan kering yang digunakan untuk menghitung modulus skeleton.

dvM dryp .2

.

= (9-27) Dari persamaan Gassmann, Biot, Geertsma dan Smit beberapa hubungan lainnya dapat diperoleh sebagai kasus spesial seperti.

1

2 1.

+

=

fsp kk

dv (9-28)

Disamping pertimbangan konsep Biots mengenai global flow mechanism tanpa ruang pori, maka terdapat model local flow model dengan suatu mekanisme dari aliran fluida pada skala butiran. Model ini telah diaplikasikan pada masalah berbagai gelombang atenuasi seismik.