12. Pemecahan Masalah Matematika

Penulis Clara Ika Sari Budhayanti Josef Tjahjo Baskoro Edy Ambar Roostanto Bitman Simanullang Penelaah Materi M. Syaifuddin Penyunting Bahasa Yumiati Layout Renaldo Rhesky N

Kata PengantarPendidikan Jarak Jauh (PJJ) memiliki ciri utama keterpisahan ruang dan waktu antara mahasiswa dengan dosennya. Dalam PJJ, keberadaan bahan ajar memiliki peran strategis. Melalui bahan ajar, mahasiswa secara mandiri mampu belajar, berefleksi, berinteraksi, dan bahkan menilai sendiri proses dan hasil belajarnya. Paket bahan ajar PJJ S1 PGSD ini tidak hanya berisi materi kajian, tetapi juga pengalaman belajar yang dirancang untuk dapat memicu mahasiswa untuk dapat belajar secara aktif, bermakna, dan mandiri. Paket bahan ajar ini dikemas secara khusus dalam bentuk bahan ajar hybrid yang meliputi: a. b. c. d. Bahan ajar cetak, Bahan ajar audio, Bahan ajar video, serta Bahan ajar berbasis web.

Seluruh paket bahan ajar ini dikembangkan oleh Konsorsium PJJ S1 PGSD yang terdiri dari 23 Perguruan Tinggi (PT), yaitu Universitas Sriwijaya, Universitas Katolik Atmajaya, Universitas Pendidikan Indonesia, Universitas Negeri Yogyakarta, Universitas Negeri Malang, Universitas Muhammadiyah Malang, Universitas Tanjungpura, Universitas Nusa Cendana, Universitas Negeri Makassar, Universitas Cendrawasih, Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. HAMKA, Universitas Pattimura, Universitas Muhammadiyah Makassar, Universitas Negeri Gorontalo, Universitas Negeri Jember, Universitas Lampung, Universitas Lambung Mangkurat, Universitas Pendidikan Ganesha, Universitas Mataram, Universitas Negeri Semarang, Universitas Kristen Satya Wacana, Universitas Negeri Solo, dan Universitas Haluoleo. Proses pengembangan bahan ajar ini difasilitasi oleh SEAMOLEC. Semoga paket bahan ajar ini dapat memberi manfaat bagi semua pihak yang terlibat dalam penyelenggaraan program PJJ S1 PGSD di tanah air.

Direktorat Jendral Pendidikan Tinggi Direktur Ketenagaan,

Muchlas Samani NIP. 0130516386

Daftar Isi

Kata Pengantar Daftar Isi Tinjauan Mata Kuliah ... UNIT 1 Subunit 1 Latihan Rangkuman Tes Formatif 1 Subunit 2 Latihan 1 Latihan 2 Latihan 3 Latihan 4 Latihan 5 Rangkuman Tes Formatif 2 : : : : : : : : : : : : KONSEP DASAR ARITMETIKA.............................. Perpangkatan dan Akar Bilangan................................. ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... Barisan dan Deret......................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... .......................................................................................

i vii 1.1 1.2 1.6 1.9 1.10 1.12 1.14 1.16 1.19 1.22 1.24 1.26 1.27 1.29 1.31 1.32

Kunci Jawaban Tes Formatif ............................................................................... Daftar Pustaka : ....................................................................................... Glosarium : .......................................................................................

Pemecahan Masalah Matematika

i

UNIT 2 Subunit 1 Rangkuman Tes Formatif 1 Subunit 2 Latihan Rangkuman Tes Formatif 2 Subunit 3 Latihan 1 Latihan 2 Rangkuman Tes Formatif 3

KONSEP DASAR ALJABAR.................................... : Persamaan .................................................................... : ....................................................................................... : ....................................................................................... : : : : : : : : : Pertidaksamaan ............................................................. ........................................................................................ ........................................................................................ ........................................................................................ Sistem Persamaan Linear................................................... ........................................................................................ ........................................................................................ ........................................................................................ ........................................................................................

2.1 2.2 2.12 2.12 2.15 2.20 2.23 2.23 2.27 2.30 2.32 2.35 2.36 2.37 2.45 2.46

Kunci Jawaban Tes Formatif ............................................................................... Daftar Pustaka : ........................................................................................ Glosarium : ........................................................................................

UNIT 3 Subunit 1 Latihan 1 Latihan 2 Rangkuman Tes Formatif 1 Subunit 2 Latihan Rangkuman : : : : :

KONSEP DASAR GEOMETRI DAN PENGUKURAN Bangun Datar Geometri................................................. ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... .......................................................................................

3.1 3.3 3.10 3.21 3.22 3.23 3.24 3.30 3.31

: Bangun Ruang............................................................... : ....................................................................................... : .......................................................................................

ii Daftar Isi

Tes Formatif 2 Subunit 3 Latihan Rangkuman Tes Formatif 3

: : : : :

....................................................................................... Geometri Pengukuran................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... .......................................................................................

3.32 3.33 3.45 3.46 3.47 3.48 3.51 3.52

Kunci Jawaban Tes Formatif ............................................................................... Daftar Pustaka : ....................................................................................... Glosarium : .......................................................................................

UNIT 4 Subunit 1 Latihan Rangkuman Tes Formatif 1 Subunit 2 Latihan Rangkuman Tes Formatif 2

KONSEP DASAR TRIGONOMETRI.............................. : : : : : : : : Teorema Pythagoras....................................................... ........................................................................................ ........................................................................................ ........................................................................................ Perbandingan Trigonometri.......................................... ........................................................................................ ........................................................................................ ........................................................................................

4.1 4.2 4.6 4.7 4.7 4.8 4.12 4.14 4.14 4.15 4.18 4.19

Kunci Jawaban Tes Formatif ............................................................................... Daftar Pustaka : ........................................................................................ Glosarium : .......................................................................................

UNIT 5 Subunit 1 Latihan 1 Latihan 2 Rangkuman

PELUANG......................................................................... : : : : Permutasi dan Kombinasi............................................. ........................................................................................ ........................................................................................ ........................................................................................

5.1 5.2 5.5 5.7 5.10


iii

Tes Formatif 1 Subunit 2 Latihan Rangkuman Tes Formatif 2

: ........................................................................................ : : : : Peluang........................................................................... ........................................................................................ ........................................................................................ ........................................................................................

5.10 5.13 5.17 5.20 5.20 5.23 5.27 5.28

Kunci Jawaban Tes Formatif ............................................................................... Daftar Pustaka : ........................................................................................ Glosarium : ........................................................................................

UNIT 6 Subunit 1 Latihan Rangkuman Tes Formatif 1 Subunit 2 Latihan Rangkuman Tes Formatif 2

PENALARAN MATEMATIKA....................................... : : : : : : : : Pengantar Logika.......................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... Pernyataan Berkuantor.................................................. ....................................................................................... ....................................................................................... .......................................................................................

6.1 6.2 6.9 6.13 6.15 6.17 6.21 6.22 6.23 6.26 6.27 6.28

Kunci Tes Formatif .............................................................................................. Daftar Pustaka : ....................................................................................... Glosarium : .......................................................................................

UNIT 7 Subunit 1 Latihan Rangkuman

PENALARAN INDUKTIF DAN DEDUKTIF................. : Penarikan Kesimpulan................................................... : ....................................................................................... : .......................................................................................

7.1 7.2 7.9 7.14

iv Daftar Isi

Tes Formatif 1 Subunit 2 Rangkuman Tes Formatif 2

: ....................................................................................... : Penalaran Induktif dan Induktif.................................... : ....................................................................................... : .......................................................................................

7.15 7.18 7.25 7.26 7.27 7.31 7.32


UNIT 8 Subunit 1 Latihan Rangkuman Tes Formatif 1 Subunit 2 Rangkuman Tes Formatif 2

PEMODELAN MATEMATIKA : : : : Pemodelan Matematika................................................. ....................................................................................... ....................................................................................... .......................................................................................

8.1 8.2 8.10 8.12 8.13 8.15 8.22 8.23 8.24 8.28 8.29

: Penyelesaian Model Matematika.................................. : ....................................................................................... : .......................................................................................


UNIT 9 Subunit 1 Rangkuman Tes Formatif 1

PEMECAHAN MASALAH MATEMATIKA.................. : Pemecahan Masalah Matematika.................................. : ....................................................................................... : .......................................................................................

9.1 9.2 9.5 9.5


v

Subunit 2 Rangkuman Tes Formatif 2

: Strategi Pemecahan Masalah......................................... : ....................................................................................... : .......................................................................................

9.8 9.17 9.18 9.22 9.23 9.24


vi Daftar Isi

Tinjauan Mata Kuliahata kuliah Pemecahan Masalah Matematika membahas mengenai pemecahan masalah matematika dalam kehidupan sehari-hari yang terkait bidang aritmatika, aljabar, geometri, pengukuran, trigonometri dan peluang dengan menggunakan penalaran matematika yang tepat. Kompetensi yang harus dikuasai setelah mengikuti mata kuliah ini adalah mampu memecahkan masalah matematika dalam kehidupan sehari-hari, yang terkait bidang aritmatika, aljabar, geometri, pengukuran, trigonometri dan peluang dengan menggunakan penalaran matematika yang tepat. Tentu saja sebelum Anda dapat memecahkan masalah matematika dalam kehidupan sehari-hari, Anda harus terlebih dulu menguasai dan mampu menggunakan konsep-konsep dasar matematika dalam bidang aritmatika, aljabar, geometri, pengukuran, trigonometri dan peluang. Selain itu Anda juga harus dibekali pengetahuan mengenai penalaran matematika, penalaran induktif dan deduktif serta matematisasi horizontal dan vertikal yang akan sangat berguna pada saat menyelesaikan suatu model matematika dan melakukan validasi terhadap penyelesaian model matematika tersebut. Mata kuliah ini terdiri dari 9 unit sebagai berikut. Unit 1 membahas mengenai konsep dasar aritmatika. Unit ini terdiri dari dua subunit yaitu operasi hitung bilangan dan sifat-sifat operasi hitung bilangan. membahas mengenai konsep dasar aljabar. Unit ini terdiri dari dua subunit yaitu persamaan dan pertidaksamaan, barisan dan deret. membahas mengenai konsep dasar geometri dan pengukuran. Unit ini terdiri dari tiga subunit yaitu bangun datar, bangun ruang, dan pengukuran pada bangun datar dan bangun ruang geometri. membahas mengenai konsep dasar trigonometri. Unit ini terdiri dari dua subunit yaitu teorema pythagoras dan perbandingan trigonometri. membahas mengenai konsep dasar peluang. Unit ini terdiri dari dua subunit yaitu permutasi dan kombinasi, peluang suatu kejadian. membahas mengenai penalaran matematika. Unit ini terdiri dari dua subunit yaitu logika matematika dan kuantifikasi.

M

Unit 2

Unit 3

Unit 4

Unit 5

Unit 6

Tinjauan Mata Kuliah

vii

Unit 7

membahas mengenai penalaran induktif dan deduktif. Unit ini terdiri dari dua subunit yaitu penalaran induktif dan penalaran deduktif. membahas mengenai matematisasi horisontal dan vertikal. Unit ini terdiri dari dua subunit. membahas mengenai prosedur pemecahan masalah matematika. Unit ini terdiri dari dua subunit yaitu model matematika dan penyelesaian model matematika.

Unit 8

Unit 9

Unit 1 sampai dengan unit 8 merupakan prasyarat untuk mempelajari unit 9. Oleh karena itu, Anda harus benar-benar memahami dan menguasai setiap unit sehingga Anda dapat mencapai kompetensi mata kuliah ini. Selanjutnya Anda akan dapat menggunakan pemecahan masalah matematika ini menjadi salah satu alternatif metode pembelajaran matematika di SD. Pembelajaran mata kuliah ini dirancang sedemikian rupa dengan berbagai macam media pembelajaran. Selain melalui bahan ajar cetak ini, Anda bisa mempelajari atau memperdalam konsep-konsep serta berlatih menyelesaikan berbagai masalah matematika melalui bahan ajar audio visual dan bahan ajar web. Untuk dapat memahami dengan baik dan benar materi yang ada di setiap unit, baca dan kajilah sampai tuntas setiap subunitnya. Jika memungkinkan, diskusikanlah materi-materi tersebut dengan rekan-rekan yang lain. Jika Anda mengalami kesulitan, segeralah bertanya kepada orang yang Anda anggap mampu. Setiap subunit dilengkapi dengan latihan dan tugas. Kerjakanlah setiap latihan dan tugas yang ada di setiap subunit agar Anda semakin memahami dan terampil menggunakan konsep-konsep dalam subunit tersebut. Jika ada latihan atau tugas yang tidak bisa Anda selesaikan, segeralah meminta bantuan kepada orang yang Anda anggap bisa membantu Anda. Setelah Anda memahami semua materi dalam subunit, kerjakanlah tes formatif untuk mengukur tingkat penguasaan Anda pada setiap subunit. Cobalah mengerjakan sendiri tes formatif tersebut agar Anda benar-benar mengetahui seberapa besar penguasaan Anda terhadap materi itu. Jika tingkat penguasaaan Anda terhadap materi subunit tersebut belum mencapai nilai yang disyaratkan, Anda harus pelajari kembali subunit yang bersangkutan. Anda dapat mencari sumber-sumber belajar yang lain yang relevan dan dapat membantu Anda dalam memahami materi dalam mata kuliah ini.

