Bab 1

Interpolasi dan Ekstrapolasi

Nilai suatu fungsi f(x) diketahui berupa deretan titik-titik x1, x2, x3, ………, xn (atau bisa dinyatakan sebagai x1 < … < xn), tetapi ekspresi analitik f(x) tidak diketahui. Bab ini akan membahas perkiraan f(x) secara numerik untuk nilai x yang berlaku di dalam interval (interpolasi) maupun di luar interval titik-titik yang diketahui (ekstraploasi). Permasalahan ekstrapolasi sangat lekat dengan tingkat akurasi nilai yang dihasilkannya.

Fungsi interpolasi dan ekstrapolasi merupakan fungsi model dengan bentuk tertentu yang bersifat umum supaya dapat mendekati fungsi-fungsi yang dipakai secara luas. Sejauh ini fungsi yang umum digunakan adalah polinomial dan trigonometri. Fungsi trigoneometri digunakan dalam interpolasi berdasar Fourier.

Proses interpolasi mempunyai dua tahap yaitu pertama, menentukan fungsi interpolasi terhadap titik-titik (data) yang diberikan dan kedua, mengevaluasi fungsi interpolasi tersebut. Interpolasi dapat dilakukan untuk kasus dengan dimensi lebih dari satu, misalnya fungsi f(x,y,z). Interpolasi multidimensi selalu diselesaikan dengan urutan mulai dari interpolasi satu dimensi.

1.1. Polinomial Interpolasi Newton

Polinomial interpolasi Newton pn(x) dengan x0, ……, xn-1 sebagai titik pusatnya dapat dinyatakan sebagai berikut:

(1-1)

Koefisien A0, A1, A2, …… An tergantung dari nilai f(x) di titik x0, x1, x2, …… xn dan disebut dengan nilai beda rasio (devided difference) di titik-titik tersebut. Untuk selanjutnya nilai beda rasio di titik x0, x1, x2, …… xn dituliskan dengan simbol berikut:

(1-2)

Dengan demikian persamaan (1-1) dapat dimodifikasi menjadi berikut:

(1-3)

atau secara simbolik dituliskan sebagai berikut:

Analisa Numeri, Bab I-1

(1-

4)

Untuk n = 1, maka persamaan (1-3) atau (1-4) mempunyai bentuk seperti berikut:

(1-5)

dimana

(1-6)

Nilai beda rasio untuk orde lebih tinggi dapat dinyatakan sebagai berikut:

(1-

7)

Untuk n = 4, maka nilai beda rasio ditunjukkan dalam Tabel 1.1.

Tabel 1.1: Tabel Nilai Beda Rasio untuk n = 4

x1 f [ ] = f ( ) f [,] f [, ,] f [, , ,] f [, , , ,]

x0 f [xo]

f [xo, x1]

x1 f [x1] f [xo, x1, x2]

f [x1, x2] f [xo, x1, x2, x3]

x2 f [x2] f [x1, x2, x3] f [xo, x1, x2, x3, x4]

f [x2, x3] f [x1, x2, x3, x4]

x3 f [x3] f [x2, x3, x4]

f [x3, x4]

x4 f [x4]

Analisa Numeri, Bab I-2

1.2. Inter dan Ekstrapolasi Polinomial dengan Nilai Interval Konstan

Interpolasi dan ekstrapolasi ini didasarkan pada polinomial interpolasi Newton. Dalam subbab ini nilai f(x) dievaluasi pada titik-titik antara x = a sampai dengan x = b dengan interval h (konstan), sehingga terdapat f(xi), i = 0, ……, n dimana:

(1-8)

Persoalan disederhanakan dengan memperkenalkan variabel peubah linier berikut:

(1-9)

Untuk penentuan polinomial interpolasi dengan orde n pada titik xk, ……xk+n tidak diperlukan tabel nilai beda rasio (divided difference), melainkan tabel nilai beda (difference). Untuk itu diperkenalkan beda kedepan atau forward difference yang dinyatakan sebagai berikut:

(1-10)

