179782616 1 II Teori Dan Aplikasi Persamaan Difusivitas

BAB I: TEORI DAN APLIKASI PERSAMAAN DIFUSIVITAS

(Versi 13 Februari 2005)

Salah satu karakteristik utama yang selalu ingin diketahui dari suatu reservoir adalah tingkat

atau kapasitas produksi sebagai fungsi dari waktu. Untuk mengetahui hal tersebut, biasanya

digunakan model yang mengaitkan laju alir dan/atau tekanan terhadap waktu. Model yang

dimaksud di sini adalah model matematis yang mendeskripsikan aliran dalam batuan

reservoir dimana batuan berperan sebagai media alir berpori. Model matematis tersebut

disebut dengan persamaan difusivitas. Solusi terhadap persamaan ini, baik solusi analitik

maupun solusi numerik (yang umumnya menggunakan pendekatan finite difference)

merupakan dasar untuk melakukan evaluasi dan analisis kinerja produksi dan peramalan

kinerja reservoir pada waktu yang akan datang.

Pada bab ini dibahas tentang pengembangan persamaan difusivitas khususnya untuk aliran

satu fasa fluida incompressible, solusi eksak dan solusi pendekatan terhadap persamaan

difusivitas, dan aplikasi solusi persamaan difusivitas tersebut dalam berbagai analisis untuk

mengetahui karakteristik reservoir, misalnya analisis data well test (pressure transient test).

Materi yang disajikan dalam bab ini merupakan bagian yang paling penting dan hampir

menentukan semua metode perhitungan dalam teknik reservoir. Disamping itu, bidang kajian

pada bab ini merupakan yang paling khas dan hanya dipelajari dalam bidang ilmu teknik

reservoir.

Pokok-pokok bahasan utama yang disajikan dalam bab ini adalah:

1. Pengembangan persamaan difusivitas yang tergantung pada waktu, geometri media alir,

dan jumlah fasa berdasarkan 3 (tiga) persamaan dasar, yaitu persamaan Darcy, persamaan

kontinuitas, dan persamaan keadaan.

2. Solusi eksak terhadap persamaan difusivitas untuk berbagai kondisi batas luar dan batas

dalam.

3. Solusi pendekatan (aproksimasi) terhadap persamaan difusivitas berdasarkan flow period,

yaitu boundary condition tertentu, berupa aliran transient, pseudosteady state, dan steady

state.

4. Aplikasi solusi persamaan difusivitas dalam menentukan distribusi tekanan di dalam

reservoir dan analisis data hasil pressure transient testing (buildup dan drawdown tests)

untuk mendapatkan karakteristik batuan reservoir.

Teori dan Aplikasi Persamaan Difusivitas, hal. 1

Persamaan Difusivitas

Persamaan difusivitas digunakan untuk memodelkan kinerja sistem aliran yang bergantung

pada waktu. Oleh karena itu, dasar dari persamaan difusivitas adalah persamaan kontinuitas

yang menggambarkan perubahan jumlah massa pada suatu titik lokasi terhadap perubahan

waktu. Nama difusivitas berasal dari persamaan yang digunakan untuk menggambarkan

proses difusi panas (diffusion of heat). Kenyataannya, aliran fluida dalam media permeabel

dapat dimodelkan oleh persamaan yang bentuknya sama dengan persamaan difusivitas untuk

aliran panas (dan juga aliran listrik). Penggunaan persamaan difusivitas dalam teknik

reservoir sangat luas. Model matematis ini telah dipakai sebagai:

a. Alat untuk interpretasi data well test

b. Model matematik dalam simulasi numerik reservoir

c. Alat untuk analisis deliverability

d. Model matematik untuk decline curve analysis menggunakan type curves

e. dan sebagainya.

Operator Matematika

Dalam literatur, persamaan difusivitas dan tiga persamaan pembentuknya, yaitu persamaan

kontinuitas, persamaan gerak, dan persamaan keadaan, seringkali dituliskan dalam bentuk-

bentuk tertentu dengan menggunakan operator matematika tertentu. Hal itu berkenaan dengan

besaran variabel yang terkandung dalam persamaan tersebut yaitu apakah berupa skalar atau

vektor. Untuk itu, ada baiknya diketahui sejumlah operator matematika yang biasa digunakan

dalam menyatakan persamaan-persamaan tersebut. Beberapa bentuk dan definisi operator

matematika tersebut yang penting diantaranya:

Pernyataan besaran skalar dan vektor

a besaran skalar

x atau dimana disebut dengan vektor kolom

=

xxx

vektorbesaranx

3

2

1r

x...

xx

n

2

1

Bentuk-bentuk operator:

(1) Operator yang disebut nabla atau del yang digunakan untuk menyatakan gradien medan skalar dan didefinisikan sebagai:


xxx 3

32

21

1 +

+=

= i

ii

xa

dimana i adalah unit vektor untuk masing-masing variabel ke-i. Dengan demikian nabla suatu variabel skalar adalah berupa vektor yang dibentuk dari turunan dari

komponen-komponen medan skalar. Sebagai contoh, nabla a atau del a adalah

pernyataan untuk gradien a dimana a adalah fungsi skalar dengan komponen variabel

x1, x2, dan x3, yaitu:

xa

xa

xaa

33

22

11

++

=

Sehingga jika gradien medan skalar dinyatakan dalam vektor kolom maka ditulis

a =

xaxaxa

3

2

1

dimana a adalah fungsi skalar.

(2) Operator yang dibaca del dot dan disebut divergence sehingga seringkali ditulis sebagai div. Operator ini

digunakan untuk menyatakan divergence medan vektor yang didefinisikan (dengan

menggunakan definisi nabla dan definisi vektor) sebagai:

( vv ) = ( i

ii x

)( ) j jjv

=

ii

ixv

dimana operator disebut dengan dot dan didefinisikan sebagai ...yxyxyx 2211 ++= rr dan dibaca x dot y dimana x dan y masing-masing vektor.

Sebagai contoh divergence dari vektor vv adalah

z

vy

vxvvdivv 321

++

== rr

(3) Operator yang disebut dengan curl untuk menyatakan curl medan vektor yang didefinisikan

sebagai:


( vv ) = ( j

jj x

)( ) k kk v

=

xv

xv

3

2

2

31 +

xv

xv

1

3

3

12 +

xv

xv

2

1

1

23

(4) Operator 2 yang disebut dengan Laplacian dari medan skalar dan didefinisikan sebagai

xxx 3

2

2

22

2

12

22

+

+=

Persamaan Kontinuitas

Persamaan kontinuitas memodelkan perubahan jumlah massa terhadap perubahan waktu.

Dengan kata lain, pada dasarnya persamaan ini menyatakan hukum kekekalan massa. Untuk

menjelaskan hal ini, tinjau suatu elemen, ds, dalam media berpori sebagai berikut:

Laju alir massa dalam elemen, ds, adalah:

Ketika tidak berarah normal (tegak lurus terhadap permukaan elemen), maka komponen

normal dari adalah

vr

vr vr n . Oleh karena laju alir massa yang keluar dari elemen = r ds)nv( rr , maka total laju alir massa diperoleh dengan cara mengintegralkan laju alir massa yang keluar

dari elemen tersebut, yaitu:

s

ds)nv(rr

ds elemen

media berpori

nv vv

vv


Jika diambil sejum olume tertentu = dv, yang harganya kecil, maka laju alir massa hilang

(loss) dari dv adalah:

lah v

dvt

)(=

Sehingga total laju alir dari elemen (loss)

= dvtv

)P(

Sekarang, laju alir massa keluar = laju alir massa loss, atau

s

ds)nv(rr = dv

tv )P(

Berdasarkan teori divergence (disebu a Gauss):

ds)nv(

t juga teorem

s

rr = dv)v(v v

r r

Sehingga:

dv)v( v

v = dvt

)(

v r r

atau:

)v(v rr = t

)( (5)

yang disebut d n persa

berbagai geometri aliran.

atkan persamaan difusivitas, maka dalam derivative di ruas kanan

eadaan massa yang dinyatakan oleh harus dievaluasi dengan memasukkan unsur tekanan

enga maan kontinuitas atau hukum kekekalan massa yang berlaku untuk

Selanjutnya, untuk mendap

k

dan jumlah massa yang dinyatakan oleh harus diubah dalam bentuk keadaan massa pada suatu waktu (bisa saja dianggap konstan). Unsur tekanan dimasukkan dengan menggunakan

persamaan Darcy melalui substitusi vr dan keadaan massa dimasukkan dengan menggunakan persamaan keadaan melalui substitusi seperti ditunjukkan pada bagian berikut.

Pengembangan Persamaan Difusivitas

Persamaan difusivitas diperoleh dengan menggabungkan persamaan-persamaan yang terkait

ngan perubahan jumlah dan keadaan massa pada suatu

waktu dan pada lokasi tertentu. Persamaan-persamaan tersebut adalah:

1) Persamaan kontinuitas (continuity equation), yaitu hukum kekekalan massa

satu sama lain dalam menyatakan hubu


2) Persamaan gerak (equation of motion, EOM), yaitu hukum Darcy

3) Persamaan keadaan (equation of state, EOS), yang menyatakan hubungan keadaan (state)

dari material terhadap perubahan tekanan.

Persamaan difusivitas yang paling banyak aplikasinya dalam teknik reservoir adalah

me ini akan dijelaskan pengembangan persamaan

ifusivitas untuk aliran radial. Tinjau ketiga persamaan dasar berikut:

persamaan dalam bentuk aliran radial yang analog dengan geometri aliran dari reservoir

nuju sumur. Oleh karena itu, pada bagian

d

1. Persamaan kontinuitas:

)(t

)ur(rr1

r =

(6) Asumsi yang digunakan:

- Aliran radial

- Tidak ada source dan/atau sinks

2. Persamaan gerak:

Gunakan hukum Darcy

rr pk

u= (7)

kan:

- Laminer

3. an

xp[ b

Asumsi yang diguna

- Aliran radial

- Isotropik

- Mengabaikan gravitasi

Persamaan keada :

eb )]pp(c = (8) digunakan:

ble fluid

Kompresibilitas kecil d

Kem n gerak ke dalam persamaan kontinuitas menghasilkan:

Asumsi yang

- Isothermal

- Slightly compressi

- an konstan

udian substitusi persamaa

)(tr

rrr =

pk

Den product rule untuk ruas kanan:

1

gan asumsi k dan konstan dan menggunakan


ttr

prr

kr1

+

=

Sekarang gunakan product rule pada ruas kiri dan chain rule pada ruas kanan:

tp

ptp

prrpr

rpr

rr1k

+

=

+

Susun ulang dengan mengumpulkan suku sejenis:

+

=

+

tp

p1

tp

p1

krp

prp

rpr

rr

tp

p11pp 2

pkprrr

rr

+=

+

(9)

Sekarang tinjau persamaan keadaan:

)]pp(cexp[ bb = (8) atau

)]pp(cexp[cp bb

= an asumsi c konstan dan kecil, maka Deng

= cp

Sekarang tinjau bahwa

p1c

=

kemudian jika

p1cf

=

maka dari definisi kompresibilitas total diperoleh:

ct = c + cf

= p

1 +p

1 (10)

Persamaan (10) ke dalam Persamaan (9) menghasilkan: Sehingga substitusi

tp

ckrpr

rr t =

+ c

rp 2

tpcpp1 t

2 kr

cr

rrr = +


Dengan anggapan c kecil dan konstan serta gradient tekanan kecil sehingga

0rp 2

maka diperoleh persamaan difusivitas:

tpcpr1 t

krrr = (11)

