Teorema Rangkaian

Sifat Linieritas

Linieritas adalah sifat dari sebuah elemen yang menunjukkan hubungan linier anta ra penyebab dan akibatnya. Sifat ini merupakan kombinasi antara sifat homogenita s (skala) dan sifat aditivitas. Sifat homogenitas adalah sifat jika input (penca tu) dikalikan dengan sebuah konstanta, maka output (respons) akan dikalikan deng an konstanta yang sama. Hukum Ohm untuk sebuah resistor linier: v = iR..(1) Jika arus dinaikkan dengan konstanta k, maka tegangan akan naik sebesar k: kiR = kv..(2) Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 2

Sifat aditif adalah respons dari penjumlahan beberapa input adalah penjumlahan d ari masingmasing input jika dipasangkan secara terpisah. Jika v1 = i1R(3a) dan v2 = i2R(3b) maka jika i1 dan i2 dipasangkan bersama, maka: v = (i1 + i2)R = i1R + i2R..(4 Jadi rangkaian linier hanya terdiri dari elemen linier, sumber bebas linier dan sumber tak bebas linier Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 3

Sebuah rangkaian linier adalah rangkaian yang outputnya mempunyai hubungan linie r (atau hubungan proporsional) terhadap inputnya. Perhatikan, daya adalah: p = i 2R = v2/R Hubungan daya dengan arus atau tegangan adalah hubungan kuadratik atau nonlinier. Jadi teori ini tidak berlaku untuk penghitungan daya. Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 4

Perhatikan rangkaian linier seperti pada gambar 1. Rangkaian linier tidak mempun yai sumber tidak bebas di dalam rangkaian. Inputnya adalah vs dan diberi beban R . Arus i pada R sebagai output. Gambar 1. Rangkaian linier dengan input vs dan output i. Jika vs = 10 V menghasilkan arus i = 2 A. Menurut prinsip linieritas, vs = 1 V a kan menghasilkan arus i = 0,2A. Dengan cara yang sama jika i = 1 mA, maka vs = 5 mV 5 Dasar Rangkaian Elektrik EL1092

Contoh 1: Untuk rangkaian pada gambar 2, carilah Io jika vs = 12 V dan vs = 24 V . Gunakan KVL pada kedua lintasan tertutup: Gambar 2 12i1 4i2 + vs = 0........................(a ) 4i1 + 16i2 3v x vs = 0............ (b) v x = 2i1 10i1 + 16i2 vs = 0...(c) Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 6

Tambahkan pers (a) dan (c) 2i1 + 12i2 = 0 i1 = 6i2 Substitusikan ke pers (a) vs 76i2 + vs = 0 i2 = 76 Jika vs = 12 V, maka: Gambar 2 Jika vs = 24 V, maka: 12 I o = i2 = A 76 24 I o = i2 = A 76 Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 7

Contoh 2: Asumsikan Io = 1 A. Gunakan prinsip linieritas untuk mendapatkan nilai Io yang sebenarnya dalam rangkaian di gambar 3 Gambar 3 Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 8

Jawab: Jika Io = 1 A, maka V1 = (3 + 5)Io = 8 V dan I1 = V1/4 = 2 A Gunakan KCL pada simpul 1: I2 = I1 + Io = 3 A V2 = V1 + 2I2 = 8 + 6 = 14 V I3 = V2/7 = 2 A G unakan KCL pada simpul 2: I4 = I3 + I2 = 5 A Jadi: jika Io = 1 A, Is = 5 A Harga Is 15 A akan menghasilkan Io = 3 A Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 9

Superposisi Prinsip superposisi menyatakan bahwa tegangan pada (atau arus melalui) sebuah el emen pada sebuah rangkaian linier merupakan penjumlahan aljabar dari tegangan pa da (atau arus melalui) elemen itu yang disebabkan oleh masing masing sumber beba s jika bertindak sendiri. Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 10

Prinsip superposisi berguna untuk menganalisis sebuah rangkaian linier dengan le bih dari satu sumber bebas dengan menghitung pengaruhnya secara terpisah Untuk m emakai prinsip superposisi, harus memperhatikan: 1. 2. Pada satu saat, hanya satu sumber yang diaktifkan, yang lain dimatikan. Ini bera rti kita gantikan sumber tegangan dengan 0 V (atau hubung singkat), dan sumber a rus dengan 0 A (atau hubung terbuka) Sumber tidak bebas dibiarkan tetap karena s umber ini dikendalikan oleh variabel rangkaian. Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 11

Langkah langkah untuk mengaplikasikan prinsip superposisi: 1. 2. 3. Matikan semua sumber bebas kecuali satu. Carilah output (tegangan atau arus) yan g disebabkan oleh sumber yang sedang digunakan. Ulangi langkah pertama untuk set iap sumber bebas. Hitung output total dengan menjumlahkan semua output yang dise babkan oleh masingmasing sumber Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 12

