1

Pertemuan ke 5

3.4 DISTRIBUSI POISSON

Dalam mempelajari distribusi Binomial kita dihadapkan pada probabilitas variabel random

diskrit (bilangan bulat) yang jumlah trial nya kecil , sedangkan jika dihadapkan pada suatu kejadian

dengan p > maka digunakan distribusi Poisson.

Distribusi Poisson dipakai untuk menentukan peluang suatu kejadian yang jarang terjadi, tetapi

mengenai populasi yang luas atau area yang luas dan juga berhubungan dengan waktu.

Contoh 3.8

Disuatu gerbang tol yang dilewati ribuan mobil dalam suatu hari akan terjadi kecelakaan dari sekian

banyak mobil yang lewat.

Contoh 3.9

Dikatakan bahwa kejadian seseorang akan meninggal karena shock pada waktu disuntik dengan

vaksin meningitis 0,0005. Padahal, vaksinasi tersebut selalu diberikan kalau seseorang ingin pergi

haji.

Percobaan Poisson memiliki ciri-ciri berikut :

1. Hasil percobaan pada suatu selang waktu dan tempat tidak tergantung dari hasil percobaan di

selang waktu dan tempat yang lain yang terpisah

2. Peluang terjadinya suatu hasil percobaan sebanding dengan panjang selang waktu dan luas tempat

percobaan terjadi. Hal ini berlaku hanya untuk selang waktu yang singkat dan luas daerah yang

sempit

3. Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi pada satu selang waktu dan luasan

tempat yang sama diabaikan

Distribusi Peluang variabel acak Poisson diberi oleh :

( )

( )

dimana: r = 0,1,2,3,....... dan > 0

2

Distribusi Poisson digunakan terutama untuk :

a. Menjelaskan banyaknya peristiwa (kejadian) yang terjadi dalam satu selang waktu tertentu.

b. Sebagai pendekatan distribusi binomial

3.4.1 Sifat-sifat Distribusi Poisson

(i) Dalam suatu proses Poisson, frekuensi rata-rata kejadian dalam selang waktu t adalah = t

. Jadi adalah nilai rata-rata distribusi Poisson. Ini dapat ditunjukkan sebagai berikut :

( ) ( )

( )

(ii) Varians suatu distribusi Poisson sama dengan nilai rata-rata . Jadi deviasi standar = .

Varians = E[(x- )2] = ( - ) ( )

[ ( ) ] ( )

(iii) Distribusi Poisson sangat berguna dalam mendekati distribusi binomial, bila parameter

distribusi binomial p kecil. Untuk suatu distribusi binomial, nilai rata-ratanya=np, dan

varians = np(1-p). Bila p

3

3. 5 DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK

Jika sampling dilakukan tanpa pengembalian dari kejadian sampling yang diambil dari

populasi dengan kejadian2 terbatas, proses bernouli tidak dapat digunakan, karena ada perubahan

secara sistematis dalam probabilitas sukses seperti kejadian2 yang diambil dari populasi.

Jika pengambilan sampling tanpa pengembalian digunakan dalam situasi sebaliknya dan

memenuhi syarat proses bernouli, distribusi hypergeometrik adalah distribusi probabilitas diskrit

yang tepat.

Definisi: Distribusi peluang pada hipergeometrik X, yaitu banyaknya sukses dalam sampel acak

ukuran n yang diambil dari N benda yang mengandung k bernama sukses dan N-k bernama gagal,

ialahRumus hipergeometrik

Yakni banyaknya macam sampel ukuran n yang dapat diambil dari N benda ialah NCn. Sampel ini

dianggap mempunyai peluang sama. Ada sebanyak kCx cara memilih x sukses dari sebanyak k yang

tersedia, dan untuk tiap cara ini dapat dipilih n-x gagal dalam N-k

Cn-x cara. Jadi semuanya ada kCx.

N-

kCn-x macam sampel dari

NCn sampel yang mungkin diambil.

Teorema: Rata-rata dan varians distribusi hipergeometrik h(x; N, n, k) adalah

Apabila populasi besar dan sampel relatif kecil, pengambilan secara sampling dilakukan tanpa

pengembalian menimbulkan efek terhadap probabilitas sukses dalam setiap percobaan kecil, untuk

mendekati nilai probabilitas hypergeometrik dapat digunakan konsep distribusi binomial dengan

syarat n0,05N.

Jika N maka dist. Hipergeometri dapat dihampiri dengan dist. Binomial.

4

Perbedaan antara distribusi binomial dan distribusi hipergeometrik

adalah terletak pada cara penarikan sampel.

Dalam distribusi binomial diperlukan sifat pengulangan yang saling bebas, dan pengulangan

tersebut harus dikerjakan dengan pengembalian (with replacement).

Sedangkan untuk distribusi hipergeometrik tidak diperlukan sifat pengulangan yang saling

bebas dan dikerjakan tanpa pengembalian (without replacement).

Penerapan untuk distribusi hipergeometrik

Ditemukan dalam berbagai bidang, dan paling sering digunakan dalam penarikan sampel

penerimaan barang, pengujian elektronik, jaminan mutu, dsb.

Dalam banyak bidang ini, pengujian dilakukan terhadap barang yang diuji yang pada

akhirnya barang uji tersebut menjadi rusak, sehingga tidak dapat dikembalikan. Jadi,

pengambilan sampel harus dikerjakan tanpa pengembalian

Contoh 3.12

Sekelompok orang terdiri dari 50 orang dan 3 orang diantaranya lahir pada tanggal 31 Desember.

Bila secara acak dipilih 5 orang, berapa peluang orang yang terpilih itu:

(a) tidak terdapat yang lahir pada tanggal 31 Desember

(b) tidak lebih dari 1 orang yang lahir pada tanggal 31 Desember

Contoh 3.13

Suatu pabrik ban melaporkan bahwa dari pengiriman sebanyak 5000 ban ke suatu toko tertentu

terdapat 1000 yang cacat. Bila seseorang membeli 10 ban ini secara acak dari toko tersebut,

berapakah peluangnya mengandung 3 yang cacat ?

3.6 PENDEKATAN POISSON UNTUK DISTRIBUSI BINOMIAL

Pendekatan Peluang Poisson untuk Peluang Binomial, dilakukan jika n besar (n > 20) dan p

sangat kecil (p < 0.01) dengan terlebih dahulu menetapkan p dan kemudian menetapkan () = n

x p

Contoh 3.14

Dari 1 000 orang mahasiswa 2 orang mengaku selalu terlambat masuk kuliah setiap hari, jika pada

suatu hari terdapat 5 000 mahasiswa, berapa peluang ada lebih dari 3 orang yang terlambat?