Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Oktober 2012

APLIKASI SISTEM PERSAMAAN LINEAR ALJABAR MAX-PLUS DALAM MENGOPTIMALISASI WAKTU PRODUKSI

BAKPIA PATHOK JAYA “25” DAERAH ISTIMEWA YOGYAKARTA

Mustofa Arifin1) dan Musthofa2)

1) Mahasiswa Program Studi Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY2) Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta

Email: mustofamath08@gmail.com, musthofa@uny.ac.id

AbstrakSistem linear max-plus waktu invariant (SLMI) merupakan Sistem Event

Diskret (SED), di mana waktu aktifitasnya berupa bilangan real. Dalam sistem linear max-plus waktu invariant (SLMI) terdapat ketidakpastian dalam waktu aktifitasnya, sehingga waktu aktifitas ini dimodelkan sebagai bilangan real. Makalah ini membahas tentang penerapan SLMI pada sistem produksi sederhana Bakpia Pathok Jaya “25” yang bertujuan untuk dalam mengoptimalisasi waktu produksi Bakpia Pathok Jaya “25” dalam perhitungannya digunakan program matlab.

Kata kunci: Aplikasi, aljabar max-plus, optimalisasi waktu produksi.

AbstractMax-plus linear system is time invariant (SLMI) is a Discrete Event System

(SED), at which time the activity in the form of real numbers. In the max-plus linear system time invariant (SLMI) there is uncertainty in the activity, so the activity is modeled as a real number. This paper focuses on the application of SLMI on a simple production system Bakpia Pathok Jaya "25" which aims to optimize production time in Bakpia Pathok Jaya "25" is used in the calculation matlab program.

Keywords: Application, max-plus algebra, optimization of production time.

PENDAHULUANDalam masalah pemodelan dan optimalisasi suatu sistem produksi, terdapat waktu aktifitas yang

belum diketahui. Hal ini misalkan karena sistem produksi masih pada tahap perancangan, data-data mengenai waktu aktifitas belum diketahui secara pasti maupun distribusinya. Waktu aktifitas ini dapat diperkirakan berdasarkan pengalaman maupun pendapat dari para ahli maupun operator sistem produksi tersebut. Untuk itu waktu aktifitas sistem produksi dimodelkan dalam suatu waktu, yang disebut waktu aktifitas (Rudhito, 2003).

Aljabar max-plus (himpunan dengan himpunan semua bilangan real yang

dilengkapi dengan operasi maksimum, dinotasikan dengan dan operasi penjumlahan yang dinotasikan

dengan ) telah dapat digunakan dengan baik untuk memodelkan dan menganalisis secara aljabar masalah-masalah jaringan, seperti masalah: penjadwalan (proyek),sistem antrian, teori graf, kombinatorik, teori sistem, teori antrian, dan proses stokastik, lebih detailnya dapat dilihat pada seperti B. De Schutter, et.al (1998), Heidergott (1999), Bacelli,et.al (2001), Kasie G. Farlow, (2009), dan Rudhito, A. (2003) dan hal tersebut dijadikan acuan pada makalah ini. Secara khusus makalah ini akan membahas mengenai penerapan Sistem Linear Max-Plus Waktu Invariant dalam mengoptimalisasi waktu Produksi Bakpia Pathok Jaya ”25”.

SISTEM EVENT DISKRET (SED)Aljabar max-plus dapat digunakan untuk menggambarkan secara linear dinamika waktu dari suatu

sistem nonlinear dalam aljabar konvensional, sehingga pembahasan menjadi lebih mudah (Kasie G. Farlow, 2009:11). Pendekatan aljabar max-plus berguna untuk menentukan dan menganalisa berbagai sifat sistem , tetapi pendekatan hanya bisa diterapkan pada sebagian klas SED. Sub klas ini adalah sub klas dari waktu invariant SED deterministik.

Menurut Necoara et.al. (2008: 1), dalam SED keadaan sistem pasti akan bergantung dengan waktu.