TETAP SEMANGAT DAN SELAMAT BELAJAR

viii


Unit

1

KONSEP DASAR ARITMETIKAJosef Tjahjo Baskoro Clara Ika Sari Budhayanti Pendahuluan

M

ateri yang akan Anda pelajari pertama kali pada mata kuliah pemecahan masalah matematika adalah konsep dasar aritmetika. Kompetensi dasar yang harus dikuasai setelah mempelajari unit ini adalah Anda mampu menggunakan konsep dasar aritmetika khususnya konsep dalam perpangkatan dan akar bilangan serta barisan dan deret dalam menyelesaikan masalah matematika atau masalah lainnya. Oleh karena itu dalam unit ini akan dipelajari konsep perpangkatan dan akar bilangan serta barisan dan deret aritmetika dan geometri. Unit ini terbagi menjadi dua subunit yaitu subunit pertama berisi perpangkatan dan akar bilangan sedangkan subunit kedua berisi barisan dan deret. Bahan ajar mengenai materi ini, selain disediakan dalam bentuk bahan ajar cetak juga disediakan dalam bentuk bahan ajar berbasis web. Materi yang dibahas pada unit ini merupakan materi prasyarat yang harus dikuasai untuk mempelajari materi pemecahan masalah matematika. Oleh karena itu, pelajari unit ini sampai Anda menguasai dengan baik dan benar. Kerjakan semua latihan yang diberikan dan lihat kembali hasil pekerjaan Anda tersebut, kemudian bandingkan dengan pembahasan yang tersedia. Jika mengalami kesulitan, jangan segan untuk bertanya kepada rekan yang Anda anggap mampu atau dosen pengampu mata kuliah ini. Setelah Anda selesai mengkaji materi dan berlatih mengerjakan soalsoal, kerjakan tes formatif yang ada dalam setiap subunit untuk mengukur tingkat penguasaan Anda terhadap materi. Cobalah Anda kerjakan sendiri, kemudian bandingkan jawaban Anda tersebut dengan kunci jawaban tes formatif yang ada pada bagian akhir unit. Jika tingkat penguasaan Anda masih dibawah standar yang disyaratkan, pelajari kembali materi terutama di bagian yang Anda kurang mengerti. Selamat belajar dan tetap bersemangat, semoga Anda sukses.


1-1

Subunit 1 Perpangkatan dan Akar BilanganPerpangkatan

P

erpangkatan bilangan adalah perkalian berulang atau berganda suatu bilangan dengan faktor-faktor bilangan yang sama. Bentuk perpangkatan adalah sebagai berikut. a a ..... a = an n faktor Bentuk umumnya adalah a , di mana a disebut bilangan pokok atau bilangan dasar, sedangkan n disebut pangkat atau eksponen. Contoh : 23 (dibaca dua pangkat tiga) = 2 2 2 = 8 52 (dibaca lima pangkat dua) = 5 5 = 25n

Perpangkatan bilangan sangat berguna untuk meringkas bentuk perkalian berulang dalam jumlah besar. Selanjutnya kita akan mempelajari beberapa sifat yang berlaku dalam perpangkatan. Terdapat 6 sifat operasi perpangkatan yaitu: 1.

(a b )n

= an bn

2. a m a n = a m + n 3. a m : a n = a m n 4.

(a : b )n

= an : bn

5. 6.

(a )

m n

= a mn

1 dengan a 0 an Bukti kebenaran dari sifat-sifat di atas dapat Anda lakukan setelah Anda mempelajari unit 7 mengenai penalaran induktif dan deduktif. Sementara ini Anda dapat a n =

1-2

Unit 1

menggunakan sifat-sifat tersebut untuk menyelesaikan soal-soal mengenai perpangkatan. Pada perpangkatan, bilangan pokok dapat berupa bilangan bulat maupun pecahan, demikian juga untuk pangkat atau eksponen. Pangkat juga dapat berupa bilangan nol. Dalam perpangkatan, kedua komponen (bilangan pokok dan pangkat) sama pentingnya. Namun demikian, perubahan hasil perpangkatan terutama ditentukan oleh nilai pangkatnya. Oleh karena itu pembedaan nilai pangkat akan dibahas secara khusus. Pangkat dapat berupa bilangan nol, bilangan bulat (positif dan negatif), bilangan pecahan (rasional) dan bilangan irrasional. Bilangan irrasional tidak dibahas pada bahan ajar ini. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat skema berikut ini.

Gambar 1.1 Skema Pangkat Bilangan Bagaimana jika suatu bilangan dipangkatkan dengan nol? Sembarang bilangan bila dipangkatkan nol akan menghasilkan nilai 1, tidak perduli apakah bilangan pokoknya merupakan bilangan positif atau negatif. Contoh : 50 = 10

1 =1 7 Seperti yang telah dikemukakan sebelumnya perpangkatan bilangan adalah bentuk perkalian berulang atau berganda. Berdasarkan Skema Pangkat Bilangan, pangkat


1-3

dapat berupa bilangan bulat positif atau negatif. Pangkat bilangan bulat positif merupakan bentuk perkalian berulang yang sebenarnya. Nilai pangkat/eksponen menunjukkan banyaknya perkalian berulang (faktor) nilai itu sendiri. Sembarang bilangan bila dipangkatkan 1 akan menghasilkan bilangan itu sendiri. Contoh: 21 = 21

1 1 = 8 8 Baik bilangan pokok yang merupakan bilangan bulat maupun pecahan, bila dipangkatkan dengan 1 maka hasil perpangkatannya bernilai tetap sama yaitu bilangan itu sendiri. Sembarang bilangan bila dipangkatkan 2 akan menghasilkan perkalian berulang 2 kali bilangan itu sendiri. Contoh : 32 = 3 3 = 9 102 = 10 10 = 1002 2

2 2 4 22 2 2 4 2 2 atau = 2 = = = = 5 5 25 5 5 5 25 5 5 Sembarang bilangan bila dipangkatkan 3 akan menghasilkan perkalian berulang 3 kali bilangan itu sendiri. Contoh : 43 = 4 x 4 x 4 = 64 103 = 10 x 10 x 10 = 10003 3

3 2 2 2 8 2 2 2 2 8 2 2 atau = 3 = = = = 3 3 3 27 3 3 3 3 27 3 3 Perbandingan pembilang dan penyebut dalam bilangan pokok pecahan bersifat tetap. Pangkat bilangan bulat negatif atau sering disebut pangkat tak sebenarnya, menunjukkan bahwa perkalian berulang pecahan/kebalikan bilangan itu sendiri. Bentuk umumnya sebagai berikut.

an =

1 an

di mana n adalah bilangan bulat positif. Sembarang bilangan bila dipangkatkan -1 akan menghasilkan kebalikan bilangan itu sendiri. Contoh : 1 1 31 = 1 = 3 31-4Unit 1

1 1 = =8 1 8 8

1

8 3 = 3 8 Terlihat bahwa bila bilangan pokoknya adalah bilangan bulat, maka pangkat -1 nya adalah pecahan / kebalikannya. Secara umum berlaku1 b a = = a a b b Sembarang bilangan bila dipangkatkan -2 akan menghasilkan kuadrat kebalikan bilangan itu sendiri. Contoh : 1 1 2 2 = 2 = 2 41

1

1 1 1 = =9 = 2 1 3 1 9 32

2

1 1 25 1 2 = = =6 = 2 4 4 4 5 2 25 5 Bila bilangan pokok berbentuk pecahan dipangkatkan -2, maka hasilnya dapat berupa bilangan bulat ataupun bilangan pecahan.

Sembarang bilangan bila dipangkatkan -3 akan menghasilkan bilangan kubik dari kebalikan bilangan itu sendiri. Contoh : 1 1 3 3 = 3 = 3 27

1 1 1 64 3 = 3 = = = 3 27 27 3 4 3 43 64 4

3


1-5

Akar BilanganPada dasarnya pengertian akar bilangan dapat dijelaskan melalui perpangkatan. Akar bilangan merupakan perpangkatan dengan pangkat/eksponen bilangan pecahan. Pangkat bilangan pecahan disebut juga pangkat rasional. Secara umum definisi akar bilangan adalah sebagai berikut. Definisi :n

a (dibaca : akar n dari bilangan a) adalah bilangan yang apabila1

dipangkatkan dengan n hasilnya sama dengan a.n

a dapat juga ditulis a n

Contoh : Akar bilangan 2 atau sama dengan pangkat pecahan

1 2

1 2

4 = 4 = 42 = 2

2

1 2 1

=2

2

4 4 4 42 22 = = = 1 = 9 9 9 32 92

( ) ( )

1 2

1 2

=

2 3

2

1 2

1 2 2

=

2 3

Akar bilangan 3 atau sama dengan pangkat pecahan

1 3

1 3

8 = 83 = 2

3

1 3

=21

3

8 = 27

3 3

8 83 23 = 1 = 27 33 27 3

( ) ( )

1 3

1 3

=

2 3

3

1 3

1 3 3

=

2 3

LatihanSelanjutnya kerjakan latihan berikut untuk memantapkan pemahaman Anda terhadap materi. 1. Sederhanakanlah perpangkatan berikut ini. a. (53 ) : (55 54 )2

b. 5 5 m n 6

(

) : (52 2 2

7

m8 n9 ) m 8 n 9 ) m 8 n 9 )2

2. Nyatakan perpangkatan berikut dalam pangkat positif. a. c 7 m 5 n 97

( b. (c

m 5 n 9

) (c ) : (c

10

10

1-6

Unit 1

3. Hitunglah perpangkatan berikut ini. a. 2 31

b. 8 3 Bagaimana Saudara, apakah Anda mengalami kesulitan? Tentu saja tidak, namun demikian Anda dapat membandingkan jawaban yang Anda temukan dengan pembahasan berikut ini.

Pedoman Jawaban Latihan1. Menyederhanakan perpangkatan. a. Dengan menggunakan sifat 2 dan 5 diperoleh

(5 ) : (5 5 ) = 5 : 5 sehingga diperoleh (5 ) : (5 5 ) = 53 2 5 4 3.2 3 2 5 4

5+ 4

6

: 59 = 56 9 , kemudian menggunakan

sifat 3. Jadi hasil penyederhanaan perpangkatan 53 : 55 54

( ) (2

)

adalah

5 3 . b. Dengan menggunakan sifat 5 diperoleh

(5

5

m n 6 ) : (5 7 m 8 n 9 ) = (510 m 2 n 12 ) : (5 7 m 8 n 9 )2

Selanjutnya dengan menggunakan sifat 3 diperoleh perpangkatan yang lebih sederhana yaitu 510( 7 ) m 28 n 129 = 517 m 10 n 21 . 2. Menyatakan perpangkatan dalam pangkat positif. menggunakan sifat-sifat a. Dengan

perpangkatan,

(c

7

m 5 n 9 ) (c 10 m 8 n 9 ) akan dinyatakan dalam pangkat positif2

sebagai berikut.

(c

14

m 10 n18 )(c 10 m 8 n 9 )9

menggunakan sifat 5 menggunakan sifat 2

c 4 m 2 n 94

c n menggunakan sifat 6 m2 b. Analog dengan pengerjaan a, perpangkatan

(c

7

m 5 n 9

) : (c2

10

m 8 n 9

)

2

akan dinyatakan dalam pangkat menggunakan sifat 5 menggunakan sifat 3

positif berikut ini.

(c

14

m 10 n18 ) : (c 20 m16 n 18 )

c 34 m 26 n36


1-7

c 34 n36 m 26 3. Menghitung perpangkatan. 1 1 a. 2 3 = 3 = 8 21

menggunakan sifat 6

b. 8 3 = 3 8 = 2 Materi mengenai perpangkatan dan akar bilangan telah selesai dibahas. Selanjutnya silahkan Anda kembali mengingat materi apa yang telah Anda pelajari pada subunit ini dengan membaca rangkuman. Kemudian silahkan Anda mengerjakan tes formatif 1, agar Anda dapat mengetahui tingkat pemahaman atau penguasaan materi ini.