Kelemahan prinsip superposisi: Memerlukan pekerjaan yang lebih banyak Berdasarkan prinsip linieritas. Jadi jika ingin menghitung daya pada sebuah resistor, maka arus yang melalui resistor ata u tegangan pada resistor harus dihitung terlebih dahulu dengan cara superposisi Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 13

Contoh 3: Gunakan teorema superposisi untuk mencari v pada rangkaian pada gambar 4 Gambar 4 Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 14

Jawab Karena ada 2 sumber, maka v = v1 + v2 v1 disebabkan oleh sumber tegangan 6 V v2 disebabkan oleh sumber arus 3A Untuk mendapatkan v1, matikan sumber arus, s eperti pada gambar 5(a). Gunakan KVL pada lintasan tertutup pada gambar 5(a) Gambar 5 (a) Menghitung v1 (b) Menghitung v2 12i1 6 = 0 i1 = 0,5 A v1 = 4i1 = 2 V Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 15

Atau gunakan pembagian tegangan untuk mendapatkan v1 4 ( 6) = 2 V v1 = 4+8 Untuk mendapatkan v2 matikan sumber tegangan, seperti pada gambar 5(b). Gunakan pembagian arus: 8 ( 3) = 2 A i3 = 8+ 4 v2 = 4i3 = 8 V v = v1 + v2 = 2 + 8 = 10 V Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 16

Contoh 4: Carilah io dalam rangkaian pada gambar 6 dengan menggunakan superposis i. Gambar 6 Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 17

Jawab: Dalam rangkaian pada gambar 6 terdapat sumber tidak bebas, yang harus dib iarkan utuh. ' " io = io + io .............................(a) io disebabkan oleh sumber arus dan io disebabkan oleh sumber tegangan Untuk mendap atkan io matikan sumber tegangan 20 V seperti pada gambar 7(a). Gunakan analisis mesh. Pada lintasan tertutup 1: Pada lintasan tertutup 2: 3i1 + 6i2 1i3 5io = 0.................(c) i1 = 4 A................................(b) Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 18

Gambar 7: Penggunaan superposisi untuk: (a) mendapatkan io, dan (b) mendapatkan io Pada lintasan tertutup 3: 5i1 1i2 + 10i3 + 5io = 0.................(d) Pada simpul 0: i3 = i1 io = 4 io .................(e) Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 19

Gantikan pers (b) dan (e) ke dalam pers (c) dan (d) 3i2 2io = 8.....................(f) i2 + 5io = 20.....................(g) 52 i = A........................(h) 17 o Untuk mendapatkan io matikan sumber arus 4 A seperti pada gambar 7(b). Pada linta san tertutup 4, gunakan KVL: " 6i4 i5 5io = 0.................(i) Pada lintasan tertutup 5: " i4 + 10i5 20 + 5io = 0.................(j) Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 20

" i5 = io Gantikan ke dalam pers (i) dan (j) " 6i4 4io = 0....................(k) " i4 + 5io = 20..................(l) 60 i = A.....................(m) 17 " o Gantikan pers (h) dan (m) ke dalam pers (a) 8 io = = 0,4706 A 17 Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 21

Contoh 5: Untuk rangkaian pada gambar 8, gunakan teorema superposisi untuk menda patkan i. Gambar 8 Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 22

Gambar 9 Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 23

Dalam kasus ini, terdapat 3 sumber, Jadi: i = i1 + i2 + i3 i1 disebabkan oleh sumber 12 V, i2 disebabkan oleh sumber 24 V, dan i3 disebabka n oleh sumber 3 A. Untuk mendapatkan i1, perhatikan rangkaian pada gambar 9(a).R = 4 seri dengan R = 8 menjadi 12 . R =12 paralel dengan R = 4 menghasilkan R = 3 . Jadi: i1 = 12 =2A 6 Untuk mendapatkan i2, perhatikan rangkaian pada gambar 9(b). Gunakan analisis me sh Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 24

16ia 4ib + 24 = 0 4ia ib = 6............(a ) 7 7ib 4ia = 0 ia = ib ............. ............(b) 4 i2 = ib = 1 Untuk mendapatkan i3, perhatikan rangkaian pada gambar 9(c). Gunakan analisis si mpul 3= v2 v2 v1 + 24 = 3v2 2v1.........(c) 8 4 v2 v1 v1 v1 10 = + v2 = v1............(d ) 4 4 3 3 v1 = 3 dan i3 = Gantikan pers (d) ke pers (c) v1 =1A 3 i = i1 + i2 + i3 = 2 1 + 1 = 2 A Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 25

