60903078-Metode-Numerik-Lengkap-Endick.pdf

Metode Numerik (Endi F. ; 310800073) P.MTK STKIP-PGRI Pontianak

BAB I

PENDAHULUAN

1. Alasan Menggunakan Metode Numerik

Tidak semua permasalahan matematis atau perhitungan dapat diselesaikan dengan mudah.

Bahkan dalam prinsip matematik, dalam memandang permasalahan yang terlebih dahulu

diperhatikan apakah permasalahan tersebut mempunyai penyelesaian atau tidak. Hal ini

menjelaskan bahwa tidak semua permasalahan dapat diselesaikan dengan menggunakan

perhitungan biasa. Sebagai contoh perhatikan integral berikut ini.L=01sin (x)x dxIntegral di atas terlihat tidak terlalu panjang, tetapi untuk menyelesaikan integral tersebut bukan

permasalahan yang mudah bahkan dapat dikatakan tidak mungkin. Tetapi bukan berarti integral

tersebut tidak mempunyai penyelesaian, hanya saja menyelesaikan integral semacam itu sangat

sulit dan kalaupun bisa memerlukan pengetahuan matematis yang tinggi dan waktu yang cukup

lama. Padahal integral di atas adalah bentuk integral yang banyak digunakan dalam bidang

teknik, khususnya pada analisa sinyal yang melibatkan sinyal frekwensi, filtering dan optimasi

pola radiasi.

Kurva y=sin(x)

Fb : [email protected] 085332200073 ; 085386007677


2. Prinsip-prinsip Metode Numerik

Seperti telah dibahas di atas, metode numerik digunakan untuk menyelesaikan persoalan

dimana perhitungan secara analitik tidak dapat digunakan. Metode numerik ini berangkat dari

pemikiran bahwa permasalahan dapat diselesaikan dengan menggunakan pendekatan-

pendekatan yang dapat dipertanggung-jawabkan secara analitik. Metode numerik ini disajikan

dalam bentuk algoritma-algoritma yang dapat dihitung secara cepat dan mudah.

Pendekatan yang digunakan dalam metode numerik merupakan pendekatan analisis matematis.

Sehingga dasar pemikirannya tidak keluar jauh dari dasar pemikiran analitis, hanya saja

pemakaian grafis dan teknik perhitungan yang mudah merupakan pertimbangan dalam

pemakaian metode numerik. Mengingat bahwa algoritma yang dikembangkan dalam metode

numerik adalah algoritma pendekatan maka dalam algoritma tersebut akan muncul istilah

iterasi yaitu pengulangan proses perhitungan. Dengan kata lain perhitungan dalam metode

numerik adalah perhitungan yang dilakukan secara berulang-ulang untuk terus-menerus

diperoleh hasil yang main mendekati nilai penyelesaian exact. Perhatikan salah bentuk formulasi

dalam metode numerik adalah:n=n-1+n-1Terlihat bahwa hasil iterasi ke n adalah hasil iterasi ke n-1 (sebelumnya) dengan ditambah n-1 yang merupakan nilai perbaikan. Sehingga dapat dikatakan bahwa semakain banyak iterasi yang digunakan, maka nilainya semakin mendekati nilai exact atau semakin baik hasil yang

diperoleh.

Dengan menggunakan metode pendekatan semacam ini, tentukan setiap nilai hasil perhitungan

akan mempunyai nilai error (nilai kesalahan). Dalam analisa metode numerik, kesalahan ini menjadi penting artinya. Karena kesalahan dalam pemakaian algoritma pendekatan akan

menyebabkan nilai kesalahan yang besar, tentunya ini tidak diharapkan. Sehingga pendekatan

metode analitik selalu membahas tingkat kesalahan dan tingkat kecepatan proses yang akan

terjadi.



BAB IISISTEM BILANGAN DAN KESALAHAN

2.1 Penyajian Bilangan Bulat

Bilangan bulat yang sering digunakan adalah bilangan bulat dalam sistem bilangan

desimal yang didefinisikan :N=(anan-1an-2.a0)

=anan+an-110n-1+an-110n-2++a0100

Algoritma ini banyak digunakan untuk menghitung konversi bilangan secara cepat, karena

dalam algoritma ini tidak terdapat pemakaian pangkat yang membuat kesalahan numerik

menjadi lebih besar.

Contoh:

2673=2.103+6.102+7.101+3.100Contoh:

Bilangan biner (1101)2 dapat dihitung dengan :b3=1 b2=b3+a3=1+1.2=3 b1=b2+a2=0+3.2=6 b0=1+a3=1+6.2=13 Jadi (1101)2=13


Algoritma 2.1.

Bila diketahui koefisien-koefisien a1,a2,a3,.an dari polinompx=anan+an-110n-1+an-110n-2++a0100Dan suatu bilangan . Maka dapat dihitung bn,bn-1,..,b0 dari sebagai berikut :bn=an bn-1=an-1+bn bn-2=an-2+bn-1

b0=a0+b1


3.

Contoh:

Bilangan Oktal (721)8 dapat dihitung dengan :b2=7 b1=2+7.8=58 b0=1+58.8=465 Jadi, (721)8=465

Contoh:

187=18710=1.102+8.101+7.100 =12(1010)22+(1000)2(1010)21+(111)2 Dengan algoritma di atas :

b2=(1)2 b1=(1000)2+(1)2(1010)2=(1000)2+(1010)2=(10010)2 b0=(111)2+(10010)2(1010)2=(111)2+(10110100)2=(10111011)2 Jadi, 187=(10111011)2

2.2 Penyajian Bilangan Pecahan

Bilangan pecahan x antara 0 s/d 1 dalam system bilangan decimal didefinisikan :

x=a1a2a3an= a110-1+a210-2+a310-3++an10-nBilangan pecahan x secara umum dalam system bilangan dengan bilangan dasar k

didefinisikan:

(a1a2a3an)k=i=1naik-iContoh:

0,625 = 6.10-1 + 2.10-2 + 5.10-3

Contoh:

(0,101)2= 1.2-1 + 0.2-2 + 1.2-3

= 0,5 + 0,125

= 0,625

A. Angka Penting / Angka Signifikan



Nilai Signifikan adalah Suatu nilai dimana jumlah angka ditentukan sebagai batas nilai

tersebut diterima atau tidak.

Angka Signifikan terdiri dari digit 1,2 3,4,5,6,7,8,9 dan 0, untuk 0 (nol) tidak termasuk

angka signifikan jika digunakan untuk menentukan titik decimal atau untuk mengisi

tempat-tempat dari digit yang tidak diketahui/dibuang.