Hubungan antara nilai beda rasio (divided difference) dengan nilai beda (difference) diekspresikan sebagai berikut:

(1-11)

Interpolasi Newton beda kedepan (Newton forward-difference) untuk polinomial dengan orde n yang menginterpolasi f(x) di titik-titik xk + ih, i = 0, ……n diekspresikan sebagai berikut:

(1-12)

Tabel 1.2: Tabel Nilai Beda Kedepan (Forward Difference) untuk i = 0, 1, 2, 3, 4

xk fk 1fk 2fk 3fk 4fk

Analisa Numeri, Bab I-3

x-4 f-4

f-4

x-3 f-3 2f-4

f-3 3f-4

x-2 f-2 2f-3 4f-4

f-2 3f-3

x-1 f-1 2f-2 4f-3

f-1 3f-2

x0 f0 2f-1 4f-2

f0 3f-1

x1 f1 2f0 4f-1

f1 3f0

x2 f2 2f1 4f0

f2 3f1

x3 f3 2f2

f3

x4 f4

Persamaan (1-12) secara simbolik dapat dituliskan sebagai berikut:

(1-13)

Untuk k = 0, maka persamaan (1-12) akan menjadi seperti berikut:

(1-14)

sedangkan persamaan (1-13) akan berubah menjadi:

(1-15)

Contoh soal interpolasi dan ekstrapolasi polinomial dengan nilai interval konstan:

Analisa Numeri, Bab I-4

Posisi planet Mars diukur setiap 10 hari seperti ditunjukkan pada Tabel 1.3. Dari data ini kita diminta untuk menghitung posisi atau koordinat panet Mars pada t = 1450.5 dengan cara interpolasi polinomial dengan nilai interval konstan.

Jawaban:

Persoalan ini sebetulnya merupakan persoalan ekstrapolasi, karena harga yang diinginkan berada di luar interval data-data yang diketahui. Jika t = 1250.5 dianggap sebagai acuan, maka t0 = 1250.5, sedangkan t = 1450.5 dan f0 = 139140. Tabel 1.3 menyajikan data pengamatan dan perhitungan 1f sampai dengan 6f. Untuk contoh persoalan ini ekstrapolasi hanya didasarkan pada persamaan (1-14) dengan f sampai pada 3f saja. Posisi pada t = 1450.5 adalah f(t) = -106150. Perhitungan diberikan di bawah ini.

Tabel 1.3: Tabel Koordinat Planet Mars dengan interval 10 hari(Sumber: Conte & de Boor, 1981)

s t f(t) 1f 2f 3f 4f 5f 6f

0 1250.5 139140

-1444

1 1260.5 137696 -1469

-2913 55

2 1270.5 134783 -1414 -3

-4327 52 97

3 1280.5 130456 -1362 94 -302

-5689 146 -205

Analisa Numeri, Bab I-5

4 1290.5 124767 -1216 -111 408

-6905 35 203

5 1300.5 117862 -1181 92 -311

-8086 127 -108

6 1310.5 109776 -1054 -16 128

-9140 111 20

7 1320.5 100636 -943 4

-10083 115

8 1330.5 90553 -828

-10911

9 1340.5 79642

1.3. Polinomial Interpolasi Lagrange

Polinomial interpolasi Lagrange pn(x) dengan x0, ……, xn sebagai titik pusatnya dapat dinyatakan sebagai berikut:

(1-16)

atau secara simbolik dapat dituliskan sebagai berikut:

(1-17)

Analisa Numeri, Bab I-6

Untuk fungsi sembarang, persamaan (1-17) dapat disederhanakan menjadi:

(1-18)

Dari persamaan (1-17) dan (1-18) dapat disimpulkan bahwa, koefisien A0, A1, …… An adalah nilai interpolasi atau ekstrapolasi Lagrange di titik-titik x0, x1, …… xn. Untuk n = 1 dan titik x0, x1, maka persamaan (1-18) akan mempunyai bentuk:

(1-19)

Persamaan (1-19) dikenal dengan interpolasi linier dengan dua titik, yaitu x0 dan x1.