Transformasi Sumber Transformasi sumber adalah proses penggantian sebuah sumber tegangan vs seri den gan sebuah resistor R dengan sebuah sumber arus is paralel dengan sebuah resisto r R, atau sebaliknya Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 26

(a) (b) Gambar 10. Transformasi sumber bebas Kedua rangkaian pada gambar 10 adalah ekivalen, artinya keduanya mempunyai karak teristik tegangan arus yang sama pada terminal a b. Jika sumber dimatikan, resis tor yang terlihat pada terminal a b adalah R. Jika rangkaian dihubung singkat, a rus hubung singkat pada rangkaian 10(a) adalah isc = vs/R, pada rangkaian (b) is c = is. Jadi vs/R = is agar kedua rangkaian ekivalen. Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 27

Syarat transformasi sumber: v s = is R atau vs is = .............(5) R Transformasi sumber berlaku juga untuk sumber tidak bebas. Gambar 11. Transformasi sumber tidak bebas Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 28

Beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam transformasi sumber: 1.Perhatikan pad a gambar 10 atau gambar 11, arah anak panah pada sumber arus menuju ke terminal positif dari sumber tegangan. 2.Dari persamaan (5), terlihat bahwa transformasi sumber tidak mungkin dilakukan jika R = 0, misal pada sumber tegangan ideal. Hal sama juga berlaku untuk sumber arus ideal, di mana R= , tidak dapat digantikan d engan sebuah sumber tegangan. Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 29

Contoh 6: Gunakan transformasi sumber untuk mendapatkan vo dalam rangkaian pada gambar 12. Gambar 12 Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 30

Gambar 13 Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 31

Pertama transformasikan sumber tegangan dan sumber arus sehingga diperoleh rangk aian pada gambar 13(a). Serikan R = 4 dan R = 2 , transformasikan sumber tegangan 12 V sehingga menghasilkan rangkaian pada gambar 13(b). Paralelkan R = 6 dan R = 3 dan menghasilkan R = 2 . Gabungkan sumber arus 4 A dan sumber arus 2 A sehing ga diperoleh rangkaian pada gambar 13(c). Gunakan pembagian arus pada rangkaian pada gambar 13(c) untuk mendapatkan: i= 2 ( 2) = 0,4 A 2+8 vo = 8i = 3,2 V Cara lain, karena R = 8 dan R = 2 paralel, maka tegangannya sama. vo = ( 8 2 )( 2 A ) =

8 2 ( 2) = 3,2 V 10 32 Dasar Rangkaian Elektrik EL1092

Contoh 7: Carilah vx pada rangkaian di gambar 14 dengan menggunakan transformasi sumber Gambar 14 Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 33

Gambar 15. Penggunaan transformasi sumber pada gambar 16 Rangkaian pada gambar 14 mempunyai VCCS. Transformasikan sumber arus ini dan sum ber tegangan 6 V seperti pada gambar 15 (a). Sumber tegangan 18 V tidak ditransf ormasikan karena tidak terhubung seri dengan resistor. Dua R = 2 paralel menghas ilkan R = 1 yang paralel dengan sumber arus 3 A. Sumber arus ditransformsikan me njadi sumber tegangan seperti pada gambar 15(b) Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 34

Gunakan KVL pada lintasan tertutup pada rangkaian di gambar 15(b) 3 + 5i + v x + 18 = 0.....................(a ) Gunakan KVL pada lintasan tertutup yang terdiri dari sumber tegangan 3 V, resist or 1 dan vx. 3 + 1i + v x = 0 Substitusi ke pers (a) v x = 3 i.....................( b) i = 4,5 A 15 + 5i + 3 i = 0 Cara lain, gunakan KVL pada lintasan tertutup yang terdiri dari vx, resistor 4 , VCVS, dan sumber tegangan 18 V v x + 4i + v x + 18 = 0 i = 4,5 A Jadi: v x = 3 i = 7,5 V Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 35

Teorema Thvenin Teorema Thvenin menyatakan bahwa sebuah rangkaian linier dua terminal dapat digan tikan dengan sebuah rangkaian ekivalen yang terdiri dari sebuah sumber tegangan VTh yang diserikan dengan sebuah resistor RTh, di mana VTh adalah tegangan hubun g terbuka pada terminal dan RTh adalah resistansi input atau resistansi ekivalen pada terminal jika sumber sumber bebas dimatikan. Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 36

Gambar 16: Menggantikan rangkaian dua terminal dengan rangkaian ekivalen Theveni n: (a) rangkaian asal; (b) rangkaian pengganti Thevenin Menurut teorema Thvenin rangkaian pada gambar 16(a) dapat digantikan dengan rangk aian pada gambar 16(b). Rangkaian di sebelah kiri terminal a b disebut rangkaian ekivalen Thvenin Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 37

