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ÁNGULOSÁNGULOS

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M A T E M Á T I C A

C O M P U T A C I Ó N

A R I T M É T I C

A


T R I G

O N O M E T R Í A

A R I T M É T I C

A

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TEMA N° 02TEMA N° 02Lectura motivadora

ANTONIO BRACK

Ua mirada !o"itiva a #a atura#e$a

uando ingr!a! a" Congr!o d "aR#$%"i&a r!#ira! una a'()!*ra d!u!#n!o+ ,#&'a'i-a in'riga. En !'a

!)"ida &on!'ru&&i)n ! #o!i%" -r a "a (a/or0ad nu!'ro! #o"0'i&o! runido! o &a(inando#or !u! #a!i""o!.

CUno d "o! #o"0'i&o! u n ! (o(n'o !n&un'ra ! " (ini!'ro d" a(%in'+An'onio Bra&2+ u n #o&o! (inu'o! &a#'a "aa'n&i)n d a#ro,i(ada(n' 3 a"u(no!#ro-nin'! d 'odo " Pr$+ u a!i!'n auna &on*rn&ia na&iona".

M (%arga una in'n!a (o&i)n a"a&r&ar( &orrindo a 5" / #dir" unan'r-i!'a. M (o&ion) !a%r u ( #od0aa'ndr n ! (o(n'o. 6o! (inu'o! #a!an /no ! in(u'a+ ( r!#ond #rgun'a 'ra!#rgun'a. Su! #a"a%ra! ( (o'i-an / 7o/ (!in'o &o(#ro('ida &on !u o%ra.6 in'rrogo !i ! (u/ di*0&i" o&u#ar una&ar'ra dond "o! #ro%"(a! in-o"u&ran a'odo! n " d0a a d0a. Con una a(#"ia / !gura!onri!a ( ,#r!a8 6a (:ora d" (dioa(%in' d#nd d &ada uno d no!o'ro!.No ! &u!'i)n d d&ir8 no &7n "a %a!ura

#or "a -n'ana d" &arro. 6o u 7a/ u 7a&r! #onr una %o"!a d #";!'i&o n &ada-70&u"o. Co(o -

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Se"i% N& 2

'E(INICION ) CLASI(ICACION 'EANGULOS

CA*ACI'A'ES

a+ Cono& "o! "(n'o! u &o(#onn un;ngu"o

,+ Idn'i&a "o! di*rn'! ;ngu"o! #or !u(dida.

c+ R!u"- #ro%"(a! &on ;ngu"o!

MOTI-ACI.N

TALES 'E MILETO

Uno d "o! !i' !a%io! d Gr&ia+ na&ido uno! aDo! an'! d F.C. n Mi"'o+ "a &iudad""a(ada d "a! ro!a!+ n " A!ia Mnor. Ra"i

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III/CLASI(ICACI.N 'E ÁNGULOS

A/ Se34 "u" medida"Á3u#o A3udo/ E! au" ;ngu"o &u/a(dida ! (a/or u / (nor u9.

%

B

A

O

En " gr;&o " AOB∠ ! agudon'on&!8

°

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En "a gura "o! ;ngu"o! AOB+ BOC+ COJ+/ JOE !on &on!&u'i-o!. En'on&!8

γ +θ+β+α=∠ AOE(

Á3u#o" O!ue"to" !or e# -7rtice

Son do! ;ngu"o! u 'inn " (i!(o-5r'i& / ad(;! "o! "ado! d uno d""o! !on "a! #ro"onga&ion! d "o! "ado!d" o'ro n !n'ido &on'rario.

α

A

B

β

N

M

En "a gura "o! ;ngu"o! AOB / MON !ono#u!'o! #or " -5r'i&.

S &u(#"8 MON(AOB( ∠=∠

E! d&ir8 β=α E8ERCICIOS 'ESARROLLA'OS

09/ @a""ar8 “θ”

θ

A

B C

JO

θ

3θ

So#uci%13θ θ θ K 1

1 θ K 1θ K 1

02/ @a""ar8 COJ

3,

, ,

O

E

JA

B

C

So#uci%1En " !(i#"ano EC3, , , K 11, K 1, K 1A O E K COJ #or !r o#u!'o #or " -5r'i&COJ K 3,COJ K 3 H1COJ K 4

0:/ A O∧ B / B O

∧ C !on ;ngu"o!

&on!&u'i-o! 'a"! u8

(QAOB – (QBOC K 4. S 'ra

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α r K V ∴(QCOJ K V

0

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n . @a""ar "a (dida d" (a/or. Si "a!u(a d !'o! ! 1

a 1 % 11 & 1d 13 N. A.