Persamaan difusivitas di atas adalah untuk aliran radial, satu fasa, fluida incompressible

sudah dijelaskan termasuk asumsi untuk ketiga

persamaan dasar yang digunakan. Dengan demikian, persamaan difusivitas di atas diperoleh

jika asumsi-asumsi berikut dip

an konstan-tidak tergantung pada tekanan

ian gradien compressibility-pressure kuadrat.

tuan lapangan, maka persamaan difusivitas dapat diturunkan sebagai

(liquid) dengan asumsi-asumsi yang

enuhi:

(1) aliran radial fluida incompressible

(2) aliran laminar (yaitu aliran yang mengikuti hukum Darcy)

(3) permeabilitas konstan dan isotropik, kompresibilitas batuan konstan

(4) mengabaikan efek gravitasi

(5) kondisi isothermal

(6) viskositas konstan terhadap tekanan

(7) porositas konstan

(8) kompresibilitas fluida kecil d

(9) mengabaikan perkal

Jika menggunakan sa

berikut:

Persamaan kontinuitas (satuan lapangan):

( ) ( )=

t

vrrr

2339.0 (12)

Persamaan Darcy (satuan lapangan):

r

001127.0v = pk (13)

efinisi kompressibilitas: D

=

= cpp1

c ff

dan karena

tp

pt

=

(chain rule)


maka

tp

ct f = (14)

Dari (12) dan (13):

=

trpk001127.0r

rr2339.0

atau

ttr

pk001127.0rrr

2339.0+

=

Dari (14):

tp

ctrpk001127.0r

rr2339.0

f +

=

(15)

Persamaan (15) merupakan persamaan diferensian parsial (PDP) umum untuk

arkan aliran fluida dalam media berpori (radial flow) dalam satuan lapangan.

erdasarkan asumsinya, maka persamaan tersebut terbata

Darcy berlaku). Solusi persamaan di atas sulit dicari secara analitik karena sifat non-linieritas

aitu koefisien persamaan yang terdiri dari , , , k dan yang tergantung pada p.

menggamb

B s untuk aliran laminer (agar hukum

y cf

Sekarang, jika digunakan asumsi tambahan seperti halnya dilakukan pada penurunan

Persamaan (11), yaitu k, dianggap konstan (tidak tergantung pada p), gradient tekanan kecil sehingga

2

rp

t fkecil sekali dan karenanya diabaikan, serta kompressibilitas konstan dan definisi c = c + c

berlaku, maka diperoleh:

tp

k0002637.0c

rp

r1

rp t2

=+

(16)

dengan

2

= 1

k0002637.0ct

dimana disebut dengan hydraulic di

ffusivity.


Dengan cara sama, persamaan serupa dapat diturunkan untuk aliran radial gas nyata, yaitu:

=

zp

tk0002637.0rpr

zp

rr1

dimana z adalah faktor deviasi gas. Begitu pula untuk aliran multifasa minyak, gas, dan air,

ersamaan difusivitas dapat diturunkan sebagai p

tpcpr1 t =

0002637.0rrr t dimana ct adalah kompresibilitas total dari sistem,

didefinisikan sebagai jumlah mobilitas dari

asing-masing fasa:

ccScScSc fggwwoot +++= dan t adalah total mobility dari sistem yang m

++= gww

o

ot

gkkk

Dalam persamaan-persamaan di atas, subskrip o, w, g, f, dan t adalah masing-

ermeabilitas, saturasi, dan viskositas.

Metode Solusi

masing untuk minyak, air, gas, formasi, dan total sedangkan k, S, dan adalah masing-masing simbol untuk p

PDP)

) PDP tersebut bersifat non-linier (koefisien persamaan, , dan ct, yang tergantung pada ariabel, p)

adalah p (tekanan)

n t (waktu).

(satu) kondisi awal karena PDP berorde 1 terhadap waktu dan 2 (dua) kondisi batas karena

adalah:

ition (OBC):

- No-flow (bounded)

- Constant pressure

Berdasarkan paparan di atas, maka diketahui sifat dan ciri persamaan difusivitas untuk aliran

radial sebagai berikut:

1) Bentuk persamaan adalah persamaan diferensial parsial (

2

dependent v

3) PDP tersebut berorde 2 (orde 2 terhadap ruang, orde 1 terhadap waktu)

4) Dependent variabel

5) Independent variabel adalah r (lokasi dalam geometri radial) da

Oleh karena itu, agar dapat diperoleh solusi dari persamaan difusivitas maka diperlukan 1

PDP berorde 2 terhadap ruang. Berbagai macam kondisi batas yang dikenal

Kondisi batas luar atau outer boundary cond

- Infinite acting


Kondisi batas dalam atau inner boundary condition (IBC):

- Constant rate

- Constant pressure

Untuk kondisi awal selalu dianggap bahwa reservoir pada awalnya mempunyai tekanan yang

tan di seluruh reservoir, yaitu: seragam dan kons

( ) p0,rp i= Berdasarkan beberap ka ombinasi dari dua kondisi batas dalam dan luar, sampai saat ini telah

lusi-solusi persamaan yang telah

likasikan tersebut diperoleh dengan menggunakan kombinasi kondisi batas

ar sebagai berikut (penjelasan lebih rinci ada pada bagian solusi

uction;

Outer boundary condition: Infinite-acting

ndary condition: Constant-pressure production;

) re production;

) roduction;

e.

dilakukan jika menggunakan

e masi

enggunaan metode transfomasi

h persamaan diferensial parsial menjadi

masalah non-linieritas. Dalam

ing sering digunakan. Aplikasi

ansformasi Laplace dalam penyelesaian persamaan difusivitas pertama kali dilakukan oleh

diketahui beberapa solusi dari persamaan difusivitas. So

dibuat dan dipub

dalam dan batas lu

persamaan):

(1) Inner boundary condition: Constant-rate prod

(2) Inner boundary condition: Constant-rate production;

Outer boundary condition: Bounded, no-flow

(3) Inner boundary condition: Constant-rate production;

Outer boundary condition: Bounded, constant pressure

(4) Inner bou

Outer boundary condition: Infinite-acting

(5 Inner boundary condition: Constant-pressu

Outer boundary condition: Bounded, no-flow

(6 Inner boundary condition: Constant-pressure p

Outer boundary condition: Bounded, constant pressur

Penyelesaian secara analitik umumnya lebih mudah untuk

m tode transformasi. Metode transformasi yang dapat digunakan adalah transfor

Laplace, transformasi Boltzman, atau transformasi Fourier. P

tersebut pada dasarnya adalah untuk menguba

persamaan diferensial biasa dengan tujuan untuk mengatasi

literatur, transformasi Laplace adalah metode yang pal

tr

van Everdingen dan Hurst pada tahun 1949. Skema berikut menggambarkan metodologi

aplikasi transformasi Laplace untuk memperoleh solusi persamaan difusivitas.


Selanjutnya, Laplace transform inversion dapat menggunakan cara analitik maupun numerik.

Salah satu metode numerik yang paling populer adalah algoritma Stehfest atau Gaver-

Stehfest. Namun, metode Laplace transform inversion ini tidak dibahas dalam diktat ini.

Disamping solusi yang menggunakan kondisi batas dalam dan batas luar umum seperti

tersebut di atas, telah pula dibuat solusi yang menggunakan kondisi batas khusus pada dan

di sekitar lubang sumur. Kondisi tersebut diantaranya adalah wellbore storage dan efek skin.

Efek wellbore storage dimasukkan ke dalam solusi persamaan dengan menggunakan kondisi

batas dalam khusus sedangkan faktor skin, karena sifat alaminya, dimasukkan sebagai fungsi

tambahan (additive function) pada kondisi batas dalam. Demikian pula dengan batas luar.

atas luar khusus telah dibuat dan dikembangkan. Salah satu batas luar khusus tersebut yang B

telah terdokumentasi dalam literatur disebut prescribed flux yang dibuat oleh Doublet dan

Blasingame pada tahun 1995 dan prescribed pressure yang dibuat oleh Permadi dan

Damargalih pada tahun 2001 (Permadi, A. K. dan Damargalih, Y.: Decline Type Curves for

Reservoirs with Waterflood or Water Influx Using Prescribed Pressure Models at the

Reservoir Outer Boundary, Jurnal Teknologi Mineral, No.2, Vol.VIII/2001) lihat Kasus 8

dan Kasus 9 pada solusi analitik eksak yang akan disampaikan pada bagian solusi analitik

eksak berikut. Batas luar ini menggambarkan kondisi pada bidang kontak air-minyak jika

reservoir berhubungan dengan sebuah aquifer atau reservoir mengalami proses injeksi air

(waterflooding). Gambar skematik berikut menunjukkan kasus ini.

Sebenarnya, model analogi seperti halnya sistem aliran aquifer-ke-reservoir dengan sistem

aliran reservoir-ke-sumur tersebut dapat terus dikembangkan. Artinya, jika ada reservoir yang

dikelilingi oleh aquifer dimana aquifer tersebut juga dikelilingi oleh aquifer lain, maka

penyelesaian persamaannya dapat menggunakan analogi yang sama, yaitu menggunakan

Laplace Space

Diperoleh Solusi

L

inverse: L-1

Real Space


model aliran yang bertingkat. Kasus ini dikenal dengan model komposit (composite model)

seperti yang telah dikembangkan oleh Ramey atau oleh Ambastha.

Top View: Finite Aquifer

Legend:Oil-Water flowWater flowSide View:

rwrera

Solusi analitik terhadap initial boundary value problem untuk aliran satu fasa di dalam media

berpori terdokumentasi di dalam literatur dalam dua bentuk pendekatan:

1. Solusi eksak (exact solution), yaitu dalam bentuk Laplace transform solutions

2. Solusi pendekatan (approximation solution), misalnya long-time approximation solution.

Solusi Analitik Persamaan Difusivitas

elah banyak usaha yang dilakukan untuk mendapatkan solusi persamaan difusivitas radial

kan dalam upaya

atkan solusi

e

alam persamaan dalam bentuk tak berdimensi (dimensionless form) dengan mendefinisikan

s variables). Variabel tak berdimensi tersebut

T

berdasarkan kondisi batas dalam (di lubang sumur) dan kondisi batas luar (di pinggir

reservoir) yang tertentu. Usaha-usaha tersebut terutama dilaku

pengembangan metode analisis data hasil pressure transient test. Untuk mendap

analitik persamaan difusivitas, terlebih dahulu persamaan tersebut ditransformasikan k

d

variabel tak berdimensi (dimensionles

didefinisikan berdasarkan keadaan produksi di sumur, yaitu constant rate production case

dimana sumur diproduksikan dengan laju produksi yang konstan dan constant pressure case

dimana sumur diproduksikan dengan tekanan bawah sumur yang konstan.

1. Variabel tak berdimensi untuk constant rate production case

Dimensionless pressure, ( )ppqB

khp i2

D =


Dimensionless radius, rr

rw

D =

Dimensionless outer radius, rw

eDrre=

Dimensionless time, rc

kttD =

w2

t

1

storag coefficient,Dimensionless wellbore e rch

CC

w2

t

3D

=

2. k constant pressure production case

Dimensionless pressure,

Variabel tak berdimensi untu

pppp

pwfi

iD

=

Dimensionless rate, ( )ppkh wfiD qB

q 2=

Dimensionless cumulative production, ( )Qpprhc119.1'dtqQ 0 DpD ==B

pwfiw

2t

t D

dim dalam hari atau ana 1= 0.006327 jika t 1= 0.0002637 jika t dalam jam, = 141.2, dan = 0.8936 dalam satuan lapangan.