1.4. Interpolasi dan Ekstrapolasi dengan Interval Tidak Konstan

Interpolasi dan Ekstrapolasi ini didasarkan pada polinomial interpolasi Lagrange, yaitu persamaan (1-18). Misal p1 adalah nilai di titik x dari persamaan polinomial orde nol (konstan) yang melalui titik (x1,y1), sehingga p1 = y1. Demikian juga p2, p3, ..…, pn yang melalui (x2,y2), (x2,y2), ……, (xn,yn). Selanjutnya misal p12 adalah nilai di x dari persamaan polinomial orde satu yang melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2), demikian juga p23, p34, …, p(n -

1)n. Dengan cara yang sama, dilakukan untuk order polinomial yang lebih tinggi, sampai p123 … n yang merupakan nilai interpolasi polinomial melalui seluruh n titik. Variasi p membentuk suatu tabel dengan nilai pendahulu (ancestor) di sebelah kiri dari nilai berikutnya yang jumlahnya berkurang satu. Berikut diberikan contoh untuk n = 4.

x1 : y1 = p1

p12

x2 : y2 = p2 p123

p23 p1234 (1-20)x3 : y3 = p3 p234

p34

x4 : y4 = p4

Alogaritma Neville merupakan cara pengisian bilangan-bilangan seperti pada tabel di atas dari kiri ke kanan. Algoritma ini didasarkan pada hubungan antara seorang anak (P) dan kedua orang tuanya dan diekspresikan sebagai berikut:

(1-21)

Suatu modifikasi dilakukan untuk mempertahankan jarak (nilai beda) antara anak-anak dan orang tuanya, dengan cara mendefiniskan m = 1, 2, … , n - 1, sehingga:

Analisa Numeri, Bab I-7

(1-22)

Selanjutnya dari persamaan (1-21) dapat mudah diturunkan relasi berikut ini.

(1-23)

Pada masing-masing level m, C dan D merupakan faktor koreksi yang menyebabkan interpolasi menjadi satu orde lebih tinggi. Interpolasi dengan p1…n sama dengan jumlah seluruh fraksi yi ditambah dengan kombinasi C dan D yang merupakan hubungan dalam bentuk pohon famili sampai ke anak yang termuda. Algoritma interpolasi dan ekstrapolasi dengan polinomial diberikan di halaman berikutnya.

1.5. Interpolasi Lengkung Kubik (Cubic Spline)

Interpolasi spline kubik banyak dipakai, karena polinomial pendekatan (interpolasi) yang dihasilkannya akan mempunyai nilai interpolasi y, dengan kemiringan (slope) dan kurvatur (curvature) yang sama di sekitar titik x yang sama. Untuk interval antara xi–1 dan xi, polinomial orde tiga mempunyai turunan kedua sebagai berikut:

= + , untuk xi-1 x xi

(1-24)

adalah faktor yang tergantung dari nilai x. Penyelesaian persamaan di atas pada interval xi-1 dan xi akan menghasilkan:

(1-25)

Sedangkan pada interval xi dan xi+1 akan menghasilkan:

(1-26)

Jika persamaan (1-25) diintegrasi relatif terhadap interval (xi - x) akan dihasilkan persamaan berikut:

Analisa Numeri, Bab I-8

(1-27)

sedangkan integrasi persamaan (1-26) akan menghasilkan persamaan berikut:

(1-28)

c1 dan c2 adalah konstanta integrasi. Integrasi sekali lagi akan menghasilkan:

(1-29)

(1-30)

lengkung kubik pertama melalui titik (xi-1, yi-1) dan titik (xi, yi) mempunyai bentuk:

(1-31)

selanjutnya:

(1-32)

dimana y'(-)i adalah turunan di sebelah kiri titik x = xi. Demikian juga lengkung kubik

kedua melalui titik (xi,yi) dan (xi+1,yi+1) mempunyai bentuk:

(1-33)

selanjutnya:

Analisa Numeri, Bab I-9

(1-34)

dimana y'(+)i adalah turunan di sebelah kanan titik x = xi. Turunan di sebelah kiri dan di

sebelah kanan harus mempunyai harga yang sama di titik x = xi, dengan demikian maka:

(1-35)

dengan pengaturan selanjutnya, maka akan diperoleh ekspresi berikut:

(1-36)

Untuk titik (data) sebanyak n buah, persamaan sebanyak (n-1) buah, maka jumlah bilangan tidak diketahui akan berjumlah (n+1) buah , i = 0,…n. Agar sistem persamaan dapat diselesaikan, maka dibutuhkan tambahan dua persamaan lagi, yang biasanya berhubungan dengan kondisi batas di titik i = 0 dan i = n. Kedua persamaan tersebut biasanya menspesifikasikan kondisi batas, dalam hal ini mengekspresikan kemiringan di titik i = 0 dan i = n sebagai berikut:

(1-37)

(1-38)

Dalam bentuk matriks, sistem persamaan linier dapat dituliskan sebagai berikut:

(1-39)

[A] adalah matriks koefisien aij yang berupa matriks tridiagonal yang elemen-elemennya adalah sebagai berikut:

Analisa Numeri, Bab I-10

(1-40)

{M} adalah vektor bilangan tidak diketahui berupa , sedangkan {D} adalah vektor dengan elemen-elemen yang diketahui dan didefinisikan sebagai berikut:

(1-41)

Jika sistem persamaan linier dapat diselesaikan, maka nilai y di setiap titik x sembarang diperoleh dengan interpolasi berdasar rumus berikut:

(1-42)

(1-43)

Turunan y'(-)i dan y'(+)

i masing-masing dapat diperoleh dari persamaan (1-32) dan (1-34). Seringkali turunan lebih dipilih daripada kurvatur sebagai bilangan tidak diketahui. Transformasi kurvatur menjadi turunan mudah dilakukan.

Langkah-langkah interpolasi dengan lengkung kubik:

Step 1: membentuk matriks koefisien [A] berdasar persamaan (1-40). Step 2: membentuk vektor {D} berdasar persamaan (1-41). Step 3: menghitung vektor {M} atau vektor {y''i} dengan cara menyelesaikan

sistem persamaan linier. Step 4: menghitung turunan pertama di sebelah kiri (y'(-)

i) dan kanan x (y'(+)i)

berdasar persamaan (1-32) dan (1-34). Step 5: menghitung nilai interpolasi untuk titik x tertentu berdasar persamaan

Analisa Numeri, Bab I-11

(1-42) atau (1-43).

Contoh soal interpolasi dengan lengkung kubik (cubic spline):

Erupsi Gunung Piton de la Fournaise (Pulau Reunion) memuntahkan material dengan komposisi kimia yang berubah terhadap waktu. Pengukuran rasio (Ce/Yb)N selama interval 1948-1985 yang diambil dari lava erupsi diberikan dalam Tabel 1.4 Dari data ini diminta menghitung nilai interpolasi rasio (Ce/Yb)N tahunan. Untuk contoh perhitungan diminta menghitung interpolasi rasio (Ce/Yb)N pada tahun 1960.

Tabel 1.4: Data Rasio (Ce/Yb)N Diukur pada Delapan Contoh Lava Hasil ErupsiGunung Piton de la Fournaise (Albarede & Tamagnan, 1988)

i 0 1 2 3 4 5 6 7

Tahun 1948 1953 1956 1966 1972 1975 1981 1985(Ce/Yb)N 20.9 21.2 22.0 20.8 21.7 22.4 21.3 18.9

Gambar 1.1: Interpolasi Lengkung Kubik Rasio (Ce/Yb)N pada Lava HasilErupsi Gunung Piton de la Fournaise (Albarede & Tamagnan, 1988)

Jawaban:

Langkah-langkah penyelesaian: Step 1:

membentuk matriks koefisien [A] berdasar persamaan (1-40), misalnya:

a00 = 2 x (1953-1948) = 10a01 = 1953 - 1948 dst.

