57936086-diferensial-1

Bab 4 DIFERENSIAL DAN APLIKASINYA

4.1. PERANAN DIFERENSIAL DALAM ILMU EKONOMI

Pembahasan mengenai fungsi pada bab 1 menerangkan bagaimana perilaku dari suatu variabel dipengaruhi oleh variabel lain. Pokok bahasan diferensial berkaitan dengan masalah seberapa besar perubahan suatu variabel akan mempengaruhi perubahan variabel lain.

Aplikasi diferensial banyak diterapkan baik untuk ilmu sosial maupun ilmu eksak. Untuk bidang studi ekonomi dan bisnis, penerapan diferensial hampir selalu digunakan dalam banyak kasus seperti ditunjukkan pada beberapa contoh berikut ini :

Seorang produsen mempunyai tujuan untuk memaksimumkan penjualannya (sales). Untuk mencapai target tersebut harus dianalisis terlebih dahulu faktor-faktor apa saja yang berpengaruh signifikan (nyata) terhadap penjualan barangnya. Dengan menggunakan analisis sensitivitas melalui penerapan diferensial akan diketahui faktor mana yang paling besar pengaruhnya terhadap penjualan sehingga nantinya dapat digunakan sebagai variabel kontrol untuk mencapai tujuan yaitu memaksimumkan penjualan.

Pelaku ekonomi yang menjalankan aktivitas produksinya mempunyai tujuan mencapai tingkat efisiensi yang optimal dari kegiatan produksi yang dilakukannya. Untuk mencapai tujuan tersebut harus diketahui input mana yang paling besar pengaruhnya terhadap produksi sehingga kedepannya dapat ditentukan tingkat intensitas produksinya misalnya apakah bersifat padat tenaga kerja atau padat modal. Penerapan diferensial dapat dilakukan untuk

~ 182 ~

190

[[DIFERENSIAL DAN APLIKASINYA]] BAB 4

menentukan input mana yang paling besar pengaruhnya (paling sensitive) terhadap produksi.

Proses produksi akan menimbulkan biaya produksi dan efesiensi dapat diartikan bagaimana pelaku ekonomi mencapai kondisi minimum biaya yang dikeluarkan. Penerapan diferensial dapat digunakan untuk mengestimasi tingkat output yang harus diproduksi yang akan meminimumkan biaya yang dikeluarkan.

Pembahasan diferensial di dalam bab ini dilakukan dengan tujuan untuk melakukan analisis sensitivitas serta analisis optimasi. Analisis sensitivitas digunakan untuk menentukan variabel independent mana yang paling besar pengaruhnya terhadap variabel dependen sementara analisis optimasi digunakan untuk mencari nilai maksimum dan nilai minimum suatu fungsi dengan memperhatikan perubahan dari faktor-faktor yang mempengaruhi.

4.2. ATURAN-ATURAN DIFERENSIAL Untuk dapat menggunakan penerapan analisis diferensial, terlebih dahulu harus dipahami aturan-aturan diferensial yang ada. Pada sub bab ini akan dijelaskan beberapa aturan diferensial dimana tidak seluruh aturan diferensial yang ada akan dibahas. Hanya beberapa aturan yang berkaitan dengan penerapannya khususnya dalam bidang ilmu ekonomi dan bisnis yang akan dijelaskan pada bab ini.

Jika suatu fungsi dinyatakan dengan :

y = f(x)

maka terminologi yang formal untuk diferensial (turunan) dari fungsi y dinyatakan dengan :

dxdf(x)

dxdy = dibaca perubahan y akibat perubahan x.

ATURAN 1

Jika y = k di mana k = konstanta makadx

dy= 0

Contoh :

189

BAB 4 [[DIFERENSIAL DAN APLIKASINYA]]

y = 10 maka dx

dy= 0

y = -5 maka dx

dy= 0

y = ¼ maka dx

dy= 0

y = -0,25 maka dx

dy= 0

ATURAN 2.

Jika y = xn maka dx

dy= nxn-1

Contoh :

y = x5 maka dx

dy= 5x5-1 = 5x4

y = x-4 maka dx

dy= -4x-4-1 = -4x-5

y = x1/4 maka dx

dy= ¼x1/4 -1 = ¼x -3/4

y = x-¼ maka dx

dy= -¼x –¼–1 = -¼x-5/4

ATURAN 3.

Jika y = kxn maka dx

dy = nkxn-1

Contoh :

y = 5x4 maka dx

dy= 4(5)x4–1 = 20x3

y = 2x–3 maka dx

dy= -3(2)x–3 –1 = -6x–4

y = 10x½ maka dx

dy= ½(10)x½ –1 = 5x–½

190


y = 40x–¼ maka dx

dy= – ¼(40)x–¼ –1 = -10x–5/4

ATURAN 4.

Jika y = u ± v di mana u = f(x) dan v = f(x) maka

dx

dv

dx

du

dx

dy +=

Contoh :

y = 5x4 + 10x–3 – 20 maka

dx

dy = 4(5) X4–1 + –3(10)x –3–1

= 20x3 – 30x–4

y = 4x– 3 + 10x½ - 20x –⅓ maka

dx

dy = -3(4)x -3-1 + ½(10)x½-1 – (-⅓)(20)x -⅓-1

= -12x–4 + 5x–½ +320 x–4/3

ATURAN 5.

Jika y = uv di mana u = f(x) dan v = f(x) maka

udxdv

vdxdu

dxdy ±=

Contoh :

y = 3x3 (4x2 – 15)

misal u = 3x3, dx

du = 9x2 dan v = 4x2 – 15,

dx

dv = 8x

maka

189


udx

dvv

dx

du

dx

dy ±=

dx

dy = 9x2 (4x2 – 15) + 8x (3x3)

= 36x4 – 135x2 + 24x4

= 60x4 – 135x2

ATURAN 6.

Jika y = u/v di mana u = f(x) dan v = f(x) maka

2v

udx

dvv

dx

du

dx

dy−

=

Contoh :

20x-23x

10x22xy

+=

misal u = 2x2 + 10x, dx

du = 4x + 10 v = 3x2 – 20x,

dx

dv = 6x

- 20

2v

udx

dvv

dx

du

dx

dy−

= =

dx

dy = 220x)-2(3x

10x)220)(2x-(6x-20x)-210)(3x(4x ++

= 220x)-2(3x

200x)240x260x3(12x200x230x280x312x −−+−−+−

= 220x)-2(3x

200x)220x3(12x200x250x312x −+−−−

190


= 220x)-2(3x

200x200x220x250x312x312x +−−−−

= 220x)-2(3x

270x−

ATURAN 7

Jika y = f(u) di mana u = g(x) maka

dx

du.

du

dy

dx

dy=

Contoh :y = (2x3 + 10x)4

misal u = 2x3 + 10x maka y = u4

du

dy = 4u3 dan u = 2x3 + 10x maka

dx

du= 6x² + 10

dx

du.

du

dy

dx

dy= = 4u3(6x2 + 10) = 4(2X3 + 10x)3 (6x2 + 10)

= 4(6x2 + 10)(2x3 + 10)3

= (24x2 + 40)(2x3 + 10x)3

ATURAN 8

Jika y = ex maka

xedx

dy=

Jika y = eu di mana u = f(x) maka

dx

dueudx

dy=

Contoh :

y = 5ex maka dx

dy = 5ex

189


y = 10e2x²-10x

misal u = 2x2 – 10x maka dx

du = (4x – 10)eu

= 10(4x – 10)eu

= (40x – 100) e2x²-10x

ATURAN 9

Jika y = ln x maka

x

1

dx

dy=

Jika y = ln u di mana u = f(x) maka

dx

du

u

1

dx

dy=

Contoh :

y = 5 ln x

x

5

dx

dy=

y = ln 5x2 – 20x

misal : u = 5x2 – 20x, dx

du = 10x – 20 maka

dx

du

u

1

dx

dy=

= 20x-25x

2010x−

= 4x)-25(x

4)5(2x − =

4x-2x

42x −

Untuk fungsi lebih dari satu variabel bebas, proses perhitungan diferensial pada dasarnya sama dengan fungsi dengan satu variabel bebas. Perbedaannya diferensial dilakukan sebanyak jumlah variabel bebasnya.

Jika suatu fungsi dinyatakan dengan

Y = f(X1, X2, X3, ………., Xn)

190


Maka diferensial untuk masng-masing variabel dinyatakan dengan :

1dX

dY,

2dX

dY,

3dX

dY sampai dengan

ndX

dY

Contoh Y = 2x1

3 + 10x24 - 4 x1 x2 + 50 x1 + 75 x2

Diferensial untuk fungsi tersebut dapat dinyatakan dengan

1dX

dY= (3).2x1

3-1 – (1)4 x11-1 x2 + (1)50 x1

1-1

= 6x12 – 4 x2 + 50

2dX

dY= (4).10x2

4-1 – (1)4 x1 x21-1

+ (1)75 x21-1

= 40x23 – 4 x1 + 75

Contoh Y = 20x1

4 x25


1dX

dY= (4)20x1

4-1 x25

= 80 x13 x2

5

2dX

dY= (5)20x1

4 x25-1

= 100 x14 x2

4

Contoh Y = 100x1

0,,7 x20,9


1dX

dY= (0,7)100x1

0,,7-1 x20,9

= 70x1-0,3 x2

0,9

2dX

dY= (0,9)100x1

0,,7 x20,9-1

189


= 90x10,,7 x2

-0,1

LATIHAN-LATIHAN

1. y = 15 2. y = 24 – 10x

3. y = 4x2 – x + 5 4. y = x2 – 15x + 10

5. y = 5x3 6. y = 7x3 – 2x2 + 5x + 1

7. 10x3

3x

4

4x+−=y 8. y = 1003x3

15x51 +−

9. y = 1/x 10. y = (x2 – 2)5

11. y = 3x5 – 2x3 12. y = 5x4 – 10x2

13. y = 2/x2 14. y = -4/x3

15. y = (x – 5)4 16. y = (5 – 2x)3

17. y = (3x3-2x2)(5x-4+10x) 18. y = (4x3-10x)(2x2+5x)

19. y = (4x-2-5x3)3(6x3+20x)4 20. y = (5x3-15x)3(2x4+12x)4

21. 10x22x

5xy

−= 22.