1-8

Unit 1

RangkumanPerpangkatan bilangan adalah perkalian berulang atau berganda suatu bilangan dengan faktor-faktor bilangan yang sama a a ..... a = an n faktor di mana a disebut bilangan pokok atau bilangan dasar, sedangkan n disebut pangkat atau eksponen. Berikut beberapa sifat operasi perpangkatan yaitu: 1.

(a b )n

= an bn

2. a m a n = a m + n 3. a m : a n = a m n4. 5. 6.

(a : b )n

= an : bn

(a )

m n

= a mn

1 dengan a 0 an Setiap bilangan yang dipangkatkan dengan bilangan nol, hasilnya merupakan bilangan 1, sedangkan setiap bilangan yang dipangkatkan dengan 1, hasilnya merupakan bilangan itu sendiri. Akar suatu bilangan merupakan perpangkatan dengan pangkat bilangan pecahan.

a n =

Bentuk umum akar bilangan adalah1n

n

a (dibaca : akar n dari bilangan a) yaitu

bilangan yang apabila dipangkatkan dengan n hasilnya sama dengan a.

a dapat juga ditulis a n


1-9

Tes Formatif 1Kerjakanlah tes formatif berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi perpangkatan dan akar bilangan dengan cara memberi tanda silang (X) pada pada salah satu jawaban yang Anda anggap benar. 1. Berikut ini yang merupakan definisi perpangkatan adalah . A. penambahan berulang bilangan yang sama B. pengurangan berulang bilangan yang sama C. perkalian berulang bilangan yang sama D. pembagian berulang bilangan yang sama 2.

(x Bentuk sederhana dari perpangkatanA. xy 6 B. x 5 y 5

2

y 3 x5

)

2

adalah .

C. x 5 y 5 D. x 9 y 6

5 3 3. Bentuk perpangkatan 2 x adalah 1 A. 4 xB. 1 59 x

1 3 jika dinyatakan dalam pangkat positif x x3 59 x18 59

3

C.D.

5 2 5 3 4. Nilai dari 53 A. 5 7 B. 0

(

)

3

1 adalah . 5 3 C. 5 3

D. 512 5. Bilangan 32 merupakan penyederhanaan dari perpangkatan A. (2 2 2 1 ) B. 4 4 2 33

C. 2 0 2 4 D. (4 2 2 1 )2

6. Arti dari A. a

n

a adalah C. a1 n

n

1 - 10 Unit 1

B. a

1 n

D. a n

16 27 3 7. Nilai dari 2 9 8 adalah A. 1 B. 2 C. 6 D. 8

8. Bilangan 15 merupakan nilai dari . A. B.5

( 5 )( 3 )3 34

75

C.

( 9 )( 10 ) D. ( 125 )( 81 )3 2

3

4

2 2 9. Nilai dari : 2 adalah 3 3

4 9 12 B. 72 A.

20 85 64 D. 729 C.

3 1 10. Bilangan yang merupakan nilai dari 2 2 4 27 adalah 1 6 1 B. 12 A. 1 18 1 D. 24 C.

Umpan Balik Dan Tindak LanjutSetelah mengerjakan tes formatif 1, bandingkan jawaban Anda dengan kunci jawaban yang terdapat pada akhir unit ini. Jika Anda dapat menjawab dengan benar minimal 80%, Anda dinyatakan berhasil dengan baik. Selamat, silahkan Anda mempelajari sub unit selanjutnya. Sebaliknya jika jawaban benar Anda kurang dari 80%, pelajari kembali uraian dalam sub unit ini, terutama bagian-bagian yang belum Anda kuasai dengan baik.


1 - 11

Subunit 2 Barisan dan Deret

B

arisan dan deret yang akan dibahas di sini khususnya barisan dan deret aritmetika serta geometri. Dalam subunit ini juga akan dibahas mengenai notasi sigma yang menjadi dasar untuk penulisan deret.

BarisanSebelum kita mempelajari barisan, coba Anda amati pola bilangan pada himpunan berikut ini. 1. Himpunan bilangan asli : {1, 2, 3, 4, 5, } 2. Himpunan bilangan bulat : {, -2, -1, 0, 1, 2, } 3. Himpunan bilangan asli ganjil : {1, 3, 5, 7, 9, } 4. Himpunan bilangan asli genap : {2, 4, 6, 8, 10, } Setiap anggota himpunan di atas dapat diurutkan sehingga mempunyai keteraturan atau pola. Penulisan beberapa anggota himpunan secara terurut seperti di atas akan dapat menyatakan anggota himpunan yang lain yang mempunyai pola sama. Urutan bilangan yang mempunyai pola atau keteraturan tertentu disebut barisan. Pada contoh himpunan di atas, diperoleh barisan bilangan seperti berikut ini. 1. Barisan bilangan asli 1, 2, 3, 4, 5, 2. Barisan bilangan bulat , -2, -1, 0, 1, 2, 3. Barisan bilangan (asli) ganjil 1, 3, 5, 7, 9, 4. Barisan bilangan (asli) genap 2, 4, 6, 8, 10, Nama barisan dicirikan oleh bilangan-bilangan yang membentuk barisan tersebut. Adapula barisan yang diberi nama sesuai dengan penemunya. Contoh : Barisan bilangan Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, yang ditemukan pada tahun 1200 oleh Leonardo Fibonacci. Masing-masing bilangan pada suatu barisan disebut suku barisan dan dipisahkan dengan tanda koma. Suku pertama dilambangkan dengan u1 , suku kedua dilambangkan dengan u 2 dan seterusnya. Jadi secara umum suatu barisan yang terdiri dari n suku ditulis dalam bentuk sebagai berikut.

u1 , u 2 , u 3 ,..., u nIndeks pada barisan di atas menyatakan banyaknya suku dan disebut panjang barisan. Untuk n bilangan asli berhingga, barisan itu disebut barisan berhingga.

1 - 12 Unit 1

Pada contoh barisan bilangan yang telah disebutkan di atas, dua barisan bilangan pertama mempunyai pola yang sama yaitu suku barisan diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 1. Perbedaan kedua barisan tersebut terletak pada suku awalnya saja. Suku barisan bilangan pada contoh keempat dan kelima diperoleh dengan menambah suku sebelumnya dengan bilangan 2. Perbedaan pada suku awal akan memberikan perbedaan pada suku-suku berikutnya. Selanjutnya kita akan mempelajari barisan aritmetika dan geometri. Untuk memahami pengertian barisan aritmetika, coba Anda perhatikan contoh-contoh barisan berikut ini. Contoh : 1. Barisan 2, 4, 6, 8, 2. Barisan 4, 1, -2, -5, 1 1 3. Barisan 3, 2 , 2, 1 , 2 2 Pada setiap barisan di atas, apakah Anda bisa melihat bahwa selisih dua suku yang berurutan selalu tetap (konstan)? Barisan dengan ciri seperti itu disebut barisan aritmetika dan selisih dua suku yang berurutan disebut beda dan dilambangkan dengan b. Coba Anda tentukan beda masing-masing barisan pada contoh di atas kemudian cocokkan jawaban Anda dengan pembahasan berikut ini. 1. Beda barisan 2, 4, 6, 8, dapat diketahui dengan cara mengurangkan suku barisan (kecuali suku awal) dengan suku sebelumnya. Jadi beda barisan tersebut adalah b = 4 2 = 6 4 = 8 6 = 2 . 2. Beda barisan 4, 1, -2, -5, adalah b = 1 4 = (2) 1 = (5) (2) = 3 . 1 1 1 1 1 1 3. Beda barisan 3, 2 , 2, 1 , adalah b = 2 3 = 2 2 = 1 2 = . 2 2 2 2 2 2 Jika kita ingin menentukan suku ke sekian dari suatu barisan aritmetika, berarti kita harus mempunyai rumus untuk suku ke-n dari barisan aritmaetika. Misalkan suku awal dan beda dari barisan aritmetika dilambangkan dengan a dan b . Untuk menentukan rumus suku ke-n suatu barisan aritmetika, perhatikan bagan berikut ini.

Gambar 1.2


1 - 13

Jadi berdasarkan bagan di atas diperoleh rumus suku ke-n dari barisan aritmetika yaitu

u n = a + (n 1)b .

Latihan 1Setelah Anda mengetahui rumus umum suku ke-n dari barisan aritmetika, silahkan Anda berlatih mengerjakan contoh-contoh soal berikut ini. 1. Dari barisan aritmetika berikut ini, tentukan rumus suku ke-n dan suku ke 26. a. 1, 7, 13, 19, b. 8, 1, -6, -13, 1 1 3 c. 10, 9 , 8 , 7 , 4 2 4 2. Jika diketahui pada suatu barisan aritmetika, suku ke-10 adalah 41 dan suku ke-5 adalah 21. Tentukan suku ke-125.

Pedoman Jawaban LatihanBagaimana Saudara, apakah Anda mengalami kesulitan? Coba Anda cocokkan jawaban yang telah Anda kerjakan dengan pembahasan berikut ini. 1. a. Pada barisan 1, 7, 13, 19, diketahui suku awal a = 1 dan beda b = 6 maka rumus suku ke-n dari barisan tersebut adalah u n = 1 + (n 1)6 atau

u n = 6n 5 . Dari rumus ini dapat ditentukan suku ke-26 yaitu u 26 = 6(26) 5 = 156 5 = 155 .b. Pada barisan 8, 1, -6, -13, , diketahui suku awal a = 8 dan beda b = 1 8 = 7 maka rumus ke-n dari barisan tersebut adalah

u n = 8 + (n 1)(7) = 15 7 n , sehingga dari sini dapat ditentukan suku

ke-26 yaitu u26 = 15 7(26) = 15 182 = 167 . 1 1 3 c. Pada barisan 10, 9 , 8 , 7 , diketahui suku awalnya adalah a = 10 4 2 4 1 3 dan beda b = 9 10 = . Rumus ke-n dari barisan tersebut adalah 4 4

1 3 u n = 10 + (n 1) atau u n = (43 3n ) . Dari sini kita akan tentukan 4 4 suku ke-26 yaitu u 26 = 1 (43 3(26)) = 1 ( 35) = 35 = 8 3 . 4 4 4 4

1 - 14 Unit 1

2. Diketahui suku ke-10 dari suatu barisan aritmetika adalah 41 dan suku ke-5 sama dengan adalah 21 maka

u10 = a + (10 1)b = a + 9b = 41

dan

u 5 = a + (5 1)b = a + 4b = 21 . Dari sini diperoleh a + 9b = 41 a + 4b = 21 5b = 20 b = 4 sehingga a + 4(4) = 21Jadi rumus ke-n barisan tersebut adalah u n = 5 + (n 1)4 = 4n + 1 sehingga suku ke-125 adalah u125 = 4(125) + 1 = 500 + 1 = 501 . Kita telah bersama-sama mempelajari barisan aritmetika. Sekarang kita akan mempelajari barisan lain yang juga sering kita temui dalam kehidupan sehari-hari yaitu barisan geometri. Sebelum kita mempelajari barisan geometri, kita simak dahulu cerita berikut ini. Alkisah di suatu negeri, seorang raja akan memberikan apapun yang diminta sebagai hadiah kepada juara catur di negeri itu. Juara catur meminta hadiah beras yang jumlahnya adalah banyak beras di kotak terakhir pada papan catur dengan aturan banyak beras di setiap kotak papan catur adalah sebagai berikut. Banyaknya beras di kotak pertama 1 kg, di kotak kedua sebanyak 2 kg, di kotak ketiga sebanyak 4 kg, dan seterusnya. Sang raja langsung menyetujui permintaan tersebut. Dia berpikir bahwa permintaan itu sangat sederhana. Bagaimana Saudara, apakah Anda setuju dengan pemikiran raja tersebut? Apakah permintaan juara catur tersebut sangat sederhana? Sebenarnya berapa kg beras yang diminta sebagai hadiah? Kita akan selidiki bersama kasus ini. Kita perhatikan barisan bilangan yang menyatakan banyak beras yang diminta oleh juara catur yaitu 1, 2, 4, 8, 16, dan seterusnya. Coba Anda perhatikan bahwa setiap dua suku yang berurutan mempunyai perbandingan yang tetap. Pada barisan itu perbandingan yang tetap 2 4 8 16 tersebut adalah = = = = 2 . Perbandingan yang tetap itu disebut rasio dan 1 2 2 8 dilambangkan dengan r. Jadi rasio barisan 1, 2, 4, 8, 16, adalah r = 2 . Barisan yang mempunyai perbandingan tetap antara suku-suku yang berurutan disebut barisan geometri. Jadi secara umum, barisan geometri berbentuku1 , u 2 , u 3 ,..., u n denganun = r dimana r adalah konstanta. u n 1

a=5


1 - 15

Selanjutnya, apakah Anda bisa menentukan rumus suku ke-n dari barisan geometri tersebut? Kita akan selidiki bersama-sama.u2 = r sehingga u 2 = u1 r u1u3 = r sehingga u 3 = u 2 r , karena u 2 = u1 r maka u 3 = u1 .r.r = u1 r 2 u2 u4 = r sehingga u 4 = u 3 r , karena u 3 = u1 r 2 maka u4 = u1.r 2 .r = u1r 3 u3

dan seterusnya sampai dengan suku ke-n yaitu u n = u1 r n 1 Jadi rumus suku ke-n dari suatu barisan geometri adalah u n = u1 r n 1 . Kita kembali ke kasus sang raja dan juara catur. Berapa kg beras yang diminta juara catur? Banyak kotak pada papan catur adalah 64. Jadi kita akan menentukan suku ke64 dari barisan 1, 2, 4, 8, 16, sebagai berikut.

u 64 = u1 r 641= 1.2 63 = 2 63 Ternyata banyak sekali beras yang diminta juara catur yaitu sebanyak 2 63 kg.

