16. Soal-Soal Integral

www.matematika-sma.com - 1

16. SOAL-SOAL INTEGRAL

EBTANAS1995 1. Hasil dari ∫ (3x 2 – 8x + 4) dx adalah … A. x 3 – 8x 2 + 4x + C B. x 3 – 4x 2 + 4x + C C. 3x 3 – 4x 2 + 4x + C D. 3x 3 – 8x 2 + 4x + C E. 6x 3 – 8x 2 + 4x + C jawab:

∫ (3x 2 – 8x + 4) dx = Cxxx ++− 428

33 23

= Cxxx ++− 44 23 Jawabannya adalah B EBTANAS2001 2. Hasil ∫ − 29 xx dx = ….

A. Cxx +−−− 22 9)9(31

B. Cxx +−−− 22 9)9(32

C. Cxx +−− 22 9)9(32

D. Cxxxx +−−+−− 2222 9)9(929)9(

32

E. Cxxx +−+−− 222 9919)9(

31

jawab: Misal u = 9 - x 2 du = - 2x dx

21

− du = x dx

∫ − 29 xx dx = ∫ − xx 29 dx

= ∫ − duu21.2

1

= - duu∫ 21

21

= - 21

211

1

+u 2

11+ + C

= - 21 .

32 u 2

3

+ C

= - 23

2 )9(31 x− + C

= - 22 9)9(31 xx −− + C

Jawabannya adalah A UMPTN1991

3. ∫ =dxxx cossin 2 ….

A. 2 sin x. cos x + C D. Cx +3sin

B. Cx +3cos31 E. cos x - cos Cx +3

C. Cx +3sin31

Jawab: cara 1:

∫ nsin (ax+b) cos(ax+b) dx = )1(

1+na

sin 1+n (ax+b) +c

∫ =dxxx cossin 2 )12(

1+

sin 3 x + c

= 31 sin 3 x + c

Cara 2: Misal: u = sin x du = cos x dx

∫ =dxxx cossin 2 ∫ (sin x) 2 cos x dx

= ∫ u 2 du

= 31 u 3 + c

= 31 sin 3 x + c

Jawabannya adalah C


UAN2003 4. Hasil ∫ x sin(x )12+ dx = …

A. – cos (x )12+ + C D. 21 cos (x )12+ + C

B. cos (x )12+ + C E. -2 cos (x )12+ + C

C. 21

− cos (x )12+ + C

jawab: u = x 2 +1 du = 2x dx

∫ x sin(x )12+ dx =

= ∫ 21 sin u du (karena du = 2x dx)

= - 21 cos u + c

= - 21 cos (x )12+ + c

Jawabannya adalah C UAN2003

5. ∫ 2

1sin

xx dx = …

A. sin x 2 + c C. sin x1 + c E. cos x 2 + c

B. cos x + c D. cos x1 + c

Jawab: Misal ;

u = x1 = x 1−

du = - x 2− = - 2

1x

dx

∫ 2

1sin

xx dx = - ∫ sin u du

= cos u + c

= cos x1 + c

Jawabannya adalah D

EBTANAS2000 6. Hasil ∫ cos 2x. sin 5x dx = ….

A. - cxx ++ 3cos617cos

141

B. - cxx +− 3cos617cos

141

C. cxx +− 3cos617cos

141

D. cxx ++ 3cos317cos

141

E. cxx +− 3cos317cos

141

Jawab : 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B)

sin A cos B = 21 sin (A+B) + sin (A-B)

cos 2x. sin 5x = sin 5x cos 2x

= 21 { sin (5x + 2x) + sin (5x – 2x) }

= 21 ( sin 7x + sin 3x )

∫ cos 2x. sin 5x dx

= ∫ 21 sin 7x dx + ∫ 2

1 sin 3x dx

= - 21 .

71 cos 7x + -

21 .