10x33x

8x22xy

+

−=

23. 24x

15x35xy

−= 24.

3)5

4)8

x

x

−

−=

2(2x

3(4xy

25. y = 1+x 26. y = 2x10+

27. y = e2x 28. y = e10 – 2x

29. y = 2xe 30. y = e3x² - 5x + 10

31. y = ln 2x 32. y = in 4x

33. y = In (x2 – 5) 34. y = in (x3 + 4)

190


35. y = 2-1 x

x36. y =

1

22+x

x

37. y = ex in x 38. y = e2x in x

39. y =ln (5x2+20) e3x-10

40. y = 10x)2ln(3x

204xe

−

−

41. Y = 4x14 + 5x2

-5 + 40 x1 x2 42. y = 10x14x2

6

43. y = 8x11/2x2

1/4 44. y = 6x10,2x2

0,7

45. y = 5x14x2

3 – 20x10,4x2

0,7

4.3. APLIKASI DIFERENSIAL

1.Konsep MarginalitasSeperti pada penjelasan sebelumnya, diferensial berkaitan dengan perubahan suatu variabel (variabel dependen) sebagai akibat perubahan variabel yang mempengaruhi (variabel independen). Dalam konteks ekonomi perubahan suatu variabel akibat perubahan variabel lain dikenal sebagai konsep marginal

Marginal Utilitas (MU) Besar kecilnya utilitas yang diperoleh konsumen dipengaruhi oleh banyak sedikitnya jumlah barang yang dikonsumsi dimana secara matematis dapat dinyatakan dengan :

TU = f(Xi)Di manaTU : Total utilitasXi : Barang Xi yang dikonsumsikan

TU = f(X) menunjukkan bahwa yang mempengaruhi utilitas seorang konsumen adalah banyak sedikitnya barang yang dikonsumsikan. Perubahan total utilitas yang diperoleh sebagai akibat perubahan jumlah barang X yang dikonsumsi disebut Marginal Utility dari

189


barang X (MUX) yang secara matematis dinyatakan dengan :

MUX = dX

dTU

dibaca perubahan total utilitas sebagai akibat perubahan konsumsi barang x

Contoh :TU = 100x – 5x2 maka

MUX = dX

dTU = 100 – 10x

Contoh :TU = 2X² + 5Y4 – 10XY + 200X + 250Y

maka ada dua marginalitas yaitu :

MUX = dX

dTU = 4X – 10Y +200

MUy = dY

dTU = 20Y3 – 10X + 250

Marginal Product (MP)Besar kecilnya produksi total yang dihasilkan produsen dipengaruhi oleh banyak sedikitnya input yang digunakan dalam proses produksi dimana secara matematis dapat dinyatakan dengan :

TP = f(RM, L, K, Tc)

Di manaTP : Total Product (Produksi Total)RM : Bahan baku L : Tenaga kerja K : Kapital Tc : Teknologi

TP = f(RM, L, K.Tc) menunjukkan bahwa yang mempengaruhi produksi total yang dihasilkan produsen adalah banyak sedikitnya input yang digunakan dalam proses produksi yaitu bahan baku (RM), tenaga kerja (L),

190


Kapital (K) dan teknologi (Tc). Perubahan produksi total sebagai akibat perubahan jumlah input yang digunakan disebut Marginal Product (MP).

Jika TP = f (L, K) maka konsep marginal yang dimiliki ada 2 yaitu :

MPL = dL

dTP dibaca perubahan produksi total akibat

perubahan tenaga kerja

MPK = dK

dTP dibaca perubahan produksi total akibat

perubahan kapital

Contoh :

TP = 0,1L3 – 6L2 + 9L + 1, maka

MPL = dL

dTP = 0,3L2 - 12L + 9

Contoh :

TP = 50L0,5K0,9


MPL = dL

dTP = 0,5(50) L0,5-1K0,9 = 25 L-0,5K0,9

MPK = dK

dTP = 0,9(50) L0,5K0,9-1 = 45 L0,5K-0,1

Marginal Revenue (MR) Besar kecilnya penerimaan total (TR) yang diperoleh produsen dipengaruhi oleh banyak sedikitnya jumlah barang yang terjual dimana secara matematik dinyatakan dengan :

TR = f(Qi)

Di manaTR : Penerimaan Total

189


Qi : Jumlah barang yang terjual

TR = f(Qi) menunjukkan bahwa yang mempengaruhi penerimaan total produsen adalah banyak sedikitnya barang yang terjual. Perubahan penerimaan total yang diperoleh sebagai akibat perubahan jumlah barang yang terjual disebut Marginal Revenue (MR) yang secara matematis dinyatakan dengan :

MR = dQ

dTR

dibaca perubahan penerimaan total akibat perubahan jumlah barang yang terjual

Contoh :TR = 20Q – 3Q² maka

MR = dQ

dTR = 20 – 6Q

Contoh :TR = 4Q1

4 – 8Q2-3 + 10Q1

3Q24 – 100Q1 + 220Q2


MRQ1 = 1

dQ

dTR = 16Q1

3 + 30Q1²Q24 – 100

MRQ2 = 2dQ

dTR = 24Q2

-4 + 40Q13Q2

3 + 220

Marginal Cost (MC ) Biaya produksi total atau TC terdiri atas Biaya Tetap Total (TFC) dan Biaya Variabel Total (TVC).

Biaya Tetap Total (TFC) adalah biaya yang besar kecilnya tidak tergantung banyak sedikitnya output yang dihasilkan sementara Biaya Variabel Total (TVC) adalah biaya yang besar kecilnya tergantung banyak sedikitnya output yang dihasilkan (Q).

Dengan demikian yang mempengaruhi besar kecilnya biaya total (TC) adalah banyak sedikitnya barang yang diproduksi. Perubahan biaya total akibat perubahan

190


banyak sedikitnya barang yang diproduksi dikenal dengan sebutan Marginal Cost (MC) yang secara matematik dinyatakan dengan :

MC = dQ

dTC

Contoh :TC = 1/3Q3 – 5Q² + 40Q + 200 maka

MC = dQ

dTC = Q² - 10Q + 40

Contoh :TC = 2Q1

3 + 4Q2-4 + 5Q1

3Q24 + 200Q1 - 250Q2


MCQ1 = 1

dQ

dTR = 6Q1

2 + 15Q1²Q24 + 200

MCQ2 = 2dQ

dTR = -16Q2

-5 + 20Q13Q2

3 - 250

Manfaat Analisis MarginalitasManfaat dari pengunaan analisis marginalitas adalah untuk menentukan variabel independen mana yang paling besar pengaruhnya terhadap variabel dependen untuk nantinya dapat dijadikan sebagai dasar dalam memprediksi perilaku dari variabel dependennya.

Dalam prakteknya, konsep marginalitas memiliki kelemahan yang mendasar yaitu jika satuan pengukuran dari variabel yang digunakan berbeda-beda maka tidak tepat menggunakan konsep marginalitas sebagai indikator yang mengukur besar kecilnya pengaruh dari variabel independen terhadap variabel dependen.

Contoh :

TP = 100 + 4L + 5K

Dimana TP = produksi total L = tenaga kerja (jam)

189


K = Kapital (unit)

Marginalitas untuk fungsi diatas terdiri dari :

MPL = dL

dTP = 4

Artinya jika L naik 1 jam maka produksi (TP) naik 4 unit atau sebaliknya.

MPK = dK

dTP = 5

Artinya jika K naik 1 unit maka produksi (TP) naik 5 unit atau sebaliknya.

Jika dilihat dari nilai marginalnya, pengaruh dari kapital terhadap produksi total lebih besar dibandingkan dengan pengaruh dari tenaga sehingga dapat disimpulkan bahwa kapital lebih sensitif mempengaruhi produksi total dibandingkan dengan tenaga kerja.

Kesimpulan tersebut dapat dibenarkan sejauh satuan pengukuran dari tenaga kerja dan kapital sama Kenyataan menunjukkan bahwa pengukuran kedua variabel tersebut berbeda dimana satuan untuk tenaga kerja adalah jam kerja sedangkan satuan untuk kapital adalah unit. Pada umumnya harga kapital relatif jauh lebih mahal dibandingkan dengan harga dari tenaga kerja/jam. Dengan penjelasan tersebut maka MPK sebesar 5 tidak tepat dikatakan bahwa kapital lebih besar pengaruhnya dibandingkan dengan pengaruh dari tenaga kerja (MPL) yang besarnya hanya 4.

Untuk kasus dimana satuan pengukuran dari variabel independennya berbeda-beda, elastisitas lebih tepat digunakan untuk melihat dan membandingkan besarnya pengaruh dari variabel independen terhadap variabel dependennya. Hal ini disebabkan karena satuan pengukuran setiap variabel dalam perhitungan elastisitas sama yaitu persentase (%).

2. Elastisitas Elastisitas diartikan sebagai suatu bilangan yang mengukur persentase perubahan variabel dependen sebagai akibat

190


persentase perubahan variabel independen. Dalam bentuk matematik dinyatakan dengan :

independen Variabel%

dependen Variabel% sElastisita

∆

∆=

Sama seperti konsep marginalitas, penentuan banyaknya elastisitas tergantung dari banyaknya variable independen yang mempengaruhi variabel dependennya. Jika jumlah variabel independen yang mempengaruhi sebanyak 3 variabel maka banyaknya elastisitas juga 3.

Elastisitas pada fungsi permintaan Elastisitas pada fungsi permintaan diartikan sebagai persentase perubahan permintaan terhadap suatu barang sebagai akibat persentase perubahan dari faktor-faktor yang mepengaruhi .