Mencari tegangan ekivalen Thvenin VTh dan resistansi RTh . Misal rangkaian pada gambar 16(a) ekivalen dengan rangkaian pada gambar 16(b). D ua rangkaian disebut ekivalen jika mempunyai karakteristik tegangan arus yang sa ma pada terminalnya. Jika terminal a b dihubung terbuka (beban dilepas), tidak a da arus yang mengalir, jadi tegangan hubung terbuka pada terminal a b pada gamba r 16(a) harus sama dengan tegangan sumber VTh pada gambar 16(b), karena kedua ra ngkaian ekivalen. Jadi VTh adalah tegangan hubung terbuka pada terminal seperti terlihat pada gambar 17(a). VTh = voc .(6) Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 38

Gambar 17. Mencari VTh = voc dan RTh Dengan beban dilepas dan terminal a b hubung terbuka, matikan semua sumber bebas . Resistansi input atau resistansi ekivalen pada terminal a b pada gambar 16 (a) , harus sama dengan RTh pada gambar 16(b). Jadi RTh adalah resistansi input pada terminal jika sumber bebas dimatikan, seperti terlihat pada gambar 17(b); yaitu RTh = Rin ..(7) Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 39

Ada dua hal yang harus dipertimbangkan dalam menghitung resistansi Thvenin, RTh K asus 1: Jika rangkaian tidak mempunyai sumber tidak bebas, matikan semua sumber. RTh adalah resistansi input dari rangkaian dilihat dari terminal a b, seperti t erlihat pada gambar 17. Kasus 2: Jika rangkaian mempunyai sumber tidak bebas, ma tikan semua sumber bebas. Sumber tidak bebas tidak dimatikan karena dikendalikan oleh variabel rangkaian. Pasangkan sebuah sumber tegangan vo pada terminal a b untuk menentukan arus io. RTh = vo/io, seperti terlihat pada gambar 18(a). Cara lain, pasangkan sumber arus io pada terminal a b seperti pada gambar 18 (b) dan cari tegangan terminal vo. RTh = vo/io Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 40

Gambar 18. Mencari RTh jika rangkaian mempunyai sumber tidak bebas Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 41

Gambar 19. Sebuah rangkaian dengan sebuah beban: (a) rangkaian asal, (b) rangkai an ekivalen Thvenin Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 42

Rangkaian linier dengan sebuah beban variabel dapat digantikan dengan rangkaian ekivalen Thvenin. Rangkaian ekivalen ini mempunyai sifat seperti rangkaian asalny a. Perhatikan rangkaian pada gambar 19(a). Arus IL dan tegangan VL pada beban da pat ditentukan dengan mudah jika rangkaian ekivalen Thevenin nya sudah diperoleh , seperti terlihat pada gambar 19(b) VTh IL = ...........................(8a ) RTh + RL RL VL = RL I L = VTh ........ ....(8b) RTh + RL Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 43

Contoh 8: Carilah rangkaian ekivalen dari rangkaian pada gambar 20, ke sebelah k iri terminal a b. Carilah arus melalui RL = 6, 16 dan 36 Gambar 20 Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 44

Gambar 21: (a) mencari RTh , (b) mencari VTh Untuk menghitung RTh , matikan sumber tegangan 32 V (ganti dengan hubung singkat ) dan sumber arus 2A (ganti dengan hubung terbuka). Rangkaian seperti pada gamba r 21(a). 4 12 RTh = 4 12 + 1 = + 1 = 4 16 Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 45

Untuk mencari VTh , perhatikan rangkaian pada gambar 21(b). Gunakan analisis mes h pada kedua lintasan tertutup 32 + 4i1 + 12(i1 i2 ) = 0 i2 = 2 A i1 = 0,5 A VTh = 12(i1 i2 ) = 12(0,5 + 2,0) = 30 V Jika menggunakan analisis simpul, abaikan resistor 1 . Gunakan KCL pada simpul at as. 32 VTh V + 2 = Th 4 12 96 3VTh + 24 = VTh VTh = 30 V Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 46

Rangkaian ekivalen Thvenin terlihat pada gambar 22 Gambar 22: Rangkaian ekivalen Thvenin untuk contoh soal 8 Arus yang melalui RLadalah: VTh 30 IL = = RTh + RL 4 + RL Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 47

Jika RL = 6 30 IL = =3A 10 Jika RL = 16 30 IL = = 1,5 A 20 Jika RL = 36 30 IL = = 0,75 A 40 Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 48

Contoh soal 9: Carilah rangkaian ekivalen Thevenin pada terminal a b pada rangka ian di gambar 23 Gambar 23 Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 49