Setiap waktu bertambah, maka keadaan sistem dipastikan berubah pula. Sistem yang demikian ini disebut

M–1

SLMI SISO

dengan sistem terkendali waktu (time-driven system). Selain sistem tersebut, sering dijumpai pula suatu

sistem yang berkembang berdasarkan kemunculan kejadiannya. Transisi keadaan merupakan hasil dari

kejadian lain yang selaras (kejadian-kejadian yang bertindak sebagai kejadian input bagi transisi keadaan

yang bersangkutan). Dengan kata lain, perubahan keadaan merupakan hasil dari kejadian sebelumnya. Sistem

seperti ini disebut dengan sistem terkendali kejadian (event-driven system). Tujuan utama dari jenis sistem event diskret dapat dijabarkan menggunakan model Sistem Linear

Max-Plus Waktu invariant sebagai berikut:………..(1)

………….……………….(2)

SISTEM LINEAR MAX-PLUS WAKTU INVARIANTSebuah sistem dikatakan waktu invariant jika respon terhadap suatu urutan input tertentu tidak

tergantung pada waktu mutlak dan deterministik adalah sistem yang operasinya dapat diprediksi secara tepat. Berikut ini akan dibahas mengenai definisi dan teorema yang memenuhi SLMI:

Definisi 9 (Schutter, 1996 : 156)Sistem Linear Max-Plus Waktu-Invariant adalah SED (Sistem Event Diskret) yang dapat dinyatakan

dengan persamaan berikut: x(k+1) = A x(k) B u(k+1)……..(9.1)y(k) = C x(k)……….……………… (9.2)

untuk k = 1, 2, 3, ... , dengan kondisi awal x(0) = x0, A , B , dan C . Vektor x(k)

menyatakan keadaan (state), u(k) adalah vektor input, dan y(k) adalah vektor output

sistem saat waktu ke-k. SLMI seperti dalam definisi di atas secara singkat akan dituliskan dengan SLMI (A, B, C) dan ditu-

liskan dengan SLMI (A, B, C, x0), jika kondisi awal x(0) = x0 diberikan. SLMI dengan satu input dan satu output akan disebut SLMI satu input satu output (SISO). Akan tetapi, SLMI dengan lebih dari satu input dan lebih dari satu output akan disebut SLMI multi input multi output (MIMO).

Teorema 7 (Input-Output SLMI (A, B, C, x0 )) (Schutter, 1996 : 161)Diberikan suatu bilangan bulat positip p. Jika vektor output y = [y(1), y(2), ... , y(p)]T dan vektor

input u = [u(1), u(2), ... , u(p)]T pada SLMI (A, B, C, x0 ) , maka y = K x0 H u

dengan

Bukti:

Jika diberikan kondisi awal x(0) = x0 dan barisan input , dengan induksi matematik akan

dibuktikan berlaku x(k) = ( x(0) ) ( ( B u(i) ) untuk k = 1, 2, 3, .......(7.1)

Diperhatikan bahwa x(1) = A x(0)B u(1) = A x(0) Bu(1)

= ( x(0) ) ( ( B u(i) ).

Jadi, (7.1) benar untuk k = 1.

M–2

Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Oktober 2012

Misalkan benar untuk k = n yaitu x(n)=( x(0))( ( Bu(i))

maka x(n +1) = A x(n) B u(n +1)

= A (( x(0)) ( ( B u(i)))B u(n+1)

= (( x(0))( ( B u(i)))B u(n +1)

= (( x(0))( ( B u(i)))Bu(n+1).

Jadi, (7.1) benar untuk k = n +1. Akibatnya diperoleh

y(k) = (C x(0)) ( C B u(i)…………….(7.2)

untuk k = 1, 2, 3, ... . Diberikan suatu bilangan bulat positip p. Jika didefinisikan y = [y(1), y(2), ... , y(p)]T dan u = [u(1), u(2), ... , y(p)]T maka dari persamaan (7.2) diperoleh:

y(1) = C A x(0) C B u(1)

y(2) = C x(0) C A B u(1) C B u(2)

y(p) = C x(0) C B u(1) C B u(2) … C B u(p).

Dalam persamaan matriks dapat dituliskan sebagai

= x(0)

atau y = K x(0) H u ………………….(7.3) dengan

Dalam sistem produksi, Teorema 7 berarti bahwa jika diketahui kondisi awal sistem dan barisan waktu saat bahan mentah dimasukkan ke sistem, maka dapat ditentukan barisan waktu saat produk selesai di-proses dan meninggalkan sistem.

Akibat 6 Input-Output SLMI (A, B, C, )(Schutter, 1996: 86)Diberikan suatu bilangan bulat positip p. Jika vektor output y = [y(1), y(2), ... , y(p)]T dan vektor

input u = [u(1), u(2), ... , u(p)]T pada SLMI (A, B, C, ) , maka

y = H u dengan H = .

Bukti: Seperti bukti Teorema 7, dengan mengambil x0 = .

M–3

SLMI SISO

Dalam sistem produksi, SLMI (A, B, C, ) merupakan keadaan awal sistem. Semua penyangga dalam keadaan kosong dan tidak ada unit pemrosesan yang memuat bahan mentah atau produk setengah jadi.