Jika suatu fungsi permintaan dinyatakan dengan

Qdx = f(Px, Py, I, A)

Dimana Qdx = permintaan terhadap barang XPx = harga barang XPy = harga barang yI = Pendapatan A = Pengeluaran iklan

Dari informasi fungsi permintaan tersebut maka banyaknya elastisitas yang dihasilkan ada 4 yaitu :

• Elastisitas harga Elastisitas harga diartikan sebagai persentase perubahan permintaan suatu barang sebagai akibat persentase perubahan harga barang yang bersangkutan. Secara matematik ditulis :

Px%

Qdx% Pyε

∆

∆=

Dimana

Pxε = elastisitas harga

189


Penerapan diferensial di dalam konsep elastisitas dilakukan dengan mentransformasi definisi elastisitas ke dalam formulasi diferensial berikut :

ΔPx

Px.

Q x

ΔQ x

PxΔPxQ xΔ Q x

.100%PxΔPx

.100%Q xΔ Q x

Px%

Q dx% Pε ===

∆

∆=

Qx

Px.

ΔPx

ΔQx Pxε =

dimana Px

ΔQx ∆

adalah konsep diferensial

(marginalitas)

• Elastisitas silang Elastisitas silang diartikan sebagai persentase perubahan permintaan suatu barang sebagai akibat persentase perubahan harga barang lain dan secara matematik ditulis :

Py%

Qdx% Pyε

∆

∆=

Dimana

Pyε = elastisitas silang

Dengan cara kerja yang sama, maka penerapan diferensial di dalam perhitungan elastisitas silang dinyatakan dengan formulasi berikut ini :

Qx

Py.

ΔPy

ΔQx Pyε =

• Elastisitas pendapatan Elastisitas pendapatan diartikan sebagai persentase perubahan permintaan suatu barang sebagai akibat persentase perubahan pendapatan dan secara matematik ditulis :

I%

Qdx% Iε

∆

∆=

Dimana

Iε = elastisitas pendapatan

190


Dengan cara kerja yang sama, maka penerapan diferensial di dalam perhitungan elastisitas pendapatan dinyatakan dengan formulasi berikut ini :

Qx

I.

ΔI

ΔQx Iε =

• Elastisitas iklan (Advertising) Elastisitas iklan diartikan sebagai persentase perubahan permintaan suatu barang sebagai akibat persentase perubahan iklan dan secara matematik ditulis :

A∆

∆=

%

Qdx%

Aε

Dimana

Aε = elastisitas iklan (advertising)Dengan cara kerja yang sama, maka penerapan diferensial di dalam perhitungan elastisitas iklan dinyatakan dengan formualsi beriktu ini :

Qx

A.

ΔQx AεA∆

=

Contoh soal Jika permintaan terhadap suatu barang dinyatakan dengan fungsi :Qdx = 50 – 5Px

Pertanyaan :Tentukan berapa besarnya elastisitas harga jika harga barang (Px) sebesar Rp 5/unit

Jawab :Qdx = 500 – 5Px

x

dx

P

Q

∆∆

= -5

Px = 5 maka Qdx = 50 – 5(5) = 50 – 25 = 25

189


Qx

Px.

Px

ΔQx Pxε∆

= = 1−=25

55.-

Artinya jika harga barang naik 1% maka jumlah barang X yang diminta akan turun sebesar 1% atau sebaliknya.

Contoh soal Dengan fungsi permintaan yang dinyatakan dengan persamaan

Qdx = 10Px-2

Pertanyaan :Tentukan berapa besarnya elastisitas harga dan jelaskan/

Jawab :

Qdx = 10Px-2

Qx

Px.

Px

ΔQx Pxε∆

=

= 2210Px

2-20Px-

210Px

Px.3-20Px- −==

Artinya jika harga barang naik 1% maka jumlah barang X yang diminta akan turun sebesar 2% atau sebaliknya. (Untuk kasus fungsi eksponensial, besarnya elastisitas adalah pangkat dari nilai masing-masing variabel independen yang ada pada fungsi. Seperti contoh diatas, besarnya elastisitas harga adalah -2

Contoh soal Permintaan terhadap beras ditunjukkan dengan persamaan Qdx = 200 – 5Px + 3Py² + 0,1I + 5ADimaan Qdx = permintaan berasPx = harga beras Rp 10/kgPy = harga tepung terigu Rp 20/kgI = pendapatan Rp 1000A = pengeluaran iklan Rp 2000

190


Pertanyaan :Tentukan berapa besarnya yang ada pada fungsi permintaan beras tersebut dan jelaskan arti ekonominya.

Penyelesaian :Qdx = 200 – 5Px + 3Py² + 0,1I + 5°Qdx = 200 – 5(10) + 3(20) ² + 0,1(1000) + 5(2000)Qdx = 200 – 50 + 3(400) + 100 + 10000Qdx = 200 – 50 + 1200 + 100 + 10000Qdx = 11450

Elastisitas harga

Qx

Px.

Px

ΔQx Pxε∆

= = 004,0−=11450

105.-

Artinya jika harga beras naik 1% maka jumlah barang beras yang diminta turun sebesar 0,004% atau sebaliknya.

Elastisitas silang

Qx

Py.

Py

ΔQx Pyε∆

= = 209,011450

20).20(6 ==

11450

206Py.

Artinya jika harga tepung terigu naik 1% maka jumlah beras yang diminta naik sebesar 0,209% atau sebaliknya.

Elastisitas pendapatan

Qx

I.

I

ΔQx Iε

∆=

= 0087,011450

1000.1,0 ==

11450

10000,1.

Artinya jika pendapatan naik 1% maka jumlah beras yang diminta naik sebesar 0,0087% atau sebaliknya.

189


Elastisitas pengeluaran

Qx

A.

A

ΔQx Aε

∆= = 873,0

11450

10000==

11450

20005.

Artinya jika pengeluaran biaya iklan naik 1% maka jumlah beras yang diminta naik sebesar 0,873% atau sebaliknya.

Elastisitas pada fungsi produksiElastisitas pada fungsi produksi diartikan sebagai persentase perubahan jumlah barang yang diproduksi sebagai akibat persentase perubahan dari faktor-faktor yang mempengaruhi.

Jika suatu fungsi produksi dinyatakan dengan

Q = f(L, K)

Dimana Q = produksi total L = tenaga kerja K = kapital

Dari informasi fungsi produksi diatas maka banyaknya elastisitas pada fungsi tersebut ada 2 yaitu :

• Elastisitas input tenaga kerja Elastisitas input tenaga kerja diartikan sebagai persentase perubahan barang yang diproduksi sebagai akibat persentase perubahan input tenaga kerja. Secara matematik ditulis :

.%

%

L

Q Lε

∆

∆=

Dimana

Lε = elastisitas input tenaga kerja Penerapan diferensial di dalam perhitungan elastisitas menghasilkan formualsi elastisitas tenaga kerja sebagai berikut :

Q

L

L

Q Lε .∆

∆=

190


• Elastisitas input kapital Elastisitas input kapital diartikan sebagai persentase perubahan barang yang diproduksi sebagai akibat persentase perubahan input kapital. Secara matematik ditulis :

.%

%

K

Q Kε

∆

∆=

Dimana

Kε = elastisitas input kapital

Penerapan diferensial di dalam perhitungan elastisitas menghasilkan formulasi elastisitas kapital sebagai berikut :

Q

K

K

Q Kε .∆

∆=

Contoh soal :Jika fungsi produksi dengan penggunaan satu input variabel dinyatakan dengan Q = 10L0,4 .

Pertanyaan :Tentukan berapa besarnya elastisitas input tenaga kerja dan jelaskan arti ekonominya

Penyelesaian :

Q

L

ΔL

ΔQLE ⋅= = 4L-0,6 0,4

0,410L

0,44L0,410L

L==

Jadi jika terjadi kenaikan tenaga kerja (L) sebesar 1% maka jumlah barang yang diproduksi akan mengalami kenaikan sebesar 0,4%.

Contoh soal :Jika fungsi produksi dengan penggunaan satu input variabel dinyatakan dengan Q = 50L0,5K0,7.

189


Pertayaan :Tentukan berapa besarnya yang dimiliki pada fungsi produksi tersebut?

Penyelesaian :Elastisitas input labor

Q

L

ΔL

ΔQLE ⋅= = 25L-0,5K0,7 0,5

0,7K0,550L

0,7K0,525L0,7K0,550L

L==

Jadi jika terjadi kenaikan tenaga kerja (L) sebesar 1% maka jumlah barang yang diproduksi akan mengalami kenaikan sebesar 0,5% atau sebaliknya.

Elastisitas input kapital

Q

K

ΔK

ΔQKε ⋅= = 35L0,5K0,3 0,7

0,7K0,550L

0,7K0,535L0,7K0,550L

K==

Jadi jika terjadi kenaikan kapital (K) sebesar 1% maka jumlah barang yang diproduksi akan mengalami kenaikan sebesar 0,7% atau sebaliknya.