Latihan 2Saudara, Anda telah belajar mengenai barisan geometri. Pemahaman Anda terhadap konsep ini akan lebih meningkat jika Anda berlatih menyelesaikan soal-soal berkaitan dengan barisan geometri. Berikut ini soal tentang barisan geometri, silahkan Anda menyelesaikan soal-soal tersebut. 1. Tentukan rasio, rumus ke-n dan suku ke-10 dari tiap barisan geometri berikut ini. a. 2, 6, 18, 54, b. 32, 16, 8, 4, c. 4, -8, 16, -32, d. 3 , 6, 12 3 , 72, 2. Suku pertama dari suatu barisan geometri sama dengan 4 dan suku ke-4 sama dengan 12. Tentukan rasio dan suku ke-8.

1 - 16 Unit 1

Pedoman Jawaban LatihanBagaimana Saudara, apakah Anda menemui kesulitan? Untuk melihat seberapa jauh pemahaman Anda mengenai barisan geometri, silahkan cocokkan penyelesaian yang Anda buat dengan pembahasan penyelesaian soal berikut ini. 6 1. a. Rasio pada barisan geometri pada 1a adalah r = = 3 . Suku pertama dari 2 barisan geometri itu adalah u1 = 2 maka rumus suku ke-n u n = 2.3 n 1 . Dari rumus tersebut dapat ditentukan suku ke-10 sebagai berikut.

u10 = 2.310 1 = 2.39 = 2.19683 = 39366Jadi suku ke-10 barisan geometri 2, 6, 18, 54, ...... adalah 39366. 16 1 b. Rasio barisan geometri pada 1b adalah r = = . Suku pertama dari 32 2 barisan tersebut adalah u1 = 32 maka rumus suku ke-n barisan tersebut 1 u n = 32 2 berikut.n 1

. Dari rumus tersebut ditentukan suku ke-10 sebagai

1 1 1 = 32 = 32 = 512 16 2 1 Jadi suku ke-10 barisan geometri 32, 16, 8, 4, ..... adalah . 16 8 c. Rasio barisan geometri pada 1c adalah r = = 2 . Suku pertama dari 4 1 u10 = 32 2 barisan tersebut adalah u1 = 4 maka rumus suku ke-n u n = 4( 2 )u10 = 4( 2 )10 1 n 1

10 1

9

. Dari

rumus tersebut dapat ditentukan suku ke-10 dari barisan sebagai berikut.= 4( 2 ) = 4( 512 ) = 20489

Jadi suku ke-10 dari barisan 4, -8, 16, -3, dan seterusnya sama dengan 2048. d. Rasio barisan geometri pada 1d adalah r = pertama barisan adalah u1 = 3un = 3 2 3

6 3

=

6 3 = 2 3 . Suku 3

maka rumus rumus suku ke-n

( )

n 1

. Dari rumus ini dapat ditentukan suku ke-10 dari barisan= 3 2 3 = 29

sebagai berikut.u10 = 3 2 3

( )

10 1

( ) ( )( 3 )9

10

= 512 35 = 512(243) = 124416

( )


1 - 17

Jadi suku ke-10 dari barisan geometri 124416.

3 , 6, 12 3 , 72, .... sama dengan

2. Diketahui u1 = 4 dan u 4 = 12 makau1 r 41 = 12 4r 3 = 12 r3 = 3 r=3 3 Suku ke 8 dari deret adalah u 8 = u1 r 81 = 4

( 3)3

7

7

1

= 4 3 3 = 4 3 2 3 3 = 363 3 .

Bagaimana Saudara, apakah penyelesaian Anda benar semua? Sejauh mana pemahaman Anda mengenai barisan geometri? Jika menurut Anda, pemahaman mengenai konsep ini kurang, jangan segan untuk mepelajari kembali konsep ini sebelum kita mempelajari konsep berikutnya. Konsep yang akan kita pelajari selanjutnya adalah mengenai konsep notasi sigma yang menjadi landasan dalam penulisan deret bilangan. Jika Anda sudah siap, kita akan lanjutkan dengan mempelajari konsep notasi sigma berikut ini.

Notasi SigmaNotasi sigma banyak digunakan dalam matematika khususnya bidang statistika. Penggunaan notasi sigma di dalam statistika antara lain digunakan dalam menentukan mean, simpangan baku, dan ragam. Sebelum membahas notasi sigma, perhatikan jumlah lima bilangan ganjil berikut ini. 1+3+5+7+9 Menurut Anda bagaimanakah pola lima bilangan tersebut? Pola barisan tersebut adalah sebagai berikut. Suku ke-1 = 1= 2(1) 1 Suku ke-2 = 3 = 2(2) 1 Suku ke-3 = 5 = 2(3) 1 Suku ke-4 = 7 = 2(4) 1 Suku ke-5 = 9 = 2(5) 1 Jadi secara umum pola barisan bilangan di atas adalah 2k 1 dengan k = 1, 2, 3, 4, 5. Penjumlahan lima bilangan asli yang ganjil di atas dapat disingkat dengan menggunakan notasi sigma. Lambang notasi sigma adalah yang merupakan huruf

1 - 18 Unit 1

kapital Yunani yang berarti penjumlahan. Notasi ini pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun 1755. Jadi penulisan 1 + 3 + 5 + 7 + 9 dengan menggunakan notasi sigma adalah sebagai berikut.

(2k 1)k =1

5

Lambang k = 1 disebut batas bawah dan k = 5 disebut batas atas. Secara umum bentuk notasi sigma didefinisikan sebagai berikut.

ak =1

n

k

= a1 + a 2 + a3 + ... + a n

Latihan 3Selanjutnya silahkan Anda berlatih menyelesaikan soal-soal berikut ini. 1. Tuliskan tiap penjumlahan berikut ini dengan menggunakan notasi sigma. a. 3 + 5 + 7 + 9 + 11 b. 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 2 3 4 5 6 c. 1 + + + + + 3 5 7 9 11 2. Setiap notasi sigma berikut ini, tuliskan dalam suku-suku penjumlahan kemudian hitunglah jumlahnya. a.

(3i + 1)i =1 5

6

b. c.

(1 4k )k =14

2i =1

i

Pedoman Jawaban LatihanCocokkan penyelesaian Anda dengan pembahasan berikut ini. 1. a. Perhatikan pola bilangan pada penjumlahan 3 + 5 + 7 + 9 + 11 . Suku ke-1 = 3 = 2(1) + 1 Suku ke-2 = 5 = 2(2) + 1 Suku ke-3 = 7 = 2(3) + 1 Suku ke-4 = 9 = 2(4) + 1 Suku ke-5 = 11 = 2(5) + 1


1 - 19

Secara umum pola bilangan pada penjumlahan tersebut adalah 2k + 1 dengan k = 1,2,3,4,5 . Jadi notasi sigma untuk penjumlahan3 + 5 + 7 + 9 + 11 adalah

2k + 1 .k =1

5

b. Pola bilangan pada penjumlahan 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 adalah sebagai berikut. Suku ke-1 = 1 = 12

Suku ke-2 = 4 = 2 2 Suku ke-3 = 9 = 3 2 Suku ke-4 = 16 = 4 2 Suku ke-5 = 25 = 5 2 Suku ke-6 = 36 = 6 2 Jadi secara umum pola bilangan pada penjumlahan tersebut adalah k 2 dengan k = 1,2,3,4,5,6 sehingga notasi sigma dari penjumlahan itu adalah

kk =1

6

2

.

c. Coba Anda perhatikan pola bilangan pada penjumlahan 2 3 4 5 6 1 + + + + + . Apakah Anda bisa melihat bahwa bilangan3 5 7 9 11 bilangan yang menjadi pembilang merupakan 6 bilangan asli pertama dan bilangan yang menjadi penyebut merupakan 6 bilangan (asli) ganjil pertama. Pola bilangan ganjil secara umum adalah 2k 1 dengan 2 3 4 5 6 k = 1,2,3,4,5,6 . Jadi penjumlahan 1 + + + + + dapat ditulis 3 5 7 9 11 dengan menggunakan notasi sigma yaitu

2k 1 .k =1

6

k

2. Selanjutnya kita akan menentukan suku-suku penjumlahan dan kemudian menghitung hasil penjumlahannya.

(3i + 1) = (3.1 + 1) + (3.2 + 1) + (3.3 + 1) + (3.4 + 1) + (3.5 + 1) + (3.6 + 1)i =1

6

a.

= 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 = 69

1 - 20 Unit 1

(1 4k ) = (1 4.1) + (1 4.2) + (1 4.3) + (1 4.4) + (1 4.5)k =1

5

b.

= ( 3) + ( 7 ) + ( 11) + ( 15) + ( 19 ) = 55

2i =1

4

i

= 21 + 2 2 + 2 3 + 2 4 = 2 + 4 + 8 + 16 = 30

c.

Pada notasi sigma, terdapat beberapa sifat yang sangat berguna dalam melakukan penghitungan atau manipulasi aljabar. Sifat-sifat tersebut sebagai berikut.Sifat 1.

A = nA dengan A suatu konstantai =1

n

Contoh :

2 = 2 +442+ 24 2 1 2+24 + 3i =1 5 suku

5

= 5(2) = 10Sifat 2.

Aui = A uii =1 i =1

n

n

Contoh :

2ui =1

4

i

= 2u1 + 2u 2 + 2u 3 + 2u 4 = 2(u1 + u 2 + u 3 + u 4 ) = 2 u ii =1 4

Sifat 3.

(ui vi ) = ui vii =1 i =1 i =1

n

n

n

Sifat 4.

ui +i =1

m

i = m +1

ui = uii =1

n

n


1 - 21

Sifat 5.

ui = ui+1 = ui1i =1 i =0 i=2

n

n 1

n +1

Anda dipersilahkan mencari contoh penggunaan sifat 3, 4, dan 5.

DeretJika suku-suku dalam suatu barisan dijumlahkan maka penjumlahan berurut dari suku-suku barisan tersebut disebut deret. Apakah Anda telah mendengar mengenai cerita tentang matematikawan yang bernama Carl Friederich Gauss? Ketika Gauss masih di sekolah dasar, dia diminta oleh gurunya untuk menjumlahkan 100 bilangan asli pertama. Gauss menggunakan teknik menghitung sederhana tetapi keefektifan cara menghitung yang dilakukan Gauss tidak diragukan lagi. Ia memisalkan S adalah jumlah 100 bilangan asli yang pertama seperti berikut ini. S = 1 + 2 + 3 + ... + 100 S = 100 + 99 + 98 + ... + 1 2 S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 2 S = 100(101) = 10100S = 5050 Teknik menghitung Gauss ini, selanjutnya digunakan untuk mendapatkan rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika berikut ini. 1 1 S n = n(a + U n ) atau S n = n[2a + (n 1)b] 2 2

Salah satu sifat penting dari S n adalah S n S n 1 = u n .

Latihan 4Anda telah mendapatkan rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika, maka sekarang selesaikan soal berikut. 1 1 1. Tentukan jumlah 10 suku pertama pada deret aritmetika 1 + 2 + 2 + ... 2 2 2. Jika pada suatu deret aritmetika, diketahui suku ke-5 sama dengan 40 dan suku ke-8 sama dengan 25, maka tentukan jumlah 12 suku pertama dari deret aritmetika tersebut.