Contoh:

0,00144 (3 angka signifikan)

0,0010408 (5 angka signifikan)

1,260 x 104 (4 angka signifikan)

1,2600 x 104 (5 angka signifikan)

Implikasi penting angka signifikan dalam metode numerik:

Angka signifikan akan memberikan kriteria untuk merinci seberapa keyakinan kita

mengenai hasil-hasil pendekatan dalam metode numerik

Angka signifikan memberikan pengabaian dari angka signifikan sisa untuk besaran

spesifik yang tidak bisa dinyatakan secara eksak karena keterbatasan jumlah digit

yang mampu disimpan komputer.

A. Akurasi, Presisi dan Inakurasi

Akurasi menyatakan seberapa dekat nilai hasil pengukuran dengan nilai sebenarnya

(true value) atau nilai yang dianggap benar (accepted value). Jika tidak ada data bila

sebenarnya atau nilai yang dianggap benar tersebut maka tidak mungkin untuk

menentukan berapa akurasi pengukuran tersebut.

Presisi menyatakan seberapa dekat nilai hasil dua kali atau lebih pengulangan

pengukuran. Semakin dekat nilai nilai hasil pengulangan pengukuran maka semakin

presisi pengukuran tersebut.

Inakurasi menyatakan simpangan sistematis dari kebenaran. Inakurasi dalam

komputasi adalah selalu melakukan kesalahan hitungan yang sama. Dalam arti ini,

inakurasi merupakan lawan dari akurasi.



A. Pendekatan Dan Kesalahan

Kesalahan dalam metode numerik meliputi :

1. Kesalahan Bawaan (Inheren Error)

Kesalahan/galat bawaan Terjadi akibat kekeliruan dalam menyalin data, salah

membaca skala atau kesalahan karena kurangnya pengertian mengenai hukum

hukum fisik dari data yang diukur.

2. Kesalahan Pemotongan (Trunction Error)

Kesalahan Pemotongan adalah kesalahan yang dihasilkan dari penggunaan suatu

aproksimasi pengganti prosedur matematika eksak suatu kesalahan pemotongan

dimasukkan ke dalam solusi numerik karena kesamaan differensial hanya melakukan

aproksimasi harga turunan sebenarnya. Agar memperkuat pengertian terhadap

perilaku kesalahan semacam ini, sekarang kita kembali pada suatu rumus matematika

yang secara luas telah digunakan dalam metode numerik untuk menyatakan fungsi-

fungsi dalam suatu bentuk pendekatan yaitu Deret taylor.


a. Akurat dan Presisi

b. Presisi tapi tidak akurat

c. Sebenarnya akurat tapi tidak presisi

d. Tidak akurat dan tidak

presisi


3. Kesalahan Pembulatan (Round Of Error)

Kesalahan pembulatan adalah kesalahan yang Terjadi karena tidak diperhitungkannya

beberapa angka terakhir dari suatu bilangan.

Contoh :

8632574 dibulatkan menjadi 8633000

3,1415926 dibulatkan menjadi 3,14



BAB III

PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINIER

3.1 Permasalahan Masalah Non Linier

Penyelesaian persamaan non linier adalah penentuan akar-akar persamaan non linier.

Dimana akar sebuah persamaan f(x) = 0 adalah nilai-nilai x yang menyebabkan nilai f(x) sama dengan nol. Dengan kata lain akar persamaan f(x) adalah titik potong antara kurva f(x) dan sumbu X.

Gambar 3.1 Penyelesaian Persamaan Non Linier

Jika penyelesaian persamaan linier mx + c = 0 dimana m dan c adalah konstanta, dapat dihitung dengan : mx + c = 0 , x= - cmPenyelesaian persamaan kuadrat ax2+bx+c=0 dapat dihitung dengan menggunakan rumus ABC.

x1,2=-bb2-4ac2a

Beberapa persamaan polynomial yang sederhana dapat diselesaikan theorem sisa. Sehingga

tidak memerlukan metode numerik dalam menyelesaikannya, karena metode analitik dapat

dilakukan.Tetapi bagaimana menyelesaikan persamaan



xe-x=0 Tampaknya sederhana, tetapi untuk menyelesaikan persamaan non linier merupakan metode

pencarian akar secara berulang-ulang.

Theorema 1

Suatu range x=[a,b] mempunyai akar bila f(a) dan f(b) berlawanan tanda atau memenuhi f(a).f(b)


dikatakan tidak mempunyai akar untuk x = [a,b], dan bila ditemukan maka ada 2 pendapat untuk menentukan akar persamaan, yaitu :

1. Akar persamaan ditentukan oleh nilai mana yang lebih dekat, bila |f(xk)| |f(xk+1)| maka akarnya xk, dan bila |f(xk+1)|


Gambar di atas menjelaskan bahwa penyelesaian diperoleh dengan membagi x = [a,b] sebanyak-banyaknya hingga diperoleh suatu garis yang melalui akar persamaan dan nilai x dari garis tersebut adalah penyelesaian dari persamaan F(x) = 0.

Dari tabel tersebut dapat dikatakan bahwa akar persamaan berada antara 0,57 dan 0,56, atau dengan menggunakan selisih terkecil maka dapat dikatakan bahwa akar persamaan terletak di x = -0,57 dengan F(x) = -0,00791.

Metode table ini secara umum sulit mendapatkan penyelesaian dengan error yang

kecil, karena itu metode ini tidak digunakan dalam penyelesaian persamaan non linier,

Tetapi metode ini digunakan sebagai taksiran awal mengetahui area penyelesaian yang

benar sebelum menggunakan metode yang lebih baik dalam menentukan penyelesaian.



Algoritma Metode Tabel :

1. Defisikan fungsi f(x)

2. Tentukan range untuk x yang berupa batas bawah xbawah dan batas atas xatas. 3. Tentukan jumlah pembagian N

4. Hitung step pembagi h

H=Xatas-XbawahN 5. Untuk i = 0 s/d N, hitung

xi = xbawah + i.h

yi = f(xi)

6. Untuk I = 0 s/d N dicari k dimana

- Bila f(xk) = 0 maka xk adalah penyelesaian

- Bila f(xk).f(xk+1) < 0 maka :

- Bila |f(xk)|


A. Metode Biseksi.

Ide awal metode ini adalah metode tabel, dimana area dibagi menjadi N

bagian.Hanya saja metode biseksi ini membagi range menjadi 2 bagian, dari dua bagian

ini dipilih bagian mana yang mengandung dan bagian yang tidak mengandung akar

dibuang. Hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan.

Gambar 3.4 Metode Biseksi

Untuk menggunakan metode biseksi, terlebih dahulu ditentukan batas bawah (a) dan batas

atas (b).Kemudian dihitung nilai tengah : x=a+b2

Dari nilai x ini perlu dilakukan pengecekan keberadaan akar. Secara matematik, suatu

range terdapat akar persamaan bila f(a) dan f(b) berlawanan tanda atau dituliskan : f(a) . f(b) < 0

Setelah diketahui dibagian mana terdapat akar, maka batas bawah dan batas atas di

perbaharui sesuai dengan range dari bagian yang mempunyai akar.