LATIHAN-LATIHAN 1. Jika diketahui utilitas seorang konsumen ditunjukkan

dengan fungsi berikut, tentukan bagaimana fungsi marginalnya

a. TU = 4x2 + 10x + 100

b. TU = 12x-3 + 25x² + 80x + 120

c. TU = (5x3 – 8x2)4

d. TU = (2x4 – 5x2)4 (3x3 – 6x2)4

e. TU = xx

xx

105

4-34

3

+

f. TU = Ln (2x3 – 6x2)5

g. TU = xxxe 6053 22 ++−

190


h. TU = 12x5y6

i. TU = 10x4 + 25y3 – 15xy + 100x + 250y

j. TU = 12x0,8Y0,9 - 20x5y3 + 40xy – 200x – 250y

2. Dengan fungsi Total Produksi (TP) yang dinyatakan dalam persamaan berikut, tentukan bagaimana fungsi marginalnya.

a. TP = -0,1L3 + 3L2 + 48L

b. TP = -3L3 + 48L² + 100L

c. TP = (2L4-10L²)5

d. TP = (-4L4-10L-2)-3

e. TP = (2L4 + 4L²) (-5L3 – 10L2)

f. TP = (3L2 + 5L)4 (10L3 – 20L)3

g. TP = Ln (4L3 – 12L)3

h. TP = 20L4K6

i. TP = 5L0.7K0.9

j. TP = 8L0,2K0.6 – 30L3K7 – 5LK

3. Dengan fungsi Total yang dinyatakan dalam persamaan berikut, tentukan bagaimana fungsi marginalnya.

a. TR = 100Q – 2Q²

b. TR = (3Q3 + 3Q) (5Q2 – 6Q)

c. TR = (2Q3-8Q²)4

d. TR = 3Q13Q2

4 – 60Q1Q2

e. TR = 5Q15 + 12Q2

4 – 18Q1Q2 + 200Q10.2Q2

0.7

f. TC = 0,3Q3 – 9Q2 + 70Q

g. TC = (2Q4-20Q-2)-3

h. TC = Ln (2Q3 – 16Q)

i. TC = 30Q12Q2

5

j. TC = 20Q10,3Q2

0.4 + 10Q1-3Q2

4 + 100Q1 + 150Q2

4. Fungsi permintaan terhadap suatu barang ditunjukkan dengan persamaan berikut ini. hitunglah besarnya

189


elastisitas yang ada pada fungsi tersebut dan jelaskan arti ekonominya :

a. Qd = 100 – 4P pada P = 20b. Qd = 40 – 5P pada P = 25c. P = 25 – 0,2 pada P = 15d. Qd = 10P-3

e. QP0.5 – 200 = 0

5. Permintaan terhadap mobil ditunjukkan dengan informasi Qdx = 10 – 0,2Px + 0,05Py² + 0,1I + 0,02ADimana :Qdx = permintaan terhadap pakaian jadi Px = harga mobil 2000Py = harga mobil impor 4000I = pendapatan 10000A = pengeluaran iklan 100000

Pertanyaan :Tentukan elastisitas yang ada pada fungsi permintaan tersebut dan jelaskan arti ekonominya.

6. Permintaan terhadap bahan bakar premium dinyatakan dengan persamaan berikut ini :

Qdx = 40Px-3Py4I0.5

dimana Qdx = permintaan terhadap bahan bakar premium Px = harga premium Py = harga solarI = pendapatan masyarakat

Pertanyaan :Tentukan elastisitas yang dimiliki pada fungsi permintaan premiun tersebut dan jelaskan apa arti ekonominya.

7. Produksi suatu barang dengan tenaga kerja sebagai input variabel dinyatakan dengan persamaan :TP = -0,1L3 + 6L² + 24L Dimana TP = produksi total L = tenaga kerja Pertanyaan :Tentukan berapa besarnya elastisitas input tenaga kerja dan jelaskan arti ekonominya pada tingkat penggunaan tenaga kerja 60 jam

190


8. Fungsi produksi berikut menunjukkan hubungan antara produksi dengan input tenaga kerja yang digunakanQ = 8L0.8

Dimana Q = produksi total L = tenaga kerja Pertanyaan :Tentukan berapa besarnya elastisitas tenaga kerja dan jelaskan arti ekonominya.

9. Hubungan antara tenaga kerja dan kapital terhadap jumlah barnag yang diproduksi dinyatakan dengan fungsi berikut ini :Q = 50L0.3K0,9 Dimana Q = produksi total L = tenaga kerja K = Kapital Pertanyaan :Tentukan berapa besarnya elastisitas input yang dimiliki fungsi produksi tersebut dan jelaskan arti ekonominya.

10. Dengan fungsi produksi yang dinyatakan persamaan berikut QL-0,4K-0,8 – 200 = 0Dimana Q = produksi total L = tenaga kerja K = Kapital Pertanyaan :Tentukan berapa besarnya elastisitas input yang dimiliki fungsi produksi tersebut dan jelaskan arti ekonominya.

4.4. OPTIMASI FUNGSI DENGAN SATU VARIABEL BEBAS Optimasi suatu fungsi dengan satu variabel bebas berkaitan dengan masalah mencari nilai maksimum atau nilai minimum suatu fungsi yang

189


perilakunya dipengaruhi oleh variabel independen. Jika suatu fungsi dinyatakan dengan :

y = f(x)

dimana y = adalah variabel dependen x = variabel independen

Permasalahannya adalah menentukan berapa nilai optimal (maksimum atau minimum) dari y dengan nilai x tertentu yang dimiliki oleh fungsi tersebut. Proses mencari nilai optimasi dilakukan dengan 2 syarat yaitu :

a. Necessary Condiion (Syarat perlu) atau first order condion (FOC) Dilakukan dengan menentukan turunan pertama dari fungsi harus sama dengan 0

NC 0Δx

Δy=

Dari syarat perlu ini akan diperoleh nilai x yang memaksimumkan atau meminimumkan fungsi y

b. Sufficient Condiion (Syarat cukup) atau second order condion (SOC)

Dilakukan dengan menentukan turunan kedua dari fungsi tersebut

SC 2Δx

y2Δ

Dari syarat cukup ini akan ditentukan apakah fungsi yang dimaksud merupakan fungsi maksimum atau fungsi minimum dengan ketentuan

Jika 2Δx

y2Δ> 0 maka fungsi tersebut merupakan fungsi

minimum

Jika 2Δx

y2Δ< 0 maka fungsi tersebut merupakan fungsi

maksimum

Contoh soal :Diketahui fungsi y = x² - 5x – 24

190


Pertanyaan :Tentukan apakah y merupakan fungí maksimum atau fungsi minimum dan tentukan nilai maksimum/nilai minimum dari fungsi tersebut.

Penyelesaian :y = x² - 5x – 24

NC 0=∆∆x

y

2x - 5 = 0 x = 5 x = 5/2 = 2,5

SC 2

2

x

y

∆∆

= 2 > 0 merupakan fungsi minimum

Jadi x = 2,5 menghasilkan fungsi minimum

Nilai minimum fungsi :y = x² - 5x – 24

= 2,5² - 5(2,5) – 24 = 6,25 – 12,5 – 24 = -30,25

Jadi nilai minimum dari fungsi tersebut adalah -30,25

Aplikasi optimasi fungsi dengan satu variabel bebas

Fungsi UtilitasFungsi utilitas satu barang diidentifikasikan sebagai fungsi kuadrat sehingga permasalahan mendasar yang ingin dicari solusinya adalah menentukan berapa jumlah barang yang harus dikonsumsi dan menghasilkan kepuasan maksimum.

Contoh soal :Diketahui fungsi utilitas dinyatakan dengan persamaan TU = -x² + 6x + 27

189


Pertanyaan :Tentukan berapa jumlah barang x yang harus dikonsumsi agar menghasilkan utilitas maksimum dan hitung besarnya utilitas maksimum tersebut.

Penyelesaian :

TU = -x² + 6x + 27

NC 0Δx

ΔTU=

-2x + 6 = 0 -2x = -6 x = -6/-2 = 3

SC 2Δx

TU2Δ = -2 < 0 merupakan fungsi maksimum

Jadi x = 3 menghasilkan utilitas maksimum

Nilai maksimum utilitas adalah :TU = -x² + 6x + 27 = -(3²) + 6(3) + 27 = - 9 + 18 + 27 = 36

Jadi besarnya utilitas maksimum adalah 36 util

Fungsi Produksi Fungsi produksi dengan satu input variabel merupakan fungsi kubik (pangkat 3) jika mengacu pada dari the law of diminishing return. Permasalahan yang ingin dicari solusinya adalah menentukan berapa input yang harus digunakan agar menghasilkan produksi maksimum .

Contoh soal :Dengan fungsi produksi yang ditunjukkan persamaan ” TP = -0,1L3 + 12L² + 60L Dimana TP = produksi total dan L = tenaga kerja

190


Pertanyaan :Tentukan berapa jumlah input tenaga kerja yang harus digunakan agar produksi total maksimum dan hitung besarnya produksi total maksimum tersebut.

Penyelsaian :

TP = -0,1L3 + 12L² + 60L

NC 0ΔL

ΔTP=

-0,3L² + 24L + 60 = 0

a = -0,3 b = 24 c = 60

2(-0,3)

)4(-0,3)(60-224(24)-

2a

4ac-2bb1,2L

±=

±−=

0,6

25,4524

0,6-

64824-

0,6-

7257624-1,2L

−±−

=±

=+±

=

82,42

0,6-

49,45-

0,6-

25,45-24-1L ===

2,41

0,6-

1,45-

0,6-

25,4524-2L −==

+=

SC 2ΔL

TP2Δ = -0,6L + 24

Untuk L1 = 82,42 SC -0,6L + 24 = -0,6(84,42) + 24 = -25.45 < 0

maksimum

Untuk L1 = -2,42 SC -0,6L + 24 = -0,6(-2,42) + 24 = 25.45 > 0

minimum

Jadi L = 82,42 menghasilkan produksi maksimum

Nilai maksimum produksi barang TP = -0,1L3 + 12L² + 60L

189


= -0,1(82,423) + 12(82,42²) + 60(82,42) = -0,1(559883,708) + 12(6793,05) + 4885,2 = -55988,3 + 81516,67 + 4885,2

= 30.473,50

Fungsi Penerimaan Total (TR)Fungsi penerimaan total untuk kasus satu barang diidentifikasikan sebagai fungsi kuadrat jika fungsi permintaannya merupakan fungsi linier dengan slope (kemiringan) negatif. Permasalahan yang ingin dicari solusinya adalah menentukan berapa jumlah barang yang harus dijual agar menghasilkan penerimaan total maksimum.

Contoh soal :Diketahui fungsi permintaan suatu barang dinyatakan dengan persamaan Q = 40 – 0,2P

Pertanyaan :Tentukan berapa jumlah barang yang harus dijual agar penerimaan total maksimum dan hitung besarnya penerimaan total maksimum tersebut.