Dengan menggunakan variabel-variabel tak berdimensi tersebut, persamaan difusivitas

kem

23

udian dapat dituliskan dalam bentuk:

tr

rrr D

D

D

DD

D =

Kondisi awal dan kondisi batas dituliskan

pp1

D

pula dalam bentuk variabel tak berdimensi dengan

enggunakan definisi yang sama seperti ditunjukkan berikut ini. m

Solusi Analitik Eksak

Kasus 1: Infinite Acting Reservoir: Constant Rate Production - Line Source Approximation

Kondisi batas untuk kasus ini adalah:

1r

pr

D

DD =

, 0rD

dan

, ( ) 0t,rp DDD = rD


Solusinya adalah:

( ) ( )ruK1u,rp = u D0DDoduction - Cylindrical Source

isi batas untuk kasus ini adalah:

Kasus 2: Infinite Acting Reservoir: Constant Rate Pr

Kond

1r

pr

D

DD =

, 1rD =

dan

,

( ) 0t,rp DDD = rD Solusinya adalah:

( ) ( )( )uuu,rp 12/3DD = Kasus 3: Closed Outer Boundary: Constant Rate Production

isi batas untuk kasus ini adalah:

KruK D0

Kond

1rD p

r DD =

dan

, 1rD =

0rD pD = , rr eDD =

Solusinya adalah:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]uIruKuKruIu ruKruIruIrKu,rp 1eD11eD13 D0eD1DeD1DD += s 4: Constant Pressure Outer Boundary: Constant Rate Production


u2/

0

Kasu

1rD p

r DD =

,

dan

,

1rD =

( ) 0t,rp DDD = rr eDD = Solusinya adalah:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]uKruIuIuu ruIruKru,rp 1eD01eD02/3 D0eD0DDD += rK uKruI 0eD0


Kasus 5: Infinite-acting Reservoir: Constant Pressure Production

ntuk kasus constant pressure production definisi dimensionless pressure berbeda dengan

ess pressure untuk kasus constant rate production.


,

U

definisi dimensionl

( ) 1t,rp DDD = 1rD = dan

( ) 0t,rp DDD = , rD Solusinya adalah:

( ) ( )( )uuu,rp DD = osed Outer Boundary: Constant Pressure Production

ondisi batas untuk kasus ini adalah:

= , dan

K0

ruK D0

Kasus 6: Cl

K

( )t,rp DDD 1 1rD =

0rD pD = , rr eDD =

Solusinya adalah:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]uKruIuIruKu ruKruIrurKu,rp 0eD10eD1 D0eD1DeDDD ++= Kasus 7: Constant Pressure Outer Boundary: Constant Pressure Production

us ini ad lah:

= , dan

,

Iu 01

Kondisi batas untuk kas a

( )t,rp DDD 1 1rD =

( ) 0t,rp DDD = rr eDD =Solusinya adalah:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )][ ruIuKuIru ruKruIru,rp eD0000 D0eD0DDD = escribed Flux Outer Boundary: Constant Rate Production

ondisi batas dalam (in boundar

Ku eD

uIruK 0eD0

Kasus 8: Pr

K ner y condition) untuk kasus ini adalah:

1r

pr DD

D=

, 1rD =


dan kondisi batas luar (outer boundary condition) didefinisikan sebagai:

( )tqr

DDextD

D p

r D = , rr eDD =

Doublet dan Blasingame menggunakan salah satu dari definisi berikut untuk formulasi flux

model:

Step-function rate:

) Ramp-function rate:

(a)

( ) ( )ttUqtq DstartD,DextDDext = (b

( ) ( )[ ]t/texp1qtq DstartD,DextDDext = Solusinya adalah:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]uIruKuKruI ruIruKruKruI 1eD11eD12/ D0eD1D0eD + uu,rp 31DD =( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]uIruKuKruI uKruIuIruKuqru1 1eD11eD1 1D01D0DexteD ++

Kasus 9: Prescribed Pressure Outer Boundary: Constant Rate Production

(inner boundary condition) untuk kasus ini adalah: Kondisi batas dalam

1r

pr

D

DD =

,

sedangkan kondisi batas luar (outer boundary condition) didefinisikan sebagai:

tpt,rp DDextDDD = ,

1rD =

( ) ( ) rr eDD = dimana tekanan tak berdimensi dapat dimodelkan oleh sembarang fungsi, misalnya,

an:

-function pressu

)

)[ ]t/tex1ptp DstartD,DextDDext =

menggunakan ide Doublet dan Blasingame, fungsi berikut dapat digunak

(a) Step re:

( ) ( ttUptp DstartD,DextDDext = (b) Ramp-function pressure:

( ) (p Solusinya adalah:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )][ uIruKuKru 1eD01eD0 D0eD0D0eD + Iuu,rp 2/30DD = ruIruKruKruI ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]uIruKuKruI uIruKuKruIupDext+ 1eD01eD0 1D01D0 ++


Catatan:

tik eksak yang dipaparkan di atas, mengandung fungsi khusus yang disebut

modified Bessel function. Sebagai contoh, tinjau line-source solution dalam Kasus 1:

Semua solusi anali

)r,u(Ku1)u,r(P D0DD =

Solusi berbentuk dimensionless dalam Laplace space tersebut mempuny i variable Laplace =

u. Dalam persamaan tersebut, K0 adalah modified Bessel function jenis ke-2, orde ke-0.

Bessel function ini (dan juga fungsi Bessel) dapat dijelaskan secara ringkas sebagai

Fungsi Bessel muncul sebagai solu e amaan diferensial

a

Modified

berikut.

si dari p rs

0y)nx(yxyx ; 0n dimana jika n = 0 dan persamaan dibagi dengan x

22'''2 =++2, maka

0yyx1y ''' =++

atau jika ditulis dengan cara lain

0yxy

x1y

2

2 =++

xaan di atas disebut dengan persamaan diferensial Bessel. Solusi persamaan tersebut

c)x(Jcy n2n1 +=

= Fungsi Bessel jenis pertama, orde ke-n

n = Fungsi Bessel jenis kedua, orde ke-n.

Persam

adalah

Y )x(

dimana

)x(Jn

)x(Y

Bentuk fungsi-fungsi tersebut adalah sebagai berikut:

++=

=+

0r

r2nrn )1rn(!r

)2/x()1()x(J , dengan fungsi gamma,

dxex)n( x0

1n =

psinlim

np

)x(Jpcos)x(JY

ppn

nsin

=

=

,...2,1,0n,

,...2,1,0n,)x(Jncos)x(J

)x(

nn

Jika x diubah menjadi x, dimana adalah suatu konstanta sehingga


nx 222 = maka persamaan diferensial Bessel menjadi

olusi persamaan tersebut adalah:

0y)nx(yxyx 222'''2 =++ S

)x(Yc)x(Jcy n2n1 += dengan catatan bahwa jika n bukan bilangan bulat (integer) maka solusi persamaan di atas

, ,...2,1,0n mendefinisikan fungsi Bessel yang lain pula.

Dalam hal ini persamaannya adalah:

22'''2

olusi dari persamaan tersebut adalah

, ,...2,1,0n imana

s kedua, orde ke-n.

entuk fungsi-fungsi tersebut adalah sebagai berikut:

) , i adalah unit imajiner, bilangan kompleks

adalah

)x(JB)x(JAy nn +=Bentuk persamaan diferensial yang lain akan

nx(yxyx =++ 0y)S

)x(Kc)x(Icy n2n1 += )x(IB)x(IAy nn +=d

)x(In = Fungsi Modified Bessel jenis pertama, orde ke-n

)x(Kn = Fungsi Modified Bessel jeni

B

Je)ix(Ji)x(I n2/innnn == ix(

=

,...2,1,0n,psin2limnp

=

)x(I)x(I

,...2,1,0n,sin

)x(I)x(I2

)x(Kpp

nn

n

n

Solusi van Everdingen-Hurst

v blikasikan solusi terhadap persamaan difuan Everdingen dan Hurst telah mempu sivitas

dengan menggunakan transformasi Laplace untuk beberapa kasus atau kombinasi batas dalam

dan batas luar seperti dijelaskan di atas. Kasus-kasus tersebut di antaranya sangat penting

alam aplikasi teknik reservoir. Di dalam literatur, seringkali solusi untuk kasus-kasus

tersebut disebut dengan solusi van Everdingen-Hurst. Disamping untuk kasus-kasus infinite-

acting reservoir yang banyak diaplikasikan dalam pressure transient testing data analysis

d


(yaitu Kasus 1 dan Kasus 2) yang akan dibahas pada bagian Solusi Analitik Pendekatan, tiga

aplikasinya adalah: kasus lain yang paling banyak

1. Kasus 3: Bounded (no-flow) outer boundary: constant rate production

2. Kasus 4: Constant pressure outer boundary: constant rate production

3. Kasus 6: Bounded (no-flow) outer boundary: constant pressure production.

Aplikasi Solusi Kasus 3 Bounded (no-flow) outer boundary: constant rate production

Solusi persamaan difusivitas dalam bentuk Laplace transform untuk kasus ini adalah:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )][ uIru 1eD rsebut dapat dibagi

tD yang kecil, yang

ntuk harga tD yang besar:

KuKruIuruKruIruIruKu,rp

11eD12/3

D0eD1D0eD1DD

+=

Menurut Matthews dan Russel, inversi dari bentuk Laplace transform te

dua yaitu inverse solusi untuk harga tD yang besar dan untuk harga

masing-masing dapat dituliskan sebagai berikut:

U

)1r(4

1r2rlnr4r3rr2 24422 rln

1rt41r

p2 2

eDeDeDeDD2

eDD

D2D

+= eDeDeD

edangkan untuk harga tD yang kecil (perhatikan ruas-ruas dalam persamaan di atas yang S

akan berharga nol pada harga tD yang besar):

+

= rlnr

rt

4r

1r2

kh2qp)t,r(p D

eD

2eD

D2D

2eD

i 12

+

r4r3 4eD4eD)1r(4

1r2rln

2eD

2

2eDeD

=1n n2eDn21n

Dn0n1Dn0n1eDn1)](J)r(J[

1

2t )]r(J)(Y)r(Y)(J)[r(Je D2n

dimana n adalah akar-akar dari persamaan karakteristik: 0)r(Y)(J)(Y)r(J eDn1n1n1eDn1 = Untuk menghitung tekanan pada rD = 1 atau r = rw, yang artinya di sumur, maka diperoleh:

++

= =

1n n21eDn

21

2n

eDn21

teD2

eD

Diw )](J)r(J[

)r(Je2

43

rlnr

t2kh2

qp)t,r(pD

2n

Persamaan ini biasa disebut sebagai van Everdingen-Hurst constant-terminal-rate solution.


Dengan demikian, persamaan di atas dapat digunakan untuk menghitung tekanan di sumur

infinite dari fungsi eksponensial dan fungsi Bessel dapat ditentukan. Untuk

itu, digunakan cara tabulasi yang berupa harga pD pada berbagai harga tD untuk beberapa

dua kelompok masing-masing pD

D) untuk interval harga tD 1000 (untuk infinite acting) dan tD < 0.25 (untuk finite D D eD

arga pD terhadap tD untuk kelompok pertama. Perlu dicatat di sini bahwa tabel tersebut

berlaku pula untuk menghitung water influx dari aquifer dengan menggunakan analogi aliran

ir

(pwf) jika deret

harga reD. Dalam literatur, tabulasi tersebut dibagi ke dalam

= f(t r2eD

reservoir) dan p = f(t ) untuk interval harga 1.5 < r < 10. Tabel berikut adalah tabulasi

h

dari aquifer menuju reservoir sebagai aliran dari reservoir menuju sumur dimana reservo

sebagai sumur dengan radius rw dan aquifer sebagai reservoir dengan radius re. Hal ini akan

dibahas lebih lanjut pada Bab IX.