1 - 22 Unit 1

Pedoman Jawaban LatihanCocokkan jawaban Anda dengan pembahasan berikut. 1 1 1 1. Dari deret aritmetika 1 + 2 + 2 + ... diketahui suku pertama a = 1 dan 2 2 2 1 beda b = . Nilai suku pertama dan beda tersebut kita masukkan ke dalam 2 rumus jumlah n suku pertama dari barisan aritmetika, sehingga diperoleh: 1 S n = n[2a + (n 1)b] 2 1 1 1 = (10) 2.1 + (10 1) 2 2 2 3 1 = 52 + 9 2 2 9 = 5 3 + 2 15 = 5 2 75 = 2 2. Diketahui u 5 = 40 dan u8 = 25 sehingga dari sini diperolehu 5 = 40 a + 4b = 40 Dari kedua persamaan di atas diperoleh a + 4b = 40 a + 7b = 25 3b = 15b = 5

u 8 = 25 a + 7b = 25

Jika diketahui b = 5 makaa + 4(5) = 40 a 20 = 40 a = 60 Selanjutnya jumlah 12 suku pertama dari barisan aritmetika tersebut adalah


1 - 23

1 S n = .12[60 + (12 1)( 5)] 2 = 6[60 55] = 30 Jadi jumlah 12 suku pertama dari barisan aritmetika yang dimaksud adalah 30.

Anda telah berlatih menyelesaikan soal berkaitan dengan deret aritmetika. Sekarang Anda akan mempelajari deret geometri. Secara umum, jumlah n suku pertama dari suatu deret geometri adalahSn = a r n 1 a 1 rn dengan r > 1 atau S n = dengan r < 1 . (r 1) (1 r )

(

)

(

)

Seperti pada deret aritmetika, deret geometri berlaku juga S n S n 1 = u n .

Latihan 5Selanjutnya selesaikan soal berikut. 1. Tentukan jumlah 6 suku pertama deret geometri 1 + 2 + 4 + ... 2. Jika jumlah deret geometri 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 n = 254 maka tentukan nilai n.

Pedoman Jawaban LatihanApakah Anda mengalami kesulitan menyelesaikannya? Anda dapat mencocokkan jawaban Anda dengan pembahasan berikut ini. 2 1. Deret geometri 1 + 2 + 4 + ... mempunyai rasio r = = 2 > 1 maka untuk 1 menentukan jumlah 6 suku pertama deret tersebut menggunakan rumusSn = S6 = a r n 1 (r 1)

(

)

1. 2 6 1 64 1 = = 63 2 1 1 Jadi jumlah 6 suku pertama deret 1 + 2 + 4 + ... adalah 63.

(

)

2. Deret r=2

geometri

2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 n = 254

mempunyai

a=2

dan

2 = 2 > 1 . Menentukan nilai n dari deret geometri tersebut sebagai 2 berikut.

1 - 24 Unit 1

Sn = 254 =

a r n 1 (r 1) 2 2n 1 2 1

(

)

(

)

254 = 2n 1 2 127 + 1 = 2 n 128 = 2 n n=7 Jadi nilai n yang memenuhi deret geometri 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 n = 254 adalah 7.


1 - 25

RangkumanUrutan bilangan yang mempunyai pola atau keteraturan tertentu disebut barisan. Masing-masing bilangan pada suatu barisan disebut suku barisan dan dipisahkan dengan tanda koma. Suku pertama dilambangkan dengan u1 , suku kedua dilambangkan dengan u 2 dan seterusnya. Jadi secara umum suatu barisan yang terdiri dari n suku ditulis dalam bentuk sebagai berikut. u1 , u 2 , u 3 ,..., u n Indeks pada barisan di atas menyatakan banyaknya suku dan disebut panjang barisan. Untuk n bilangan asli berhingga, barisan itu disebut barisan berhingga. Barisan dengan selisih dua suku yang berurutan selalu tetap (konstan) disebut barisan aritmetika dan selisih dua suku yang berurutan disebut beda. Rumus suku ke-n dari barisan aritmetika yaitu u n = a + (n 1)b . Barisan yang mempunyai perbandingan tetap antara suku-suku yang berurutan disebut barisan geometri. Jadi secara umum, barisan geometri berbentuk u1 , u 2 , u 3 ,..., u n denganun = r dimana r adalah konstanta u n 1

Rumus suku ke-n dari suatu barisan geometri adalah u n = u1 r n 1 . Jika suku-suku dalam suatu barisan dijumlahkan maka penjumlahan berurut dari suku-suku barisan tersebut disebut deret. Dalam penulisan deret akan lebih mudah menggunakan notasi sigma. Secara umum bentuk notasi sigma didefinisikan sebagai berikut.

ak =1

n

k

= a1 + a 2 + a3 + ... + a n

Rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah: 1 1 S n = n(a + U n ) atau S n = n[2a + (n 1)b] 2 2 Salah satu sifat penting dari S n adalah S n S n 1 = u n . Sedangkan jumlah n suku pertama dari suatu deret geometri adalah:

Sn =

a r n 1 a 1 rn dengan r < 1 . dengan r > 1 atau S n = (r 1) (1 r )

(

)

(

)

1 - 26 Unit 1

Tes Formatif 2Kerjakanlah tes formatif berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi barisan dan deret dengan cara memberi tanda silang (X) pada pada salah satu jawaban yang Anda anggap benar. 1 1 1. Suku ke-7 dari barisan 4,3 ,3,2 , L adalah ....... 2 2 A. 0 C. 1 1 1 B. D. 1 2 2 2. Rumus suku ke-n barisan 1,4,9,14,K adalah ....... A. n 2 B. 5n 6 C. (n 1).5 D. 1 + (n 1).4

3. Barisan 10, 3, -4, -11, ... merupakan ....... A. barisan aritmetika C. deret aritmetika B. barisan geometri D. deret geometri 4. Rumus umum suku ke-n barisan geometri adalah ....... A. u n = a + (n 1)b B. u n = u1 r n 1 C.un =r u n 1

D. u n =

1 n[2a + (n 1)b] 2

1 1 5. Barisan 30,10,3 ,1 , L mempunyai ....... 3 9 A. beda 20 C. rasio 20 1 1 B. beda D. rasio 3 3 6. Deret 2+5+10+17+26 jika dinyatakan dengan notasi sigma adalah ....... A.

n kk =15

2

+1 +1

C. D.

kk =1

n

2

+1

B. 7.

2

2 + 5 + 10 + 17 + 26

kk =1

3

2

+ k = ....... C. 20 D. 28

A. 12 B. 14


1 - 27

8. Jumlah deret 2 + 5 + 8 + 11 + L adalah....... A. n 2 B. n 2 + 2n 9. Jumlah 6n 1

C. D.

3n 2 n 2

suku

pertama

deret

3n 2 + n 2 geometri dengan

rumus

suku

1 u n = 30 2 A.

adalah .......

165 945 C. 16 12 660 3780 D. B. 12 64 10. Jika diketahui suku ketiga barisan aritmetika adalah 11 dan suku kesepuluh adalah 39 maka rumus suku ke-n barisan tersebut adalah ....... C. 3n + 7 A. 3n + 1 B. 4n 1 D. 4n + 7

Umpan Balik Dan Tindak LanjutSetelah mengerjakan tes formatif 2, bandingkan jawaban Anda dengan kunci jawaban yang terdapat pada akhir unit ini. Jika Anda dapat menjawab dengan benar minimal 80%, Anda dinyatakan berhasil dengan baik. Selamat, silahkan Anda mempelajari materi pada unit selanjutnya. Sebaliknya jika jawaban benar Anda kurang dari 80%, pelajari kembali uraian dalam sub unit ini, terutama bagian-bagian yang belum Anda kuasai dengan baik.

1 - 28 Unit 1

Kunci Tes FormatifKunci Tes formatif 11. C. 2. D.

(x

2

y 3 x5

)

2

= x 4 . y 6 .x 5 = x 9 . y 6

5 3 3. C. 2 x

1 5 9 5 9 x 3 3 = 6 3 = 3 = 9 x x 5 x .x

3

5 2.5 3 4. C. 53

(

)

3

1 5 1 3 = 53 = 0 5 3 5 4

( )

5. B. 4 4 23 = (22 ) 2 3 = 28 2 3 = 25 = 32 6. C. 16 27 4 3 3 7. B. 2 9 8 = 3 2 = 2 8. D.

( 125 )( 81) = 5.3 = 153 44

4 2 2 2 9. A. : 2 = 3 3 3

1 4 2 2 4 2 2 2 2 2 : = . = = 9 3 3 3 3

4

1 3 1 3 2 10. A. 2 2 4 27 = 1 2 4

1 1 32 1 1 = = = 1 3 33 2 2.3 2 2.3 6

( )

Kunci Tes Formatif 21 1 11. C. Barisan 4,3 ,3,2 , L merupakan barisan aritmetika dengan suku awal a 2 2 1 = 4 dan beda b = , sehingga suku ke-7 adalah 2 1 u7 = 4 + (7 1) = 4 3 = 1. 2 12. B. Barisan 1,4,9,14, K merupakan barisan aritmetika dengan a = 1 dan beda b = 5 . Suku ke-n barisan tersebut adalah:


1 - 29

u n = a + (n 1)b

= 1 + (n 1)5 = 1 + 5n 5 = 5n 6 13. A. Barisan tersebut mempunyai selisih dua suku yang berurutan selalu tetap (konstan), yaitu -7. 14. B. 1 15. D. Barisan tersebut merupakan barisan geometri dengan rasio . 3 16. B.

17. C.

kk =1

3

2

+ k = (12 + 1) + (2 2 + 2) + (3 2 + 3) = 2 + 6 + 12 = 20 .

18. D. Deret tersebut merupakan deret aritmetika dengan suku awal a = 2 dan beda b = 3, sehingga jumlah suku ke-n adalah 1 1 S n = n[2a + (n 1)b] = n[2.2 + (n 1).3] 2 2 1 1 3n 2 + n = n[4 + 3n 3] = n[3n + 1] = 2 2 2 1 1 19. C. u n = 30 diketahui u1 = 30 dan r = < 0 maka jumlah 6 suku 2 2 pertama dari deret tersebut adalah 1 6 301 301 1 2 = 64 = 60 63 = 945 S6 = 1 1 64 16 1 2 2n 1

20. B. Diketahui u 3 = a + 2b = 11 dan u10 = a + 9b = 39 . Dari kedua persamaan tersebut diperoleh suku pertama a = 3 dan beda b = 4 sehingga rumus barisan aritmetika tersebut adalah umum suku ke-n

u n = 3 + (n 1)4 = 4n 1 .

1 - 30 Unit 1

Daftar PustakaWirodikromo, S. 1996. Matematika. Jakarta : Erlangga ________.2004. Aritmetika. [Online}. Tersedia di: http://www.p3gmatyo.go.id/download/SMP/aritmetika.pdf [24 Februari 2007]


1 - 31

GlosariumAkar bilangan Barisan aritmetika Barisan geometri Bilangan pokok Deret Eksponen Notasi sigma Panjang barisan Suku barisan : Kebalikan dari perpangkatan : Barisan dengan selisih dua suku yang berurutan selalu tetap (konstan) : Barisan yang mempunyai perbandingan tetap antara sukusuku yang berurutan : Bilangan yang dipangkatkan dalam suatu perpangkatan : Penjumlahan berurut dari suku-suku barisan : Bilangan pangkat : Sebuah notasi yang menyatakan penjumlahan. : Bilangan yang menyatakan banyak suku barisan : Bilangan yang terdapat dalam suatu barisan

1 - 32 Unit 1

Unit

2

KONSEP DASAR ALJABARClara Ika Sari Pendahuluan

P

ada unit ini kita akan mempelajari beberapa konsep dasar dalam aljabar seperti persamaan dan pertidaksamaan yang berbentuk linear dan kuadrat, serta mengkaji sistem persamaan linear dengan dua peubah. Kompetensi yang harus dikuasai setelah Anda mempelajari konsep dasar aljabar adalah mampu menggunakan konsep dasar aljabar dalam menyelesaikan masalah matematika maupun masalah pada bidang lain yang terkait dengan konsep tersebut. Unit ini terdiri dari tiga subunit yaitu persamaan, pertidaksamaan, dan sistem persamaan linear. Masing-masing subunit akan dilengkapi dengan latihan-latihan sederhana untuk membantu Anda dalam memahami konsep yang telah dipelajari. Media yang dapat Anda gunakan dalam mempelajari konsep dasar aljabar ini, selain melalui bahan ajar cetak, Anda juga dapat mempelajarinya dengan mengakses web yang telah disediakan. Unit ini merupakan salah satu prasyarat pengetahuan yang harus Anda kuasai untuk mengkaji dan memecahkan masalah matematika terutama masalah matematika di bidang aljabar dalam kehidupan sehari-hari. Kajilah materi dalam setiap subunit sampai tuntas. Kerjakanlah latihan dan tugas-tugas yang ada di setiap subunit. Setelah Anda selesai mempelajari satu subunit, kerjakanlah tes formatif untuk mengukur tingkat penguasaan Anda. Cobalah mengerjakan sendiri tes formatif tersebut agar Anda benar-benar mengetahui seberapa besar penguasaan Anda terhadap materi yang baru dipelajari. Jika Anda belum mencapai tingkat penguasaan yang disyaratkan, pelajari kembali materi pada subunit yang bersangkutan. Jangan segan untuk bertanya atau meminta bantuan kepada orang yang Anda anggap mampu atau kepada dosen pengampu mata kuliah ini. Anda bisa melakukan latihan menyelesaikan soal berulang-ulang baik soal yang tersedia dalam bahan ajar cetak maupun dalam bahan ajar web. Selamat mempelajari unit ini, semoga Anda berhasil.