Jawab :

Q = 40 – 0,2P Untuk mendapatkan fungsi TR fungsi permintaan harus dirubah dalam bentuk P = f(Q) Q = 40 – 0,2P 0,2P = 40 - Q P = 200 – 5Q

TR = P.Q = (200 – 5Q)Q

= 200Q – 5Q²

TR maksimum

NC 0ΔQ

ΔTR=

200 – 10Q = 0 - 10Q = -200 Q = -200/-10

Q = 20

190


SC 2ΔQ

TR2Δ = -10 < 0 merupakan fungsi maksimum

Jadi Q = 20 menghasilkan penerimaan total maksimum

Nilai maksimum penerimaan total adalah :TR = 200Q – 5Q² = 200(20) – 5(20²)

= 4000 – 5(400) = 4000 – 2000 = 2000Jadi nilai maksimum dari penerimaan total (TR) adalah 2000

Fungsi Biaya Total (TC)Fungsi biaya total untuk kasus satu barang yang diproduksi merupakan fungsi kubik sebagai akibat the law of diminishing return. Permasalahan yang ingin dicari solusinya adalah menentukan berapa jumlah barang yang harus produksi agar menghasilkan biaya minimum.

Contoh soal :Dengan fungsi biaya TC = 1/3Q3 - 9Q² + 36Q +1000

Pertanyaan :Tentukan berapa jumlah barang yang harus diproduksi agar menghasilkan biaya total minimum dan hitung besarnya biaya total minimum tersebut?

Penyelesaian :TC = 1/3Q3 - 9Q² + 36Q +1000

TC maksimum

NC 0ΔQ

ΔTC=

Q² - 18Q + 36 = 0

a = 1 b = -18 c = 36

189


2(1)

4(1)(36)-218-(-18)-

2a

4ac-2bb1,2Q

±=

±−=

2

13,4118

2

18018

2

144324181,2Q

±=

±=

−±=

15,705

2

31,41

2

13,41181Q ==

+=

2,2952

4,59

2

13,41182Q ==

−=

SC 2ΔQ

TC2Δ = 2Q - 18

Untuk Q1 = 15,705 SC 2Q - 18 = 2(15,705) - 18 = 13,41 > 0

minimum

Untuk Q2 = 2,295 SC 2L - 18 = 2(2,295) – 18 = -13,41 < 0

maksimum

Jadi Q = 15,705 menghasilkan biaya minimum

Nilai minimum dari biaya total :

TC = 1/3Q3 - 9Q² + 36Q +1000

= 1/3 (15,7053) – 9(15,7052) + 36(15,705) +1000

= 1291,20 – 2219,82 + 565,38 + 1000

= 636,75

Jadi besarnya produksi maksimum adalah 636,75 unit

Pasar Persaingan Sempurna (PPS)Pasar persaingan adalah struktur pasar di mana produsen bertindak sebagai PRICE TAKER (penerima harga) karena harga ditentukan oleh pasar (interaksi antara permintaan dan penawaran). Permasalahan yang ingin dicari solusinya adalah menentukan berapa tingkat harga dan kuantitas yang memberikan keuntungan

190


maksimum bagi produsen dan hitung besarnya keuntungan maksimum tersebut.

Contoh soal :Permintaan dan penawaran pasar ditunjukkan dengan persamaan Qd = 800 – 5P dan Qs = -200 + 5PDengan struktur biaya TC = 2,5Q² + 50Q + 100

Pertanyaan :Berapa harga dan kuantitas yang menghasilkan laba maksimum bagi produsen dan hitung besarnya laba maksimum tersebut.

Penyelesaian :Langkah-langkah pengerjaan :

• Tentukan fungsi penerimaan total produsen (TR)Diperoleh dengan menentukan harga keseimbangan pasar

Qd = Qs800 – 5P = -200 + 5P800 + 200 = 5P + 5P1000 = 10PP = 1000/10 = 100

Jadi fungsi permintaan yang dihadapi produsen di PPS adalah harga keseimbangan pasar yang mencerminkan produsen sebagai price taker yaitu P = 100 sehingga diperoleh fungsi TR

TR = P.Q = 100Q

• Tentukan fungsi keuntungan (profit) nyaπ = TR – TC

= 100Q - (2,5Q² + 50Q + 100) = 100Q - 2,5Q² - 50Q – 100 π = - 2,5Q² + 50Q – 100 Fungsi profit

• Tentukan kuantítas yang menghasilkan profit maksimum

NC 0ΔQ

Δπ=

-5Q + 50 = 0

-5Q = -50

189


Q = -50/-5 = 10

SC 2ΔQ

π2Δ = -5 < 0 merupakan fungsi maksimum

Jadi kuantitas (Q) = 10 menghasilkan profit maksimum

Besarnya profit maksimum π = - 2,5Q² + 50Q – 100 = - 2,5(10²) + 50(10) – 100

= - 250 + 50(10) – 100 π = -250 + 500 – 100 = 150

Jadi harga sebesar P = 100, kuantiítas (Q) sebesar 10 menghasilkan profit maksimum dengan nilai profit maksimum sebesar 150

Pasar Monopoli Pasar monopoli adalah struktur pasar dimana produsen bertindak sebagai PRICE MAKER (penentu harga) yang artinya produsen dapat mempengaruhi harga pasar karena hanya di pasar hanya ada satu produsen. Permasalahan yang ingin dicari solusinya adalah menentukan berapa tingkat harga dan kuantitas yang memberikan keuntungan maksimum bagi produsen dan hitung besarnya kentungan maksimum tersebut.

Contoh soal :Permintaan dan penawaran pasar ditunjukkan dengan persamaan Q = 50 – 0,2PDengan struktur biaya TC = 1/3Q3 - 10Q² + 50Q + 500

Pertanyaan :Berapa harga dan kuantitas yang menghasilkan laba maksimum bagi produsen dan hitung besarnya laba tersebut.

Penyelesaian :

Langkah-langkah pengerjaan :

• Tentukan fungsi penerimaan total produsen (TR)Q = 50 – 0,2P

190


0,2P = 50 – QP = 250 – 5Q

TR = P.Q = 100Q

= (250 – 5Q)Q = 250Q – 5Q²

• Tentukan fungsi keuntungan (profit) nyaπ = TR – TC = 250Q – 5Q² - (1/3Q3 - 10Q² + 50Q + 500) = 250Q – 5Q² - 1/3Q3 + 10Q² - 50Q - 500π = -1/3Q3 + 5Q² + 200Q – 500

• Tentukan kuantitas yang menghasilkan profit

maksimum

NC 0=∆∆Q

π

-Q² + 10Q + 200 = 0

a = -1 b = 10 c = 200

2(-1)

4(-1)(200)-210(10)-

2a

4ac-2bb1,2Q

±=

±−=

2

3010

2-

90010-

2-

80010010-1,2Q

−±−

=±

=+±

=

20

2-

40-

2-

3010-1Q ==

−=

102-

20

2-

3010-2Q −==

+=

SC 2ΔQ

π2Δ = -2Q + 20

Untuk Q1 = 20 SC -2Q + 20 = -2(20) + 20 = -20 < 0

maksimum

Untuk Q2 = -10 SC -2Q + 20 = -2(-10) + 20 = 30 > 0 minimum

Jadi Q = 20 menghasilkan profit maksimum dan pada kondisi ini P = 250 – 5Q = 250 – 5(20) = 250 – 100 = 150

189


Besarnya profit maksimum π = -1/3Q3 + 5Q² + 200Q – 500 = -1/3(203)+ 5(20²)+ 200(20) – 500 = - 8000/3 + 2000 + 4000 - 500

π = 2833,33

Jadi harga (P) sebesar = 50, kuantitas (Q) sebesar 20 menghasilkan profit maksimum dengan nilai profit maksimum sebesar 2833,33

LATIHAN-LATIHAN

1. Kepuasan total yang diperoleh Dimas dari kegiatan mengkonsumsi barang x dinyatakan dengan persamaan berikut

TU = -3x2 + 12x – 5

di mana TU = total kepuasan x = jumlah barang yang dikonsumsi (unit)

Pertanyaan :a. Carilah jumlah barang yang harus dikonsumsi oleh

Dimas agar dapat mencapai kepuasan maksimum.b. Buktikan apakah kepuasan yang dicapai Dimas sudah

maksimumc. Berapakah kepuasan total yang diperoleh si Dimas dari

konsumsi yang dilakukannya.

2. Seorang produsen dalam proses produksinya memiliki fungsi produksi yang dinyatakan dengan persamaan :

Q = L3 – 6L2 + 9L + 1

Dimana Q = produksi total dan L = tenaga kerja

Pertanyaan :

190


a. Berapakah jumlah input tenaga kerja (L) harus dipergunakan agar produksi maksimal.

b. Buktikan apakah produksi tersebut sudah maksimalc. Berapakah banyaknya output (Q) yang dihasilkan.d. Hitunglah besarnya tingkat produksi rata-rata (AP) pada

penggunaan tenaga kerja tersebut diatas.

3. Fungsi permintaan terhadap pakaian anak-anak dinyatakan dengan persamaan Q = 60 – 0,1P

Pertanyaan :a. Tentukan bagaimana fungsi penerimaan total produsen

pakaian anak-anak tersebut.b. Tentukan berapa tingkat harga dan jumlah barang yang

harus dijual agar penerimaan total maksimumc. Buktikan bahwa penerimaan total tersebut maksimum

dan hitung besarnya penerimaan total maksimum produsen

4. Seorang produsen yang menjual barang menghadapi fungsi permintaan sebagai berikut :

P = 1296 – 0,12Q2

di mana Q = banyaknya output yang dijual (unit).Pertanyaan :

a. Buatlah fungsi TR dan hitunglah jumlah output (Q) yang harus dijual agar pendapatan mencapai maksimal.

b. Berapakah pendapatan total maksimum yang diperoleh produsen tersebut dan buktikan.

5. Seorang produsen memiliki struktur biaya total dalam memproduksi outputnya sebagai berikut :

TC = 500 - 24Q + 0,2Q2 Dimana TC = total biaya dan Q = produksi (unit)

Pertanyaan :a. Hitunglah banyaknya output (Q) yang diproduksi agar

biaya mencapai minimal.b. Buktikan apakah biaya total sudah mencapai minimum c. Hitung besarnya biaya total minimum d. Berapakah besarnya TFC, TVC, AFC dan AVC pada

kondisi biaya total minimum.

189


6. Seorang pengusaha meubel memiliki struktur biaya produksi sebagai berikut : TFC = 750.000, AVC = -4860 + 15 Q, di mana Q = banyaknya meubel yang diproduksi.