Rangkaian ini mempunyai sebuah sumber tidak bebas. Untuk mencari RTh , sumber be bas dijadikan nol dan sumber tidak bebas dibiarkan saja. Karena rangkaian mempun yai sumber tidak bebas, maka rangkaian akan dicatu dengan tegangan vo yang dihub ungkan seperti pada gambar 24(a). Karena rangkaian ini linier, maka untuk memuda hkan vo = 1 V. Tujuannya adalah mencari arus io yang melalui terminal, dan menda patkan RTh = 1/io. (Cara lain, pasangkan sumber arus 1 A, cari tegangan vo dan d apatkan RTh = vo/1) Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 50

Gambar 24: Mencari RTh dan VTh untuk rangkaian pada contoh soal 9 Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 51

Gunakan analisis mesh pada lintasan tertutup 1 pada rangkaian di gambar 24(a) 2v x + 2( i1 i2 ) = 0 atau v x = i1 i2 4i2 = v x = i1 i2 i1 = 3i2 (a) Untuk lintasan tertutup 2 dan 3, gunakan KVL 6( i3 i2 ) + 2i3 + 1 = 0 4i2 + 2( i2 i1 ) + 6( i2 i3 ) = 0 (b) (c) Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 52

Selesaikan pers. di atas 1 i3 = A 6 1 io = i3 = A 6 1V RTh = =6 io Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 53

Untuk mendapatkan VTh , carilah voc pada rangkaian di gambar 24(b). Gunakan anal isis mesh, maka diperoleh: i1 = 5 2v x + 2( i3 i2 ) = 0 v x = i3 i2 (e) 4( i2 i1 ) + 2( i2 i3 ) + 6i2 = 0 (f) (d) 12i2 4i1 2i3 = 0 4( i1 i2 ) = v x 10 3 VTh = voc = 6i2 = 20 V i2 = Rangkaian ekivalen Thvenin terlihat pada gambar 25 Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 54

Gambar 25: Rangkaian ekivalen Thvenin dari rangkaian pada gambar 23 Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 55

Contoh soal 10: Tentukan rangkaian ekivalen Thvenin pada terminal a b dari rangka ian pada gambar 26a. Gambar 26 Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 56

1. Definisikan. Soal terdefinisi dengan jelas; tentukan rangkaian ekivalen Thveni n dari rangkaian yang terlihat pada gambar 26(a). 2. Diketahui. Rangkaian mempun yai resistor 2 paralel dengan resistor 4 . Keduanya paralel dengan sumber arus ti dak bebas. Perhatikan, rangkaian ini tidak memiliki sumber bebas. 3. Alternatif. Karena tidak mempunyai sumber bebas, maka rangkaian ini harus dicatu dari luar. Dan, jika tidak ada sumber bebas, maka tidak ada nilai VTh ; kita hanya perlu m encari RTh . Cara paling sederhana untuk mencatu rangkaian adalah dengan sumber tegangan 1 V atau dengan sumber arus 1 A. 4. Cara. Tuliskan persamaan simpul pad a simpul a pada gambar 26(b), asumsikan io = 1 A. 2ix + ( vo 0 ) 4 + ( vo 0 ) 2 + ( 1) = 0 (a) Karena ada dua variabel yang tidak diketahui maka diperlukan sebuah persamaan pe mbatas ix = ( 0 vo ) 2 = vo 2 (b) 57 Dasar Rangkaian Elektrik EL1092

Subsitusikan pers. (a) dan (b)

2( vo 2 ) + ( vo 0) 4 + ( vo 0 ) 2 + ( 1) = 0 = ( 1 + 1 + 1 ) vo 1 atau vo = 4 4 2 Karena vo = 1 x RTh , maka RTh = vo/1 = 4 Harga negatif dari sebuah resistor men yatakan bahwa rangkaian pada gambar 26(a) mencatu daya. Tentu saja resistor pada gambar 26(a) tidak dapat mencatu daya (resistor menyerap daya); maka sumber tid ak bebaslah yang mencatu daya. Inilah contoh bagaimana sebuah sumber tidak bebas dan resistor dapat dipakai untuk mensimulasikan resistansi negatif. Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 58

5. Evaluasi. Perhatikan jawaban memberikan harga resistansi yang negatif. Diketa hui, hal ini tidak mungkin untuk sebuah rangkaian pasif, tetapi pada rangkaian i ni ada sebuah divais aktif (sumber arus tidak bebas). Jadi, rangkaian ekivalenny a adalah sebuah rangkaian aktif yang dapat mencatu daya. Sekarang kita harus men gevaluasi jawaban. Cara terbaik adalah dengan memeriksa jawaban dengan menggunak an pendekatan yang berbeda, dan melihat apakah hasilnya akan sama. Cobalah mengh ubungkan resistor 9 seri dengan sumber tegangan10 V pada terminal output pada ra ngkaian asal dan juga rangkaian ekivalen Thvenin. Untuk memudahkan analisis, ubah sumber arus yang paralel dengan resistor 4 menjadi sumber tegangan yang diserik an dengan resistor 4 dengan menggunakan transformasi sumber. Dengan beban yang b aru, rangkaian menjadi seperti pada gambar 26(c) Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 59