Contoh :

Selesaikan persamaan xe-x +1 = 0. Dengan range x = [-1,0] .

Penyelesaian :

Maka,



Dimana x=a+b2

Pada iterasi ke 10 diperoleh x = -0.56738 dan f(x) = -0.00066

Untuk menghentikan iterasi, dapat dilakukan dengan menggunakan toleransi error atau

iterasi maksimum.

Algoritma Metode Biseksi (1) Definisikan fungsi f(x) yang akan dicari akarnya (2) Tentukan nilai a dan b (3) Tentukan torelansi e dan iterasi maksimum N (4) Hitung f(a) dan f(b) (5) Jika f(a).f(b)>0 maka proses dihentikan karena tidak ada akar, bila tidak

dilanjutkan

(6) Hitung x=a+b2(7) Hitung f(x) (8) Bila f(x).f(a)


Gambar 3.5 Metode Regula Falsi

Contoh :

Selesaikan persamaan xe-x +1 = 0. Dengan range x = [-1,0], melalui metode Regula Falsi.

Akar persamaan diperoleh di x=-0.56741 dengan kesalahan =0,00074

1. Definisikan fungsi f(x)2. Tentukan batas bawah (a) dan batas atas (b)3. Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n) 4. Hitung Fa = f(a) dan Fb = f(b)

5. Untuk iterasi I = 1 s/d n atau error > ex =Fb.a-Fa.bFb-Fa

Hitung Fx = f(x) Hitung error = Fx Jika Fx.Fa


Metode iterasi sederhana adalah metode yang memisahkan x dengan sebagian x yang lain sehingga diperoleh : x = g(x). Sebagai contoh untuk menyelesaikan persamaan x ex = 0 maka persamaan di ubah menjadi : x = ex atau g(x) = ex. g(x) inilah yang menjadi dasar iterasi pada metode iterasi sederhana ini. Metode iterasi sederhana secara grafis dapat dijelaskan sebagai berikut :

Contoh 3. 5:

Selesaikan x +ex = 0, maka persamaan diubah menjadi x = -ex atau g(x) = -exPenyelesaian :

Ambil titik awal di x0 = -1 , maka Iterasi 1 : x = -e -1 = -0.3679 F(x) = 0,3243 Iterasi 2 : x = -e -0,3679 = -0,6922 F(x) = -0,19173 Iterasi 3 : x = -e -0,6922 = -0,50047 F(x) = 0,10577 Iterasi 4 : x = -e-0,50047 = -0,60624 F(x) = -0,06085 Iterasi 5 = x = -e -0,60624 = -0,5454 F(x) = 0,034217 Pada iterasi ke 10 diperoleh x = -0,56843 dan F(x) = 0,034217.

Algoritma Metode Iterasi Sederhana

1. Definisikan F(x) dan g(x) 2. Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n) 3. Tentukan pendekatan awal x[0]4. Untuk iterasi = 1 s/d n atau F(x [iterasi ] ) e

Xi = g(xi-1)

Hitung F(xi)

1. Akar adalah x terakhir yang diperoleh.

A. Metode Newton Raphson



Metode newton raphson adalah metode pendekatan yang menggunakan satu

titik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan slope atau gradien pada titik tersebut.

Titik pendekatan ke n+1 dituliskan dengan :xn+1=xn+f(xn)f1(xn)

Metode newton raphson dapat digambarkan sebagai berikut :

Contoh :

Selesaikan persamaan x - e-x = 0 dengan titik pendekatan awal x0

f(x) = x - e-x f(x)=1+e-x

f(x0) = 0 - e-0 = -1

f1(x0) = 1 + e-0 = 2

x1=x0+f(x0)f1(x0)=0--12=0,5f(x1) = -0,106631 dan f1(x1) = 1,60653

x2=x1+f(x1)f1(x1)=0,5--0,1065311,60653=0,566311f(x2) = -0,00130451 dan f1(x2) = 1,56762

x3=x2+f(x2)f1(x2)=0,56631-0,001304511,56762=0,567143f(x3) = -2,95.10-7. Suatu bilangan yang sangat kecil.

Sehingga akar persamaan x = 0,567143.

Algoritma Metode Newton Raphson 1. Definisikan fungsi f(x) dan f1(x)2. Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n) 3. Tentukan nilai pendekatan awal x04. Hitung f(x0) dan f1(x0) 5. Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |f(xi)| e



xn+1=xn+f(xn)f1(xn)Hitung f(xi) dan f1(xi)

6. Akar persamaan adalah nilai xi yang terakhir diperoleh.

A. Metode Secant

Metode Newton Raphson memerlukan perhitungan turunan fungsi f(x). Tidak semua

fungsi mudah dicari turunannya terutama fungsi yang bentuknya rumit. Turunan fungsi

dapat dihilangkan dengan cara menggantinya dengan bentuk lain yang ekivalen . Modifikasi

metode Newton Raphson dinamakan metode Secant.

Metode secant merupakan perbaikan dari metode regula falsi dan newton raphson

dimana kemiringan dua titik dinyatakan secara diskrit, dengan mengambil bentuk garis lurus

yang melalui satu titik.

Dengan menggunakan metode secant ini diperlukan dua titik pendekatan x0 dan x1.

Kedua titik ini diambil pada titik-titik yang dekat agar konvergensinya dapat dijamin.

Contoh :

Selesaikan persamaan : x2(x + 1) e-x = 0 , untuk range [0,1]

Dari gambar di atas dapat dilihat bahwa akar terletak pada range x = [0.8,0.9], maka ambil x0 = 0,8 dan x1 = 0,9 maka dapat dihitung y0 = F(x0) = -0,16879 y1 = F(x1) = 0,037518


1

11

+

=

ii

iiiii yy

xxyxx


Iterasi Metode Secant adalah sebagai berikut :

Iterasi 1 : x2=x1-y1x1-x0y1-y0=0.881815 y2=0,00153Iterasi 2 : x3=x2-y2x2-x1y2-y1=0.882528 y3=0,00153Iterasi 3 : x4=x3-y3x3-x2y3-y2=0.882534 y4=4,91.e-9Diperoleh akar x = 0,882534

Algoritma Metode Secant :

Definisikan fungsi F(x)

Definisikan torelansi error (e) dan iterasi maksimum (n)

Masukkan dua nilai pendekatan awal yang di antaranya terdapat akar yaitu x0 dan x1,

sebaiknya gunakan metode tabel atau grafis untuk menjamin titik pendakatannya adalah

titik pendekatan yang konvergensinya pada akar persamaan yang diharapkan.