Pertanyaan :a. Hitunglah banyaknya meubel (Q) yang diproduksi agar biaya minimal.b. Buktikan apakah biaya total produsen tersebut sudah minimum dan hitung besarnya biaya total minimum c. Hitunglah besarnya AFC, AVC dan AC yang dikeluarkan pada tingkat produksi tersebut.

7. Seorang produsen memiliki fungsi pendapatan dan biaya total sebagai berikut :

TR = 10Q – 0,001 Q2 TC = 7000 + 2Q

Pertanyaan :a. Carilah banyaknya output (Q) agar laba mencapai

maksimal.b. Berapakah besarnya TR, TC dan laba pada tingkat

produksi tersebut.c. Buktikan apakah laba tersebut sudah mencapai

maksimal.

8. Permintaan dan penawaran dari suatu pasar yang memiliki struktur pasar persaingan sempurna ditunjukkan dengan persamaan Qd = 90 – 5P dan Qs = -10 + 5PJika struktur biaya yang dimiliki setiap produsen dinyatakan dengan TC = Q² + 5Q + 20Pertanyaan :a. Bagaimanakah fungsi permintaan dan fungsi

penerimaan total yang dimiliki produsen di pasar tersebut

b. Tentukan bagaimana fungsi keuntungan (profit)nyac. Hitung berapa harga dan kuantitas yang

memaksimumkan keuntungan produsen di pasar persaingan sempurna dan buktikan bahwa keuntungan tersebut maksimum

d. Hitung besarnya keuntungan maksimum yang dimiliki produsen

190


9. Seorang monopolis menjual output yang diproduksinya menghadapi fungsi permintaan

Q = 6000 – 30P.

Adapun untuk memproduksi barang tersebut, produsen memiliki struktur biaya sebagai berikut :

TC = 72000 + 60Q.

Pertanyaan :

a. Buatlah fungsi laba dari soal di atas, dan hitunglah output (Q) yang diproduksi agar laba mencapai maksimal.

b. Hitunglah berapa tingkat harga (P) yang ditawarkan oleh monopolis tersebut.

c. Berapakah besarnya profit, TR dan TC pada tingkat produksi output diatas.

d. Buktikan apakah laba sudah mencapai maksimum.

10. Fungsi permintaan seorang produsen monopolis ditunjukkan dengan persamaan P = 500 – 2Q dengan struktur biaya AC = 2,5Q + 50 + 100/Q.

Pertanyaan :

a. Tentukan berapa output yang harus diproduksi dan dijual serta besarnya harga jual agar produsen memperoleh keuntungan maksimum.

b. Buktikan secara matematis bahwa fungsi keuntungan tersebut adalah fungsi maksimum.

c. Tentukan berapa besarnya profit maksimum yang diperoleh konsumen.

4.5. OPTIMASI FUNGSI LEBIH DARI SATU VARIABEL BEBAS TANPA KENDALA

Seperti telah dijelaskan sebelumnya, perilaku dari suatu variabel tidak hanya dipengaruhi lebih dari satu variabel. Untuk itulah proses mencari nilai optimasi dari suatu fungsi dengan lebih dari satu variabel menjadi lebih kompleks dibandingkan optimasi dengan hanya satu variabel bebas. Dalam sub bab ini, pembahasan difokuskan pada masalah optimasi tanpa kendala yang artinya di dalam mencapai optimasi dari fungsi tersebut tidak ada kendala (constraint) yang dihadapi.

189


Jika suatu fungsi dengan lebih dari satu variabel bebas dinyatakan dengan persamaan :

y = f(x1, x2, x3, ......, xn)

Optimasi diperoleh dengan

1. Necessary Condition (Syarat perlu) atau first order condion (FOC)

Dilakukan dengan menentukan turunan pertama dari fungsi untuk setiap variabel bebas harus sama dengan 0

0Δx1

Δy==

1xf

0Δx2

Δy==

2xf

0Δx3

Δy==

3xf

. . . .

0Δxn

Δy==

xnf

Dari syarat perlu ini akan diperoleh nilai xi yang memaksimumkan atau meminimumkan fungsi y

2. Sufficient Condiion (Syarat cukup) atau second order condion (SOC) Pengujian maksimum atau minimum dari suatu fungsi dilakukan dengan menggunakan matriks Hessian berikut ini :

=

xnxnf.......xnx3fxnx2fxnx1f

..................................x3xnf.....x3x3fx3x2fx3x1fx2xnf.....x2c3fx2x2fx2x1fx1xnf.....x1x3fx1x2fx1x1f

H

Keputusan maksimum atau minimum suatu fungsi dilakukan dengan kriteria :

190


Jika ∆1 < 0, ∆2 > 0, ∆3 < 0, ……. Maka fungsi relative maksimum Jika ∆1 > 0, ∆2 > 0, ∆3 > 0, ……. Maka fungsi relative minimum

Dimana

∆1 = x1x1f

∆2 = x2x2fx2x1fx1x2fx1x1f

∆3 = x3x3fx3x2fx3x1fx2x3fx2x2fx2x1fx1x3fx1x2fx1x1f

Contoh soal :Diketahui suatu fungsi dinyatakan dengan y = 2x12 + 4x22 – 2x1x2 – 1000x1 – 4000x2

Pertanyaan :Ten tukan apakah fungsi tersebut fungsi maksimum atau fungsi minimum dan tentukan berapa nilai minimum atau maksimum dari fungsi tersebut.Penyelesaian :

NC Karena ada dua variabel bebas ada dua turunan pertama yang harus dicari yaitu :

0Δx1

Δy==

1xf 0

Δx2

Δy==

2xf

fx1 = 4x1 – 2x2 – 1000 = 0 4x1 – 2x2 = 1000 …………………. 1)

fx1 = 8x2 – 2x1 – 4000 = 0 2x1 – 8x2 = 4000 ………………… 2)

Eliminasi persamaam (1) dan (2) 4x1 – 2x2 = 1000 x 1 4x1 – 50x2 = 5000 2x1 – 8x2 = 4000 x 2 4x1 – 16x2 = 8000 _

189


- 34x2 = -3000 x2 = 88,23

4x1 – 10x2 = 1000 4x1 – 10(88,23) = 1000 4x1 – 882,3 = 1000 4x1 = 1000 + 882,3 4x1 = 1882,3 x1 = 470,57

SC dilakukan dengan menggunakan matriks Hessian berikut ini

=x2x2fx2x1fx1x2fx1x1f

H

fx1 = 4x1 – 10x2 – 1000 fx2 = 8x2 – 2x1 – 4000

fx1x1 = 4 fx2x1 = - 2 fx1x2 = -2 fx2x2 = 8

−

−==

82

24

x2x2fx2x1fx1x2fx1x2f

H

∆1 = 4x1x1f =

∆2 =

28432)22()84( =−=−−−=−

−=

xx

82

24

x2x2fx2x1fx1x2fx1x2f

∆1 > 0, ∆2 > 0 sehingga titik ekstrim (0,0) menghasilkan fungsi minimum.

Nilai minimum dari fungsi adalah :y = 2x1

2 + 4x22 – 2x1x2 – 1000x1 – 4000x2

= 2(470,57)2 + 4(88,23)2 – 2(470,57)(88,23) – 1000(470,57) - 4000(88,23) = -432516,40Contoh soal :Diketahui fungsi Z = 2x2 + 4xy – x2y – 4x

Pertanyaan :Tentukan apakah fungsi tersebut fungsi maksimum atau fungsi minimum dan berapa nilai optimal dari fungsi tersebut.

190


Penyelesaian :

NC Karena ada dua variabel bebas ada dua turunan pertama yang harus dicari yaitu :

0Δx1

Δy==

xf 0

Δy

Δy==

yf

fx = 4x + 4y - 2xy – 4 = 0 4x + 4y - 2xy = 4 …………………… 1)

fy = 4x - x² = 0 .......…………………..... 2)

Dari persamaan 2)4x - x² = 0x(4 - x) = 0x1 = 0

4 – x = 0x2 = 4

Dengan mensubstitusikan x1 = 0 dan x2 = 4 ke persamaan 1) diperoleh :

x1 = 0 4x + 4y - 2xy = 4 4(0) + 4y - 2(0)y = 4 4y = 4

y = 1Jadi titik ekstrim pertama terjadi pada koordinat (0, 1)

x1 = 4 4x + 4y - 2xy = 4 4(4) + 4y - 2(4)y = 4 16 + 4y – 8y = 4

4y – 8y = 4 - 16 -4y = -12

y = 3 Jadi titik ekstrim kedua terjadi pada koordinat (4, 3)


=

yyfyxfxyfxxf

H

189


fx = 4x + 4y - 2xy – 4 fy = 4x - x² fxx = 4 – 2y fyx = 4 – 2x

fxy = 4 – 2x fyy = 0

Determinan hessian untuk titik ekstrim (0, 1)

fxx = 4 – 2y = 4 – 2(1) = 2 fyx = 4 – 2x = 4 – 2(0) = 4fxy = 4 – 2x = 4 – 2(0) = 4 fyy = 0

==

04

42

yyfyxfxyfxxf

H

∆1 = 2xxf =

∆2 =

16(4.4)(2.0)04

42

yyfyxfxy

fxxf−=−==

∆1 > 0, ∆2 < 0 sehingga titik ini bukan titik maksimum/minimum

Determinan hessian untuk titik ekstrim (4, 3)

fxx = 4 – 2y = 4 – 2(3) = -2 fyx = 4 – 2x = 4 – 2(4) = -4fxy = 4 – 2x = 4 – 2(4) = -4 fyy = 0

−

−−==

04

42

yyfyxfxyfxxf

H

∆1 = 2xxf −=

∆2 =

164)-(-4.(2.0)04-

4-2-

yyfyxfxyf

xxf

−=−==

∆1 < 0, ∆2 < 0 sehingga titik ini bukan titik maksimum/minimum

Dari pengujian sufficient condition (SC) diatas dapat dibuktikan bahwa titik ekstrim (0, 1) dan (4, 3) tidak menghasilkan fungsi maksimum atau fungsi minimum.