Tuliskan persamaan mesh: 8ix + 4i1 + 2( i1 i2 ) = 0 2( i2 i1 ) + 9i2 + 10 = 0 Perhatikan, hanya ada 2 persamaan dengan 3 variabel yang tidak diketahui, jadi d iperlukan satu persamaan pembatas. ix = i2 i1 Persamaan baru untuk lintasan tertutup 1 menjadi: ( 4 + 2 8) i1 + ( 2 + 8) i2 = 0 2i1 + 6i2 = 0 atau i1 = 3i2 2i1 + 11i2 = 10 6i2 + 11i2 = 10 atau i2 = 10 5 = 2 A Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 60

Gunakan rangkaian ekivalen Thvenin diperoleh rangkaian pada gambar 26(d) 4i1 + 9i1 + 10 = 0 atau i = =10 5 = 2 A 6. Memenuhi? Jelas, telah diperoleh nilai dari rangkaian ekivalen yang diperluka n oleh soal. Pemeriksaan ulang membuktikan hasil yang diperoleh (dengan cara mem bandingkan hasil dari rangkaian ekivalen dengan memberikan beban pada rangkaian asalnya). Cara ini dapat dipakai untuk menyelesaikan semua permasalahan. Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 61

Teorema Norton Teorema Norton menyatakan bahwa sebuah rangkaian linier dua terminal dapat digan ti dengan sebuah sumber arus IN yang dihubung paralel dengan sebuah resistor RN dimana IN adalah arus hubung singkat yang melalui terminal dan RN adalah resista nsi input atau resistansi ekivalen pada terminal jika sumber bebas dimatikan Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 62

Gambar 27 (a) Rangkaian asal; (b) rangkaian ekivalen Norton Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 63

Cara mendapatkan RN sama dengan cara mendapatkan RTh . Pada kenyataannya, berdas arkan transformasi sumber, resistansi Thvenin sama dengan resistansi Norton. RN = RTh ..(9) Untuk mendapatkan arus Norton IN, tentukan arus hubung singkat yang mengal ir dari terminal a ke terminal b pada kedua rangkaian pada gambar 27. Arus hubun g singkat pada gambar 27(b) adalah IN. Arus ini sama dengan arus hubung singkat dari terminal a ke terminal b, karena kedua rangkaian ekivalen. IN = ioc .(10) Sumber bebas dan sumber tidak bebas diperlakukan sama seperti pada teorema Thvenin Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 64

Gambar 28. Cara mencari arus Norton IN Hubungan antara teorema Thvenin dan teorema Norton: RN = RTh (pers. 9), dan IN = VTh ...........................(11) RTh Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 65

Karena VTh , IN dan RTh berhubungan seperti pada persamaan (11), untuk menentuka n rangkaian ekivalen Thevenin atau Norton, maka diperlukan untuk mendapatkan: Teg angan hubung terbuka voc pada terminal a dan b Arus hubung singkat isc pada termi nal a dan b Resistansi input atau resistansi ekivalen Rin pada terminal a dan b k etika semua sumber bebas dimatikan. VTh = voc ...........................(12a) I N = isc ........................... .(12b) voc RTh = = RN .................(12c) isc Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 66

Contoh soal 11: Carilah rangkaian ekivalen Norton pada terminal a b dari rangkai an pada gambar 29 Gambar 29 Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 67

Gambar 30: (a) mencari RN, (b) IN = isc , (c) VTh = voc Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 68

Mencari RN dengan mematikan sumber bebas seperti pada gambar 30(a). 20 5 RN = 5 ( 8 + 4 + 8) = 5 20 = = 4 25 Mencari IN dengan menghubung singkatkan terminal a d an b seperti pada gambar 30(b). Gunakan analisis mesh, diperoleh: i1 = 2 A, 20i2 4i1 12 = 0 i2 = 1 A = isc = I N Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 69

Cara lain: tentukan IN dari VTh /RTh VTh yang merupakan tegangan hubung terbuka pada terminal a dan b seperti pada gambar 30(c). Gunakan analisis mesh, diperole h: i3 = 2 A 25i4 4i3 12 = 0 i4 = 0,8 A voc = VTh = 5i4 = 4 V VTh 4 IN = = =1A RTh 4 Hasilnya sama seperti pada perhitungan sebelumnya. RTh = voc isc = 4 1 = 4 Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 70