Tabel: pD vs. tD Sistem Infinite Radial, Constant Rate Production

tD pD tD pD tD pD0 0 0.15 0.3750 60.0 2.4758 0.0005 0.0250 0.2 0.4241 70.0 2.5501 0.001 0.0352 0.3 0.5024 80.0 2.6147 0.002 0.0495 0.4 0.5645 90.0 2.6718 0.003 0.0603 0.5 0.6167 100.0 2.7233 0.004 0.0694 0.6 0.6622 150.0 2.9212 0.005 0.0774 0.7 0.7024 200.0 3.0636 0.006 0.0845 0.8 0.7387 250.0 3.1726 0.007 0.0911 0.9 0.7716 300.0 3.2630 0.008 0.0971 1.0 0.8019 350.0 3.3394 0.009 0.1028 1.2 0.8672 400.0 3.4057 0.01 0.1081 1.4 0.9160 450.0 3.4641 0.015 0.1312 2.0 1.0195 500.0 3.5164 0.02 0.1503 3.0 1.1665 550. 3.5643 0 0.02 0 9 4.0 1 0 600 3 6 5 .166 .275 .0 .6070.03 0.1 8 81 5.0 1.3625 650.0 3.6476 0.04 0.2077 6.0 1.4362 700.0 3.6842 0.05 0.2301 7.0 1.4997 750.0 3.7184 0.06 0.2500 8.0 1.5557 800.0 3.7505 0.07 0.2680 9.0 1.6057 850.0 3.7805 0.08 0.2845 10.0 1.6509 900.0 3.8088 0.09 0.2999 15.0 1.8294 950.0 3.8355 0.1 0.3144 20.0 1.9601 100.0 3.8584 30.0 2.1470 40.0 2.2824 50.0 2.3884 Untuk tD < 0 .01, p D 2 /tD Untuk 100 < , pD 0. tD < 0.25 r2eD 5 (ln tD + 0.80907)


Aplikasi Solusi Kasus 4 Constant pressure outer boundary: constant rate production

Solusi persam ifusivit bentuk Laplace transform untuk kasus ini adalah:

aan d as dalam

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]u1KIuru IKuIrp 0e2/3 000DD + Dengan meng kan car sa eperti as atthe Russell yang

mengikuti Carslaw dan Jaeger mendapatkan:

ru eDI1DuK0

rDureDurDuKr 0eDu, =

guna a yang ma s pada K us 3, M ws dan

{

=

1n 222n

nw

)]r(J)([

)eq,r(p

imana n adalah akar-akar dari persamaan karakteristik: eDn0n1

20t (JD2n= eDi J

2rlnkh2p)t eDr

d

0)r(J)(Y)r(Y)(J eDn0n1eDn0n1 = Lagi, jika deret infinite dari fungsi eksponensial dan fungsi Bessel dapat ditentuka an y ng

iasanya dilakukan secara implisit dengan menggunakan cara tabulasi yang berupa harga pD

pada berbagai harga tD untuk beberapa harga reD, maka pwf dapat dihitung.

ter boundary: constant pressure production

Untuk kasus ini, maka tekanan di sumur berharga konstan. Sedangkan tekanan pada rD 1 apat ditentukan dengan menggunakan solusi seperti disajikan di atas. Dalam literatur

disajikan cara dengan maenggunakan tabulasi seperti telah dibahas pada dua kasus

bagai harga reD.

b

Aplikasi Solusi Kasus 6: Bounded (no-flow) ou

d

sebelumnya. Tabulasi tersebut berupa QpD vs. tD untuk ber

Solusi Analitik Pendekatan

Mendapatkan dan/atau menggunakan solusi analitik eksak dari persamaan difusivitas,

umumnya bersifat kompleks. Karena itu, akan jauh lebih sederhana jika diambil solusi

endekatan (aproksimasi). Solusi pendekatan yang dimaksud di sini pada dasarnya adalah

an

ell testing adalah:

Periode aliran transient

dy state

Periode aliran steady state.

p

sebagai penyederhanaan terhadap solusi eksak yang dikembangkan menurut periode alir

tertentu di reservoir. Dengan menetapkan periode aliran maka kondisi aliran di reservoir

dapat didefinisikan terlebih dahulu untuk kemudian dirumuskan solusi persamaan difusivitas

yang berlaku khusus pada periode yang sudah didefinisikan. Periode aliran tersebut yang

banyak aplikasinya dalam teknik reservoir, khususnya dalam analisis data w

Periode aliran pseudostea


1) Periode Transient

Periode aliran ini terjadi pada saat-saat awal produksi ketika efek batas luar reservoir

belum terasa di sumur dan dengan demikian reservoir berperilaku seperti halnya tidak ada

batas (reservoir bersifat infinite-acting). Karena itu,

p = pi pada r Jika sumur berproduksi pada laju konstan, maka:

rp)r2(

Bkh001127.0q

= pada r = rw

Pada waktu awal, selalu dianggap tekanan sama dengan tekanan awal:

ial boundary value problem ini telah dapat diperoleh seperti

. Jika dilakukan inversi secara analitik dari solusi Laplace transform-

p = pi pada t = 0.

Solusi eksak terhadap init

ditunjukkan di atas

nya maka diperoleh:

=

t4rEi

21p

D

D2

D

atau dalam variabel lapangan (berdimensi), solusi tersebut adalah:

2

=t

rcEkh

Bq6.70p)t,r( ti (5)

k00105.0ip

atau sering pula ditulis sebagai

+=tk

Eikh

p)t,r(p i (5x)

dimana Ei(-x) = fungsi exponential integral dari (-x) yang didefinisikan sebagai berikut:

rc948 2t

Bq6.70

K++==

)!4(4x

)!3(3x

)!2(2x

!1xxln

udue)x(Ei

432

x

u

Secara kualitatif sifat integral ini dapat dijelaskan oleh gambar berikut. Gambar (a) dan

yaitu masing-masing -u (Gambar a) dan 1/u (Gambar b). Hasil perkalian kedua fungsi tersebut

ditunjukkan oleh Gambar (c) yaitu kurva e-u/u. Integral dari kurva pada Gambar (c)

x dan

(b) menunjukkan kurva dari kedua komponen dalam integrand

kurva e

tersebut yang dievaluasi antara ditunjukkan oleh Gambar (d), yang berbentuk sama dengan kurva Gambar (c). Oleh karena itu, untuk harga x yang kecil, maka Ei(x)

f

luas daerah di bawah kurva seperti terlihat pada bagian yang diarsir pada Gambar (c).

mempunyai harga yang besar, karena harga ungsi integral tersebut merupakan harga


Sebaliknya, harga Ei(x) kecil untuk harga x yang besar. Fungsi Ei(x) biasanya diplot

dalam skala log-log seperti ditunjukkan secara skematik pada gambar berikutnya.

Selain diplot dengan menggunakan skala log-log, fungsi exponential integral juga sering

disajikan dalam bentuk tabulasi. Berikut adalah contoh tabel harga fungsi Ei untuk harga

x antara 0.000 dan 0.209 dengan interval 0.001.

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.00 + 6.332 5.639 5.235 4.948 4.726 4.545 4.392 4.259 4.142 0.01 4.038 3.944 3.858 3.779 3.705 3.637 3.574 3.514 3.458 3.405 0.02 3.355 3.307 3.261 3.218 3.176 3.137 3.098 3.062 3.026 2.992 0.03 2.959 2.927 2.897 2.867 2.838 2.810 2.783 2.756 2.731 2.706 0.04 2.681 2.658 2.634 2.612 2.590 2.568 2.547 2.527 2.507 2.487 0.05 2.468 2.449 2.431 2.413 2.395 2.377 2.360 2.344 2.327 2.311 0.06 2.295 2.279 2.264 2.249 2.235 2.220 2.206 2.192 2.178 2.164 0.07 2.151 2.138 2.125 2.112 2.099 2.087 2.074 2.062 2.050 2.039 0.08 2.027 2.015 2.004 1.993 1.982 1.971 1.960 1.950 1.939 1.929 0.09 1.919 1.909 1.899 1.889 1.879 1.869 1.860 1.850 1.841 1.832 0.10 1.823 1.814 1.805 1.796 1.788 1.779 1.770 1.762 1.754 1.745 0.11 1.737 1.729 1.721 1.713 1.705 1.697 1.689 1.682 1.674 1.667 0.12 1.660 1.652 1.645 1.638 1.631 1.623 1.616 1.609 1.603 1.596 0.13 1.589 1.582 1.576 1.569 1.562 1.556 1.549 1.543 1.537 1.530 0.14 1.524 1.518 1.512 1.506 1.500 1.494 1.488 1.482 1.476 1.470 0.15 1.464 1.459 1.453 1.447 1.442 1.436 1.431 1.425 1.420 1.415 0.16 1.409 1.404 1.399 1.393 1.388 1.383 1.378 1.373 1.368 1.363 0.17 1 .358 1.353 1. 348 1. 343 1.338 1. 3 33 1. 9 32 1. 4 32 1. 9 31 1.314 0.18 1 .310 1.305 1.301 1.296 1.291 1.287 1.282 1.278 1.274 1.269 0.19 1.265 1.261 1.256 1.252 1.248 1.243 1.239 1.325 1.231 1.227 0.20 1.223 1.219 1.215 1.210 1.206 1.202 1.198 1.195 1.191 1.187

(a) (b) (c)

e u u

e uu1

= x

udu

ue)x(Ei

u u u

u = x

x

=

(d)


Jika diperhatikan, terlihat pada gambar log-log plot di atas, bahwa untuk harga argumen x

yang kecil (yaitu x < 0.01) maka Ei(x) dapat didekati oleh harga logaritmik, yaitu:

Ei(x) - ln (x) = -ln (x) - ln () = -ln (x) 0.5772 dimana angka 0.5772 merupakan konstanta Euler. Harga exponential dari konstanta Euler

ini adalah:

= e 0.5772 = 1.781 Sehingga berdasarkan definisi:

Ei(x) = - Ei(-x)

maka:

-Ei(-x) - ln (x) 0.5772 Sehingga solusi eksaknya dalam real space menjadi:

=

t4ln21p 2

DD re D

Atau dalam variabel lapangan dengan mengganti pD, tD, dan rD, persamaan tersebut

menjadi (lihat juga Persamaan (5) jika fungsi Ei diganti oleh fungsi ln):

kh

5772.0

tk00105.0rclnBp

2t

i (5a)

Ka

x) = 2.303 log (x)

= q6.70)t,r(p

rena

ln (

70.6 x 2.303 = 162.6

*)Skala luhanya i strasi

0.00 0 0.