190


Pada prinsipnya untuk mencari nilai variabel bebas yang memaksimumkan atau minimumkan dari variabel terikatnya tergantung dari informasi yang diberikan dari kondisi necessary condition (NC) tersebut. Dengan kata lain tidak ada aturan yang baku untuk mendapatkan nilai-nilai variabel bebas artinya bisa melalui prinsip substitusi .

LATIHAN-LATIHAN Carilah nilai ekstim (maksimum atau minimum) dari soal berikut ini. Lakukan pembuktian dan hitung besarnya nilai maksimum atau nilai minimum dari fungsi berikut ini.

1. Z = 3x² + 2y² - xy – 4x – 7y + 12

2. Z = 8x – 2x² + 10xy – 12y² + 6y

3. Z = 120x – 2,5x² - 5xy – 2,8y² + 200y

4. Z = 5x² - 30x + 4xy – 3y² + 7y

5. Z = 6x² + 2y² + 6xy – 120x – 64y + 400

6. Z = 3x² - 6xy + 9y² + 12x – 48y + 66

7. Z = 4x² + 4y² - 12x + 24y + 40

8. Z = 2x1 – 8x1x2 – 2x2² + 10x3² - 4x2x3

9. Z = 2x12

- 2x2² - 2x3² + 100

10. Z = 3x1² - 9x1x2 + 9x2² + 12x2x3 + 18x3²

Aplikasi optimasi fungsi lebih dari satu varaibel bebas tanpa kendalaProsedur aplikasi optimasi lebih dari satu variabel bebas tanpa kendala pada dasarnya sama dengan kasus optimasi dengan satu variabel bebas. Perbedaannya hanya pada masalah teknik perhitungan yang sifatnya lebih kompleks (lebih rumit). Berikut beberapa contoh kasus optimasi lebih dari satu variabel bebas tanpa kendala.

Contoh kasus fungsi penjualan Sebuah perusahaan penghasil obat sakit kepala ingin memperkenalkan produknya melalui iklan di radio dan televisi. Jika fungsi penjualan dinyatakan sebagai berikut :

189


S = 50.000X + 40.000Y – 10X2 – 20Y2 – 10XY

Di mana S adalah banyaknya obat yang terjualx adalah biaya iklan di televisi, y adalah biaya iklan di radio.

PertanyaanHitunglah banyaknya uang yang harus dibayarkan untuk memasang iklan di televisi dan radio tersebut jika penjualan yang diinginkan maksimum.

Penyelesaian :

Necessary Condition (NC)

fx = 50000 – 20x – 10y = 0 50000 = 20x + 10y …………………….. 1)fy = 40000 – 40y – 10x = 0 40000 = 10x + 40y ……………………… 2)Eliminasi persamaan 1 dan 2 dengan menghilangkan x diperoleh

20x + 10y = 50.000 x(1) 20x + 10y = 50.000,-10x + 40y = 40.000 x(2) 20x + 80y = 80.000,-

0 – 70y = -30.000 y = 428,57

20x + 10(428,57) = 50.000

20x + 4.285,7 = 50.000

20x = 50.000 – 4.285,7

20x = 45714,3

x = 2285,71

Jadi titik ekstrim terjadi pada koordinat ( 2285,71 ; 428,57)


=

yyfyxfxyfxxf

H

fx = 50000 – 20x – 10yfxx = -20

190


fxy = -10

fy = 40000 – 40y – 10xfyx = -10 fyy = -40

−−−−

==4010

1020

yyfyxfxyfxxf

H

∆1 = 20−=xxf

∆2 =

700100-80010)-(-10.40)-(-20.40-

10-20-

yyfyxf

xyfxx

f

10-==−==

∆1 < 0, ∆2 > 0 sehingga titik ekstrim (2285,71; 428,57) menghasilkan penjualan maksimum

Nilai maksimum dari penjualan S = 50.000X + 40.000Y – 10X2 – 20Y2 – 10XY

= 50.000(2285,71) + 40.000(428,57) – 10(2285,71)2 – 20(428,57)2 – 10(2285,71)(428,57)

= 114.285.500 + 17.142.800 – 52.244.702,04 – 3.673.444,898

– 9.795.867,347

= 65.714.285,71

LATIHAN-LATIHAN

1. Fungsi penjualan seorang produsen dari kegiatan menjual dua macam barang ditunjukkan dengan fungsi

S = 5x2 + 10y2 + 50xy – 2500y – 15000x

Pertanyaan :a. Tentukan berapa output X dan Y yang harus dijual agar penjualan maksimum!b. Buktikan bahwa fungsi Sales tersebut adalah fungsi maksimum!

189


c. Hitung besarnya sales maksimum tersebut

2. Penerimaan total produsen yang menjual dua macam barang dinyatakan dengan persamaan berikut :

TR = 60000x + 30000y - 20x² - 20y² - 20xy

Pertanyaan :a. Tentukan berapa output X dan Y yang harus dijual agar

penjualan maksimumb. Buktikan bahwa fungsi penerimaan total produsen

maksimumc. Hitung besarnya sales maksimum tersebut

3. Seorang produsen yang memiliki 2 pabrik memiliki struktur biaya seperti ditunjukkan persamaan :Pabrik 1 TC1 = 10Q1²Pabrik 2 TC2 = 10Q2²Jika permintaan pasar yang dihadapi ditunjukkan dengan

fungsi P = 700 – 5Q dimana Q = Q1 + Q2

Pertanyaan :a. Tentukan bagaimana fungsi keuntungan (profit)nyab. Hitung tingkat harga dan kuantitas yang

memaksimumkan kentungan produsen dan jumlah barnag yang diproduksi di masing-masing pabrik

c. Buktikan bahwa kentungan tersebut maksimum dan hitung besarnya keuntungan maksimum yang diperoleh produsen

4. Seorang produsen monopoli menghadapi permintaan pasar yang ditunjukkan dengan persamaan :Pasar 1 : P1 = 100 – 4Q1

Pasar 2 : P2 = 300 – 6Q2

Dengan struktur biaya TC = 2,5Q² + 10Q + 100 dimana Q = Q1 + Q2

Pertanyaan :a. Tentukan fungsi keuntungan (profit) jika monopolis

menerapkan harga yang berbeda untuk masing-masing pasar

b. Tentukan tingkat harga dan kuantitas untuk masing-masing pasar yang memaksimumkan keuntungan produsen monopoli

190


c. Buktikan bahwa keuntungan yang diperoleh produsen monopoli tersebut maksimum dan hitung berapa besarnya keuntungan maksimum yang diperoleh.

5. Seorang produsen yang menjual dua jenis barang menghadapi fungsi permintaan yang ditunjukkan dengan persamaan

Q1 = 200 – 8P1 – 2P2

Q2 = 180 – 4P1 – 3P2

Pertanyaan :a. Tentukan berapa harga dari masing-masing produk yang

akan memaksimumkan penerimaan total produsenb. Buktikan bahwa penerimaan total produsen maksimum

dan hitung berapa besarnya penerimaan total maksimum tersebut.

c. Hitung berapa masing-masing barang yang harus terjual pada kondisi penerimaan total maksimum

4.6. OPTIMASI FUNGSI LEBIH DARI SATU VARIABEL BEBAS DENGAN KENDALA

Ilmu ekonomi pada dasarnya membahas bagaimana pelaku ekonomi mencapai kondisi optimal dengan melakukan opportunity cost tertentu yang harus dikorbankan. Dengan kata lain pelaku ekonomi akan menghadapi kendala dalam usaha untuk mengoptimalkan tujuan yang ingin dicapai dari kegiatan yang dilakukannya.

Sebagai contoh ketika seorang konsumen ingin memaksimumkan kepuasannya maka kendala yang dihadapi adalah konsumen memiliki dana terbatas untuk membeli barang dan barang-barang yang tersedia merupakan barang bebas sehingga untuk mendapatkannya konsumen harus membayar sejumlah uang tertentu berdasarkan harga barang yang bersangkutan. Sub bab ini menjelaskan bagaimana fungsi tujuan dicapai baik maksimum maupun minimum dengan kendala tertentu yagn dimiliki.

Jika suatu fungsi tujuan dengan lebih dari satu variabel bebas dinyatakan dengan persamaan :

y = f(x1, x2, x3, ......, xn)

Untuk mencapai fungsi tujuan tersebut terdapat kendala/constraint yang dinyatakan dengan fungsi :

189


g (x1, x2, x3, ……., xn) = k

Optimasi fungsi tujuan dengan memperhatikan kendala yang ada dilakukan dengan menggunakan metode LAGRANGE yang dinyatakan dengan persamaan :

L = f(x1, x2, x3, ......, xn) + λ{k- g (x1, x2, x3, ……., xn)}

Maksimisasi atau minimisasi fungsi langrange dilakukan dengan langkah-langkah :

1. Necessary Condiion (Syarat perlu) atau first order condion (FOC)

Dilakukan dengan menentukan turunan pertama dari fungsi untuk setiap variabel bebas harus sama dengan 0

0Δx1

ΔL==

1xf

0Δx2

ΔL==

2xf

0Δx3

ΔL==

3xf

. . . .

0Δxn

ΔL==

xnf

0Δ

ΔL==

λλf

Dari syarat perlu ini akan diperoleh nilai xi dan λ yang memaksimumkan atau meminimumkan fungsi langrage (L)

2. Sufficient Condiion (Syarat cukup) atau second order condion (SOC) Pengujian maksimum atau minimum dari suatu fungsi dilakukan dengan menggunakan matriks Hessian berkendala seperti ditunjukkan matriks berikut ini :

190


=

xnxnL.......xnx2

Lxnx1

Lxn

g

..................................x2xn

Lx2x3.....