Gambar 31. Rangkaian ekivalen Norton dari rangkaian pada gambar 29 Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 71

Contoh soal 12: Dengan menggunakan teorema Norton, carilah RN dan IN pada termin al a b dari rangkaian pada gambar 32. Gambar 32 Untuk mencari RN, matikan sumber bebas dan hubungkan sebuah sumber tegangan 1 V pada terminal a b seperti pada gambar 33(a). Resistor 4 diabaikan karena paralel dengan hubung singkat. Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 72

Gambar 33. (a) mencari RN, (b) mencari IN Karena dihubung singkat, maka resistor 5 , sumber arus tidak bebas dan sumber teg angan dalam keadaan paralel. Jadi arus ix = 0 Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 73

Pada simpul a: 1V io = = 0,2 A 5 v 1 RN = o = = 5 io 0,2 Untuk mencari IN, termina l a b dihubung singkat dan carilah isc seperti pada gambar 33(b). Perhatikan, re sistor 4 , sumber tegangan 10 V, resistor 5 dan sumber arus tidak bebas dalam kea daan paralel. Jadi 10 ix = = 2,5 A 4 Gunakan KCL pada simpul a 10 + 2ix = 2 + 2( 2,5) = 7 A 5 IN = 7 A isc = Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 74

Pembuktian Teorema Thvenin dan Teorema Pada bagian ini kita akan membuktikan teor ema Thvenin dan Norton. dengan menggunakan prinsip superposisi. teorema Norton Gambar 34 Pembuktian persamaan Thvenin. (a) Rangkaian dengan sumber arus, (b) Ran gkaian ekivalen Thvenin Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 75

Perhatikan gambar 34(a). Asumsikan rangkaian terdiri dari resistor, dan sumber b ebas dan sumber tidak bebas. Terminal dari rangkaian adalah terminal a dan b. Pa da terminal ini dipasangkan sumber arus luar. Tujuan kita adalah untuk memastika n bahwa hubungan tegangan arus pada terminal a b adalah identik dengan rangkaian ekivalen Thevenin pada gambar 34(b). Untuk memudahkan analisis, misalkan rangka ian linier pada gambar 34(a) mempunyai dua sumber tegangan bebas v1 dan v2 dan s umber arus bebas i1 dan i2. Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 76

Dengan prinsip superposisi, tegangan v pada terminal adalah: v = A0i + A1vs1 + A2 vs 2 + A3is1 + A4is 2 (13) Ao, A1, A2, A3 dan A4 adalah konstanta. Setiap suku pada sisi kanan persamaan (1 3) merupakan konstribusi dari masingmasing sumber bebas. Jika kita mengumpulkan semua sumber bebas internal sebagai B0 maka persamaan menjadi v = A0i + B0 B0 = A1vs1 + A2 vs 2 + A3is1 + A4is 2 (14) Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 77

Sekarang kita akan menghitung konstanta A0 dan B0. Ketika terminal a dan b hubun g terbuka, i = 0 dan v = B0. Jadi B0 adalah tegangan hubung terbuka voc yang sam a dengan tegangan Thevenin VTh . Jadi: B0 = VTh (15) Ketika semua sumber internal dimatikan, B0 = 0. Rangkaian dapat digantikan denga n sebuah resistansi ekivalen Req yang sama dengan RTh , dan persamaan (14) menja di: v = A0i = RTh i Jadi: v = Rth i + VTh Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 A0 = RTh (16) (17) 78

Gambar 35 Pembuktian persamaan Norton. (a) Rangkaian dengan sumber tegangan, (b) Rangkaian ekivalen Norton Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 79

Jika pada rangkaian linier yang sama dipasangkan sumber tegangan luar v pada ter minal a b seperti pada gambar 35(a), arus yang mengalir ke rangkaian dapat diper oleh dengan superposisi sebagai: i = C0 v + D0 (18) C0v adalah arus yang disebabkan oleh sumber luar v dan D0 adalah arus yang diseb abkan oleh sumber bebas internal. Jika terminal a b dihubung singkat, v = 0 jadi i = D0 = isc , dimana isc adalah arus yang keluar dari terminal a yang sama deng a arus Norton, IN. D0 = IN (19) Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 80

Ketika semua sumber internal dimatikan, D0 = 0. Rangkaian dapat digantikan denga n sebuah resistansi ekivalen Req (atau sebuah konduktansi ekivalen Geq = 1/Req ) yang sama dengan RTh atau RN dan persamaan (19) menjadi: v i= IN RTh (20) Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 81

