APLIKASI PERSAMAAN LEGENDRE

Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Nilai Awal Syarat Batas

1. Eka Rahmawati (060454)

2. Ida Farida (060472)

3. Ita Puspita (060486)

Kelas : 7A

PRODI MATEMATIKA

UNIVERSITAS SULTAN AGENG TIRTAYASA

2009

1

POLINOMIAL LEGENDRE

Dalam matematika, fungsi Legendre adalah solusi untuk persamaan diferensial Legendre

punya:

They are named after Adrien-Marie Legendre . Mereka dinamai setelah Adrien-Marie Legendre.

This ordinary differential equation is frequently encountered in physics and other technical

fields. Ini persamaan diferensial biasa yang sering ditemui dalam fisika dan bidang teknis

lainnya. In particular, it occurs when solving Laplace's equation (and related partial differential

equations ) in spherical coordinates . Secara khusus, hal itu terjadi ketika menyelesaikan

persamaan Laplace (dan berhubungan dengan persamaan diferensial parsial) dalam koordinat

bola.

The Legendre differential equation may be solved using the standard power series method.

Legendre persamaan diferensial yang dapat diselesaikan menggunakan standar seri kekuatan

metode. The equation has regular singular points at x = ±1 so, in general, a series solution about

the origin will only converge for | x | < 1. Persamaan memiliki titik singular reguler di x = ± 1

begitu, secara umum, serangkaian solusi tentang asal hanya akan berkumpul untuk | x | <1. When

n is an integer, the solution P n ( x ) that is regular at x = 1 is also regular at x = −1, and the series

for this solution terminates (ie is a polynomial). Jika n adalah bilangan bulat, solusi P n (x) yang

teratur pada x = 1 adalah juga teratur pada x = -1, dan seri untuk solusi ini berakhir (yaitu adalah

polinomial).

These solutions for n = 0, 1, 2, ... Solusi untuk n = 0, 1, 2, ... (with the normalization P n (1) = 1)

form a polynomial sequence of orthogonal polynomials called the Legendre polynomials .

(dengan normalisasi P n (1) = 1) membentuk polinom urutan dari polinomial ortogonal disebut

polinomial Legendre. Each Legendre polynomial P n ( x ) is an n th-degree polynomial. Setiap

Legendre polinom P n (x) adalah n derajat polinomial th. It may be expressed using Rodrigues'

formula : Ini dapat dinyatakan dengan menggunakan Rodrigues 'rumus:

2

The P n are often defined as the coefficients in a Taylor series expansion: [ 1 ] P n sering

didefinisikan sebagai koefisien dalam deret Taylor ekspansi: [1]

In physics, this generating function is the basis for multipole expansions . Dalam fisika, fungsi

pembangkit ini merupakan dasar bagi ekspansi multipole.

DEFINISI REKURSIF

Perluasan deret Taylor dalam persamaan (1) untuk kedua istilah pertama memberi

for the first two Legendre Polynomials. untuk pertama dua polinomial Legendre. To obtain

further terms without resorting to direct expansion of the Taylor series, equation (1) is

differentiated with respect to t on both sides and rearranged to obtain Untuk mendapatkan

pengertian lebih lanjut langsung tanpa beralih pada perluasan deret Taylor, persamaan (1)

dibedakan dengan terhadap t pada kedua belah pihak dan disusun kembali untuk mendapatkan

Replacing the quotient of the square root with its definition in (1), and equating the coefficients

of powers of t in the resulting expansion gives Bonnet's recursion formula Menggantikan hasil

bagi akar kuadrat dengan definisi dalam (1), dan menyamakan koefisien t kekuasaan dalam hasil

ekspansi memberikan Bonnet's rekursi rumus

3

This relation, along with the first two polynomials P 0 and P 1 , allows the Legendre Polynomials

to be generated recursively. Hubungan ini, bersama dengan dua polinomial P 0 dan P 1,

memungkinkan polinomial Legendre dapat dihasilkan secara rekursif.

Properti penting dari polinomial Legendre adalah bahwa mereka ortogonal yang berkaitan

dengan produk L 2 batin pada interval -1 ≤ x ≤ 1:

(where δ mn denotes the Kronecker delta , equal to 1 if m = n and to 0 otherwise). (di mana mn

menunjukkan δ Delta Kronecker, sama dengan 1 bila m = n dan ke 0 sebaliknya). In fact, an

alternative derivation of the Legendre polynomials is by carrying out the Gram-Schmidt process

on the polynomials {1, x , x 2 , ...} with respect to this inner product. Bahkan, alternatif turunan

dari polinomial Legendre adalah dengan melaksanakan proses Gram-Schmidt pada polinomial

(1, x, x 2, ...) yang berkaitan dengan produk batin ini. The reason for this orthogonality property is

that the Legendre differential equation can be viewed as a Sturm–Liouville problem , and hence

they are eigenfunctions of Hermitian differential operator : Alasan untuk properti orthogonality

ini adalah bahwa persamaan diferensial Legendre dapat dipandang sebagai Liouville Sturm-

masalah, dan karenanya mereka eigenfunctions dari Hermitian operator diferensial:

where the eigenvalue λ corresponds to n ( n + 1). mana eigenvalue λ sesuai dengan n (n + 1).