31 cos 3x + c

= - 141 . cos 7x -

61 cos 3x + c

Jawabannya adalah B UN2006

7. Nilai dari ∫4

0 1222

2 ++

+

xxx dx =…

A. 10 B. 8 C. 6 D. 5 E. 4


Jawab: 2x + 2 = 2 (x+1)

122 ++ xx = 2)1( +x = x+1

∫4

0 1222

2 ++

+

xxx dx

= ∫4

0 1)1(2

++

xx dx = ∫

4

0

2 dx

= 2x4

0| = 2.4 – 0 = 8

Jawabannya adalah B UAN2007

8. Diketahui ∫3

a

(3x 2 + 2x + 1 ) dx = 25, nilai 21 a = …

A. -4 B. -2 C. -1 D. 1 E. 2 Jawab:

∫3

a

(3x 2 + 2x + 1 ) dx = x 3 + x 2 + x 3|a

= 27 + 9 + 3 - (a 3 + a 2 + a ) = 39 - (a 3 + a 2 + a ) = 25 (a 3 + a 2 + a ) = 14 Kita lakukan uji coba nilai (trial & error) : Masukkan nilai 1 a 3 + a 2 + a = 3 tidak memenuhi 2 a 3 + a 2 + a = 8 + 4 + 2 = 14 memenuhi -2 a 3 + a 2 + a = -8 + 4 -2 = -6 tidak memenuhi

maka a = 2, sehingga 21 a = 1

Jawabannya adalah D

EBTANAS1991

9. ∫2

0

π

sin(2x-π ) dx =

A. -1 B. - 21 C. 0 D.

21 E. 1

Jawab:

∫2

0

π

sin(2x-π ) dx

= - 21 cos (2x-π )

2

0|

π

= - 21 cos (π - π ) – (-

21 cos(0 - π ) )

= - 21 cos 0 – (-

21 cos - π )

= - 21 . 1 +

21 . -1 = -

21 -

21 = -1

* cos 0 = 1, * cos - π = cos(π – 2π ) = - cos 2π = - cos 360 = - 1 ) jawabannya adalah A UN2006 10. Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva y = x 2 - 2 dan garis y – x – 4 = 0 adalah….

A. 10 65 satuan luas D. 20

65 satuan luas

B. 11 65 satuan luas E. 21

65 satuan luas

C. 20 63 satuan luas

Jawab: y = x 2 - 2 ….(1) y – x – 4 = 0 ⇔ y = x + 4 ….(2)


substitusi (1) dan (2) : x + 4 = x 2 - 2 ⇔ x 2 - x - 6 = 0 ⇔ (x - 3 ) (x +2 ) = 0 titik potong di x = 3 (batas atas) dan x = -2 (batas bawah) sketsa gambar untuk melihat posisi kurva dan garis, pd gambar terlihat posisi di atas adalah garis, sehingga untuk menghitung luasnya adalah persamaan garis dikurangi kurva (kondisi sebaliknya apabila kurva di atas garis)

∫−

3

2

(y2 – y1) dx

= ∫−

3

2

(x + 4) –( x 2 - 2) dx

= ∫−

3

2

(x +4 - x 2 + 2) dx

= ∫−

3

2

(- x 2 + x + 6) dx

= - 3

31 x + 2

21 x + 6x

3

2|−

= - ))8(27(31

−− + )49(21

− + 6(3-(-2))

= - )35(31 + )5(

21 + 6(5)

= - 3

35 + 25 + 30 =

61801570 ++− =

6125

= 20 65 satuan luas

Jawabannya adalah D

UN2007 11. Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah adalah ….. satuan luas :

A. 20 65 C. 7

21 E. 5

65

B. 13 21 D. 6

61

jawab: Titik potong kurva dan garis : 9 - x 2 = x + 3 ⇔ x 2 + x – 6 = 0 ⇔ (x + 3 ) ( x – 2) = 0 Titik potongnya adalah x = -3 (batas bawah) dan x = 2 ( batas atas) luasnya =