Teorema 8 (Rudhito, 2003: 62)Penyelesaian masalah input paling lambat pada SLMI(A, B, C, ɛ) dengan C B ≠ ɛ diberikan

oleh dengan , untuk k = 1, 2, …, p.

Bukti:K ɛ = ɛ, maka K ɛ H u = H u. Hal ini mengakibatkan masalah input paling lambat pada

SLMI (A, B, C, ɛ) menjadi masalah menentukan vektor input u terbesar (waktu paling lambat) yang

memenuhi H u y. Masalah ini merupakan masalah menentukan sub penyelesaian terbesar sistem

persamaan linear max-plus H u = y. C B ≠ ɛ maka komponen setiap kolom matriks H tidak semuanya sama dengan ɛ. Menurut Teorema 8, apabila H u = y diberikan oleh dengan

, untuk k = 1, 2, …, p.

Teorema 9 (Rudhito, 2003: 64)

Diberikan SLMI (A, B, C, x0) dengan C B ≠ ɛ. Jika K x0 y, maka penyelesaian masalah

input paling lambat pada SLMI (A, B, C, x0) diberikan oleh dengan

, untuk k = 1, 2, …, p.

Bukti:

K x0 y, maka K x0 H u = y H u = y. Selanjutnya bukti seperti pada Teorema 8

di atas.

Berikut dibahas mengenai masalah minimisasi simpangan maksimum output pada SLMI (A, B, C, x0). Masalah minimisasi simpangan maksimum output pada SLMI (A, B, C, x0) adalah sebagai berikut.Teorema 10 (Rudhito, 2003: 65)

Penyelesaian masalah minimasi simpangan maksimum output pada SLMI(A, B, C, ɛ) dengan C

B ≠ ɛ diberikan oleh dengan merupakan subpeyelesaian terbesar sistem H u = y dan

Bukti:K ɛ = ɛ, maka K ɛ H u = H u. Hal ini mengakibatkan masalah minimasi simpangan

maksimum output ini jadi menentukan vektor input u sedemikian sehingga Masalah

ini merupakan masalah optimisasi yang berkaitan dengan sistem persamaan linear max-plus H u = y. Karena C B ≠ ɛ maka komponen setiap kolom matriks H tidak semuanya sama dengan ɛ. Menurut

Teorema 2.5, suatu penyelesaian untuk masalah , dengan = dan

merupakan subpenyelesaian terbesar sistem H u = y.

Pembahasan penyelesaian masalah minimasi simpangan maksimum output pada SLMI (A, B, C, ɛ) di atas juga dapat diperluas untuk SLMI (A, B, C, x0) dengan x0 ≠ ɛ, seperti diberikan dalam teorema berikut.

Teorema 11 (Rudhito, 2003: 67)

Diberikan SLMI (A, B, C, x0) dengan C B ≠ ɛ. Jika K x0 y, maka penyelesaian masalah

minimasi simpangan maksimum output pada SLMI (A, B, C, x0) diberikan oleh dengan

merupakan subpenyelesaian terbesar sistem H u = y dan =

Bukti:

K x0 y, maka maka K x0 H u = y H u = y. Selanjutnya bukti seperti pada

Teorema 9 di atas.

M–4

Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Oktober 2012

Asumsi-Asumsi Dalam Sistem Produksi Bakpia Pathok Jaya “25”Penggunaan SLMI pada sistem produksi Bakpia Pathok Jaya “25” ini diasumsikan sebagai berikut:

1. Waktu perhitungan dilakukan untuk proses produksi secara kontinu. 2. Waktu untuk mempersiapkan bahan-bahan yang akan diproses tidak diperhatikan atau dianggap

0 (u(1) = 0) dimana k = 0 sehingga k dimulai dari 1, 2, 3 …..3. Waktu dibatasi sampai barang siap untuk dipasarkan sehingga dalam hal ini t ke-16 bernilai 0.4. Pada input sistem dan antara unit pemrosesan terdapat penyangga (buffer) yang berturut-turut

disebut buffer input dan buffer internal, dengan kapasitas yang cukup besar untuk menjamin tidak ada penyangga yang meluap (overflow).

5. Suatu unit pemrosesan hanya dapat mulai bekerja untuk suatu produk baru jika telah menyelesaikan pemrosesan produk sebelumnya.

6. Mesin-mesin bisa bekerja pada kondisi awal dan untuk berikutnya tidak perlu menunggu kedatangan input karena input sudah selalu tersedia.

7. Suatu unit pemrosesan hanya dapat mulai bekerja untuk suatu produk baru, jika ia telah menyelesaikan pemrosesan produk sebelumnya.