Lx2x2

Lx2x1

Lx2

gx1xn

L.....x1x3

Lx1x2

Lx1x1

Lx1

gxn

g.........x3

gx2

gx1

g0

H

Keputusan maksimum atau minimum suatu fungsi dilakukan dengan kriteria :

Jika ∆2 > 0, ∆3 < 0, ∆4 > 0, ……. Maka fungsi relative maksimum Jika ∆2 < 0, ∆3 < 0, ∆4 < 0, ……. Maka fungsi relative minimum

Dimana

∆2 = x2x2Lx2x1Lx2gx1x2Lx1x1Lx1gx2gx1g0

∆3 = X3X3LX3X2LX3X1Lx3gX2X3LX2X2LX2X1Lx2gX1X3LX1X2LX1X1Lx1gx3gx2gx1g0

Contoh Soal : Kasus Laba MaksimalJika fungsi keuntungan seorang produsen ditunjukkan dengan fungsi π = 4X2 + 5Y2 + 20XY di mana X dan Y adalah barang yang dapat dijual. Jika kemampuan pabrik untuk menghasilkan kedua barang adalah tidak lebih dari 400 unit

Pertanyaan :a. Berapa barang x dan y yang harus diproduksi agar laba

maksimal.b. Buktikan bahwa laba yang diperoleh adalah maksimal.c. Berapa besarnya laba maksimum dari penjualan tersebut

189


Penyelesaian :a. Tentukan fungsi tujuan : π = 4x2 + 5y2 + 20xyTentukan fungsi kendala : x + y = 400Tentukan fungsi lagrange : L = 4x2 + 5y2 + 20xy + λ(400 –

x - y)

Optimasi NC Lx = 0 Ly = 0 Lλ = 0

Lx = 8x + 20y – λ = 08x + 20y = λ ............................... 1)

Ly = 10y + 20x – λ = 0 20x + 10y = λ ............................... 2)

Eliminasi persamaan 1 dan 2λ = λ8x + 20y = 20x + 10y 20y – 10y = 20x – 8x10y = 12xy = 12x/10y = 1,2x .................................. 3)

Lλ = 400 – x – y = 0 400 – x – 1,2x = 0

400 – 2,2x = 0 400 = 2,2x

x = 400/2,2 = 181,81 y = 1,2x = 1,2(181,81) = 218,172

Jadi jumlah barang x dan y yang harus diproduksi agar laba maksimum adalah x = 181,81 dan y = 218,172

b. Buktikan bahwa laba yang diperoleh adalah maksimal.Dengan menggunakan matriks Hessian dengan kendala diperoleh matriks berikut ini :

190


H =

yyL

yxL

yg

xyL

xxL

xg

yg

xg0

g(x,y) x + y = 400

gx = 1

gy = 1

Lx = 8x + 20y – λ

Lxx = 8

Lxy = 20

Ly = 10y + 20x – λ

Lyx = 20

Lyy = 10

H =

10201

2081

110

∆2 = 201

81

10

10201

2081

110

Karena ∆2 = 2 > 0 maka fungsi tersebut adalah maksimum

c. Berapa besarnya laba maksimum dari penjualan tersebut π = 4x2 + 5y2 + 20xy = 4(181,81²) + 5(218,172²) + 20(181,81)( 218,172)

= 132219,50 + 237995,10 + 793317,02= 1.163.531,62

Contoh Soal : Kasus produksi maksimumSeorang produsen yang ingin memaksimumkan produksinya memiliki fungsi produksi yang dinyatakan dengan persamaan

Q = 10L0,2K0,8

Dimana Q = total produksi L = tenaga kerja(jam) K = kapital (unit)

= (0.8.10) + (1.20.1) + (1.1.20) – (1.8.1) - (0.20.20) – (1.1.10)= 0 + 20 + 20 – 8 – 0 – 10 = 2

189


Jika produsen memiliki anggaran 10.000 sementara harga tenaga kerja/jam dan harga kapital/unit masing-masing 200 dan 400.

Pertanyaan :a. Tentukan berapa labor dan kapital yang memaksimumkan

produksi b. Buktikan bahwa produksi tersebut maksimum c. Hitung besarnya produksi maksimum

Penyelesaian :a. Tentukan fungsi tujuan : Q = 10L0,2K0,8

Tentukan fungsi kendala : 10000 = 200L + 400K

Tentukan fungsi lagrange : L = 10L0,2K0,8 + λ(10000 – 200L

– 400K)

Optimasi NC LL = 0 LK = 0 Lλ = 0

LL = 2L-0,8K0,8 - 200 λ = 0

2L-0,8K0,8 = 200 λ

λ = 200

0,8K0,82L− …………………………….

1)

LK = 8L0,2K-0,2 - 400 λ = 0

8L0,2K-0,2 = 400 λ

λ = 400

-0,8K0,28L …………………………….

2)

Eliminasi persamaan 1 dan 2

λ = λ

200

0,8K0,82L− =

400

-0,8K0,28L

400(2L-0,8K0,8) = 200(8L0,2K-0,2 )

800 L-0,8K0,8 = 1600 L0,2K-0,2

190


0,8L

0,8800K =

0,2K

0,21600L

800K = 1600L

K = 1600L/800

K = 2L ………………………………….………………. 3)

Lλ = 10000 – 200L – 400K = 0 10000 – 200L – 400(2L) = 0 10000 – 200L – 800L = 0

10000 – 1000L = 0 10000 = 1000L L = 10000/1000 = 10

K = 2LK = 2(10)K = 20

Jadi jumlah tenaga kerja dan kapital yang digunakan agar produksi maksimum adalah L = 10 jam dan K = 20 unit

b. Buktikan bahwa laba yang diperoleh adalah maksimal.Dengan menggunakan matriks Hessian dengan kendala diperoleh matriks berikut ini :

H =

KKL

KLL

Kg

LKL

LLL

Lg

Kg

Lg0

g(L,K) 200L + 400K = 10000

gL = 200

gK = 400

LL = 2L-0,8K0,8 - 200 λ

LLL = -1,6L-1,8K0,8 = -1,6(10)-1,8(20)0,8 = - 0,278

LLK = 1,6L-0,8K-0.2 = 1,6(10)-0,8(20)-0.2 = 0,139

LK = 8L0,2K-0,2 - 400 λ

LKL = 1,6L-0,8K-0,2 = 1,6(10)-0,8(20)-0,2 = 0,139

LKK = -1,6L0,2K-1.2 = -1,6(10)0,2(20)-1.2 = - 0,069

189


H =

0,069-0,139400

0,1390,278-200

4002000

∆2 = 0,139400

0,278-200

2000

0,069-0,139400

0,1390,278-200

4002000

= (0. -0,278. -0,069) + (200. 0,139. 400) +

(400.200.0,139)

-(400.-0,278.400) - (0.0,139.0,139) – (200.200.-0,069)

= 0 + 11.120 + 11.120 + 44.480 – 0 + 2760

= 69.480

Karena ∆2 = 69.480 > 0 maka fungsi produksi maksimum

c. Besarnya produksi maksimum adalah

Q = 10L0,2K0,8

= 10(10)0,2(20)0,8 = 174,11 unit

Jadi besarnya produksi maksimum asdalah 174,11 unitLATIHAN-LATIHAN

1. Seorang petani cabe mempunyai fungsi produksi jangka panjang sebagai berikut : Q = K1/3 L2/3, di mana : Q = Cabe yang dihasilkan (kg), L = tenaga kerja (jam), K = modal (unit). Jika upah tenaga kerja adalah 5, harga modal adalah 10 dan biaya dana yang tersedia 300, maka

a. Buatlah fungsi Lagrangenyab. Carilah banyaknya tenga kerja dan modal yang

dipergunakan petani tersebut agar produksi maksimum c. Buktikan bahwa produksi cabe tersebut maksimum d. Berapakah produksi cabe maksimum yang dapat

dihasilkannya?

2. Fungsi produksi suatu macam barang ditunjukkan dengan fungsi

Q = 200K0,5L0,5

190


Di mana Q melambangkan output sedangkan K dan L menunjukkan input tenaga kerja dan kapital. Produsen menyediakan anggaran sebesar Rp 13.000.000,- untuk membeli input K dan input L. Jika harga K dan L masing-masing Rp 4.000,- dan Rp 3.000,- per unit.

Pertanyaan :

a. Berapa banyak input K dan L yang harus digunakan agar produksi yang dihasilkan maksimum

b. Berapa besarnya produksi maksimumc. Buktikan dengan menggunakan determinan Hessian

berkendala bahwa produksi maksimum

3. Fungsi utilitas konsumen ditunjukkan dengan persamaan

U = (4X + 4)(4Y + 12).

Kendala yang dihadapi konsumen adalah dana yang dimiliki 424, harga X dan Y masing-masing adalah 16 dan 24 per unit.Pertanyaan :a. Carilah X dan Y yang memaksimumkan utilitas tersebutb. Berapa utilitas maksimumnya, dan uji maksimasi

tersebut

4. Diketahui kepuasan total seorang konsumen yang mengkonsumsi 2 jenis barang adalah :

TU = 20X – X2 + 48Y – Y2

Dalam mengkonsumsi tersebut konsumen dibatasi oleh penghasilan sebesar $100 dengan harga barang X dan Y masing-masing $5 dan $10.Pertanyaan :a. Berapa jumlah barang X dan Y agar konsumen

memperoleh kepuasan maksimal?b. Hitung utilitas maksimal tersebut.c. Buktikan dengan determinan matriks Hessian bahwa

fungsi tersebut merupakan fungsi maksimal!

5. Fungsi produksi suatu macam barang ditunjukkan dengan fungsi.

Q = 6K1/2 L1/4

Di mana Q melambangkan output sedangakan K dan L melambangkan input. Produsen menyediakan anggaran sebesar Rp 20.000,- untuk membeli input K dan input L.

189


Harga K dan L masing-masing Rp 500,- dan Rp 100,- per unit.Pertanyaan :a. Berapa banyak input K dan L yang harus digunakan

agar produksi yang dihasilkan maksimum?b. Berapa besarnya produksi maksimum?c. Buktikan dengan menggunakan determinan Hessian

berkendala bahwa produksi maksimum!d. Berapakah input K dan L serta anggaran yang

dibutuhkan jika jumlah produksi yang diinginkan sebesar 200 unit.

57936086-diferensial-1

Documents

Transcript of 57936086-diferensial-1