11/4/2014

1

Dua bahasan penting:1) Dalil LHpital untuk mencari

solusi limit bentuk Tak-Tentu2) Integral tak wajar

Dalil LHpital dan Bentuk Tak-Tentu

11/4/2014

2

Guillaume De l'Hpital1661 - 1704

LHpitals Rule(Dalil L Hpital)

Sebenarnya, dalil LHpitals dikembangkan oleh gurunya yang bernama Johann Bernoulli. Bernoulli merupakan guru privat De lHpital, dia kemudian mempublikasikan buku Calculus pertama berdasarkan hasil privatnya tersebut.

Johann Bernoulli1667 - 1748

Dalil LHpitals

11/4/2014

3

Nol dibagi nol tidak dapat dievaluasi, ini adalah contoh bentuk tak-tentu.

2

2

4lim2x

xxMisalkan:

Jika kita gunakan subtitusi langsung, didapat:00

Pada kasus ini kita dapat menyelesaikan dengan faktorisasi:

2

2

4lim2x

xx

2

2 2lim

2xx x

x 2lim 2x x 4

Jika kita zoom in cukup besar, kurvanya akan kelihatan seperti garis lurus.

2

2

4lim2x

xx

Limit diatas merupakan rasio pembilang dibagi penyebutketika x mendekati 2.

-5

-4

-3

-2

-10

1

2

3

4

-3 -2 -1 1 2 3x

2 4x

2x -0.05

0

0.05

1.95 2 2.05x

limx a

f xg x

11/4/2014

4

2

2

4lim2x

xx

limx a

f xg x

-0.05

0

0.05

1.95 2 2.05x

f x

g x

f xg x

Ketika 2x

menjadi:

2

2

4lim2x

xx

limx a

f xg x

-0.05

0

0.05

1.95 2 2.05x

Ketika 2x

f xg x

menjadi:

df

dg

dfdg

dx

'( )'( )

f xdxg xd

dxg

df

11/4/2014

5

2

2

4lim2x

xx

limx a

f xg x

2

2

4lim

2x

d xdxd xdx

22lim1xx

4

Dalil LHpitals:

Jika tak-tentu, maka: limx a

f xg x

lim limx a x a

f x f xg x g x

Kita dapat menunjukkan kebenaran dalil LHpitals dengan proses mundur dan menggunakan definisi turunan:

f ag a

lim

lim

x a

x a

f x f ax a

g x g ax a

limx a

f x f ax a

g x g ax a

limx a

f x f ag x g a

0lim

0x af xg x

limx a

f xg x

Dalil LHopital dapat diterapkanberkali-kali sampai didapat bentuk

limit yang tentu

11/4/2014

6

Contoh:

20

1 coslimx

xx x 0

sinlim1 2x

xx

0Sudah bukan bentuk tak-tentu lagi, maka STOP!

Jika kita meneruskan dalil LHpitals lagi maka:

0

sinlim1 2x

xx

0coslim

2xx

12

Ini adalah salah, salah, salah!

Dengan kata lain, anda dapat mengaplikasikan dalil LHpitals berkali-kali selama bentuk pembagiannya masih tak-tentu:

20

1 12lim

x

xx

x

120

1 112 2lim

2x

x

x

00

00

00

bukan

1220

11 12lim

x

x x

x

320

1 14lim

2x

x

14

2

18

(tulis dalam bentuk exponential)

11/4/2014

7

LHpitals dapat digunakan untuk mengevaluasi bentuk

tak-tentu lainnya selain .0 0

Bentuk-bentuk berikut juga merupakan bentuk tak tentu:

0 1

00 0Bentuk, , dapat dievaluasi seperti bentuk

00

Bentuk lainnya harus dirubah ke bentuk pembagian terlebih dahulu.

1lim sinx

xx

Ini bentuk00

1sinlim 1x

x

x

Ini bentuk 0

Kita sudah tahu bahwa0

sinlim 1x

xx

Kita juga dapat menggunakan dalil LHpitals:

2

2

1 1coslim 1x

x x

x

1sinlim 1x

x

x

1lim cosx x

cos 0 1

11/4/2014

8

1

1 1limln 1x x x

Rubah ke bentuk pembagian, didapat:

11 lnlim1 lnx

x xx x

Sekarang menjadi bentuk00

Ini bentuk tak-tentu

1

11lim 1 lnx

xx xx

Dalil LHpitals diaplikasikan sekali.

00

Sederhanakan. Masih

1

1lim1 lnxx

x x x

11 lnlim1 lnx

x xx x

1

11lim 1 lnx

xx xx

1

1lim1 1 lnx x LHpital lagi.

12

1

1lim1 lnxx

x x x

LANJUTAN

11/4/2014

9

Bentuk tak tentu: 1 00 0Dalam mengevaluasi bentuk-bentuk ini memerlukan trik matematik untuk merubah ke bentuk pembagian.

ln lnnu n u ln1u

n

Kita rubah ke bentuk pembagian agar bisa diaplikasikan dalil LHpitals.

limx a

f x ln limx a f xe lim lnx a f xe

Kita bisa mengambil log suatu fungsi sepanjang kita exponential kan secara bersamaan.

Taruh notasi limit diluar log.

Bentuk tak tentu: 1 00 0

1/lim xx

x

1/lim ln xx

xe

1lim lnx

xxe

lnlimx

xxe

1 lim

1xx

e

0e

1

0

GunakanLHpital

Example:

11/4/2014

10

2

23

9a) lim6x

xx x

LATIHAN

Hitunglah limit berikut

2

22

3 10b) lim4 4x

x xx x

0tan 2c) lim

ln 1xxx

2tan ' secy x y x

30

sind) limx

x xx

20

1 cose) lim3xx

x x

1f) limx

x

ex

lim xx

xe

lna) lim 0 b) lim 0a

x ax a x a

x xe x

LATIHAN

1) Perlihatkan bahwa untuk a sebarang bilangan riil maka

2) Hitung limit berikut

cot10

1a) lim 1 b) lim1 ln

x

xx

xxx x

cos cot02

c) lim tan d) lim sinx xxx

x x 1tan secx x