8. Matriks dalam sistem persamaannya merupakan matriks konstan, yaitu tidak tergantung pada parameter k sehingga sistemnya merupakan sistem waktu invariant.

9. Dalam sekali produksi menggunakan 200 kg kacang hijau.10. Diasumsikan kegiatan Produksi Bakpia Pathok Jaya “25” dilakukan dengan jadwal produksi

yang periodik.11. Proses produksi tidak mengalami gangguan dan tidak mengalami cacat pada produk.12. Diasumsikan lama waktu yang dibutuhkan pada proses pengayakan tepung, pembungkusan

bakpia, dan pengepakan bakpia sama untuk pemesanan bakpia dalam jumlah tertentu.13. Pemesanan bakpia (pack) hanya dalam jangka waktu sehari dibatasi.14. Diasumsikan kegiatan Produksi Bakpia Pathok Jaya “25” tidak mendahului jadwal yang telah

ditentukan.15. Waktu referensi yang digunakan untuk memulai kegiatan produksi Bakpia Pathok Jaya “25”

adalah pukul 07.00 WIB.16. Sistem kerja dibuat per-shift, sehingga tenaga pekerja tidak terlalu terforsir (waktu istirahat

tersedia).

Bagan Pemodelan Produksi Bakpia Pathok “25” Berdasarkan hasil penelitian produksi Bakpia Pathok Jaya dapat digambarkan dalam bentuk bagan

seperti di bawah ini (Gambar 1).

Gambar 1. Bagan Pemodelan Produksi Bakpia Pathok Jaya “25”

Keterangan :ti = waktu proses pemindahan bahan yang akan diproses, i = 1,2, 3,….16

M–5

SLMI SISO

d1 = waktu saat proses penggilingan kacang hijaud2 = waktu saat proses pengayakan tepungd3 = waktu saat proses perendaman kacang hijaud4 = waktu saat proses pencampuran adonan kulit bakpiad5 = waktu saat proses pemisahan kulit kacang hijaud6 = waktu saat proses pengepressan adonan kulit bakpiad7 = waktu saat proses pengukusan kacang hijaud8 = waktu saat proses pembentukan kulit bakpiad9 = waktu saat proses penggilingan kacang hijau yang telah dikukusd10=waktu saat proses pencampuran adonan kacang hijau dengan minyak, gula dan garamd11 = waktu pendinginan 1 adonan kacang hijaud12 = waktu pendinginan 2 adonan kacang hijaud13=waktu proses pembungkusan adonan kacang hijau dengan kulitnyad14 = waktu proses pemanggangan bakpiad15 = waktu proses pengepakan bakpiaP1 = penggilingan kacang hijauP2 = pengayakan tepungP3 = perendaman kacang hijauP4 = pencampuran adonan kulit bakpiaP5 = pemisahan kulit kacang hijauP6 = pengepressan adonan kulit bakpiaP7 = pengukusan kacang hijauP8 = pembentukan kulit bakpiaP9 = penggilingan kacang hijau yang telah dikukusP10 = pencampuran adonan kacang hijau dengan minyak, gula dan garamP11 = pendinginan 1 adonan kacang hijauP12 = pendinginan 2 adonan kacang hijauP13 = pembungkusan adonan kacang hijau dengan kulitnyaP14 = pemanggangan bakpiaP15 = pengepakan bakpia

Pemodelan Sistem Produksi Bakpia Pathok Jaya “25” dengan SLMI Aljabar Max-PlusSistem Produksi Bakpia Pathok Jaya “25” ini terdiri dari 15 unit pemrosesan P1, P2, P3, P4, P5, P6,

P7, P8, P9, P10, P11, P12, P13, P14, dan P15. Kacang hijau dimasukkan ke P1 untuk digiling dan dikirimkan ke P3

untuk dilakukan proses perendaman, dari P3 kemudian dikirimkan sampai dengan P12 untuk diproses pendinginan. Tepung dimasukkan ke P2 untuk dilakukan pengayakan dan dikirimkan sampai dengan P8 untuk dilakukan pembentukan kulit bakpia. Waktu pemrosesan untuk P1, P2, P3, P4, P5, P6, P7, P8, P9, P10, P11, P12, P13, P14,dan P15 berturut-turut adalah d1 = 20, d2 = 20, d3 = 120, d4 = 28, d5 = 30, d6 = 20, d7 = 30, d8 = 25, d9 = 30, d10 = 30, d11 = 15, d12 = 5, d13 = 15 , d14 = 15, dan d15 = 20 satuan waktu (menit). Didefinisikan Proses Produksi Bakpia Pathok Jaya “25” sebagai berikut:

i) u(k+1) : waktu saat bahan baku kacang hijau dan tepung dimasukkan ke sistem untuk pemrosesan ke-(k+1),

ii) xi(k) : waktu saat bahan kacang hijau maupun tepung di dilakukan pemrosesan ke-i dan mulai bekerja untuk pemrosesan ke-k,

iii) y(k) : waktu saat produk bakpia ke-k yang diselesaikan meninggalkan sistem.Waktu saat P1 mulai bekerja untuk pemrosesan ke-(k+1) dapat ditentukan sebagai berikut. Unit

pemrosesan P1 hanya dapat mulai bekerja pada sejumlah bahan baku baru segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan baku untuk pemrosesan ke-k. . Jika bahan mentah dimasukkan ke sistem untuk pemrosesan ke-(k+1), maka bahan mentah ini tersedia pada input unit pemrosesan P1 pada waktu t = u(k+1) + 3. P1 hanya dapat mulai bekerja pada sejumlah bahan baku baru segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan baku untuk pemrosesan ke-k. Waktu pemrosesan pada P1 adalah d1 = 20 satuan waktu (menit), maka produk setengah-jadi ke-k akan meninggalkan P1 pada saat t = x1(k) + 20. Menggunakan operasi Aljabar Max-Plus maka diperoleh:

x1(k+1) = max (u(k+1) + 3, x1(k) + 20) untuk k = 1, 2, 3, ...15Dengan alasan yang sama untuk P2, P3, P4, P5, P6, P7, P8, P9, P10, P11, P12, P13,

P14,dan P15 waktu saat produk ke-k yang diselesaikan meninggalkan sistem, diperoleh:x2(k+1) = max (u(k+1) + 2, x2(k) + 20)x3(k+1) = max (x1(k+1) + 20 + 2, x3(k) + 120)

= max (max (u(k+1) + 3, x1(k) + 20) + 22, max (u(k+1) + 2, x3(k) + 120)= max ( u(k+1) + 3 + 22, x1(k) + 20 + 22, u(k+1) + 2 , x3(k) + 120)

M–6

Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Oktober 2012

= max ( x1(k) + 42, x3(k) + 120, u(k+1) + 25)x4(k+1) = max (x2(k+1) + 20 + 2, x4(k) + 28)

= max (max (u(k+1) + 2, x2(k) + 20) + 22, max (u(k+1) + 2, x4(k) + 28)= max ( u(k+1) + 2 + 22, x2(k+1) + 20 + 22, u(k+1) + 2 , x4(k) + 28)= max ( x2(k) + 44, x4(k) + 28, u(k+1) + 24)

x15(k+1) = max (x14(k+1) + 15 + 4, x15(k) + 20)= max (max (u(k+1) + 324, x1(k) + 341, x3(k) + 318, x5(k) + 206, x7(k) + 172, x9(k) +

138, x10(k) + 107, x11(k) + 58, x12(k) + 31,x2(k) + 142, x4(k) + 116,x6(k) + 78, x8(k) + 71, x13(k) + 33, x14(k) + 15) + 19, max (u(k+1) + 4, x15(k) + 20)

= max (max (u(k+1) + 324 + 19, x1(k) + 341 + 19, x3(k) + 318 + 19, x5(k) + 206+19, x7(k) + 172 + 19, x9(k) + 138 + 19, x10(k) + 107 + 19, x11(k) + 58 + 19, x12(k) + 31 + 19, x2(k) + 142 + 19, x4(k) + 116 + 19, x6(k) + 78 + 19, x8(k) + 71+ 19, x13(k) + 33 + 19, x14(k) + 15 + 19), max (u(k+1) + 4, x15(k) + 20)

= max (max (u(k+1) + 343, x1(k) + 360, x3(k) + 337, x5(k) + 225, x7(k) + 191, x9(k) + 157, x10(k) + 126, x11(k) + 76, x12(k) + 50, x2(k) + 161, x4(k) + 135, x6(k) + 96, x8(k) + 90, x13(k) + 52, x14(k) + 34), max (u(k+1) + 4, x15(k) + 20)

= max (u(k+1) + 343, x1(k) + 360, x3(k) + 337, x5(k) + 225, x7(k) + 191, x9(k) + 157, x10(k) + 126, x11(k) + 76, x12(k) + 50, x2(k) + 161, x4(k) + 135, x6(k) + 96, x8(k) + 90, x13(k) + 52, x14(k) + 34, x15(k) + 20)

y(k) = x15(k) + 20 + 0 untuk k = 1, 2, 3, ... .