APLIKASI DARI POLINOMIAL LEGENDRE DALAM

FISIKA

The Legendre polynomials were first introduced in 1782 by Adrien-Marie Legendre as the

coefficients in the expansion of the Newtonian potential Para polinomial Legendre pertama kali

4

diperkenalkan pada 1782 oleh Adrien-Marie Legendre sebagai koefisien dalam perluasan potensi

Newtonian

where r and r ' are the lengths of the vectors dimana r dan r 'adalah panjang dari vektor and

dan respectively and γ is the angle between those two vectors. masing-masing dan γ adalah

sudut antara kedua vektor. The series converges when r > r ' . Seri menyatu ketika r> r '. The

expression gives the gravitational potential associated to a point mass or the Coulomb potential

associated to a point charge . Ekspresi memberikan potensial gravitasi dihubungkan ke titik

massa atau potensial Coulomb terkait ke titik muatan. The expansion using Legendre

polynomials might be useful, for instance, when integrating this expression over a continuous

mass or charge distribution. Perluasan menggunakan polinomial Legendre mungkin berguna,

misalnya, ketika mengintegrasikan ekspresi ini lebih dari massa yang kontinu atau distribusi

muatan.

Legendre polynomials occur in the solution of Laplace equation of the potential , Polinomial

Legendre terjadi dalam pemecahan persamaan Laplace dari potensi, , in a charge-free region

of space, using the method of separation of variables , where the boundary conditions have axial

symmetry (no dependence on an azimuthal angle ). , Di daerah bebas biaya ruang, dengan

menggunakan metode pemisahan variabel, di mana kondisi batas mempunyai simetri aksial

(tidak ada ketergantungan pada sudut azimuthal). Where Di mana is the axis of symmetry

and θ is the angle between the position of the observer and the adalah sumbu simetri dan θ adalah

sudut antara posisi pengamat dan axis (the zenith angle), the solution for the potential will

be sumbu (sudut puncak), solusi potensial akan

5

and dan are to be determined according to the boundary condition of each problem [ 2 ] .

harus ditentukan sesuai dengan kondisi batas setiap masalah [2].

POLINOMIAL LEGENDRE DALAM PERLUASAN

MULTIPOLE

Legendre polynomials are also useful in expanding functions of the form (this is the same as

before, written a little differently): Polinomial Legendre juga bermanfaat dalam memperluas

fungsi dari bentuk (ini adalah sama seperti sebelumnya, yang ditulis sedikit berbeda):

which arise naturally in multipole expansions . yang muncul secara alami di multipole ekspansi.

The left-hand side of the equation is the generating function for the Legendre polynomials. Di

sisi kiri dari persamaan adalah fungsi pembangkit untuk polinomial Legendre.

As an example, the electric potential Φ( r ,θ) (in spherical coordinates ) due to a point charge

located on the z -axis at z = a (Figure 2) varies like Sebagai contoh, potensi listrik Φ (r, θ) (dalam

koordinat bola) akibat muatan titik yang terletak pada sumbu z pada z = a (Gambar 2) bervariasi

seperti

If the radius r of the observation point P is greater than a , the potential may be expanded in the

Legendre polynomials Jika jari-jari r dari titik pengamatan P adalah lebih besar daripada

seorang, yang potensial dapat dikembangkan dalam polinomial Legendre

6

where we have defined η = a / r < 1 and x = cos θ . di mana kita telah mendefinisikan η = a / r <1

dan x = cos θ. This expansion is used to develop the normal multipole expansion . Perluasan ini

digunakan untuk mengembangkan normal multipole ekspansi.

Conversely, if the radius r of the observation point P is smaller than a , the potential may still be

expanded in the Legendre polynomials as above, but with a and r exchanged. Sebaliknya, jika

jari-jari r dari titik pengamatan P adalah lebih kecil daripada, potensi masih dapat diperluas

dalam polinomial Legendre seperti di atas, tetapi dengan a dan r bertukar. This expansion is the

basis of interior multipole expansion . Perluasan ini adalah dasar dari interior multipole ekspansi.

Sifat-sifat tambahan polinomial Legendre

Legendre polynomials are symmetric or antisymmetric, that is Polinomial Legendre adalah

simetris atau antisymmetric, yang

[1]

Since the differential equation and the orthogonality property are independent of scaling, the

Legendre polynomials' definitions are "standardized" (sometimes called "normalization", but

note that the actual norm is not unity) by being scaled so that Karena persamaan diferensial dan

properti orthogonality independen dari scaling, maka polinomial Legendre 'definisi yang

"standar" (kadang-kadang disebut "normalisasi", tetapi perhatikan bahwa norma yang

sebenarnya tidak kesatuan) dengan skala sehingga

The derivative at the end point is given by Derivatif di titik akhir diberikan oleh

7

As discussed above, the Legendre polynomials obey using the three term recurrence relation

known as Bonnet's recursion formula Sebagaimana dibahas di atas, polinomial Legendre

mematuhi menggunakan tiga istilah yang dikenal sebagai hubungan kambuhnya Bonnet's rekursi

rumus

and dan

Useful for the integration of Legendre polynomials is Berguna untuk integrasi polinomial

Legendre adalah

From Bonnet's recursion formula one obtains by induction the explicit representation Dari

Bonnet's rekursi formula didapatkan oleh induksi representasi eksplisit

bergeser polinomial Legendre

The shifted Legendre polynomials are defined as Polinomial Legendre yang bergeser

didefinisikan sebagai Here the "shifting" function Di sini "pergeseran"

fungsi (in fact, it is an affine transformation ) is chosen such that it bijectively

maps the interval [0, 1] to the interval [−1, 1], implying that the polynomials (sebenarnya, ini

adalah sebuah transformasi affine) dipilih sedemikian rupa sehingga peta bijectively interval [0,

1] untuk interval [-1, 1], yang menyiratkan bahwa polinomial are orthogonal on [0, 1]:

adalah ortogonal pada [0, 1]:

8

An explicit expression for the shifted Legendre polynomials is given by Ekspresi eksplisit untuk

bergeser polinomial Legendre diberikan oleh

The analogue of Rodrigues' formula for the shifted Legendre polynomials is Analog dari

Rodrigues 'rumus untuk bergeser polinomial Legendre adalah

9