Setelah melengkapi semua perhitungan, maka matriks koefisien [A] mempunyai harga sebagai berikut:

Analisa Numeri, Bab I-12

Step 2: membentuk vektor {D} berdasar persamaan (1-41) dengan asumsi bahwa

turunan pada titik akhir sama dengan nol, misalnya:

Setelah melengkapi semua perhitungan, maka vektor {D} akan berharga:

Step 3: menyelesaikan sistem persamaan linier. Berdasar persamaan (1-39), maka sistem

persamaan simultan akan mempunyai bentuk sebagai berikut:

Vektor {M} merupakan vektor bilangan yang tidak diketahui yang berupa turunan kedua atau {y''i}. Setelah penyelesaian sistem persamaan linier, maka diperoleh:

Step 4: menghitung turunan pertama di sebelah kiri dan kanan x berdasar

persamaan (1-32) dan (1-34) yang diberikan dalam Tabel 1.5 berikut ini:

Tabel 1.5: Turunan Kedua, Turunan Pertama di sebelah kiri dan kanan

I

0 -0.0185 0 01 0.1090 0.2262 0.22622 -0.1371 0.1840 0.18403 0.0919 -0.0423 -0.04234 0.0085 0.2589 0.25895 -0.0683 0.1693 0.16936 -0.2161 -0.6839 -0.68397 0.5581 0 0

Analisa Numeri, Bab I-13

Step 5: menghitung nilai interpolasi untuk titik x, misal berdasar persamaan (1-42). Dalam hal ini i = 3 (1966), maka x3 – x = 1966 - 1960 = 6, kemudian x3 – x2 = 1966 - 1956 =

10., y3 = 20.8, = -0.0423 dan = 0.0919, - = 0.0919 – (-

0.1371) = 0.2290. Harga-harga ini disubstitusikan dalam persamaan berikut

1.6. Interpolasi Multi Dimensi

Pada interpolasi multi dimensi taksiran nilai y merupakan fungsi dari nilai (x1, x2, .... , xn) atau dapat ditulis dengan y(x1, x2, .... , xn). Prinsip interpolasi multi dimensi sama dengan interpolasi satu dimensi yang telah dibahas sebelumnya. Dalam interpolasi multi dimensi, nilai taksiran y didasarkan pada pada beberapa nilai x vektor nilai x. Berikut akan diberikan ilustrasi kasus interpolasi dua dimensi. Kasus tiga dimensi atau lebih dapat dikerjakan dengan cara yang sama.

Untuk kasus dua dimensi akan dikenalkan sistem grid cartesian dua dimensi. Misalkan terdapat matrik YA[J,K], dimana J=1, ……M, sedangkan K=1, …… N. Demikian juga nilai X1A[J] dan X2A[K]. Ekspresi y(x1, x2) dapat dituliskan sebagai berikut:

YA[J,K] = Y(X1A[J], X2A[K]) (1-44)

Titik (x1, x2) terletak di antara empat titik dalam sistem grid cartesian, dan dinyatakan dengan ekspresi berikut:

X1A[J] x1 X1A[J+1]

X2A[K] x2 X2A[K+1] (1-45)

Untuk nilai y, dalam hal ini y1, y2, y3 dan y4 didefinisikan sebagai berikut:

y1 YA[J,K]

y2 YA[J+1,K]

y3 YA[J+1,K+1]

y4 YA[J,K+1] (1-46)

Interpolasi dua dimensi paling sederhana dalam sistem grid adalah interpolasi bilinier dengan rumus sebagai berikut:

t (x1 – X1A[J]) / (X1A[J+1] – X1A[J] )

u (x2 – X2A[K]) / (X2A[K+1] – X2A[K] ) (1-46)

Analisa Numeri, Bab I-14

berdasar rumus di atas, maka harga t dan u berkisar di antara 0 dan 1 dan selanjutnya nilai y(x1,x2) diperoleh berdasar rumus berikut:

y(x1,x2) = (1 – t)(1 – u) y1 + t (1 - u) y2 + t u y3 + (1 – t) u y4 (1-47)

Analisa Numeri, Bab I-15