2-1

Subunit 1 Persamaanubunit 1 berisi bahasan mengenai persamaan linear dan kuadrat dan bagaimana menentukan penyelesaiannya. Persamaan merupakan salah satu konsep matematika yang digunakan dalam menentukan suatu model matematika dan penyelesaiannya terkait dengan pemecahan masalah matematika dalam bidang aljabar. Sebelum kita membahas mengenai persamaan, terlebih dahulu akan dibahas mengenai beberapa istilah yang dipakai dalam subunit ini. Istilah-istilah tersebut antara lain: variabel, koefisien, konstanta, dan suku. Selain istilah-istilah tersebut juga akan dibahas beberapa manipulasi aljabar yang akan digunakan untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan. Pertama-tama kita akan membahas mengenai variabel. Variabel adalah sebuah lambang yang menyatakan atau mewakili sebarang bilangan real. Variabel biasa dinotasikan dengan huruf kecil, seperti : x, y, a, u, dan lain sebagainya. Jika beberapa variabel yang sama dijumlahkan akan diperoleh perkalian antara bilangan yang menyatakan banyaknya variabel dan variabel tersebut. Contoh : Jika 5 + 5 = 2 5 maka hal ini berlaku juga untuk a + a = 2 a atau disingkat menjadi 2a. Demikian juga karena operasi perkalian mempunyai sifat komutatif, yaitu 2 3 = 3 2 maka sifat tersebut berlaku juga dalam perkalian dengan variabel, yaitu 2 a = a 2 = 2a. Selanjutnya perhatikan contoh di atas. Pada 2a, bilangan 2 disini menyatakan banyaknya variabel a dan disebut koefisien dari variabel a. Hasil kali 2 a = 2a disebut suku atau lebih lengkapnya suku aljabar. Jika suku aljabar ini tidak memuat variabel, dengan kata lain hanya terdiri dari bilangan saja maka bilangan tersebut disebut konstanta. Jika suatu suku dikalikan dengan suatu bilangan atau variabel baik variabel yang sama maupun berbeda, hasil kalinya merupakan suku juga. Contoh : Jika 4a b maka diperoleh 4ab yang merupakan sebuah suku. Sedangkan koefisien dari ab adalah 4.

S

2-2

Unit 2

Jika dua suku yang sama dijumlahkan atau lebih maka akan diperoleh perkalian antara bilangan yang menyatakan banyaknya suku dengan suku tersebut. Contoh : Jika 2y + 2y + 2y maka diperoleh 3 2y = 6y. Jika dua suku yang memuat variabel sama atau lebih menyederhanakannya, kita dapat menggunakan aturan distributif. Contoh : Jika 3m + 7m maka diperoleh (3 + 7)m = 10m. maka untuk

Jadi kesimpulannya, dua suku atau lebih dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika suku-suku tersebut memuat variabel yang sama. Sebaliknya, dua suku atau lebih tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika suku-suku tersebut memuat variabel yang berbeda. Contoh : 4k 3m, 2x + 7y dan lain sebagainya. Pada setiap suku aljabar dapat dikenakan operasi perkalian dan pembagian seperti pada bilangan. Contoh : a. 3 6y = (3 6)y = 18y b. 10t : 5 = (10 : 5)t = 2t Sifat-sifat operasi hitung pada bilangan yang telah kita kenal adalah sifat komutatif, assosiatif dan distributif. Sifat-sifat tersebut juga berlaku pada pengerjaan operasi hitung pada suku aljabar. Contoh : a. u v = v u = uv b. a (b c) = (a b) c c. 2u (a + b) = (2u a) + (2u b) = 2au + 2bu Sebelum Anda mempelajari materi lebih lanjut cobalah kerjakan latihan berikut ini, untuk memperdalam materi mengenai variabel, koefisien, konstanta, suku aljabar dan manipulasi-manipulasi aljabar yang telah dipelajari di atas. 1. Jika diberikan x 2 y + 2 xy + ab 6 maka tentukanlaha. koefisien dari x 2 y dan xy b. konstanta yang ada pada x 2 y + 2 xy + ab 6

c. suku aljabar yang ke 3 2. Untuk soal-soal berikut, sederhanakanlah.Pemecahan Masalah Matematika

2-3

a. 3 p b. y 10 c. m 6 d. n 1 e. 2a 3b f. 8ab + 6ba g. 7gh + 12gl + 8hg 4gl Berikut ini pembahasan dari soal-soal latihan di atas. 1. a. Koefisien dari x 2 y adalah 1 dan koefisien dari xy adalah 2. a. Konstanta yang ada pada x 2 y + 2 xy + ab 6 adalah 6. c. Suku aljabar yang ke 3 dari x 2 y + 2 xy + ab 6 adalah ab. 2. a. 3 p = 3p b. y 10 = 10y c. m 6 = 6m d. n 1 = 1n = n Perhatikan penyelesaian soal d. Setiap bilangan yang dikalikan dengan 1 akan menghasilkan bilangan itu sendiri. Demikian juga berlaku bahwa setiap variabel yang dikalikan dengan 1 akan menghasilkan variabel itu sendiri. e. 2a 3b = (2 a) (3 b) = (2 3) (a b) Menggunakan sifat assosiatif = 6ab f. 8ab + 6ba = 8ab + 6ab Menggunakan sifat komutatif = (8 + 6)ab Menggunakan sifat distributif = 14ab h. 7gh + 12gl + 8hg 4gl = 7gh + 8gh +12gl 4gl = (7 + 8) gh + (12 4)gl = 15gh + 8gl Selanjutnya kita akan membahas persamaan. Pernyataan atau kalimat matematika tertutup yang menyatakan hubungan sama dengan disebut kesamaan. Contoh : 5 + 10 = 15, 6 + 2 = 10 2, 2 5 = 8 + 2 Selanjutnya kita akan mempelajari penggunaan variabel dalam kesamaan. Perhatikan salah satu contoh di atas yaitu 5 + 10 = 15. Jika variabel x menyatakan

2-4

Unit 2

bilangan 5 pada kesamaan tersebut maka diperoleh x + 10 = 15. Jadi x + 10 = 15 menjadi kalimat matematika yang terbuka. Kalimat matematika x + 10 = 15 disebut persamaan . Jadi persamaan adalah suatu pernyataan atau kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan antara ruas kiri dan ruas kanan dan dibatasi dengan tanda =. Persamaan x + 10 = 15 memuat variabel x dimana nilai x adalah 5 jika kalimat terbuka tersebut diubah menjadi pernyataan yang benar. Nilai x = 5 disebut penyelesaian dari persamaan x + 10 = 15. Jadi menyelesaikan persamaan berarti menemukan bilangan di mana jika setiap variabel dalam persamaan tersebut diganti dengan bilangan itu maka diperoleh pernyataan yang bernilai benar. Persamaan yang akan kita bahas dalam unit ini adalah persamaan linear dan kuadrat. Kita akan mengkaji dan menyelesaikan persamaan linear dan kuadrat tersebut. Persamaan linear adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi pada variabelnya adalah 1. Secara simbolik, persamaan linear adalah persamaan yang berbentuk ax + b = 0 dengan a, b R di mana R adalah himpunan bilangan real dana 0. Contoh : a. x + 5 = 9 b. 2x + 7 = 11 x c. =7 3 d. 7x 4 = 4x + 17 e. 2(4x +1) = 18 Bagaimana menentukan nilai x yang memenuhi persamaan di atas? Menentukan nilai x dalam persamaan linear berarti menyelesaikan persamaan linear tersebut. Untuk itu terlebih dulu Anda harus memahami konsep berikut ini. Jika kedua ruas dalam suatu persamaan dikurangi atau ditambah dengan suatu bilangan yang sama maka hal tersebut tidak akan merubah nilai kebenaran dari persamaan tersebut. Demikian juga jika kedua ruas dikalikan atau dibagi dengan suatu bilangan yang sama juga tidak akan merubah nilai kebenaran dari persamaan itu. Bagaimana Saudara, apakah Anda telah paham dengan konsep tersebut? Cobalah Anda membuat contoh untuk menjelaskan konsep ini. Kemudian bandingkan dengan contoh berikut ini.


2-5

Contoh : Diberikan persamaan 2 5 = 10. Kedua ruas dari persamaan tersebut kita tambah dengan 3 sehingga diperoleh (2 5) + 3 = 10 + 3. Ruas kiri jika diselesaikan menghasilkan: (2 5) + 3 = 10 + 3 = 13, dan ruas kanan jika diselesaikan menghasilkan: 10 + 3 = 13. Jadi ruas kiri dan ruas kanan dari persamaan menghasilkan bilangan yang sama yaitu 13. Jadi jika kedua ruas persamaan 2 5 = 10 kita tambah dengan bilangan 3 maka hasilnya tidak merubah nilai kebenarannya. Dengan demikian suatu persamaan tidak akan berubah penyelesaiannya jika kedua ruas persamaan tersebut diberi perlakuan berikut ini. 1. Ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama. 2. Dikali atau dibagi dengan bilangan yang sama asal bukan nol. Persamaan baru yang diperoleh dengan persamaan aslinya dikatakan ekuivalen dan keduanya mempunyai penyelesaian yang sama. Sekarang kita telah siap untuk menyelesaikan persamaan linear pada contoh yang telah diberikan di atas. a. Penyelesaian persamaan linear x + 5 = 9 adalah sebagai berikut. x+55=95 Kedua ruas dikurangi dengan 5 x=4 Jadi penyelesaian persamaan linear x + 5 = 9 adalah x = 4. b. Selanjutnya kita akan menentukan penyelesaian persamaan linear 2x + 7 = 11. 2x + 7 7 = 11 7 Kedua ruas dikurangi dengan 7 2x = 4 2x : 2 = 4 : 2 Kedua ruas dibagi dengan 2 (2 : 2)x = 2 x=2 Jadi penyelesaian persamaan linear 2x + 7 = 11 adalah x = 2. Bagaimana Saudara, mudah bukan? Untuk contoh berikutnya cobalah Anda selesaikan sendiri dan hasilnya dapat Anda cocokkan dengan penyelesaian persamaan linear berikut ini. x a. Penyelesaian persamaan linear = 7 adalah sebagai berikut. 3 x 3=73 Kedua ruas dikalikan 3 3 x = 21 x Jadi penyelesaian persamaan linear = 7 adalah x = 21. 32-6Unit 2

b. Untuk contoh yang keempat, penyelesaian persamaan linear 7x 4 = 4x + 17 adalah sebagai berikut. 7x 4 = 4x + 17 7x 4 + 4 = 4x + 17 + 4 Kedua ruas ditambah dengan 4 7x = 4x + 21 7x 4x = 4x 4x + 21 Kedua ruas dikurangi dengan 4x (7 4 )x = 21 3x = 21 3x : 3 = 21 : 3 Kedua ruas dibagi dengan 3 (3 : 3)x = 7 x=7 c. Penyelesaian persamaan linear untuk contoh terakhir yaitu 2(4x + 1) = 18 adalah sebagai berikut. 2(4x + 1) = 18 8x + 2 = 18 Menggunakan aturan distributif 8x + 2 2 = 18 2 Kedua ruas dikurangi dengan 2 8x = 16 8x : 8 = 16 : 8 Kedua ruas dibagi dengan 8 (8 : 8)x = 2 x=2 Jadi penyelesaian persamaan linear 2(4x + 1) = 18 adalah x = 2. Kita telah mempelajari persamaan linear dan berlatih untuk menyelesaikan persamaan linear. Selanjutnya kita akan mempelajari persamaan kuadrat dan penyelesaiannya. Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah ax 2 + bx + c = 0 dengan a, b, c R di mana R adalah himpunan bilangan real dan a 0 . Contoh : x 2 4 = 0 , x 2 9 x = 0 , x 2 + 7 x = 10 dan lain sebagainya. Bagaimana cara menyelesaikan persamaan kuadrat di atas? Sebelum kita mengkaji hal tersebut dan berlatih menyelesaikan persamaan kuadrat, terlebih dahulu kita akan membahas mengenai aturan faktor nol. Aturan faktor nol menyatakan bahwa hasil kali sebarang bilangan dengan bilangan nol adalah nol. Misalkan 2 0 = 0, 0 9 = 0 atau 0 0 = 0. Jadi jika hasil kali dua bilangan sama dengan nol maka salah satu atau kedua bilangan tersebut adalah nol. Secara simbolik dinyatakan bahwa jika ab = 0 maka a = 0 atau b = 0 . Kata atau pada a = 0 atau b = 0


2-7

berarti bahwa salah satu dari a atau b sama dengan nol atau bisa jadi kedua-duanya sama dengan nol. Konsep mengenai hal ini akan Anda pelajari lebih dalam pada unit 6. Aturan faktor ini akan kita pakai dalam menyelesaikan persamaan kuadrat. Contoh : Dengan menggunakan aturan faktor nol, tentukanlah penyelesaian persamaan kuadrat berikut ini. a. 4 x 2 32 x = 0 b. 7 x 2 = 84 x c.