Analisis Input-Output SLMI dalam mengoptimalisasi Waktu Produksi Bakpia Pathok Jaya “25”Berdasarkan pemodelan sistem persamaan linear aljabar maxplus tersebut dapat dituliskan persamaan

matriks dalam Sistem Linear Max-Plus waktu Invariant, persamaan-persamaannya menjadi:………..(1)

…………….…………….(2)Matriks A sebagai sistem produksi Bakpia Pathok Jaya “25” yang sedang berlangsung, matriks B waktu

transfer dari awal bahan baku masuk ke sistem produksi sebelum kejadian ke-i, lalu matriks C waktu kejadian akhir dan waktu transfer sebelum produk Bakpia Pathok Jaya “25” dapat diambil atau selesai dikerjakan, dan matriks x sebagai deadline waktu untuk tiap pemroses (mesin/manual) bahan sesuai bahan yang dimasukkan.

y(k) = x(k)untuk k = 1, 2, 3, ..., 15 dengan x(k) = [x1(k), x2(k), x3(k), x4(k), x5(k), x6(k), x7(k), x8(k), x9(k), x10(k), x11(k), x12(k), x13(k), x14(k), x15(k)] T.Dengan perhitungan program matlab maxio diperoleh lama waktu proses Produksi Bakpia Pathok Jaya “25” sebagai berikut:

Tabel 1. Perhitungan Waktu Keadaan dan Output Lama Proses Produksi Bakpia Pathok Jaya “25”u(k) 1 2 3 4 5 6 7

x1 20 40 60 80 100 120 140

x2 21 41 61 81 101 121 141

x3 42 162 282 402 522 642 762

x4 45 73 101 129 157 185 213

M–7

SLMI SISO

x5 165 195 305 425 545 665 785

x6 75 103 131 159 187 215 243

x7 199 229 339 459 579 699 819

x8 97 122 147 173 201 229 257

x9 232 262 372 492 612 732 852

x10 264 294 404 524 644 764 884

x11 298 328 438 558 678 798 918

x12 315 345 454 574 694 814 934

x13 323 353 462 582 702 822 942

x14 341 371 480 600 720 840 960

x15 360 390 499 619 739 859 979

y(k) 380 410 519 639 759 879 999

Waktu maksimal produksi dalam sehari kurang lebih 10 jam (600 menit) dengan waktu kerja dimulai dari pukul 07.00 – 17.00 wib, dari output tabel 1 dengan waktu penyelesaian produksi (menit) 600 menunjukan bahwa dalam sehari Perusahaan Bakpia Pathok Jaya “25” hanya bisa melakukan 3 kali produksi bakpia karena keterbatasan waktu dan hal ini juga berarti bahwa jumlah bakpia yang bisa dipesan dalam jumlah yang terbatas yakni sekitar 3750 pack bakpia isi 20 atau 3000 pack bakpia isi 25.

Berikut ini merupakan penjadwalan waktu Produksi Bakpia Pathok Jaya “25” secara periodik (isi 20/pack):

Tabel 2. Jadwal Periodik Waktu Produksi Bakpia Pathok Jaya “25”

Proses Kegiatan Produksi

WAKTU MEMULAI PRODUKSI (WIB)

Produksi ke

1 2 3 4 5 6 7

Penggilingan Kacang Hijau 07.00 07.20 07.40 08.00 08.20 08.40 09.00

Pengayakan Tepung 07.01 07.21 07.41 08.01 08.21 08.41 09.01

Perendaman Kacang Hijau 07.22 09.22 11.22 13.22 15.22 17.22 19.22

Pencampuran adonan kulit bakpia 07.25 07.53 08.21 08.49 09.17 09.45 10.13

Pemisahan kulit kacang hijau 09.25 09.55 11.45 13.45 15.45 17.45 19.45

Pengepresan adonan kulit bakpia 07.55 08.23 08.51 09.19 09.47 10.15 10.43

Pengukusan kacang hijau 09.59 10.29 12.19 14.19 16.19 18.19 20.19

Pembentukan kulit bakpia 08.17 08.42 09.07 09.33 10.01 10.29 10.57

Penggilingan Kacang Hijau (setelah dikukus) 10.32 11.02 12.52 14.52 16.52 18.52 20.52

Pencampuran adonan kacang hijau 11.04 11.34 13.24 14.24 16.24 18.24 20.24

Pendinginan 1 11.38 12.08 13.58 14.58 16.58 18.58 20.58

Pendinginan 2 11.55 12.25 14.14 15.14 16.14 18.14 21.14

Pembungkusan Adonan kacang hijau dengan kulitnya 12.03 12.33 14.22 15.22 16.22 18.22 21.22