Hitung F(x0) dan F(x1) sebagai y0 dan y1

Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |F(xi)|> e

hitung yi+1 = F(xi+1)


1

11

+

=

ii

iiiii yy

xxyxx


BAB 4PERSAMAAN LINIER SIMULTAN

Persamaam linier simultan adalah suatu bentuk persamaan-persamaan yang secara

persama-sama menyajikan banyak variabel bebas bentuk persamaan simultan dengan m persamaan dan n variabel bebas dapat di tuliskan sebagai metode iterasi gauss-seidle

Metode iterasi Gauss-Seidel adalah metode yang menggunakan proses iterasi hingga di

peroleh nilai-nilai yang berubah. Bila diketahuipersamaan linear simultan :

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3+ + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3+ + a2n xn = b2 a31 x1 + a32 x2 + a33 x3+ + a3n xn = b3 + + a33 x3+ + a3n xn = b3 an1x1+ an2 x2+ an3 x3+ + ann xn = bn

Berikan nilai awal dari setiap xi (I = 1 s/d n) kemudian persamaan linier simultan diatas

dituliskan menjadi :xi= 1a11 (b1- a12x2- a13x3-- a1n xn )x2= 1a22 b2- a21 x1 - a23 x3- - a2n xn .xn= 1ann bn- an1x1-an2 x2- - ann-1xn-1

Dengan menghitung nilai-nilai xi (I = 1 s/d n) menggunakan persamaan-persamaan di

atas secara teru-menerus hingga nilai untuk setiap xi (I = 1 s/d n) sudah lama dengan nilai xi pada

iterasi sebelumnya maka diperoleh penyelesaian dari persamaan linear simultan tersebut. Atau

dengan kata lain proses iterasi dihentikan bila selisih nilai xi (I = 1 s/d n) dengan nilai xi pada

iterasi sebelumnya kurang dari nilai toleransi error yang ditentukan.

Catatan:Hati-hati dalam menyusun system persamaan linear ketika menggunakan metode iterasi Gauss-

Seidel ini. Perhatikan setiap koefisien dari masing-masing xi pada semua persamaan di diagonal

utama (aii). Letakkan nilai-nilai terbesar dari koefisien untuk setiap xi pada diagonal utama.

Masalah ini adalah masalah masalah pivoting yang harus benar-benar diperhatikan. Karena

penyusunan yang salah akan menyebabkan iterasi menjadi divergen dan tidak diperoleh hasil

yang benar.



Contoh :Selesaikan persamaan linear :

x1 + x2 = 5

2x1 + 4x2 = 14

Jawab :Berikan nilai awal : x1 = 0 dan x2 = 0. Susun persamaan menjadi

x1 = 5 x2x2 = 14 14- 2x1x1=5-0=5 Iterasi 1 :

x2= 14 14-2.5=1 x1=5-1=4

Iterasi 2 :

x2= 14 14-2.4= 32 x1=5- 32= 72

Iterasi 3:

x2= 14 14-2. 72= 74 x1=5- 74= 134

Iterasi 4 :

x2= 14 14-2.134= 158 x1=5- 158= 255

Iterasi 5 :

x2= 14 14-2.258= 3116 x1=5- 3116= 4916

Iterasi 6 :

x2= 14 14-2.4916= 6332 x1=5- 6332= 9732 Itersai 7 :

x2= 14 14-2.9732= 12764



Nilai iterasi ke-7 sudah tidak berbeda jauh dengan nilai iterasi ke-6 maka proses dihentikan dan

diperoleh penyelesaian :

x1=9732 dan x2= 12764

Algoritma Metode Iterasi Gauss-Seidel adalah sebagai berikut :

1) Masukkan matrik A, dan vektor B beserta ukurannya n2) Tentukan batas maksimum iterasi max_iter3) Tentukan toleransi error 4) Tentukan nilai awal dari xi, untuk I = 1 s/d n5) Simpan xi dalam si, untuk I = 1 s/d n6) Untuk I = 1 s/d n hitung :

xi= 1ai,i bi- ai,jxjei = xi- si

7) Iterasi iterasi + 18) Bila iterasi lebih dari max_iter atau tidak terdapat ei


Penyelesaian dengan menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan adalah sebagai

berikut :

Augmented matrik

10 5

2 6

80

36

B1


y= ax3+ bx2+ cx+dBila nilai x dan y dari 4 titik dimasukkan kedalam persamaan diatas akan diperoleh

model persamaan simultan sebagai berikut :

Titik 1 3 = 8a + 4b + 2c + d

Titik 2 6 = 343a + 49b + 7c + d

Titik 3 14 = 512a + 64b + 8c + d

Titik 4 10 = 1728a + 144b + 12c + d

Dengan menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan diperoleh :

Augmented matrik

8 4 2 1

343 49 7 1

512 64 8 1

1728 144 12 1

3

6

14

10

B1 = B1/8 ---

B2=B2-343B1

B3=B3-512B1

B4=B4-1728B1

B2=B2/(-122,5) ---

B1=B1-0,5B2

B3=B3+192B2

B4=B4+720B2

B3=B3/3,4286 ---

B1=B1+0,071 B3

B2=B2-0,6429 B2

B4=B4-42,857 B3

B4=B4/(-1,786) ---

B1=B1-0,0089B4

B2=B2+0,152B4

B3=B3+0,7679B4


1 0,5 0,25 0,125

0 -122,5 -78,75 -41,88

0 -192 -120 -63

0 -720 -420 -215

0.375

-122,6

-178

-638

1 0 -0,071 -0,046

0 1 0,6429 0,3418

0 0 3,4286 2,6327

0 0 42,857 31,122

-0,126

1,001

14,196

82,735

1 0 0 0,0089

0 1 0 -0,152

0 0 1 0,7679

0 0 0 -1,786

0,1702

-1,661

4,1405

-94,71

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

-0,303

6,39

-36,59

53,04


Dengan demikian diperoleh :

a = -0,303

b = 6,39c = -36,59

d = 53,04dan persamaan polynomial yang diperoleh :

y = -0,303 x3 + 6,39 x2 -36,59 x +53,04Hasil penghalusan kurva adalah sebagai berikut :

Hasilnya memang belum tampak bagus, kali ini disebabkan pengambilan titiknya yang

terlalu jauh dan tingkat polynomial yang belum memenuhi syarat terbaiknya. Hanya saja

kurva tersebut benar-benar melewati 4 titik yang ditentukan.