2x 2 = 24 3

d. x 2 + 5 x + 6 = 0 Baiklah kita akan mencoba menyelesaikan persamaan kuadrat di atas. a. Persamaan kuadrat 4 x 2 32 x = 0 dapat diubah menjadi 4 x(x 8) = 0 dengan menggunakan aturan distributif. Selanjutnya dengan menggunakan aturan faktor nol akan diperoleh 4 x = 0 atau x 8 = 0 Sehingga diperoleh x = 0 atau x = 8 . Jadi penyelesaian persamaan kuadrat 4 x 2 32 x = 0 adalah x = 0 atau x = 8 b. Dengan cara yang sama dengan a, maka penyelesaian persamaan kuadrat

7 x 2 = 84 x sebagai berikut.7 x( x + 12 ) = 0

7 x 2 + 84 x = 84 x + 84 x

Kedua ruas ditambah dengan 84x Menggunakan sifat distributif Menggunakan aturan faktor nol

7 x = 0 atau x + 12 = 02

Jadi penyelesaian persamaan 7 x = 84 x adalah x = 0 atau x = 12 .

Bagaimana saudara? Apakah cukup jelas? Cobalah anda menyelesaikan persamaan kuadrat berikutnya dan kemudian cocokkan jawaban Anda dengan penyelesaian berikut ini. a. Penyelesaian persamaan kuadrat 2x 2 = 24 adalah sebagai berikut. 3

2-8

Unit 2

2x 2 3 = 24 3 3

Kedua ruas dikalikan dengan 3

2 x 2 = 722 x 2 72 = 2 2 x 2 = 36 x = 6 atau x = 6 Jadi penyelesaian persamaan kuadrat 2x 2 = 24 adalah x = 6 atau x = 6 . 3 Kedua ruas dibagi dengan 2

Perhatikan bahwa ada dua nilai x yang memenuhi persamaan x 2 = 36 yaitu x = 6 atau x = 6 . Jadi ingatlah bahwa persamaan x 2 = a akan mempunyai dua nilai x yaitu

x = a dan x = a . Penyelesaian persamaan linear seperti di atas merupakan penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan aturan akar kuadrat. b. Sekarang bagaimana penyelesaian persamaan kuadrat x 2 + 5 x + 6 = 0 ? Untuk memahami penyelesaian persamaan kuadrat tersebut, kita akan menggunakan alat peraga berikut ini. Buatlah sebuah persegi dan persegi panjang seperti gambar 1 berikut ini.

(a)

(b) Gambar 2.1

(c)

Persegi (a) menyatakan banyaknya x 2 , persegi panjang (b) menyatakan banyaknya x dan persegi (c) menyatakan konstanta. Oleh karena itu untuk menyatakan persamaan x 2 + 5 x + 6 = 0 dibutuhkan 1 bangun (a), 5 bangun (b) dan 6 bangun (c) seperti berikut ini.

Gambar 2.2


2-9

Dari persegi dan persegi panjang tersebut, bentuklah sebuah persegi panjang baru seperti gambar 3 dengan ukuran luas yang sama dengan bangun pada gambar 2.

Gambar 2.3 Persegi yang baru terbentuk mempunyai panjang dan lebar masing-masing (x + 2) dan (x + 3), sehingga ukuran luasnya (x + 2)(x + 3). Jadi persamaan kuadrat

x 2 + 5 x + 6 = 0 sama dengan persamaan

(x + 2)(x + 3) = 0 . (x + 2) = 0atau

Dengan demikian

untuk menyelesaikan persamaan kuadrat tersebut akan lebih mudah. Dengan menggunakan aturan faktor nol diperoleh

( x + 3) = 0 .

Jadi

penyelesaian persamaan kuadrat x 2 + 5 x + 6 = 0 adalah x = 2 atau x = 3 . Jadi secara umum, jika x1 dan x 2 merupakan penyelesaian suatu persamaan kuadrat maka persamaan kuadrat tersebut adalah x 2 + ( x1 + x 2 ) x + x1 x 2 = 0 . Cara menyelesaikan persamaan kuadrat di atas disebut menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara menfaktorkan. Jika suatu persamaan kuadrat yang berbentuk ax 2 + bx + c = 0 tidak dapat diselesaikan dengan cara-cara di atas, kita dapat menggunakan rumus berikut ini.x= b b 2 4ac 2a

Contoh : Selesaikan persamaan kuadrat 2 x 2 7 x 6 = 0 dengan menggunakan rumus di atas. Dari persamaan kuadrat 2 x 2 7 x 6 = 0 maka a = 2, b = -7 dan c = -6. Nilai a, b dan c ini dimasukkan ke dalam rumus, sehingga diperoleh

2 - 10

Unit 2

(7) (7) 2 4.2.(6) x= 2.2 7 49 + 48 x= 4 7 97 x= 4 7 9,8489 x= 4 7 + 9,8489 7 9,8489 x= x= atau 4 4 x = 4,2122 x = 0,7122 atau Jadi penyelesaian persamaan kuadrat 2 x 2 7 x 6 = 0 adalah x = 4,2122 atau x = 0,7122.


2 - 11

RangkumanVariabel adalah suatu lambang yang menyatakan atau mewakili sebarang bilangan real yang biasanya dinotasikan dengan huruf kecil. Koefisien suatu variabel merupakan bilangan yang menyatakan banyaknya variabel tersebut. Suku aljabar menyatakan setiap hasil kali variabel dengan bilangan, variabel dengan variabel baik yang sama maupun yang berbeda. Sebuah suku aljabar yang tidak memuat variabel, dengan kata lain hanya merupakan bilangan saja disebut konstanta. Persamaan adalah suatu pernyataan atau kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan antara ruas kiri dan ruas kanan dan dibatasi dengan tanda =. Persamaan linear merupakan persamaan yang mempunyai pangkat tertinggi 1 pada variabelnya. Manipulasi aljabar yang dapat dilakukan untuk menyelesaikan persamaan linear adalah sebagai berikut. a. Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama b. Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama Persamaan kuadrat adalah persamaan yang memiliki pangkat tertinggi pada variabelnya adalah 2. Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, dibutuhkan sebuah aturan yang disebut aturan faktor nol. Cara penyelesaian persamaan kuadrat adalah sebagai berikut. a. Dengan aturan faktor nol b. Dengan menggunakan akar kuadrat c. Dengan menfaktorkan d. Dengan menggunakan rumus

Tes Formatif 1Kerjakanlah tes formatif ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi persamaan dengan cara memberi tanda silang (X) pada salah satu jawaban yang Anda anggap benar. 1. Pengertian koefisien adalah . A. suku aljabar yang tidak memuat variabel B. suku aljabar yang mempunyai pangkat tertinggi 1 C. bilangan yang menyatakan banyaknya suku aljabar D. bilangan yang menyatakan banyaknya variabel 2x 2. Jika diberikan persamaan x 2 + 8 = 0 maka koefisien dari x adalah ....... 3

2 - 12

Unit 2

A. -8 2 B. 3

C. 1 D. 8

3. Berikut ini yang merupakan contoh persamaan linear adalah ....... A. 2 + 5 = 7 C. 5 x( x 1) = 6 x D. 2 x 2 2 = 0 B. + 7 = 15 2 15 4. Penyelesaian persamaan 2 = 3 adalah ....... x 1 13 C. x = A. x = 3 3 B. x = 3 D. x = 6 1 5. Persamaan linear berikut ini yang mempunyai penyelesaian x = adalah....... 3 2 1 1 A. + 3 = C. 1 =3 x x 3x 2 1 1 D. 1 + B. 3 = =3 x x 3x


2 - 13

6. Perhatikan cara penyelesaian persamaan kuadrat berikut ini.

x 2 81 = 0 x 2 = 81 x = 9 atau x = 9 Penyelesaian persamaan kuadrat di atas menggunakan ....... A. aturan faktor nol C. cara memfaktorkan B. akar kuadrat D. rumus7. Penyelesaian persamaan x( x 1) = 12 adalah ....... A. x = 12 B. x = 0 atau x = 1 C. x = 3 atau x = 4 D. x = 12 atau x = 13

8. Persamaan berikut ini yang mempunyai penyelesaian x = 2 adalah ....... A. x(x + 4) = 4 1 1 C. + 1 = x 2 B. x( x 4) = 4 1 1 D. 1 = x 2 1 1 9. Penyelesaian persamaan kuadrat x 2 + x 3 = 0 adalah ....... 2 2 C. x = 2 atau x = 3 A. x = 1 atau x = 6 B. x = 1 atau x = 6 D. x = 2 atau x = 3 10. Penyelesaian persamaan kuadrat x 2 4 x + 2 = 0 adalah ....... C. x = 0 atau x = 4 A. x = 1 B. x = 2 atau x = 2 D. x = 2 + 2 atau x = 2 2

Umpan Balik Dan Tindak LanjutSetelah mengerjakan tes formatif 1, bandingkan jawaban Anda dengan kunci jawaban yang terdapat pada akhir unit ini. Jika Anda dapat menjawab dengan benar minimal 80%, Anda dinyatakan berhasil dengan baik. Selamat, silahkan Anda mempelajari sub unit selanjutnya. Sebaliknya jika jawaban benar Anda kurang dari 80%, pelajari kembali uraian dalam sub unit ini, terutama bagian-bagian yang belum Anda kuasai dengan baik.

2 - 14

Unit 2

Subunit 2 Pertidaksamaanateri yang akan dibahas pada subunit 2 adalah pertidaksamaan dan penyelesaiannya. Pertidaksamaan yang dibahas adalah pertidaksamaan linear dan kuadrat. Dalam subunit ini kita juga akan mempelajari bagaimana menyatakan penyelesaian pertidaksamaan dengan menggunakan garis bilangan. Pertidaksamaan adalah suatu pernyataan atau kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan tidak sama dengan antara ruas kiri dan ruas kanan. Biasanya diantara ruas kiri dan ruas kanan diberi tanda >, , atau 5 , 2 x 6 11 , dan lain sebagainya. Selanjutnya kita akan mempelajari bagaimana cara menentukan penyelesaian pertidaksamaan linear. Tetapi terlebih dahulu kita akan memahami dan mempelajari konsep berikut ini. Perhatikanlah gambar di bawah.