11 0. 1 1 1

10

1

0. 0.001

0.01

0.1 1 10

Ei

i

(x)

E (x)

-ln(x

akln n( 7

)

x0 m a Ei(x)- (x)=-l x)-0.57 2


maka jika fungsi ln diganti dengan fungsi log diperoleh:

+=

ktrc1688log

khBq6.162

p)t,r(p2

ti

Karena log (1688) = 3.227 3.23, maka diperoleh:

ktBq6.162

= 23.3rc

logkh

p)t,r(p 2t

i (6)

Perlu dicatat bahwa

72 = ln (1.781)

9

Persamaan (5) dan persamaan lainnya yang diperoleh dengan menggunakan pendekatan

logaritmik terhadap Ei-function, yaitu Persamaan (5a) dan (6) dapat digunakan untuk

reservoir termasuk di lokasi sumur (r

= rw). Persamaan (6) merupakan basis untuk analisis data transient well testing karena

pada lubang sumur (r = rw) pendekatan logarith

argumen Ei-function yang berharga kecil) berlaku.

er a:

(1) n tidak dapat diinversikan secara langsung sehingga untuk

kan metode integrasi numerik dan pendekatan (aproksimasi),

) Long time approximation terhadap cylindrical source solution diperoleh dengan

0.57

1.781/0.00105 = 1696.1

log (1696.19) = 3.229.

menghitung pressure drop (pi p) pada tiap titik di

mic terhadap Ei-function (yaitu untuk

P lu dicatat di sini bahw

Cylindrical source solutio

menghitungnya diperlu

(2

menggunakan sifat-sifat modified Bessel function untuk argumen yang kecil yang

ternyata ekivalen dengan pendekatan logaritmik persamaan di atas, yaitu line-source

solution.

Dalam hal yang kedua, persamaan tersebut adalah:

( )

= 80907.0

r

tln21

t,rpD

2D

DDD

Dengan demikian, line source solution merupakan pendekatan terhadap cylindrical

um sehingga line source solution mempunyai batasan-

rate production case

source solution yang lebih um

batasan dalam penerapannya. Tabel berikut menunjukkan ringkasan solusi untuk constant

, reservoir infinite acting serta batasan-batasan yang dimilikinya.


Tabel Solusi untuk constant rate, reservoir infinite-acting

Kasus ( )t,rp DDD solution Berlaku untuk Cylindric ( )( )

al-source solution -1

L u /3

uKruK

12

D0 all t D

t4rEi

21

D

D2

10r

t

D2

D > Line-source solution

Log-approximation of Line-source solution

ret4ln

21

D2

D 25r

t

D2

D >

Contoh 1: M

enghitung Tekanan Dengan Solusi Ei-Function

Contoh ini diambil dari Craft dan Hawkins hal. 238. Dalam suatu reservoir, minyak

mengalir ke sebuah sumur yang berproduksi 200 STB/day. Jika o = 0.72 cp, Bo = 1.475 bbl/ST t = 15x10 i-1, = 23.4%, dan pi = 3000 psia, hitung tekanan pada radius 1000 ft setelah sumur berproduksi selama 10 hari.

Penyelesaian:

Deng aan (5), yaitu

B, k = 100 md, h = 15 ft, c -6 ps

an menggunakan Persam

=

tk00105.0rcEi

khBq6.70

p)t,r(p2

ti

aka pada r = 1000 ft dan t = 10 hari m

=

)hari/jam24)(10)(100(00105.0)1000()10()15)(72.0)(234.0(Ei

)15)(100()475.1)(72.0)(200(6.703000p

p = 3000 + 10.0 Ei(-0.10)

Dari tabel harga Ei diperoleh Ei(-0.10) = - 1.823, sehingga

26

p = 3000 + 10.0(-1.82) = 2981.8 psia.

engan Solusi Ei-Function

Contoh 2: Menghitung Distribusi Tekanan D

Untuk contoh di atas, hitung distribusi tekanan, yaitu tekanan pada setiap titik di reservoir

ada t = 10 hari. Kemudian hitung hal yang sama untuk t = 0.1 hari, t = 1.0 hari, dan t =

100 hari. Plot distribusi tekanan tersebut.

p


Penyelesaian:

Dengan menggunakan cara yang sama seperti contoh di atas untuk berbagai harga radius

an waktu seperti yang diminta, maka diperoleh tabel dan plot tekanan terhadap radius

atas sampai yang paling

Perhitungan untuk harga r yang kecil jika t besar menggunakan pendekatan logaritmik

ekanan:

t = 0.1 days t = 1.0 days t = 10.0 days t = 100.0 days

d

seperti ditunjukkan berikut dengan catatan:

1. Kurva pada gambar tersebut berturut-turut dari yang paling

bawah adalah untuk t = 0.1 hari, t = 1.0 hari, t = 10 hari, dan t = 100 hari.

2.

sedangkan untuk harga r yang besar jika harga t kecil tidak dapat dilakukan karena

keterbatasan harga fungsi Ei dalam tabel untuk argumen-argumen tersebut.

Tabel: Hasil Perhitungan Distribusi T

r (ft) Ei(-x) p (psia) Ei(-x) p (psia) Ei(-x) p (psia) Ei(-x) p (psia)1 10.933 2890.70 13.235 2867.69 15.538 2844.67 17.841 2821.65

10 6.332 2936.70 8.630 2913.72 10.933 2890.70 13.235 2867.69100 1.823 2981.78 4.038 2959.63 6.332 2936.70 8.630 2913.72300 0.260 2997.40 1.919 2980.82 4.142 2958.59 6.332 2936.70600 6.2e-3 2999.94 0.774 2992.26 2.783 2972.18 4.948 2950.54

1000 4.2e-6 3000.00 0.219 2997.81 1.823 2981.78 4.038 2959.633000 - - 1.2e-5 3000.00 0.260 2997.40 1.919 2980.816000 - - - - 6.2e-3 2999.94 0.774 2992.26

10000 - - - - 4.2e-6 3000.00 0.219 2997.81

Distribusi Tekanan

2800

5

0

5

1 1 1 1Jarak di

28 0

29

ana 0

29

ia

0

3000

0 100ra

000 0000al, feet

Tek

n, p

s

t = 0.1 hari

t = 1.0 hari

t = 10 hari

t = 100 hari


Persamaan (5x) menjadi lebih berarti dalam aplikasinya, khususnya dalam analisis data

well testing, jika kita memasukkan efek skin. Karena sifatnya additive dalam hal pressure

drop di sumur, yaitu pada r = rw, maka jika efek skin dimasukkan dalam pressure drop:

=

tkrc948Ei

khBq6.70

pp2

wtwfi + )p( s (5x)

dimana adalah pressure drop tambahan akibat skin, yaitu perbedaan antara pwf

ideal dan pwf real, yang menurut van Everdingen-Hurst dapat dimodelkan dengan

persamaan steady state aliran radial:

)p( s

=

w

d

w

d

ss r

rln

khqB2.141

rr

lnhkqB2.141)p(

=w

d

s rr

ln1kk

khqB2.141

Jika

=

w

d

s rr

ln1kks

yang dikenal sebagai Hawkins formula untuk menghitung skin faktor, s, maka

skh

qB2.1)p( s (5y) 14=

Oleh karena itu:

pp wfi =

rc948EiBq6.70 2wt +

tkkhsqB2.141

kh

=

s2

tkrc948Ei

khBq6.70 2wt (5z)

Dalam kasus seperti ini, dimana untuk r = rw argument fungsi Ei cukup kecil setelah

waktu produksi yang pendek, maka pendekatan logaritmik dapat dipakai sehingga

(p)s

rw rd

pwf, real

pwf, idealkks


= pp wfi

s2

tkrc1688ln

khBq6.70 2wt (5w)

2) Periode Pseudosteady State

Aliran pseudosteady-state terjadi ketika semua batas reservoir pada closed reservoir

system sudah terasa yaitu gangguan akibat aktivitas produksi sudah sampai di batas

reservoir. Oleh karenanya, kondisi ini dicapai pada t yang cukup besar. Kondisi

e ini terkait dengan keadaan reservoir terbatas (finite-bounded), yaitu

empunyai kondisi tidak ada aliran (no-flow outer boundary condition) dan sumur

berproduksi dengan laju alir konstan. Jadi, kasus pseudosteady state terjadi jika:

Kondisi batas luar berupa no-flow, yaitu:

pseudosteady stat

m

tp = konstan

rp = 0, pada r = re no-flow

Untuk kasus ini, solusi eksaknya telah dibuat dan inversi solusi Laplace-nya diperoleh

sebagai berikut:

( ) ( )1r41r2rlnr4r3

1r

rlnrt4r

1rt,rp

eD2DDD 2

eD2 2

eD2

eDeD4

eD4

eD2

DeD2

DD

2

+=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

+

=

1n n1

2eDn1

2n

Dn0n1Dn0n1eDn12tn

JrJ

rJYrYJrJe D2

dimana J0 dan J1 masing-masing adalah fungsi Bessel jenis pertama orde nol dan orde

pertama dan Y0 dan Y1 masing-masing adalah fungsi Bessel jenis kedua orde nol dan

orde pertama dan n adalah akar dari suatu persamaan karakteristik. Untuk kasus ini persamaan karakteristik tersebut adalah:

( ) ( ) ( ) ( ) 0rYJ =rJ eDn1nY eDn1n11 pada masa produksi yang sudah lama (pada harga

t yang besar) maka solusi pendekatan dapat diperoleh dengan membuang suku

Karena aliran pseudosteady-state terjadi

penjumlahan, yang mendekati nol jika harga t besar, sehingga:

( ) ( )1r41r2rlnr4r3

1r

rlnrt4

r1r

2t,rp

eD2 2

eD2

eDeD4

eD4

eD2

DeD2

DD

2

eD2DDD

+=


Pada lubang sumur, dimana , persamaan tersebut menjadi:

1reD >>

( )43

rlnr

t2t,1p eD

eD2

DDD +=

atau dapat pula ditulis sebagai:

( )4eDADDD

jika variabel waktu tak berdimensi berdasarkan drainage area, t

3rlnt2t,1p +=

AD, didefinisikan sebagai

berikut:

rc

kt1= te2

tAD

Dalam bentuk variabel lapangan dengan mengganti pD, tD, dan rD, persamaan tersebut

ditulis sebagai berikut:

+= 3rlnt2qB2.141pp eDD 4rkh eD2iwf

atau

3r0qB

+= 4rlnc

kt000527.kh

2.141ppw

e

e2iwf

(6a)

terhadap waktu (selama periode pseudosteady

state), maka

rt

Jika Persamaan (6a) di atas didiferensiasi

hrct e2

tKarena vo

qB0744.0pwf =

lume pori batuan yang terisi liquid dalam cuft, adalah

maka

= hrV e2p

Vc

qB2337.0t

p

pt

wf =

Jadi, selama periode pseudosteady state, laju penurunan tekanan berbanding terbalik

engan volume pori (yang terisi fluida). Hasil ini memberikan cara dan metodologi

analisis terhadap data hasil pengujian yang disebut dengan reservoir limit testing untuk

ntukan ukuran reservoir.

d

mene


Selanjutnya, di atas sudah disebutkan bahwa respons tekanan tergantung pada bentuk dan

kuran reservoir. Dengan prinsip tersebut, Matthew

memperoleh persamaan:

u , Brons dan Hazebroek, serta Dietz,

chABtq2339.0

rC781.1

A4logkh

Bq6.162pp iwf

=t2wA

(7)

dimana

A = Luas daerah pengurasan

CA = Dietz shape factor

hape factor adalah suatu konstanta yang dimasukkan ke dalam persamaan solusi

aan tersebut cocok atau berlaku untuk bentuk luas daerah

pengurasan sumur (drainage area) yang lain selain lingkaran dengan sumur di tengahnya.

literatur, shape factor tersebut disajikan untuk berbagai drainage area pada

iantaranya bounded reservoir dan vertically fractured

tuk water drive reservoir dan karakter produksi yang tidak

iketahui. Selanjutnya, pembahasan tentang hal ini disajikan pada bagian di bawah ini.