BAB 5DIFERENSIASI NUMERIK

A. Permasalahan Differensiasi Numerik

Salah satu perhitungan kalkulus yang banyak digunakan adalah differensial, dimana

differensial ini banyak digunakan untuk keperluan perhitungan geometrik. Dan perhitungan-

perhitungan yang berhubungan dengan perubahan nilai per-satuan waktu atau jarak. Secara

kalkulus, differensial didefinisikan sebagai perbandingan perubahan tinggi (selisih tinggi)

dan perubahan jarak, dan dituliskan dengan :

dydx = lim0yxHampir semua fungsi kontinu dapat dihitung nilai differensialnya secara mudah,

sehingga dapat dikatakan metode numerik dianggap tidak perlu digunakan untuk keperluan

perhitungan differensial ini. Masalahnya seiring dengan perkembangannya pemakaian

komputer sebagai alat hitung dan pada banyak permasalahan differensial adalah salah satu

bagian dari penyelesaian, sebagai contoh pada pemakaian komputer, permasalahan

diferensial merupakan salah satu bagian dari penyelesaian.

Contoh lainnya adalah penentuan titik puncak kurva y = f(x) yang dinamakan titik

maksimal dan titik minimal, juga memerlukan titik differensial sebagai syarat apakah titik

tersebut sebagai titik puncak. Hampir semua fungsi kontinu dapat dihitung nilai

differensialnya secara mudah, sehingga dapat dikatakan metode numerik dianggap tidak

perlu digunakan untuk keperluan perhitungan differensial ini. Masalahnya seiring dengan

perkembangannya pemakaian komputer sebagai alat hitung dan pada banyak permasalahan

differensial adalah salah satu bagian dari penyelesaian, sebagai contoh metode newton

raphson memerlukan differensial sebagai pembagi nilai perbaikan errornya, sehingga

metode newton raphson ini hanya bisa dilakukan bila nilai differensialnya bisa dihitung.

Pada beberapa permasalahan, nilai differensial dapat dihitung secara manual.

Misalkan diketahui f(x) = xe-x+ cos x maka differensialnya adalah f'(x) = (1- x)e-x -sin x. Tetapi pada permasalahan lain nilai fungsi sulit diselesaikan secara manual. Terutama jika

fungsinya hanya diketahui berupa nilai atau grafis. Misalkan menghitung puncak distribusi

data yang berupa distribusi Poisson.

f(x) = e-mmxx! Menghitung differensial ini tidak mudah, disinilah metode numerik dapat digunakan.

Hubungan antara nilai fungsi dan perubahan fungsi untuk setiap titiknya didefinisikan

dengan:

y = f(x) +f' (x).h(x) dan f' (x) didefinisikan dengan :



f'(x) = limh0fx+h-f(x)hDari formulasi ini dapat diturunkan beberapa metode differensiasi numerik, antara lain :

*. Metode Selisih Maju

*. Metode selisih Mundur

*. Metode Selisih Tengahan

B. Metode Selisih Maju

Metode selisih maju merupakan metode yang mengadopsi secara langsung definisi

differensial, dan dituliskan :

f'(x) fx+h-f(x)h

Pengambilan h diharapkan pada nilai yang kecil agar errornya kecil, karena metode ini

mempunyai error sebesar :

E(f) = -12hf''(x)

Contoh:

Hitung differensial f(x)= e-x sin (2x)+1 dari range x = [0,1] dengan h= 0.05Jawab:

x f(x) f(x+h) f'(x) f(x-h) f''(x) error

0 1 1.094964 21.99240.895048 -3.995

0.099875

0.1 1.179763 1.254357 21.548911.094964

-4.08232

0.102058

0.2 1.318829 1.373377 21.121271.254357

-3.96958 0.09924

0.3 1.418297 1.453973 20.726381.373377

-3.69814

0.092453

0.4 1.480858 1.499471 20.375751.453973

-3.30901

0.082725

0.5 1.510378 1.514182 20.076221.499471

-2.84108

0.071027

0.6 1.511514 1.503021 19.830871.514182

-2.32976

0.058244

0.7 1.48936 1.471183 19.639751.503021

-1.80598 0.04515

0.8 1.449137 1.423852 19.500641.471183

-1.29565

0.032391

0.9 1.395937 1.365973 19.409611.423852

-0.81936

0.020484

1 1.334512 1.30207 19.36157 1.36597 - 0.00981



3 0.39242 1

C. Metode Selisih Mundur

Metode selisih mundur dengan nilai x di x0 dan x - h, dengan nilai dua titik: (x-1,f-1) dan (x0,f0), maka f'(x0)

f'(x)fx-f(x-h)hAtau f'(x)f0-f-1h

Pengambilan h diharapkan pada nilai yang kecil errornya kecil. Error metode selisih mundur

sebesar:

Ef=-12hf''(x)Contoh:

Hitung differensial f(x)= e-x sin (2x)+1 dari range x = [0,1] dengan h = 0.05Jawab:


0 11.094964

1.89929

0.895048 -3.995

0.099875

0.11.179763

1.254357

1.491863

1.094964

-4.08232

0.102058

0.21.318829

1.373377

1.090964

1.254357

-3.96958

0.09924

0.31.418297

1.453973

0.713502

1.373377

-3.69814

0.092453

0.41.480858

1.499471

0.372262

1.453973

-3.30901

0.082725

0.51.510378

1.514182

0.076079

1.499471

-2.84108

0.071027

0.61.511514

1.503021

-0.16985

1.514182

-2.32976

0.058244

0.71.48936

1.471183

-0.36353

1.503021

-1.80598

0.04515

0.8 1.449137

1.423852

-0.5057 1.471183

-1.2956

0.032391



5

0.91.395937

1.365973

-0.59928

1.423852

-0.81936

0.020484

11.3345

121.3020

7

-0.6488

51.3659

73

-0.3924

20.0098

11

D. Metode Selisih Tengahan

Metode selisih tengahan merupakan metode pengambilan perubahan dari dua titik

sekitar dari titik yang diukur atau Metode selisih tengahan merupakan rata-rata dari dua

selisih maju. Metode selisih tengah dengan nilai x di x+h dan x - h, dengan nilai dua titik: (x-1,f-1) dan (x1,f1), maka f'(x0)

f'(x)fx+h-f(x-h)2h Atau f'(x)f1f-12hPengambilan h diharapkan pada nilai yang kecil agar errornya kecil.

Ef=-16hf'''(x)

Kesalahan pada metode ini adalah : Metode selisih tengahan ini yang banyak digunakan

sebagai metode differensiasi numerik.