0@/ S 'inn "o! ;ngu"o!&on!&u'i-o! AOB / BOC d (anra u "a!u(a d "o! ;ngu"o! AOB / AOC ! .Ca"&u"ar " ;ngu"o AOM+ !indo OM %i!&'ri<d" ;ngu"o BOC.

a % & 4d

90/ S 'inn "o! ;ngu"o! &on!&u'i-o!BOA / COB . S 'ra[u5 ;ngu"o *or(an "a %i!&'ri< d" S[P

&on " "ado [R ?

a 1 % 3 & 4d N.a.

92/ Tr! ;ngu"o! &on!&u'i-o! !i'uado! a un(i!(o "ado d una r&'a !';n n#rogr!i)n ari'(5'i&a. Ca"&u"ar "o! ;ngu"o!+!i " (nor / " (a/or !';n n "a r"a&i)n

d 3 a V.

a 3+ + 4 % + + 4& + + V d 4+ + N. A.

9:/ 6a! (dida! d 4 ;ngu"o!*or(ado! a"rddor d un #un'o+ n un!(i#"ano+ !';n n #rogr!i)n ari'(5'i&a&u/a ra

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a % 9 & 9d 1 1

0/ En "a gura+ &a"&u"ar “,”

φ

3 φ ,

a 14 % 13 & 13d 1 1

1

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0?/ En "o! ;ngu"o! &on!&u'i-o!AOB+ BOC+ COJ ! &u(#" u (⊄AOC (⊄BOJK14+ ad(;!8(⊄AOJK114. En&on'rar (⊄BOC.

a 4 % & 3d 3 4

0@/ En "o! ;ngu"o! &on!&u'i-o!AOB+ BOC+ COJ ! &u(#" u (⊄COJ K3•(⊄AOC+ ad(;! (⊄BOJ3•(⊄AOBK. Ca"&u"ar "a (dida d" ;ngu"oBOC.

a 14 % 1 & 1d 4 1

90/ @a""ar8 a % K?

a %o

a 1 % & 9d 4 N.A

99/ @a""ar8 Y

3, ,

4,,

4,

a 4 % 1 & 3d

92/ 6a !u(a d "o! ;ngu"o!ad/a&n'! ! 11 / "a di*rn&ia ! .@a""ar uno d "o! ;ngu"o!.

a % 4 & d 9 V

9:/ Jo! ;ngu"o! !';n n r"a&i)n

a "o! n$(ro! 4 / Si "a !u(a d !'o! ! 1. @a""ar uno d""o!.

R!#u!'a8……………………………

9;/ Si 61 \ 6. @a""ar8 “%”

a

a% 6

611

R!#u!'a8……………………………

9

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!u#"(n'o! d un ;ngu"o d una gura#"ana.

MOTI-ACION

Cuando 7a%"a(o! d &o(#"(n'o!

n'nd(o! u " *a"'a #ara !'ar &o(#"'o.En " '(a d go('r0a 7a%"a d&o(#"(n'o ! "o u #ri(ra(n' "a *a"'aa una (dida angu"ar #ara !r "a &uar'a #ar'd una &ir&un*rn&ia.E" !u#"(n'o ! "o u *a"'ara a una (didaangu"ar #ara ""gar nu(5ri&a(n' !r "a(i'ad d una &ir&un*rn&ia

(UN'AMENTACION TEORICA

'E(INICIONES

Á3u#o" Com!#emetario"1 Son do! ;ngu"o! &u/a !u(a d !u! (dida! ! igua" a

9.

A B M

N

O [

αβ

En "a gura ! 'inn "o! ;ngu"o!&o(#"(n'ario! AOB / M[N.

En'on&!8°=β+α 9

SaC Hα8 &o(#"(n'o d α.

En'on&!8α°=α U9IHC

Á3u#o" Su!#emetario"/ Son do! ;ngu"o!&u/a !u(a d !u! (dida! ! igua" a 1.

A

BN

M

, /

O [

En "a gura ! 'inn "o! ;ngu"o!!u#"(n'ario! AOB / M[N.