olume daerah

pengurasan sumur (drainage area volume),

Dietz s

pseudosteady state agar persam

Sebagai contoh, CA untuk drainage area dengan lokasi sumur di dalamnya seperti terlihat

pada gambar skematik berikut diberikan oleh harga-harga sebagai berikut:

31.62

4.5132

30.8828

Dalam

berbagai geometri reservoir d

reservoir dan bahkan un

d

Aplikasi lain yang sangat bermanfaat dari Persamaan (6a) di atas adalah bahwa

persamaan tersebut bisa digunakan untuk memperkirakan tekanan reservoir rata-rata pada

suatu saat setelah sumur berproduksi atau dilakukan test produksi. Untuk itu, variabel

tekanan awal, pi, diganti oleh variabel tekanan rata-rata di dalam v

p . Tekanan rata-rata volumetrik tersebut

diperoleh dengan menggunakan konsep material balance yang dapat dijelaskan sebagai


p pada suatu waktu, (pi - p )berikut. Penurunan tekanan dari pi ke , yang diakibatkan oleh

pengurangan fluida sebanyak qB rb/D untuk waktu t jam, atau total pengurangan sebesar

24tqB615.5 dalam cuft

adalah

)hr(c

24tqB615.5

VcVpp

e2

tti

==

= rhc

qBt0744.0

e2

t

atau

rc et

Substitusi ke Persamaan (6a) diperoleh:

hqBt0744.0pp 2i +=

+= 43

rrln

khqB2.141

rhc

qBt0744.0

rhc

qBt0744.0ppw

e

e2

te2

twf

atau

=43

rrln

khqB2.141pp

w

ewf (8)

Jika tekanan reservoir rata-rata, p , tersebut disubstitusi dengan cara yang sama ke

Persamaan (7) maka:

= 2

wA rC781.1

A4logkh

Bq2.162pp

Jika reservoir berbentuk lingkaran dengan radius re, maka:

wf

= 5.1

r

rln

khBq2.162pp 2

w

2e

wf (9)

m b aan untuk laju alir, Persamaan (9) dapat ditulis

ai berikut:

Atau jika ditulis dala entuk persam

sebag

= 75.0)r/ reln(

ppB

kh00708.0qw

wf

rti dalam aplikasinya, khususnya dalam analisis

data well testing, jika efek skin dimasukkan dalam pressure drop, yaitu:

Persamaan (8) juga menjadi lebih bera


=43

rrln

khqB2.141pp

w

ewf + )p( s

dimana adalah pressure drop tambahan akibat skin. Dengan menggunakan

mulasi yang sama untuk pressure

)p( sfor drop akibat skin seperti dinyatakan di atas, maka

3r

kqB e

wf += s

4rln

h2.141pp

w (10)

Demikian pula Persamaan (6a), jika faktor skin dimasukkan, maka persamaan tersebut

ditulis sebagai:

++= s3rlnkt000527.0qB2.141pp e 4rrckh we2tiwf

(11)

3)

liran steady-state flow terjadi pada harga t yang sangat besar (sumur

telah diproduksikan dengan sangat lama) pada suatu sistem reservoir dengan kondisi batas

n laju produksi di lubang sumur konstan

nversikan ke real

space maka diperoleh persamaan sebagai berikut:

Periode Steady State

Secara teoretis, a

luar reservoir berupa tekanan konstan da

(constant production rate). Solusi eksak untuk sistem seperti ini telah ditunjukkan pada

bagian sebelumnya. Jika solusi dalam Laplace space tersebut tersebut dii

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )

rDD

rlnt,rp eDDD = ( ) ( )[ ] + n1Dn0n1Dn0eDn02n JrYYrJrJe D

t2

=1n eDn02n12n rJJdimana n adalah akar positif dari persamaan karakteristik:

( ) ( ) ( ) ( ) 0YrJrY =J1 n1eDn0eDn0n ada sumur, yaitu pada rD = 1, persamaa

P n tersebut menjadi:

( )( ) ( )( ) [ ] += 222 eDn0neDDD rJe2rlnt,1p Dn =

1n eDn0n1n

2t

rJJ

2

Pada harga t yang besar, harga dari suku ke dua pada ruas kanan yang berupa

enjumlahan menjadi kecil sekali sehingga persamaan solusi untuk kondisi steady-state

menjadi lebih sederhana yaitu:

p

( ) rlnt,1p eDDD =


yang dalam variabel lapangan dengan mengganti pD, tD, dan reD, persamaan tersebut dapat

ditulis sebagai berikut:

rrln

khqB2.141

ppw

eiwf

= (12)

Persamaan di atas dapat juga diperoleh dari Persamaan Darcy radial. Atau jika ditulis

dalam bentuk persamaan untuk laju alir, Persamaan (12) dapat ditulis sebagai berikut:

)r/rln(B

)pp(hk00708.0q

we

wfi

=

e = pi dimana pe

adalah tekanan pada batas luar reservoir, maka persamaan tersebut dapat ditulis sebagai:

Mengingat kondisi batas luar reservoir berupa tekanan konstan sehingga p

)r/rln(B

qwe

= )pp(hk00708.0 wfe

Periode transient, pseudosteady state, dan steady state tersebut di atas dapat diobservasi

elalui plot pwf terhadap waktu seperti ditunjukkan berikut:

Dietz Shape Factor

m

pwf

Log t t

Transient

Late Transien

Transient

pwf tLate Transient Pseudosteady

State Pseudosteady State

Tin

rata

jau solusi aproksimasi untuk kondisi pseudosteady state yang dinyatakan dalam tekanan

-rata, Persamaan 8:

=43

rrln

khqB2.141pp

w

ewf (8)

Ing

kon r

boundary) dengan sumur berada di tengah-tengah reservoir yang berbentuk lingkaran.

Padahal dalam kenyataan, sumur tidak selalu berada di tengah-tengah reservoir dan/atau

n geometri reservoir lain selain

bentuk lingkaran, Dietz mengembangkan sebuah konstanta untuk ditambahkan ke dalam

at bahwa solusi ini diperoleh dengan menggunakan kondisi batas dalam laju produksi

stan (constant well production rate) dan kondisi batas luar tidak ada aliran (no-flow oute

reservoir tidak selalu dapat diasumsikan berbentuk lingkaran. Agar solusi dapat digunakan

untuk lokasi sumur lain selain di tengah-tengah reservoir da


persamaan solusi. Dengan sedikit manipulasi, Persamaan (8) dapat ditulis kembali dalam

bentuk:

pwf

=43

rrln

khqB2.141p

w

e

= eln

21

r

rln21

khqB2.141p 2/3

w2

e2

= 14p

er4r4ln

21

khqB2.1

2/3w

2e

2

Dengan menyelesaikan argument natural log sebagai berikut:

r w2 62.31

r

r32.56A4

er4r4 e

2

w22/3

w2e ==

2

2

dimana A = luas daerah pengurasan, ft dan = Konstanta Euler = 1.781. Harga 31.62 di atas disebut dengan Dietz shape factor untuk reservoir berbentuk lingkaran dengan sumur berada

di tengah reservoir. Tinjau bahwa Persamaan (7) dapat dengan mudah diubah menjadi

= 2

wAwf rC781.1

A4logkh

Bq2.162pp

seperti telah ditunjukkan di atas. Dietz telah pula mengembangkan shape factor untuk

berbagai geometri lainnya. Beberapa shape factor untuk bentuk-bentuk segiempat dan bujur

sangkat dengan berbagai posisi sumur

Distribu esi T kanan Menurut Solusi Analitik

Pada bagian terdahulu telah diberikan contoh mengenai distribusi tekanan menurut solusi Ei-

function, yaitu untuk kasus infinite acting reservoir dengan sumur berproduksi pada laju

an. Demikian pula halnya jika tekanan dari hasil perhitungan menurut solusi

persamaan difusivitas untuk kasus-kasus yang lain diplot terhadap jarak radial dari sumur

rw sampai r = re, maka akan diperoleh distribusi tekanan di reservoir.

Berdasarkan masing-masing kondisi batas luar dan batas dalam maka plot untuk infinite dan

konstan atau laju alir konstan

menghasilkan berbagai distribusi tekanan terhadap jarak yang khas. Berikut adalah gambar

ematik berbagai plot distribusi tekanan tersebut untuk enam kasus yang paling mungkin

ditemui di lapangan. Dari berbagai plot tersebut, perhatikan kasus-kasus mana yang

memberikan plot distribusi tekanan yang khas untuk periode aliran transient, pseudosteady

produksi konst

mulai dari r =

finite reservoir dengan kondisi produksi di sumur tekanan

sk


state, dan steady state. Juga perhatikan karakteristik plot yang dihasilkan oleh masing-masing

periode aliran tersebut.

1) Kasus Infinite Acting Reservoir dengan OBC = Infinite, IBC = Constant pressure:

BC = Infinite, IBC = Constant rate:

2) Kasus Infinite Acting Reservoir dengan O

3) Kasus Finite Acting Reservoir dengan OBC = Constant pressure, IBC = Constant pressure:

4) Kasus Finite Acting Reservoir dengan OBC = Constant pressure, IBC = Constant rate.

Steady state artinya tekanan di setiap titik di reservoir todak berubah terhadap waktu:

q

p

Waktu

i

p p

Radius rw re

wf = C

q

Waktu

pi

p

Radius rw re

q = C

q

Waktu

pi

p

Radius rw re

q = C

q

Waktu

pi

p p

Radius rw re

wf = C


5) Kasus Finite Acting Reservoir dengan OBC = No flow, IBC = Constant pressure:

Productivity Index

6) Kasus Finite Acting Reservoir dengan OBC = No flow, IBC = Constant rate. Pseudosteady

state artinya tekanan di setiap titik di reservoir menurun terhadap waktu dengan laju

penurunan konstan:

Productivity index didefinisikan sebagai perbandingan laju produksi liquid dalam STB/day

terhadap pressure drawdown di tengah interval atau zona produksi. Secara matematis

productivity index dituliskan sebagai

pp wfqJ = STB/day/psi

Productivity index merupakan besaran untuk mengukur potensi sumur atau kemampuan

sumur untuk berproduksi. Untuk menghitung productivity index dari data uji produksi, sumur

dibiarkan berproduksi sampai waktu yang cukup lama sehingga dapat dianggapp telah

mencapai periode pseudosteady state. Productivity index sebaiknya dihitung pada kondisi

demikian karena hanya pada keadaan aliran pseudosteady state beda antara p dan pwf akan

konstan. Seperti disebutkan di atas periode pseudosteady state dicirikan oleh perubahan

tekanan terhadap waktu yang konstan. Sedangkan untuk periode aliran lainnya, hal tersebut

ungkinan besar perhitungan productivity index menjadi tidak tidak berlaku sehingga kem

akurat.

q

Waktu

pi

p

Radius rw re

q = C

Cp =

q

pi

Waktu

p

rw re

pwf = C

Radius

dt


Telah ditunjukkan di atas bahwa untuk periode pseudosteady state:

= 75.0)r/rln(

ppB

kh00708.0qwe

wf

Sehingga:

[ ]75.0)r/rln(Bkh00708.0J

we =

jectivity IndexIn

mur injeksi tersebut dapat berupa disposal

tekanan reservoir yang menyebabkan laju injeksi

rsebut. Atau secar

Terminologi ini digunakan untuk sumur injeksi. Su

well atau sumur injeksi dalam proyek perolehan sekunder (secondary recovery) atau pressure

maintenance. Injectivity index didefinisikan sebagai perbandingan laju injeksi dalam

STB/day terhadap kelebihan tekanan di atas

te a matematis:

pp

Iwf

= STB/day/psi

Prinsip Superposisi

Dari apa yang telah dipaparkan pada bagian solusi analitik di atas dan keadaan nyata di

lapangan yang dapat dimodelkan oleh masing-masing solusi analitik tersebut, dapat dikatakan

bahwa solusi persamaan difusivitas yang paling banyak aplikasinya adalah solusi Ei-function,

yaitu solusi analitik pendekatan untuk periode aliran transient. Namun, seperti ditunjukkan

pada contoh di atas, terlihat bahwa solusi tersebut seolah-olah hanya dapat digunakan untuk

menghit

q

ung distribusi tekanan pada reservoir infinite-acting akibat produksi dari satu sumur

lusi tersebut untuk sumur

ang berproduksi dengan laju alir konsta dan dimulai dari t = 0. Prinsip superposisi dapat

dipakai untuk mengurangi keterbatasan-keterbatasan tersebut sehingga solusi Ei-function

akan untuk, misalnya, kasus reservoir yang diproduksi dengan jumlah sumur yang

bih dari satu (superposition in space) dan kasus sumur yang berproduksi dengan laju

produksi variabel (variable-rate wells superposition in time). Landasan prinsip superposisi

benarnya adalah konsep matematik yaitu berawal dari sifat khusus integral yang dinyatakan

konvolusi (atau dikenal pula sebagai Faltung atau Duhamels principle)

dan yang paling membatasi pemakaiannya adalah bahwa so

y n

dapat digun

le

se

oleh teori integral

yang berkaitan dengan definisi Laplace transform. Secara sepintas, teori integral konvolusi

tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut.