Contoh

Hitung differensial f(x)=e-x sin(2x)+1 dari range x=[0,1] dengan h=0.05Jawab:


0 11.094964

1.899289669 0.895048 -3.995

0.099875

0.11.179763

1.254357

1.491863095 1.094964 -4.08232

0.102058

0.21.318829

1.373377

1.090964245 1.254357 -3.96958 0.09924

0.31.418297

1.453973

0.713501978 1.373377 -3.69814

0.092453

0.41.480858

1.499471

0.372262433 1.453973 -3.30901

0.082725

0.51.510378

1.514182

0.076079317 1.499471 -2.84108

0.071027

0.6 1.5115 1.50302 - 1.514182 -2.32976 0.05824



14 10.16984829 4

0.71.48936

1.471183

-0.36353171 1.503021 -1.80598 0.04515

0.81.449137

1.423852

-0.50570048 1.471183 -1.29565

0.032391

0.91.395937

1.365973

-0.59927671 1.423852 -0.81936

0.020484

11.334512 1.30207

-0.64884573 1.365973 -0.39242

0.009811

E. Pemakaian Differensiasi Untuk Menentukan Titik Puncak Kurva

Salah satu pemakaian differensial yang paling banyak dibicarakan adalah penentukan

titik puncak kurva, dimana titik puncak (tertinggi atau terendah) diperoleh dengan

memanfaatkan nilai differensial dari kurva pada setiap titik yang ditinjau.

Perhatikan kurva y=f(x) seperti gambar berikut:

Kurva tersebut mempunyai 7 titik puncak, yaitu p1,p2,p3,p4,p5,p6, dan p7. Titikpuncak p1,p3,p5, dan p7 dinamakan titik puncak maksimum.Titik puncak p2,p4dan p6 dinamakan titik puncak minimum.Untuk menentukan titik puncak perhatikan definisi

berikut:

Definisi 5.1.Suatu titik a pada kurva y = f(x) dinamakan titik puncak bila dan hanya bila: f' (a)=0.

Definisi 5.2.Sebuah titik puncak a dikatakan titik maksimum pada kurva y = f(x) bila : f''(a) < 0.

Definisi 5.3.Sebuah titik puncak a dikatakan titik minimum pada kurva y = F(x) bila : f''(a) > 0.



Dari definisi-definisi di atas, maka untuk menentukan titik puncak kurva y=f(x) secara

numerik adalah menentukan titik-titik dimana f(x) = 0, kemudian dihitung apakah f(x)>0

atau f(x)


BAB 6INTEGRASI NUMERIK

Integral suatu fungsi adalah operator matematik yang dipresentasikan dalam bentuk:

dxxfI =b

a)(

(7.1)

dan merupakan integral suatu fungsi f (x) terhadap variabel x dengan batas-batas integrasi adalah dari x = a sampai x = b. Seperti pada Gambar 7.1 dan persamaan (7.1), yang dimaksud dengan

integral adalah nilai total atau luasan yang dibatasi oleh fungsi f (x) dan sumbu-x, serta antara batas x = a dan x = b. Dalam integral analitis, persamaan (7.1) dapat diselesaikan menjadi:

[ ] )()()()( bab

aaFbFxFdxxf ==

dengan F (x) adalah integral dari f (x) sedemikian sehingga F ' (x) = f (x).

Contoh:

.9)0(31)3(

31

31 33

3

0

33

0

2=

=

= xdxx

Gambar 7.1. Integral suatu fungsiIntegral numerik dilakukan apabila:

1) Integral tidak dapat (sukar) diselesaikan secara analisis.

2) Fungsi yang diintegralkan tidak diberikan dalam bentuk analitis, tetapi secara numerik dalam

bentuk angka (tabel).

Metode integral numerik merupakan integral tertentu yang didasarkan pada hitungan

perkiraan. Hitungan perkiraan tersebut dilakukan dengan fungsi polinomial yang diperoleh



berdasar data tersedia. Bentuk paling sederhana adalah apabila tersedia dua titik data yang dapat

dibentuk fungsi polinomial order satu yang merupakan garis lurus (linier). Seperti pada Gambar

7.2a, akan dihitung:

dxxfI =b

a)(

yang merupakan luasan antara kurve f (x) dan sumbu-x serta antara x = a dan x = b, bila nilai f (a) dan f (b) diketahui maka dapat dibentuk fungsi polinomial order satu f1(x).

Dalam gambar tersebut fungsi f (x) didekati oleh f1(x), sehingga integralnya dalam luasan antara garis f1(x) dan sumbu-x serta antara x = a dan x = b. Bidang tersebut merupakan bentuk

trapesium yang luasannya dapat dihitung dengan rumus geometri, yaitu:

2)()()( bfafabI +=

Dalam integral numerik, pendekatan tersebut dikenal dengan metode trapesium. Dengan

pendekatan ini integral suatu fungsi adalah sama dengan luasan bidang yang diarsir (Gambar

7.2), sedang kesalahannya adalah sama dengan luas bidang yang tidak diarsir.

Apabila hanya terdapat dua data f (a) dan f (b), maka hanya bisa dibentuk satu trapesium dan cara ini dikenal dengan metode trapesium satu pias. Jika tersedia lebih dari dua data, maka

dapat dilakukan pendekatan dengan lebih dari satu trapesium, dan luas total adalah jumlah dari

trapesium-trapesium yang terbentuk. Cara ini dikenal dengan metode trapesium banyak pias.

Seperti pada Gambar 7.2b, dengan tiga data dapat dibentuk dua trapesium, dan luas kedua

trapesium (bidang yang diarsir) adalah pendekatan dari integral fungsi. Hasil pendekatan ini

lebih baik dari pada pendekatan dengan satu pias. Apabila digunakan lebih banyak trapesium

hasilnya akan lebih baik.

Fungsi yang diintegralkan dapat pula didekati oleh fungsi polinomial dengan order lebih

tinggi, sehingga kurve yang terbentuk tidak lagi linier, seperti dalam metode trapesium, tetapi

kurve lengkung. Seperti pada Gambar 7.2c, tiga data yang ada dapat digunakan untuk

membentuk polinomial order tiga. Metode Simpson merupakan metode integral numerik yang

menggunakan fungsi polinomial dengan order lebih tinggi. Metode Simpson 1/3 menggunakan

tiga titik data (polinomial order dua) dan Simpson 3/8 menggunakan empat titik data (polinomial order tiga). Jarak antara titik data tersebut adalah sama.



A. Metode Integrasi Trapezoida Pada metode integral Reimann setiap daerah bagian dinyatakan sebagai empat persegi

panjang dengan tinggi f(xi) dan lebar i. Pada metode trapezoida ini setiap bagian dinyatakan sebagai trapezium seperti gambar berikut :

Contoh :

Hitung 012x3 dx dengan step h=0,1Analitik:

012x3 dx=x301=1

Numerik :x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1f(x) 0 0.00

20.01

60.05

40.12

80,25 0,43

20.68

61,02

41,45

82

Algoritma Metode Integrasi Tripezoida

1. Definisikan y=f(x)2. Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b)3. Tentukan jumlah pembagi n4. Hitung h=(b-a)/n



5. Hitung L=h2f0+2i=1n-1fi+fn

Contoh:

Hitung 12e-x2+sin(x)dx dengan step h=(0,1)

Dengan menggunakan tabel diperoleh:

x 0,000

0,100 0,200

0,300

0,400

0,500 0,600 0,700

0,800

0,900 1,000

f(x) 0,500

0,431 0,372

0,323

0,281

0,245 0,214 0,188

0,165

0,146 0,129

Dari tabel diatas dapat dihitung :

L=0,120,5+20,431++20,146+0,129=0,2679

A. Metode Integrasi SimpsonMetode integrasi Simpson merupakan pengembangan metode integrasi trapezoida, hanya saja

daerah pembaginya bukan berupa trapesium tetapi berupa dua buah trapesium dengan

menggunakan pembobot berat di titik tengahnya seperti telihat pada gambar berikut ini. Atau

dengan kata lain metode ini adalah metode rata-rata dengan pembobot kuadrat.