En'on&!8°=+ 1/,

Sa8 S H,8 !u#"(n'o d ,

En'on&! ,U1H,IS °=

E8ERCICIOS 'ESAROLLA'OS09/ E" do%" d" &o(#"(n'o

d un ;ngu"o (a! " 'ri#" d" !u#"(n'od" (i!(o+ ! . @a""ar " ;ngu"o

So#uci%1 Sa “,” " ;ngu"o

CY 3 S, K H9 – , 3 H1 – , K 1 – , 4 – 3, K

V – K , K ,

4 K ,02/ Si a un ;ngu"o ! " r!'a !u

&o(#"(n'o+ r!u"'a igua" a "a &uar'a#ar' d !u !u#"(n'o. @a""ar "a (didad" ;ngu"o


, – C3 KYS

4

, – H9 – , K1 ,

4

− ÷

3 , K 1 – ,9, K 4

, K

0:/ Si un ;ngu"o " r!'a(o! !u!u#"(n'o r!u"'a igua" a" 'ri#" d !u&o(#"(n'o. @a""ar " &o(#"(n'o ddi&7o ;ngu"o.


, – S, K 3C,, – H1 – , K 3 H9 – ,, – 1 , K V – 3, , K 4, K 9

0;/ E" &o(#"(n'o d ,∧ + (;!" !u#"(n'o d" &o(#"(n'o d ,∧ (a!

" &o(#"(n'o d" du#"o d ,∧ + (a! "

!u#"(n'o d" du#"o d ,∧ (a! "

!u#"(n'o d" &o(#"(n'o d" du#"o d

,∧ ! igua" a . Ca"&u"ar " !u#"(n'o

d" &o(#"(n'o d" &o(#"(n'o d ,∧ .

1

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So#uci%C, SC, C, S, SC, K

H9 , ^1 – H9 ,_ H9 ,

H1,^1H9,_ K

H9 , ^9 ,_ H9 – , H1 – ,

9, K

4 – , K

, K 4 ⇒ , K

⇒ SCCC, K SC, K 1 – H9 – ,

K 1 – H9 –

K 1 – V K 11

0

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a % 4 & 1d V

92/ @a""ar " (nor d do! ;ngu"o!!u#"(n'ario! !a%indo u a" di!(inuir a uno d ""o! #ara agrg;r!"o a "a(dida d" o'ro+ !' nu-o ;ngu"o r!u"'a!r &in&o -&! "o u uda d" #ri(ro

a 4 % 14 & d V

9:/ @a""ar " !u#"(n'o d"&o(#"(n'o d 2a (i'ad d 9

a 1 % & d 9 A%!urdo

9;/ 6a !u(a d" &o(#"(n'o d un ;ngu"o&on " !u#"(n'o d !u ;ngu"o do%"ui-a" a" &o(#"(n'o d !u ;ngu"o(i'ad. En&on'rar " &o(#"(n'o d "o!\4 d di&7o ;ngu"o.

a % 1 & 1d V 9

9Cu;n'o -a"dr; un ;ngu"o!i " do%" d !u &o(#"(n'o ! igua" a"&o(#"(n'o d !u (i'ad.

a 1 % & 3d V

0;/ Jo! ;ngu"o! ! dno(inan&o(#"(n'ario!+ !i a" !u(ar !u! (dia!! o%'in

a 1 % 3 & 9d V N.A

0

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0>/ 6a !u(a d un ;ngu"o / !u!u#"(n'o ! igua" a" 'ri#" d !u&o(#"(n'o. @a""ar " ;ngu"o.

a 3 % V & 9d

0?/ Si " 'ri#" d un ;ngu"o ! "di!(inu/ \V d !u &o(#"(n'o !o%'in " do%" d" ;ngu"o. >Cu;" ! "!u#"(n'o d di&7o ;ngu"o?

a % 1 & 14d 4 N.A

0@/ Si " !u#"(n'o d"&o(#"(n'o d "a (i'ad d un ;ngu"o !14. Ca"&u" " ;ngu"o α.

a 1 % 1 & 13d 14 N.A

90/ Jo! ;ngu"o! ad/a&n'!!u#"(n'ario! !u! (dida! ! di*rn&ia!n . @a""ar "a (dida d" (a/or.

a 1 % 1 & 11d 11 N.A

99/ Si a un ;ngu"o ! " r!'a !u&o(#"(n'o+ r!u"'a igua" a "a &uar'a#ar' d !u !u#"(n'o. @a""ar "a (didad" ;ngu"o.

a 13 % V & 9d 9

92/ Si a un ;ngu"o " r!'a(o!!u !u#"(n'o r!u"'a igua" a" 'ri#" d !u&o(#"(n'o d di&7o ;ngu"o

a % 3 & 9d

9:/ Ca"&u"ar " &o(#"(n'o d3 4V′

a 413′ % 1′ & 43′d ′ N.A

9;/ Ca"&u"ar " (a/or d 'r!;ngu"o! u !';n d 3+ / V !a%indo u" &o(#"(n'o d "a !u(a d "o! ;ngu"o!! 1.

a 4 % 3 & d 4 3

9

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6

6

1

α

β

Á3u#o" a#tero" e5tero"Sa 61\\6+ n'on&! α / β !on "a! (dida! ddo! ;ngu"o! a"'rno! ,'rno!. S &u(#"8α K β

6

6

1

α

β

Á3u#o" cou3ado" itero"HSon !u#"(n'ario!