Teori Integral Konvolusi

Secara umum, Laplace transform suatu product dua fungsi bukan product dari masing-masing

aplace transform. oduct dari dua fungsi f dan g, yang ditulis sebagai f g sehingga

=

) G(s)

at komutatif)

L Ada sejenis pr

]gf[L ]g[L]f[L = F(s

dimana F(s) dan G(s) adalah masing-masing Laplace transform dari f(t) dan g(t) dan L

adalah simbol operasi transfomasi Laplace dengan s sebagai parameter transformasi. Operasi

product (dengan simbol ) di atas disebut dengan konvolusi yang menyatakan bahwa konvolusi dari f dan g adalah fungsi f g yang didefinisikan sebagai:

=t

0d)(g)t(f)t)(gf( , untuk 0t

sehingga

F(s) G(s) = L

t

0d)(g)t(f

Karena bentuk integral seperti itu maka relasi di atas sering disebut dengan integral

konvolusi. Dengan demikian, teori konvolusi menyatakan bahwa Laplace transform dari

konvolusi dua fungsi adalah product dari Laplace transform masing-masing fungsi. Secara

ringkas, sifat-sifat teori konvolusi menghasilkan relasi dan operasi sebagai berikut:

1. ]gf[L = F G 2. L-1[FG] = gf (inversi) 3. gf = fg (sif

Contoh 3: Aplikasi Teori Konvolusi

Tentukan L-1 s( )4s1

2

Penyelesaian:

Jika F(s) = s1 dan G(s) =

)4s(1

2 , maka dari table Laplace transform diketahui

f(t) = L-1[F(s)] = 1 dan g(t) = L-1[G(s)] = et t4

Sehingga


L-1[F(s)G(s)](t) = 1

=

et t4

de1t

0

4

=161]

41t[e4

1 t4 +

gen-Hurst

ngatasi non-linearitas dari persamaan diferensial parsial akibat adanya

alam vitas untuk aliran gas nyata. Namun hal ini tidak dibahas

i dalam dik

berawal dari sifat integral yang dinyatakan

els principle), namun untuk tujuan

plikasinya alam teknik teservoir, prinsip superposisi akan dinyatakan dengan

cara berikut: Penambahan solusi pada persamaan diferensial linier menghasilkan solusi baru

rhadap persamaan differensial awal. Oleh karenanya, jika pressure drop suatu sumur dapat

h satu solusi maka pressure drop di sumur lain yang juga dapat dimodelkan

tu deng ga berbeda)

dapat ditambahkan pada pressure drop sumur pertama dan hasilnya berupa solusi baru untuk

pres re drop total, p, pada suatu lokasi di dalam ama dengan jumlah pressure drop di lokasi tersebut yang diakibatkan oleh pressure

pj, yang ada dalam reservoir tersebut. Sebagai contoh, anggap

tiga buah sumur, yaitu Sumur A, B, dan C mulai berproduksi pada waktu yang sama dari

cting. Maka pressure drop di Sumur A adalah:

umur A = (pi mur A + (pi p)akibat Sumur B + (pi p)akibat Sumur C

ontoh untuk superposition in space yang lain adalah situasi dimana pressure drop akibat

Selain menjadi dasar prinsip superposisi baik superposition in time maupun superposition in

space, teori integral konvolusi juga diaplikasikan untuk mendapatkan solusi constant pressure

production dari solusi constant rate production (dikenal sebagai van Everdin

identity) dan me

product ct d persamaan difusisecara rinc tat ini.

Walaupun landasan teori dari prinsip superposisi

oleh teori integral konvolusi (atau Faltung atau Duham

pembahasan a d

te

dimodelkan ole

oleh solusi yang sama (ten an hasil yang mungkin sama atau mungkin ju

sumur pertama tersebut. Dengan kata lain, su

reservoir s

drop masing-masing sumur,

suatu reservoir infinite-a

(pi pwf)total di S p)akibat Su

C

produksi satu atau lebih sumur dimonitor di satu sumur observasi seperti ditunjukkan oleh

diagram skematik berikut. Pada diagram tersebut Sumur 1 berproduksi sebesar q1 dan

menyebabkan pressure drop sebesar p1 dan Sumur 2 berproduksi sebesar q2 dan menyebabkan pressure drop sebesar p2. Sedangkan sumur observasi tidak berproduksi.


Dengan menerapkan prinsip superposisi, maka pressure drop yang terukur di sumur observasi

adalah:

ppp 21t += .

lainnya.

Sumur observasi

r1

r2

Sumur 1 q1 p1

Sumur 2 q2 p2

Dengan contoh kasus di atas, maka solusi persamaan difusivitas dapat digunakan untuk

memodelkan satu jenis well testing yang disebut dengan interference test atau pulse test.

Interference test pada dasarnya adalah untuk menentukan parameter reservoir dari respons

tekanan di suatu sumur akibat produksi dari satu atau lebih sumur yang

Jika kita gunakan solusi Ei-function dan pendekatan logaritmik, maka untuk contoh kasus

pertama, pressure drop total diberikan oleh (Catatan: Ei(x) = -Ei(-x), -Ei(x) = Ei(-x)):

pA = )pp( wfi ASumurditotal

=

s25772.0tk00105.0

rclnkh

Bq6.70A

2wAtA

rcEiBq6.70 2ABtB

rcEiBq6.70 2ACtC

kt00105.0kh kt00105.0khdimana sA adalah faktor skin di Sumur A. Perlu dicatat bahwa faktor skin hanya dimasukkan

pada perhitungan pressure drop karena pressure drop tersebut dihitung di Sumur A.

Sedangkan di kedua sumur lain, walaupun mungkin pula terdapat faktor skin, tidak

dimasukkan karena tidak mempengaruhi pressure drop di Sumur A, kecual Sumur A tersebut

berada di zona damaged Sumur B dan/atau Sumur C. Selanjutnya, untuk contoh kasus kedua

pressure drop total di sumur observasi diberikan oleh:

= + pt p1 p2


kt00105.0rcEi

khBq6.70 21t1 +

kt00105.0rcEi

khBq6.70 22t2 =

Contoh aplikasi superposisi yang lain, yang juga penting, adalah memodelkan pressure drop

dalam reservoir terbatas (finite). Walaupun, Ei-function solution diperoleh untuk reservoir

infinite, namun dengan prinsip superposition in space hal tersebut dapat dilakukan. Tinjau

suatu sumur yang berlokasi pada jarak d dari no-flow boundary yang berupa sebuah patahan

seperti ditunjukkan pada gambar berikut. Sumur tersebut berproduksi sebesar q1 yang

menyebabkan pressure drop sebesar p1. Secara matematis, kasus ini identik dengan kasus

a pada jarak

ang sama antara kedua sumur nyata-bayangan dipandang sebagai no-flow boundary yang

Dengan

emikian pressure drop di sumur adalah

suatu sumur yang berjarak 2d dari suatu sumur bayangan yaitu suatu sumur yang

mempunyai sejarah produksi yang sama dengan sumur nyata. Dengan kata lain, sistem satu

sumur yang berada dekat no-flow boundary sama dengan sistem dua sumur nyata-bayangan

dan ini disebut dengan method of image. Hal ini dikarenakan garis yang berad

y

artinya sepanjang garis tersebut gradien tekanan adalah nol sehingga tidak ada aliran. Jadi,

kasus ini adalah sama dengan dua sumur yang berada pada reservoir infinite.

d :

Fault (patahan) Sumur Bayangan Sumur

p = )pp( wfi

=

s25772.0

tk00105.0rcln

khBq6.70 2wt

kt00105.0)d2(cEi

khBq6.70 2t

Sumur Observasi

r2

d dq1 p1

r1

pt


Dan pressure drop yang terukur di sumur observasi yang berjarak r1 dari sumur nyata dan r2

dari sumur bayangan adalah:

pt = p1 + pbayangan

=

kt00105.0rcEi

khBq6.70 21t +

kt00105.0rcEi

khBq6.70 22t

Contoh aplikasi prinsip superposisi yang mungkin paling penting adalah yang menyangkut

dimensi waktu atau yang dikenal dengan sebutan superposition in time. Dalam hal ini solusi

persamaan difusivitas dengan prinsip superposisi dapat digunakan untuk memodelkan sumur

dengan laju produksi bervariasi (variable-rate producing wells) seperti diilustrasikan oleh

gambar skematik berikut.

Pada gambar di atas, suatu sumur berproduksi sebesar q1 dari t = 0 sampai t = t1. Pada t = t2,

h menjadi q2. Masalah yang harus dipecahkan adalah: pada waktu t > t2,

berapakah tekanan di sumur? Dengan menggunakan prinsip superposisi seperti contoh-

ur total dari

kontribusi tiap sumur hanya sekarang lokasi sumurnya tetap. Jadi pressure drop total

q1 dengan t = t - t1, yaitu p2. Superposition in time ini dapat digambarkan secara skematik sebagai berikut.

q

t1 t

q2 - q1 q2 q1

t t1

pi pwf

laju produksi beruba

contoh di atas, kasus ini dapat dipandang sebagai perhitungan tekanan sum

diakibatkan oleh pressure drop di Sumur 1 akibat q1 dengan t = t, yaitu p1, dan pressure drop di Sumur 2 akibat q2

p akibat q1 : p1

p akibat (q2 q1 ) : p2


q q2 - q1

q2

q1

t1 t

q

t1 t

q1 Sumur 1

q

t1 t

q2 - q1 Sumur 2

Oleh karenanya, pressure drop total yang diakibatkan oleh masing-masing pressure drop

Sumur 1 dan Sumur 2 diberikan oleh:

21t ppp +=

= s2kt00105.0

rcEikh

wt1

+

Bq6.70 2

s2

)tt(k00105.0rcEi

khB)qq(6.70

1

2wt12

Atau, karena perhitungan dilakukan r = rw (di sumur), maka argumen fungsi Ei cukup kecil

sehingga dapat digunakan pendekatan logaritmik:

= s2

ktrc1688ln

khBq6.70

p2

wt1t

+

s2

)tt(krc1688ln

khB)qq(6.70

1

2wt12


Contoh 4: Superposition in Space and Time

Tiga buah sumur telah dibor pada suatu reservoir (k = 25 md, h = 43 ft, = 16%) dengan lokasi masing-masing ditunjukkan pada gambar. Dua dari tiga sumur tersebut telah

memproduksikan minyak ( = 0,44 cp, B = 1,32 rb/STB) dengan jadwal produksi seperti ditunjukkan pada tabel. Hitung pressure drop total yang terukur di Sumur 3 pada akhir hari

ke-8 jika ct = 18 x 10-6 psi-1.