Algoritma Metode Integrasi Simpson

1. Definisikan y=f(x)2. Tentukan batas bawah adan batas atas b3. Tentukan jumlah pembagi n4. Hitung h=b-an5. Hitung L=h2f0+4i ganjilf1+2i genapf1+fn



Contoh:

Hitung 012x3 dx dengan step h=0,1x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1f(x) 0 0.00

20.01

60.05

40.12

80,25 0,43

20.68

61,02

41,45

82

L=0,120+40,002)+20,016+4(0,054)+0,128++1,458=0,5

Dengan menggunakan metode analitik

L=012x3dx=12x4]01=0,5

Dibandingkan denga perhitungan analitik, terdapat kesalahan yang sangat kecil.

Catatan :

Metode ini akan mendapatkan hasil yang baik bila diambil n genap Metode ini sangat terkenal karena kesalahannya sangat kecil, sehingga menjadi

alternatif yang baik dalam perhitungan integral khususnya matematika teknik.

A. Metode Integrasi GaussMetode integrasi Gauss merupakan metode yang tidak menggunakan pembagian area yang

banyak, tetapi memanfaatkan titik berat dan pembobot integrasi. Metode ini secara komputasi

memiliki banyak keuntungan karena mempunyai kecepatan yang tinggi hal ini ditunjukkan

dengan jumlah pembaginya yang kecil dan dengan jumlah pembagi yang relatif kecil

mempunyai kesalahan yang sama dengan metode lain dengan jumlah pembagi yang besar.

Metode integrasi Gauss dapat dijelaskan sebagai berikut:

Untuk luas daerah ke i, mempunyai luas:Li=xi-1xifxdx

1. Integrasi Kuadratur Gauss dengan Pendekatan 2 Titik

Bentuk umum :-11gudu=A0g0+A1g1Algoritma Integrasi Kuadratur Gauss dengan Pendekatan 2 Titik

a. Definisikan fungsi f(x)b. Tentukan batas bawah (a) dan batas atasnya (b)

c. Hitung nilai konversi variablex=12b-au+12(b+a)



d. Tentukan fungsi g(u) dengan:gu=12b-af{12b-au+12b+a}

e. HitungL=g-13+g13Contoh:

Hitung L=01x2 dx

u=2x-(b+a)(b-a)=2x-11=2x-1 atau x=12(u+1)

Dari perhitungan analitik diperoleh :

01x2 dx=13x3

Dengan memasukkan nilai x=1 maka L=13=0,33333

1. Integrasi Kuadratur Gauss dengan pendekatan 3 titik

Bentuk umum :-11gudu=A0g0+A1g1+A2g2Algoritma Integrasi Kuadratur Gauss dengan pendekatan 3 titik

a. Definisikan fungsi f(x)b. Tentukan batas integrasinya (a) dan (b)

c. Hitung nilai konversi variablex=12b-au+12(b+a)

d. Tentukan fungsi g(u) dengan:gu=12b-af{12b-au+12b+a}

e. HitungL=89g0+59g-35+59g35



Nb:

Meskipun dalam beberapa hal integrasi kuadratur Gauss menunjukkan hasil yang

lebih baik dari pada metode integrasi Simpson, tetapi dalam penerapannya metode

integrasi Simpson lebih banyak digunakan dengan dasar pertimbangan kemudahan

dari metode yang digunakan.



BAB 7

PERSAMAAN DIFFERENSIAL

Persamaan differensial merupakan persamaan yang menghubungkan suatu

besaran dengan perubahannya. Persamaan differensial dinyatakan sebagai persamaan

yang mengandung suatu besaran dan differensialnya, dan dituliskan dengan :Fx,dxdt,d2xdt2,,dnxdtn,t=0

Persamaan differensial mempunyai banyak ragam dan jenis mulai dari yang

mudah diselesaikan hingga yang sulit diselesaikan, mulai dari yang sederhana sampai

yang sangat kompleks. Salah satu persamaan differensial yang banyak digunakan

dalam penerapannya adalah Persamaan Differensial Linier, yang dituliskan dengan:

andnxdtn+an-1dn-1xdtn-1++a1dxdt+a0x=f(t)Persamaan differensial linier umumnya dapat diselesaikan dengan menggunakan cara

analitik seperti pemakaian Transformasi Laplace, tetapi pada bentuk yang kompleks

persamaan differensial linier ini menjadi sulit diselesaikan.

Metode numerik dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial dengan

menggunakan bantuan komputer sebagai alat hitung, ketika metode analitik sulit digunakan.

Pada beberapa bentuk persamaan differensial, khususnya pada differensial non-linier,

penyelesaian analitik sulit sekali dilakukan sehingga metode numerik dapat menjadi metode

penyelesaian yang disarankan. Sebagai contoh perhatikan bentuk persamaan differensial

yang sederhana berikut ini: xdydx2+dydx-y=1

Persamaan diffrensial di atas tampaknya sederhana, tetapi untuk

menyelesaikan persamaan diffrensial di atas bukanlah sesuatu yang mudah, bahkan

dapat dikatakan dengan menggunakan cara analitik, tidak dapat ditemukan

penyelesaian. Sehingga pemakaian metode-metode pendekatan dengan metode numerik

menjadi suatu alternatif yang dapat digunakan.

Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan

differensial, antara lain: metode Euler, metode pendekatan dengan deret Taylor, metode

runge-kutta dan metode-metode prediktor-korektor seperti metode Adam Moulton.

Hanya saja metode-metode pendekatan ini menyebabkan penyelesaian yang dihasilkan

bukanlah penyelesaian umum dari persamaan differensial, tetapi penyelesaian khusus

dengan nilai awal dan nilai batas yang ditentukan.