∫−

2

3

(pers .kurva – pers garis) dx

= ∫−

2

3

(9-x 2 ) – (x +3) dx

= ∫−

2

3

(9 - x 2 - x – 3) dx

= ∫−

2

3

(6 - x 2 - x) dx

= 6x - 3

31 x - 2

21 x

2

3|−


= 6 (2-(-3) ) - ))27(8(31

−− - )94(21

−

= 6 . 5 - )35(31 - )5(

21−

= 30 -3

35 + 25 =

61570180 +−

= 6

125 = 20 65

Jawabannya adalah A UAN2002 12. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = x 2 dan garis x + y – 2 = 0 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360 0 . Volume benda putar yang terjadi adalah…

A. 15 32 π satuan volume

B. 15 52 π satuan volume

C. 14 53 π satuan volume

D. 14 52 π satuan volume

E. 10 53 π satuan volume

Jawab:

Mencari titik potong: y = x 2 …(1) x + y – 2 = 0 ⇔ y = 2 – x ..(2)

substitusi (1) dan (2) x 2 = 2 – x ⇔ x 2 + x – 2 = 0 ⇔ (x + 2 ) (x – 1 ) = 0 x = -2 (batas bawah) atau x = 1 (batas atas) (lihat pada gambar) Mencari volume :

V = π ∫−

1

2

(y 22 - y1

2 ) dx

= π ∫−

1

2

{ (2-x) 2 - (x 2 ) 2 } dx

= π ∫−

1

2

((4 - 4x + x 2 ) - x 4 } dx

= π ∫−

1

2

(4 – 4x + x 2 -x 4 ) dx

= π ∫−

1

2

(- x 4 + x 2 - 4x + 4) dx

= π ( - 5

51 x + 3

31 x - 2x 2 + 4x)

1

2|−

= π {(- 31())32(1(

51

+−− (1-(-8))-2(1-4)+4(1-(-2))}

= π {(-51 33 +

31 9 - 2 . (-3) + 4 .3 )

= π (-533 + 3 + 6 + 12 )

= π (-533 + 21) = π

510533+−

= π 572 = 14

52 π satuan volume

jawabannya adalah D


UN2007 13. Volume benda putar bila daerah yang dibatasi kurva y = -x 2 +4 dan y=-2x + 4 diputar 360 0 mengelilingi sumbu y adalah…. A. 8π satuan volume

B. π2

13 satuan volume

C. 4π satuan volume

D. π38 satuan volume

E. π45 satuan volume

Jawab:

Mencari titik potong: Persamaan kurva y= -x 2 + 4 ⇔ x 2 = 4 – y …(1) persamaan garis y = -2x + 4 ⇔ 2x = 4 – y

x = 2

4 y− ..(2)

substitusi (1) dan (2)

x 2 = 4 – y ⇔ 4

)4( 2y− = 4 – y

(4-y) 2 = 16 – 4y 16 – 8y + y 2 = 16 – 4y 16 - 16- 8y+ 4y+ y 2 =0 - 4y + y 2 = 0 y 2 - 4 y = 0

y (y - 4) = 0 didapat y = 0 atau y = 4 ( terlihat pada gambar)

mencari Volume: karena diputar terhadap sumbu y rumusnya menjadi:

V = π ∫4

0

(x12 - x 2

2 ) dy

= π ∫4

0

{ (4-y) –4

)4( 2y− } dy

= π ∫4

0

4-y –4

)816( 2yy +− } dy

= π ∫4

0 4)816416( 2yyy −+−− } dy

=4π ∫

4

0

(4y - y 2 ) dy

= 4π ( 2y 2 -

31 y 3 )

4

0|

= 4π (32 -

364 ) =

4π (

36496 − )

= 4π

332 =

38 π satuan volume

12.

16. Soal-Soal Integral

Documents

Transcript of 16. Soal-Soal Integral