Sa 61\\6 + n'on&! , 5 / !on "a! (dida!d do! ;ngu"o!. Con:ugado! in'rno!. S&u(#"8

, / K1

6

6

1

,

/

Á3u#o" Cou3ado" e5tero"Sa 61\\6 + n'on&! , 5 / !on "a! (dida!d do! ;ngu"o!. Con:ugado! ,'rno!. S&u(#"8

, / K1

,

/

L

6

1

Á3u#o" corre"!odiete"Sa 61\\6 + n'on&! ( / n !on "a! (dida!d do! ;ngu"o! &orr!#ondin'! .S &u(#"8 ( K n

(

n6

6

1

*RO*IE'A'1 9+Si 61\\6 + n'on&! , K α β

6

6

1

,

*RO*IE'A'1 2+En gnra"8 !i. 61\\6 En'on&!. a % & K , / <

6

6

1

a

%

&

,

/

<

*RO*IE'A'1 :+Si8 OA\\P[ ! &u(#" "a r"a&i)n.α β θ ε ω K 1

A O

P [

α

β

θ

ε

ω

*RO*IE'A'1 ;+

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a%

&

d

S &u(#" u8 a % K & d

E8ERCICIOS 'ESARROLLA'OS

09/ @a""ar8 “Y” !i 6 1 \\ 6

4 ,

6

6

1

a % 1 & 1d 13 1

So#uci%14 , K , K – 4, K 1

02/ Si 61 \\ 6 7a""ar “,”

6

6

1

1

,4 1 ,

So#uci%84 K 1 , , 11 K 3,V K 3, K ,

0:/ J" gr;&o !iguin' 61 \\ 6

/ (\\n. Ca"&u" " -a"or d /.

, 1

(

61

6/

, 3n

3, U

a % 4 & 3d 1 N.A.

So#uci%1Pidn8 “/ “

Pro"onga(o! →←n

, 1

(

61

6/

, 3n

3, U

, 3

, 3

U'i"i

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,, a

a

6

6 1

So#uci%1a a K K a K 4

, , a a K 1, a K 1, a K 9, 4 K 9, K

*RÁCTICA 'E CLASE

09/ Ca"&u"ar , . Si8 a \\ %.

1

3,

,V3

%

a

a 1 % 4 & 3d N.A.

02/ Si8 EF \\ AB . @a""ar “,”8

T

B

,

A

E

a 14 % 1 & 1d 1 N.A.

0:/ Si ( \\ n+ 7a""ar ,.

(

V

n

a 9 % 9 & 1d

0;. @a""ar " !u#"(n'o d “,”+!indo a\\%

a

%

1

,

1

a 1 % & 3d N. A.

0/ Si ( \\ n

1

V

(

n

,

a 1 % 1 & d 3

0?/ @a""ar “,”+ !i 1 6 \\6 .α K 9 – ,

4

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,

61

6α

,

3,

a 1 % 1 & d 3

0@/ Si8 61 \\ 6+ 7a""ar a % & d.

a 6 1

6 d

1

a 9 % V & d 4

90/Sg$n "a gura ad:un'a ( \\ n.. α θ β δ K 1.

@a""ar " ;ngu"o ,=.

(

n

θα

,

/

1

1

a % 14 & 1d V 9

99/ En "a gura (o!'rada. Ca"&u"ar,=+ !i 61 \\ 6

6 1

6

,,

a 4 % 1 & 1d 1V

92/ Si 61 \\ 6. @a""ar ,=8

,

6 1

6

a 1 % & d 4 N. A.

9:/ Si 61 \\ 6 7a""ar ,=6 1

6

,

α°α°

θ°

θ°1

a 4 % & 9d 13

9;/ Si (\\n↔ ↔ + Ad(;!8 αβK +

7a""ar " ;ngu"o α=

β

α

(

n

a 4 % & d 3

9

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1

,

61

6

a 1 % 1 & 13d 1 N. A.

02/ Ca"&u"ar "a (dida d “,”+ !i

(\\n↔ ↔

31

14

,

14V(

n

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