Laju produksi (STB/day)

Hari Sumur 1 Sumur 2 Sumur 3 1 250 SI SI 2 250 SI SI 3 250 SI SI 4 250 400 SI 5 250 400 SI 6 250 400 SI 7 250 400 SI 8 250 400 SI

Penyelesaian:

Dengan menggunakan prinsip superposisi, persoalan di atas menjadi sederhana. Pressure

drop akibat masing-masing Sumur 1 dan Sumur 2 dihitung dengan line-source solution

3

1 2

500 ft 1000 ft

(transient solution atau Ei-function solution), yaitu:

Bq6.70p =

=tk00105.0

rcEikh

)t,r(pp2

ti

Jika p1 = pressure drop akibat Sumur 1 dan p2 at Sumur 2, maka

p1 =

= pressure drop akib

)24x8)(25(00105.0)500)(10x18)(44.0)(16.0(Ei

)43)(25()32.1)(44.0)(250(6.70 26

= 9.535 [ Ei ( 0.063)]

p1 =

= 9.535(2.249) = 21.44

)24x5)(25(105.0)1000)(10x18)(44.0)(16.0(Ei

)43)(25()32.1)(44.0)(400(6.70 26

= 15.256[ Ei ( 0.402)]

= 15.256(0.702) = 10.71

Jadi,

p1 = 21.44 + 10.71 = 32.15 psi.

00


Aplikasi Solusi Pada Analisis Data Well Testing

ata hasil test. Jika well testing dilakukan dalam waktu yang

ngkat maka aliran yang terjadi di reservoir (sekitar sumur) bersifat transient dan oleh karena

itu di

Data yang dihasilkan dari ssure tr ent test yang berupa data tekanan tadi kemudian

dianali untu asi di sekitar lubang sumur dalam radius tertentu (radius

pengujian) dengan mak untuk nentuka kemampuan formasi tersebut dalam

memproduksikan fluida. Hal ini dilakukan dengan menghitung atau menentukan parameter

reservo serta enali ahan si (anoma baik alami maupun karena sebab lain di

kitar lubang sumur. Beberapa parameter reservoir yang dapat diperoleh dari hasil pressure

diantaranya adalah tekanan reservoir, permeabilitas rata-rata reservoir (lebih

, dan anomali yang terjadi di reservoir

misalnya perubahan permeabilitas karena adanya barrier atau layering.

Di atas telah disebutkan bahwa data yang dihasilkan dari pressure transient testing adalah

yang

erupa est (pressure drawdown test) dimana sumur dibiarkan berproduksi, setelah

ditutup sementara waktu, untuk kemudian penurunan tekanan di sumur dicatat atau melalui

ara pe gu buildup test dimana sumur ditutup, setelah berproduksi

alam selang waktu tertentu, untuk kemudian kenaikan tekanan di sumur dicatat. Pada bagian

berikut dibahas tentang kedua test tersebut khususnya dalam hal cara analisis data

engg solusi persamaan difusivitas yang telah dibahas di muka. Namun, perlu

disebutkan di sini bahwa pembahasan analisis data dari kedua test tersebut hanyalah sebagai

emberikan ilustrasi aplikasi solusi persamaan

untuk memahami secara lebih jauh tentang

ologi analisis data pressure transient testing.

Yang dimaksud dengan well testing di sini adalah apa yang dikenal dalam literatur sebagai

pressure transient testing. Pada prinsipnya, well testing tersebut dilakukan dengan cara

menciptakan gangguan di sumur yaitu perubahan laju alir sehingga diperoleh respons

berupa perubahan tekanan. Respons perubahan tekanan di sumur ini terhadap waktu

kemudian dicatat sebagai d

si

sebut pressure transient testing.

pre ansi

sis k mengevaluasi form

sud me n

ir meng perub fat li)

se

transient testing

tepat permeabilitas efektif dalam radius pengujian), transmisibilitas, faktor skin, produktivitas

dan damage ratio (yaitu perbandingan produktivitas teoretis terhadap produktivitas nyata),

jari-jari (atau volume) pengurasan, batas reservoir

perubahan tekanan terhadap waktu. Data tersebut diperoleh melalui cara pengujian

b flow t

c n jian yang berupa pressure

d

m unakan

pengantar dan bertujuan semata-mata untuk m

difusivitas. Banyak hal yang harus dipelajari

metod


Flow Test

Sesuai dengan namanya, flow test dilakukan dengan membuka sumur dan mengalirkan fluida

pada laju alir konstan (atau pada laju produksi yang menurun secara kontinu, atau pada laju

alir yang berbeda-beda/multirate) setelah sumur ditutup sementara. Penutupan sumur harus

cukup lama dan aliran harus sampai stabil (stabilized flow). Suatu flow test yang ideal,

berupa pengujian dengan laju alir konstan pada reservoir infinite-acting, dapat dimodelkan

oleh solusi analitik pendekatan persamaan difusivitas yaitu pendekatan logaritmik terhadap

solusi Ei-function. Oleh karenanya, analisis atau interpretasi data hasil test dapat dilakukan

engan menggunakan Persamaan (6): d

= 23.3

rc

ktlogkh

Bq6.162p)t,r(p 2

ti

sehingga pada r = rw:

= 23.3

rc

ktlogkh

Bq6.162p)t(p 2

wtiwf (8)

+=

ktrc1688log

khBq6.162

p)t(p2

wtiwf

karena log 1688 = 3.23. Untuk suatu reservoir dengan pi, q, , B, k, h, , ct, dan rw konstan, maka Persamaan (8) dapat ditulis sebagai:

pwf = b + m log(t)

dimana b = konstanta dan

m = konstanta = kh

Bq6.162 (9) Dengan demikian, jika data yang digunakan diambil pada waktu-waktu awal yaitu pada

periode aliran transient, maka plot pwf vs. t pada kertas semilog akan berbentuk garis lurus

dengan kemiringan m. Sudah tentu, hal tersebut dapat terjadi jika asumsi yang digunakan

untuk mendapatkan Persamaan (8) dipenuhi. Asumsi tersebut adalah:

Aliran laminer, horizontal, pada reservoir homogen

Harga-harga permeabilitas, porositas, ketebalan formasi, kompresibilitas total, viskositas,

dan faktor volume formasi tidak tergantung pada tekanan

Fluida satu fasa incompressible dalam periode transient (transient drawdown)

Gradient tekanan diabaikan.


Jika ketebalan formasi diketahui, maka dari Persamaan (9), diperoleh:

hm

Bq6.162k =

dimana m adalah slope dari plot data pwf vs. t.

Sekarang, jika drawndown test dilakukan cukup lama sehingga mencapai periode

pseudosteady state maka untuk melakukan analisis data drawdown test tersebut dapat

digunakan Persamaan (7), yaitu:

chABtq2339.0

rC781.1

A4logkh

Bq6.162 pp

t2wAiwf

=

Jika pi, q, , B, k, h, A, , ct, dan rw konstan, persamaan di atas dapat dituliskan sebagai: t

dimana b = konstanta, dan

m = konstanta =

pwf = b + m

cAhqB2339.0

t

Dengan demikian, jika data yang digunakan diambil m a

sehingga tercapai periode pseudosteady state, maka plot pwf vs. t pada kertas kartesian akan

anya, data yang diperoleh dapat digunakan untuk

pengurasan (volume reservoir) dengan:

elalui test yang dilakukan cukup lam

berbentuk garis lurus dengan kemiringan m. Pada periode aliran ini, gangguan dari sumur

telah mencapai batas reservoir. Oleh karen

menghitung volume daerah

A h = c'm

qB2339.0t

.

r lubang sumur, dapat

l.

Selanjutnya, data dari pressure drawdown test juga dapat digunakan untuk mendapatkan

informasi mengenai kerusakan formasi. Data yang dipakai adalah yang berasal dari periode

transient. Seperti telah dikemukakan di atas, van Everdingen dan Hurst menyatakan bahwa

(p)s, yaitu pressure drop tambahan akibat adanya damage di sekitadimodelkan dengan persamaan steady state aliran radia

skh

qB2.141)p( s=

dimana s adalah faktor skin yang dinyatakan oleh Hawkins sebagai

= drln1ks ws rk


Jika dari data pada periode aliran transient diperoleh plot pwf vs. t pada kertas semilog yang

erbentuk garis lurus de gan kemiringan m:

m

b n

= kh

Bq6.162 (9) aka

a positif), artinya ada kerusakan di sekitar lubang sumur.

Dengan demikian, jika (p)s ini ditambahkan ke dalam persamaan untuk menghitung pwf ideal (keadaan normal tanpa kerusakan), maka diperoleh:

m

(p)s = 0.869 m s (10) Dari Persamaan (10), terlihat bahwa jika s berharga positif maka terdapat pressure drop

tambahan (pressure drop berharg

+= s869.023.3ktlogBq6.162pp iwf rc 2wt

bah bentuk (rearranged) untuk mendapatkan harga skin faktor

kh

Persamaan di atas dapat diu

sebagai berikut:

+

= 23.3rc

ktlog

khqB6.162pp

151.1s 2wt

wfi

Jadi, jika p

1 jam

i, q, , B, k, h, , ct, dan rw diketahui, skin factor dapat dihitung jika pwf dan t diketahui. Keduanya diperoleh dari plot pwf vs. t pada periode aliran transient dan biasanya

diambil untuk t = 1 jam, sehingga p = p . Dengan memasukkan harga m absolut diperoleh:

+

= 23.3rc

klogm

pp151.1s 2

wt

jam1i

Buildup Test

Pressure buildup testing dimulai dengan memproduksikan sumur dengan laju produksi

konstan untuk waktu yang cukup lama sampai terjadi stabilized pressure pada periode

pseudosteady state, menutup sumur (biasanya di permukaan) sehingga tekanan di sumur naik

(builds up), dan kemudian perubahan tekanan tersebut dimonitor dan dicatat terhadap waktu.

Dengan demikian, keuntungan pressure buildup test adalah dalam hal kontrol karena menjaga

menutup sumur) relatif

mudah. Sedangkan kerugiannya adalah tidak ada produksi selama testing berlangsung.

Bahkan sering terjadi sumur sulit untuk diproduksikan kembali setelah dilakukan penutupan.

produksi dengan laju produksi konstan sama dengan nol (yaitu


Pressure buildup test dapat dimodelkan dengan prinsip superposisi (superposition in time).

Pandang proses pengujian buildup seperti ditunjukkan oleh gambar skematik berikut.

kedua yang berlokasi sama dengan sum ama, dialirkan dengan laju produksi konstan

besar q, sementara sumur pertama dibiarkan tetap mengalir dengan laju alir q. Waktu

pengaliran sumur kedua dinya

179782616 1 II Teori Dan Aplikasi Persamaan Difusivitas

Documents

Transcript of 179782616 1 II Teori Dan Aplikasi Persamaan Difusivitas