Pemanggangan bakpia 12.21 12.51 14.40 15.40 16.40 18.40 21.40

Pengepakan bakpia 12.40 13.10 14.59 15.59 16.59 18.59 21.59

Pengambilan bakpia (produk jadi) 13.00 13.30 15.19 16.19 17.19 19.19 22.19

Dari hasil output matlab file maxio (penerapan definisi 9 dan teorema 7) dengan input waktu yang diperlukan saat bahan yang dimasukkan untuk diproses dari saat produksi pertama sampai produksi ke-7, yang memenuhi untuk kegiatan perharinya dengan waktu kerja yang telah ditentukan dari pukul 07.00 wib sd pukul 17.00 wib yakni tabel 2. Hal tersebut menunjukkan bahwa ketika produksi bakpia dilakukan secara maksimal dan kontinu maka hasil bakpia perharinya dapat mencapai optimal pada produksi ke-4. Dari hasil perhitungan matlab kx0 dan Hu diperoleh bahwa:

M–8

Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Oktober 2012

maka

karena . Dengan hasil tersebut maka y digunakan sebagai batas minimal untuk mengoptimalisasi waktu

produksi bakpia pada program matlab maxioopt, K x0 y. Dengan syarat tersebut produsen bakpia dapat

menentukan waktu optimal memulai produksi Bakpia Pathok Jaya “25” agar dapat memenuhi permintaan konsumen yang telah melakukan pemesanan bakpia dengan menentukan waktu pengambilan bakpia sebelum proses produksi dimulai. Permasalahan tersebut dapat diatasi dengan menggunakan optimalisasi Aljabar Max-Plus. Waktu produksi bakpia dapat dilakukan optimalisasi dengan menggunakan program matlab maxioopt. Misalkan konsumen memesan bakpia berturut-turut dengan waktu (menit) yang telah ditentukan yakni y = [390, 420, 529, 739, 859, 979, 1099, 1219, 1339, 1459, 1479, 1699, 1919, 2039, 2459]T maka sebelum produsen menentukan waktu optimal (subpenyelesaian terbesar) memulai kegiatan produksi, dengan perhitungan matlab (penerapan definid 9, teorema 7, teorema 9 dan teorema 11) diperoleh output maxioopt yang dapat dilihat seperti di bawah ini :

Perhitungan tersebut mempermudah produsen dalam menentukan waktu optimal memulai proses Produksi Bakpia Pathok Jaya “25”, dalam hal ini dan merupakan subpenyelesaian terbesar sekaligus

waktu optimal dalam sistem produksi. dan digunakan untuk menentukan jadwal produksi periodik sehingga waktu produksi Bakpia Pathok Jaya “25” dapat dioptimalisasi.

Tabel 3. Jadwal Pemesanan Bakpia Pathok Jaya “25” dengan Waktu Mulai Memasukan Bahan Sampai Waktu Pengambilan Produk dalam jangka waktu satu hari (WIB)

PemesananBakpia

Waktu pengambilan

(y)

Waktu

tercepat

memulai

produksi

Waktu produksi

selesai tercepat

Waktu terlama

memulai produksi

Waktu produksi

selesai terlama

1 Pukul 13.30 Pukul 07.17 Pukul 13.20 Pukul 07.22 Pukul 13.252 Pukul 14.00 Pukul 07.57 Pukul 14.00 Pukul 08.02 Pukul 14.053 Pukul 15.49 Pukul 09.46 Pukul 15.49 Pukul 09.51 Pukul 15.544 Pukul 19.19 Pukul 13.16 Pukul 19.19 Pukul 13.21 Pukul 19.24

Waktu optimal bagi produsen untuk memulai proses Produksi dari tabel 3 untuk pemesanan 1 yakni dengan memilih karena dengan memulai produksi pada pukul 07.22 maka konsumen yang telah memesan Bakpia Pathok Jaya “25” dapat mengambil pesanannya pada pukul 13.25 wib atau setelahnya, dari hal tersebut produsen dapat melayani konsumen tepat waktu dengan menggunakan tabel tersebut sebagai acuan memulai produksi. Selain itu produsen juga bisa memenuhi pemesanan 2 dan 3 tepat waktu dengan memilih

sebagai waktu optimal (subpenyelesaian terbesar). Produksi keempat dan seterusnya tidak bisa dijadikan acuan karena telah melewati waktu kerja dalam produksi yaitu pukul 07.00-17.00 wib (kecuali ada kerja lembur). Penjadwalan yang telah dilakukan seperti pada tabel 3 merupakan penjadwalan yang digunakan produsen untuk mengoptimalisasi waktu input (memasukan bahan-bahan) dan waktu output (penyelesaian produk bakpia) sehingga tabel tersebut dapat digunakan sebagai salah satu acuan memulai produksi sehingga waktu produksi bakpia dapat dioptimalisasi sehingga pemesanan bakpia untuk waktu tertentu (ditentukan pemesan/konsumen) dapat dilayani tepat waktu.