A. METODE EULER



Perhatikan bentuk persamaan differensial berikut:y'=f(x,y)Dengan menggunakan pendekatan nilai awal (x0,y0) maka nilai-nilai y berikutnya dapat diperoleh dengan:yn-1=yn+h.f(xn,yn)Contoh :

Diketahui persamaan diferensial berikut :dydx+xy=1Maka

y'=1-xy atau fx,y=-xyBila ditentukan nilai awalnya adalah (0,0) dan h=0,1 maka diperoleh :

Bila ditingkatkan untuk x sampai dengan 0 kemudian diambil grafiknya, diperoleh :



B. Metode TaylorMetode Taylor adalah suatu metode pendekatan yang menggunakan deret Taylor sebagai

bentuk perbaikan nilai untuk nilai fungsi secara keseluruhan pada penyelesaian

persamaan differensial. Perhatikan fungsi dari persamaan differensial berikut:y'=f(x,y)Dengan memberikan nilai awal (x0,y0), penyelesaian dapat diperoleh dengan :

Catatan:

Pemakaian metode Taylor tidak banyak digemari karena diperlukan perhitungan yang

cukup rumit dalam penyelesaiannya. Tetapi metode ini dapat menunjukkan hasil yang

bagus pada beberapa permasalahan penyelesaian persamaan differensial.

C. Metode Range KuttaMetode Runge-Kutta merupakan pengembangan dari metode Euler, dimana perhitungan

penyelesaian dilakukan step demi step. Untuk fungsi dari persamaan differensial :y'=f(x,y)Dengan titik pendekatan awal (x0,y0), berdasarkan metode Euler nilai fungsi penyelesaian diperoleh dengan :

Dimana dy adalah nilai perubahan nilai fungsi setiap step

D. Metode Range Kutta 2Metode Runge-Kutta membuat step yang lebih kecil dari perubahan nilai dengan

membagi nilai perubahan tiap step menjadi sejumlah bagian yang ditentukan, bentuk

paling sederhana dari metode Runge Kutta ini adalah membagi bagian perubahan



menjadi dua bagian sehingga :dy=h.f1+h.f22Dimana f1 dan f2 adalah nilai fungsi step yang diambil dari bentuk fungsi persamaan

diferensial pada step tengahan.

Bila hasilnya diteruskan sampai x=10 dan digambarkan, akan diperoleh:



BAB 8INTERPOLASI LINIER, KUADRATIK, POLINOMIAL DAN LAGRANGE

Definisi dari metode interpolasi linier merupakan metode yang paling sederhana yang

menghubungkan 2 buah titik data dengan garis lurus.

A. Interpolasi Linier

Algoritma

1. Tentukan dua titik p1 dan p2 dengan koordinat masing-masing (x1, y1) dan (x2

dan y2)

2. Tentukan nilai x dari titik yang akan diberi3. Hitung y dengan

y=y2-y1x2-x1x-x1+y14. Tampilkan nilai titik yang baru Q(x,y)

Contoh :

Cari nilai y untuk titik x = 2.5 yang berada di antara titik (1,5),(2,2) dan (3,3)

Jawab : p1(1,5),p2(2,2) dan p3(3,3) = 2.5 Y = y1x-x2x- x3x1- x2- x1- x3 + y2x-x1x- x3x2 - x1x2 -x3+ y3 x- x1x- x2x3- x1x3- x2 = 5 2.5-22.5-31-21-3+ 2 2.5- 12.5-32-12-3+ 32.5-12.5-23-13-2 = 2



A. Interpolasi Kuadratik

Interpolasi Kuadratik digunakan untuk mencari titik-titik antara dari 3 buah titik

P1(x1,y1), P2(x2,y2) dan P3(x3,y3) dengan menggunakan pendekatan fungsi kuadrat.

B. Interpolasi Polinomial

Interpolasi polynomial digunakan untuk mencari titik-titik antara dari n buah titik

P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3(x3,y3), , PN(xN,yN) dengan menggunakan pendekatan fungsi

polynomial pangkat n-1:



BAB 9

REGRESI LINIER, REGRESI EKSPONENSIAL DAN REGRESI POLINOMIAL

Regresi adalah sebuah teknik untuk memperoleh persamaan kurva pendekatan dari titik-titik

data.

A. Regresi Linier

Regresi Linier digunakan untuk fungsi linier yang paling sesuang dengan kumpulan titik

data (xn,yn) yang diketahui.

Gambar . Sebaran data dengan kurva linier

Dalam regresi linier ini yang dicari adalah nilai m dan c dari fungsi linier y=mx+c, dengan :

Algoritma Regresi Linier



1. Tentukan N titik data yang diketahui dalam (xi,yi) untuk i=1,2,3N2. Hitung nilai m dan c dengan menggunakan formulasi regresi linier di atas3. Tampilkan fungsi linier

4. Hitung fungsi linier tersebut dalam range x dan step dx tertentu5. Tampilkan hasil tabel (xn,yn) dari hasil fungsi linier tersebut.

A. Regresi Eksponensial

Regresi eksponensial digunakan menentukan fungsi eksponensial yang paling sesuai

dengan kumpulan titik data (xn,yn) yang diketahui. Regresi eksponensial ini merupakan

pengembangan dari regresi linier dengan memanfaatkan fungsi logaritma.

Perhatikan :

y=e-ax+b Dengan melogaritmakan persamaan di atas akan diperoleh :

lny=ln(e-ax+b) lny=ax+b Algoritma Regresi Eksponensial

1. Tentukan N titik data yang diketahui dalam (xi,yi) untuk i=1,2,3N2. Ubah nilai y menjadi z dengan z=lny3. Hitung nilai a dan b dengan menggunakan formulasi regresi linier di atas4. Tampilkan fungsi eksponensial y=e-ax+b5. Hitung fungsi eksponensial tersebut dalam range x dan step dx tertentu6. Tampilkan hasil tabel (xn,yn) dari hasil fungsi linier tersebut.

A. Regresi Polinomial

Regresi polinomial digunakan menentukan fungsi polynomial yang paling sesuai dengan

kumpulan titik data (xn,yn) yang diketahui.

Fungsi pendekatan : y=a0+a1x+a1x2++anxn

Regresi polynomial tingkat n dikembangkan dari model matriks normal sebagai berikut :



Algoritma Regresi Eksponensial

1. Tentukan N titik data yang diketahui dalam (xi,yi) untuk i=1,2,3N2. Hitung nilai-nilai yang berhubungan dengan jumlah data untuk mengisi matriks

normal

3. Hitung nilai a0,a1, a2,.an dengan menggunakan formulasi gauss-jordan.4. Tampilkan fungsi polynomial y=a0+a1x+a1x2++anxn5. Hitung fungsi polinomial tersebut dalam range x dan step dx tertentu6. Tampilkan hasil tabel (xn,yn) dari hasil fungsi linier tersebut.


60903078-Metode-Numerik-Lengkap-Endick.pdf

Documents

Transcript of 60903078-Metode-Numerik-Lengkap-Endick.pdf