Alih Daya Maksimum Rangkaian ekivalen Thvenin sangat berguna untuk mencari alih daya maksimum dari s ebuah rangkaian linier ke sebuah beban. Asumsikan beban RL dapat diatur. Jika se mua rangkaian kecuali beban digantikan dengan rangkaian ekivalen Thvenin, seperti pada gambar 36, alih daya maksimum ke beban: VTh RL ......................(21) p = i RL = 2 Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 82 2 R +R L Th

Gambar 36. Rangkaian yang digunakan untuk menentukan alih daya maksimum Untuk sebuah rangkaian, VTh dan RTh selalu tetap. Dengan mengubah ubah beban, da ya yang disalurkan ke beban bervariasi seperti pada gambar 37. Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 83

Gambar 37 Daya disalurkan ke beban sebagai fungsi dari RL Teorema Daya Maksimum: Daya maksimum yang dialihkan ke beban terjadi bila resist ansi beban sama dengan resistansi Thveninnya bila dilihat dari beban (RL = RTh ) Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 84

Pembuktian: diferensiasikan daya p pada pers 21 terhadap RL dan hasilnya sama de ngan nol

( RTh + RL ) 2 2 RL ( RTh + RL ) dp 2 = VTh 4 dRL ( RTh + RL ) RTh + RL 2 0 3 ( RTh + RL ) 0 = RTh + RL 2 RL = RTh RL .......................(22) 2 Th Jadi: RTh = RL .(23) Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 85

Pada saat RL = RTh , sumber dan beban dikatakan matched Alih daya maksimum diperol eh dengan men subsitusi kan pers 23 ke pers 21 pmaks V .(24) = 4 RTh 2 Th Pers 24 hanya berlaku jika RL = RTh . Jika RL RTh , daya yang disalurkan ke beba n dihitung dengan persamaan (21) Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 86

Contoh soal 13: carilah harga RL untuk alih daya maksimum dalam rangkaian pada g ambar 38. Hitung daya maksimumnya. Gambar 38. Untuk mendapatkan RTh dan VTh gunakan rangkaian pada gambar 39(a) dan 39(b) Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 87

Gambar 39. (a) Mencari RTh . (b) Mencari VTh 6 12 RTh = 2 + 3 + 6 12 = 5 + =9 6 + 12 Gunakan analisis mesh pada rangkaian di gambar 39(b) 12 + 18i1 12i2 = 0, i2 = 2 A 12 + 18i1 + 24 = 0 i1 = 2 A 3 Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 88

Untuk mendapatkan VTh pada terminal a b gunakan KVL pada lintasan tertutup luar 12 + 6i1 + 3i2 + 2(0) + VTh = 0 VTh = 22 V Alih daya maksimum: RL = RTh = 9 Dan daya maksimumnya: pmaks 2 VTh 22 2 = = = 13,44 W 4 RL 4 9 Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 89

Ringkasan 1. 2. 3. Rangkaian linier terdiri dari elemen linier, sumber tidak bebas linier dan sumbe r bebas linier Teorema rangkaian digunakan untuk mengubah rangkaian yang rumit m enjadi rangkaian yang sederhana, sehingga analisis rangkaian menjadi lebih mudah . Prinsip superposisi menyatakan bahwa untuk sebuah rangkaian yang mempunyai ban yak sumber bebas, tegangan pada (atau arus yang melalui) sebuah elemen sama deng an jumlah aljabar dari masingmasing tegangan (atau arus) yang disebabkan oleh ma sing masing sumber bebas bila bekerja sendiri. Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 90

4. 5. Transformasi sumber adalah sebuah prosedur untuk mengubah sebuah sumber tegangan yang seri dengan sebuah resistor menjadi sebuah sumber arus diparalelkan dengan sebuah resistor, dan sebaliknya. Teorema Thvenin dan Norton memungkinkan kita un tuk mengisolasi sebagian dari rangkaian dan menggantikan bagian lainnya dengan s ebuah rangkaian ekivalen. Rangkaian ekivalen Thvenin terdiri dari sebuah sumber t egangan VTh yang diserikan dengan sebuah resistansi RTh, sedangkan rangkaian eki valen Norton terdiri dari sebuah sumber arus IN yang diparalelkan dengan sebuah resistansi RN. Kedua teorema ini terhubung dengan VTh transformasi sumber. R = R I = N Th N RTh Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 91

6. 7. Untuk sebuah rangkaian ekivalen Thvenin, alih daya maksimum terjadi jika RL = RTh ; jika resistansi beban sama dengan resistansi Thvenin Teorema Alih Daya Maksimum menyatakan bahwa daya maksimum yang disalurkan oleh sebuah sumber ke beban RL t erjadi jika beban RL sama dengan RTh, resistansi Thvenin pada terminal beban Dasar Rangkaian Elektrik EL1092 92