KESIMPULANDari penelitian ini Metode Sistem Linear Max-Plus Waktu Invarian Satu Input Satu Output (SLMI

SISO) pada Sistem Event Diskret (SED) Aljabar Max-Plus yang diterapkan pada Sistem Produksi Perusahaan Bakpia Pathok Jaya “25 dapat disimpulkan bahwa :

M–9

SLMI SISO

1. Persamaan x(k+1) = A x(k) B u(k+1) dan y(k) = C x(k) untuk k = 1, 2, 3, ...15, dapat digunakan untuk memodelkan proses Produksi Bakpia Pathok Jaya “25” (pemodelan sesuai ha-laman M-7). Selain itu diperoleh juga jadwal periodik Produksi Bakpia Pathok Jaya “25” (tabel 2) yang diharapkan dapat menjadi acuan dalam menentukan waktu memulai produksi dan wak-tu penyelesaian produk Bakpia Pathok Jaya “25”.

2. Cara mengoptimalisasi waktu Produksi Bakpia Pathok Jaya “25” dengan metode Sistem Linear Max-Plus Waktu Invarian (SLMI) ada 2 cara yakni bagi produsen dapat menentukan waktu mu-lai produksi dengan memilih diantara atau sehingga waktu penyelesaian produk atau

yang mendekati waktu pengambilan pemesanan yang telah ditentukan oleh konsumen

(seperti tabel 3). Jadi, produsen dapat memilih atau (subpenyelesaian terbesar SLMI pada sistem produksi ini) agar dapat mengoptimalisasi waktu Produksi Bakpia Pathok Jaya “25” se-hingga hasil produksi dapat memenuhi permintaan konsumen dan pesanan bakpia juga dapat di-layani tepat waktu.

Referensi[1] Anton, Howard & Chris Rorres. (2005). Aljabar Linier Elementer edisi 8. (Alih bahasa : Irzam

Harmein, Julian Gressando, editor : Amalia Safitri). Jakarta: Erlangga.[2] Baccelli, F., Cohen, G., Olsder, G.J. and Quadrat, J.P. (2001). Synchronization and Linearity. New York:

John Wiley & Sons.[3] Butkovic, Peter. (2010). Max-linear systems : Theory and Algorithms. New York : Springer[4] B. Heidergott, B., dkk. (2005). Max Plus at Work Chapter 1. Princeton: Princeton

University Press.[5] De Schutter, B. (1996). Max-Algebraic System Theory for Discrete Event Systems. PhD Thesis. Leuven:

Department of Electrical Engineering, Katholieke Universiteit.[6] De Schutter B. and T. van den Boom. (2000). Model predictive control for max-plus-linear discrete-

event systems:Extended report & Addendum. A short version of this report has been published in Automatica, vol. 37, no. 7, pp. 1049–1056. Faculty of Information Technology and System, Delt University of Technology, Delft.

[7] Farlow, Kasie G. (2009). Max-Plus Algebra. Thesis submitted to the Faculty of the Virginia Polytechnic Institute and State University

[8] Necoara I., De Schutter B., T. van den Boom, and H. Hellendoor. (2008). Model Predictive Control for Uncertain Max-Min-Plus-Scaling Systems. International Journal of Control, vol. 81, no. 5, pp. 701–713.

[9] Siang, Jong Jek. (2002). Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu Komputer. Yogyakarta : Andi.[10] Rudhito, Andy. (2003). Sistem Linear MaxPlus Waktu Invariant. Tesis tidak diterbitkan. Yogyakarta:

Program Pascasarjana Unversitas Gajah Mada. Yogyakarta. [11] Rudhito, Andy. (2004). “Semimodul atas Aljabar Max-Plus”. Jurnal Sains dan Teknologi SIGMA, 7 (2):

131-139.[12] Rudhito, Andy. (2005). “Sistem Persamaan Linear Max-Plus”. Jurnal Sains dan Teknologi SIGMA, 7

(2): 157-164.[13] Subiono. (2010). Aljabar Maxplus dan Terapannya. Surabaya : Jurusan Matematika, FMIPA-ITS,

Surabaya.

Reviewer, Mengetahui,Dosen Pembimbing,

Dr. Agus Maman Abadi Musthofa, M.ScNIP. 197008281995021001 NIP. 198011072006041001

M–10