M

Gambar 2.4 Jika keduanya dikurangi dengan 2, maka akan diperoleh

Gambar 2.5 Jadi jika kedua ruas dikurangi dengan 2 maka

pertidaksamaan 10 > 6 diperoleh 10 2 = 8Pemecahan Masalah Matematika

2 - 15

dan 6 2 = 4 dimana 8 > 4. Secara umum, jika kedua ruas pertidaksamaan dikurangi dengan bilangan yang sama maka hal ini tidak akan mengubah tanda pertidaksamaan di antara ruas kiri dan ruas kanan. Demikian juga jika kedua ruas ditambah dengan bilangan yang sama. Jika pada gambar 4, masing-masing dikalikan dengan 2 maka akan diperoleh

Gambar 2.6 Jadi jika kedua ruas pertidaksamaan 10 > 6 dikalikan dengan 2 maka diperoleh 10 2 = 20 dan 6 2 = 12 dimana 20 > 12. Secara umum, jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan positif yang sama maka hal ini tidak akan mengubah tanda pertidaksamaan di antara ruas kiri dan ruas kanan. Bagaimana jika kedua ruas pertidaksamaan tersebut dikalikan dengan bilangan -2? Menurut Saudara, apakah akan merubah tanda pertidaksamaan? Mari kita selidiki bersama-sama. Kedua ruas pertidaksamaan 10 > 6 dikalikan dengan -2 maka diperoleh 10 (-2) = -20 dan 6 (-2) = -12 dimana -20 < -12. Jadi ternyata jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan negatif yang sama maka hal ini akan merubah tanda pertidaksamaan di antara ruas kiri dan ruas kanan. Perubahan tersebut dari dan sebaliknya serta dari menjadi . Demikian juga berlaku jika kedua ruas pertidaksamaan dibagi dengan bilangan negatif yang sama, akan merubah tanda pertidaksamaan di antara ruas kiri dan kanan dari pertidaksamaan tersebut. Dengan cara yang sama seperti pada perkalian, cobalah Anda menjelaskan konsep ini. Sekarang kita mengkaji dan membahas penyelesaian pertidaksamaan linear. Contoh : Tentukan penyelesaian pertidaksamaan a. x + 3 > 7 b. x + 8 6 x c. 2 3 d. 3 2( x 4) > 2 + 3( x 2) Penyelesaian pertidaksamaan linear di atas adalah sebagai berikut.2 - 16Unit 2

a. Penyelesaian pertidaksamaan linear x + 3 > 7 x +33 > 7 3 Kedua ruas dikurangi dengan 3 x>4 Jadi penyelesaian pertidaksamaan x + 3 > 7 adalah semua bilangan yang kurang dari 4 yang dinotasikan dengan himpunan

{x; x > 4}.

Akan lebih jelas jika

penyelesaian tersebut disajikan dengan garis bilangan berikut ini.

sama dengan 4 ( x 4) .

Gambar 2.7 Perhatikan lingkaran di nilai 4 pada garis bilangan. Daerah di dalam lingkaran tersebut tidak diarsir. Hal ini menyatakan bahwa nilai x yang memenuhi pertidaksamaan x + 3 > 7 adalah semua bilangan yang lebih dari 4 tetapi tidak

b. Penyelesaian pertidaksamaan linear x + 8 6 . x +88 68 Kedua ruas dikurangi dengan 8 x 2 ini disajikan dalam bentuk garis bilangan, akan diperoleh

Jadi penyelesaian pertidaksamaan x + 8 6 adalah {x; x 2} . Jika penyelesaian

Gambar 2.8 Perhatikan lingkaran di nilai -2 pada garis bilangan. Daerah di dalam lingkaran diarsir. Hal ini menyatakan bahwa nilai x yang memenuhi pertidaksamaan x + 8 6 adalah semua bilangan yang kurang dari -2 termasuk bilangan -2 itu sendiri. x c. Penyelesaian pertidaksamaan linear 2 . 3 x 323 (Kedua ruas dikalikan dengan 3) 3 x6


2 - 17

Jadi penyelesaian pertidaksamaan linear

x 2 adalah {x; x 6}. Jika 3 penyelesaian ini disajikan dengan garis bilangan sebagai berikut.

Gambar 2.9 d. Penyelesaian pertidaksamaan linear 3 2( x 4) > 2 + 3( x 2) .3 2 x + 8 > 2 + 3x 6 11 2 x > 3 x 4 11 11 2 x > 3 x 4 11 2 x > 3x 15 2 x 3 x > 3 x 3 x 15 5 x > 15

(Menggunakan sifat distributif) (Kedua ruas dikurangi dengan 11) (Kedua ruas dikurangi dengan 3x)

5 x 15 (Kedua ruas dibagi dengan -5) < 5 5 x 2 + 3( x 2)

adalah

{x; x < 3} .Bahasan selanjutnya mengenai pertidaksamaan kuadrat. Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan yang mempunyai pangkat tertinggi 2 pada variabelnya. Contoh : x 2 + 6 x + 5 > 0 Kita akan mencoba menyelesaikan pertidaksamaan pada contoh di atas. Dengan memfaktorkan ruas kiri dari pertidaksamaan diperoleh (x + 1)(x + 5) > 0 Selanjutnya kita andaikan pertidaksamaan di atas merupakan persamaan sehingga diperoleh ( x + 1)( x + 5) = 0 . Dengan menggunakan aturan faktor diperoleh ( x + 1) = 0 atau ( x + 5) = 0 sehingga x = 1 atau x = 5 . Jadi kita mempunyai 3 daerah pada garis bilangan yang dibatasi oleh nilai x = 1 dan x = 5 seperti gambar berikut ini.

Gambar 2.10

2 - 18

Unit 2

Selanjutnya kita akan menguji daerah mana yang memenuhi peridaksamaan

x 2 + 6 x + 5 > 0 dengan cara memasukkan sebarang bilangan yang terletak padamasing-masing daerah ke pertidaksamaan x 2 + 6 x + 5 > 0 . Misalnya untuk bilangan -6 diperoleh ( 6) + 6(6) + 5 = 5 maka semua bilangan2

yang terletak di daerah yang memuat bilangan -6, jika dimasukkan ke dalam pertidaksamaan x 2 + 6 x + 5 > 0 akan menghasilkan bilangan positif. Selanjutnya untuk bilangan -2 diperoleh (2) 2 + 6(2) + 5 = 3 maka semua bilangan yang terletak di daerah yang memuat bilangan -2, jika dimasukkan ke dalam pertidaksamaan x 2 + 6 x + 5 > 0 akan menghasilkan bilangan negatif. Analog untuk bilangan 0, akan menghasilkan bilangan positif. Jadi bilangan yang memenuhi pertidaksamaan x 2 + 6 x + 5 > 0 adalah semua bilangan yang terletak pada daerah yang memuat bilangan -6 atau 0. Dengan kata lain, penyelesaian pertidaksamaan

x 2 + 6 x + 5 > 0 adalah himpunan

{x;

x < 5 atau x > 1} . Penyelesaian tersebut

dapat disajikan dalam bentuk garis bilangan seperti berikut ini.

Gambar 2.11


2 - 19

LatihanBerikut ini soal-soal yang berkaitan dengan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. Selesaikan soal-soal tersebut, kemudian cocokkan jawaban Anda dengan pembahasan di bawahnya. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut ini yang dinyatakan dengan menggunakan himpunan dan garis bilangan. 1. 2 x 2 > 8 2. 2 x 2 + 32 0 3. x 2 4 x + 5 > 0 4. x 2 + 6 x + 9 0

Pedoman Jawaban LatihanBagaimana Saudara, apakah Anda mengalami kesulitan dalam menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan di atas? Silahkan Anda mencocokkan jawaban Anda dengan pembahasan berikut ini. 1. Langkah pertama yang kita lakukan adalah membagi kedua ruas dengan bilangan 2 sehingga diperoleh

x2 > 4 .2

Kemudian

kita

anggap

pertidaksamaan tersebut adalah persamaan x > 4 sehingga dengan aturan penarikan akar kuadrat diperoleh x = 2 dan x = 2 . Selanjutnya kita uji bilangan-bilanan yang menjadi anggota himpunan penyelesaian 2 x 2 > 8 dengan memasukkan bilangan x = 3 , x = 0 , dan x = 3 ke pertidaksamaan

2 x 2 > 8 sebagai berikut.2x 2 > 8 2x 2 > 8 2x 2 > 8 2(0) 2 > 8 2(3) 2 > 8 2(3) 2 > 8 0>8 18 > 8 18 > 8 Pernyataan benar Pernyataan salah Pernyataan benar Berdasarkan uji coba di atas, maka bilangan yang memenuhi pertidaksamaan 2 x 2 > 8 adalah semua bilangan yang kurang dari -2 atau lebih dari 2. Dengan kata lain himpunan penyelesaian pertidaksamaan

{x ;

x < 2 atau x > 2} dan penyajiannya dalam garis bilangan sebagai

2x 2 > 8

adalah

berikut.

2 - 20

Unit 2

Gambar 2.12 Anda perhatikan lingkaran pada nilai x = 2 dan x = 2 berlubang. Hal ini menyatakan bahwa nilai x = 2 dan x = 2 tidak memenuhi pertidaksamaan

2x 2 > 8 .2. Kedua ruas pertidaksamaan 2 x 2 + 32 0 dikurangi dengan bilangan 32 sehingga diperoleh 2 x 2 32 . Selanjutnya kedua ruas dibagi dengan -2. Ingat bahwa pembagian yang dilakukan pada kedua ruas pertidaksamaan akan mengubah tanda pertidaksamaan. Jadi diperoleh x 2 > 16 . Selanjutnya pertidaksamaan x 2 > 16 dianggap persamaan x 2 = 16 sehingga diperoleh nilai x = 4 dan x = 4 . Pengujian akan dilakukan dengan memasukkan nilai x = 5 , x = 0 , dan x = 5 sebagai berikut. 2 x 2 + 32 0 2(5) 2 + 32 0 18 0 Pernyataan benar Berdasarkan pengujian di 2 x 2 + 32 0 2 x 2 + 32 0 2(0) 2 + 32 0 2(5) 2 + 32 0 32 0 18 0 Pernyataan salah Pernyataan benar atas diperoleh himpunan penyelesaian

pertidaksamaan 2 x 2 + 32 0 adalah

{x ;

x 4 atau x 4} dan jika

dinyatakan dalam garis bilangan sebagai berikut.

Gambar 2.13 3. Pertidaksamaan x 4x + 5 > 02

dianggap

menjadi

persamaan

x 2 4 x + 5 = 0 sehingga dengan cara memfaktorkan diperoleh x 2 4x + 5 = 0 ( x + 1)(x + 5) = 0 x + 1 = 0 atau x + 5 = 0 x = 1 atau x = 5 x = 1 atau x = 5 Selanjutnya kita lakukan pengujian dengan memasukkan nilai x = 6 , x = 0 , dan x = 2 ke dalam pertidaksamaan x 2 4 x + 5 > 0 sebagai berikut. x 2 4x + 5 > 0 ( 6 ) 4( 6 ) + 5 > 0 36 + 24 + 5 > 0 7 > 02

x 2 4x + 5 > 0 (0 ) 4(0 ) + 5 > 02

5>0

(2 2 ) 4(2) + 5 > 0 48+5 > 0 7 > 0

x 2 4x + 5 > 0


2 - 21

Pernyataan salah

Pernyataan benar

Pernyataan salah

Berdasarkan pengujian di atas, maka himpunan penyelesaian pertidaksamaan

x 2 4 x + 5 > 0 adalahbilangan sebagai berikut.

{x ;

5 < x < 1} dan jika dinyatakan dalam garis

Gambar 2.14 4. Pertidaksamaan x + 6 x + 9 0 dianggap sebagai persamaan x 2 + 6 x + 9 = 0 sehingga dengan cara memfaktorkan diperoleh2

(x + 3)(x + 3) = 0

x 2 + 6x + 9 = 0

x+3= 0 x = 3 Pengujian akan dilakukan cukup dengan cara memasukkan nilai x = 0 pada pertidaksamaan x 2 + 6 x + 9 0 sebagai berikut.x2 + 6x + 9 0 02 + 6(0) + 9 0 90 Pernyataan benar Berdasarkan pengujian diperoleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan x 2 + 6x + 9 0 adalah

{x ; x 3}

atau penyelesaian pertidaksamaan

x 2 + 6 x + 9 0 dapat dinyatakan dengan diagram garis berikut ini.

Gambar 2.15 Kita sudah mempelajari pertidaksamaan linear dan kuadrat. Semoga apa yang disajikan dalam subunit ini dapat dipahami dengan baik. Selanjutnya silahkan Anda menguji tingkat penguasaan terhadap materi dengan mengerjakan tes formatif pada subunit ini. Selamat mengerjakan.

2 - 22

Unit 2

RangkumanPertidaksamaan adalah suatu pernyataan atau kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan tidak sama dengan antara ruas kiri dan ruas kanan. Di antara ruas kiri dan ruas kanan diberi tanda , , atau . Pertidaksamaan linear merupakan pertidaksamaan yang memiliki pangkat tertinggi 1 pada variabelnya. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan linear dapat dilakukan manipulasi-manipulasi aljabar seperti pada penyelesaian persamaan linear. Tetapi harus diingat bahwa jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama maka akan merubah tanda yang ada di antara ruas kiri dan ruas kanan. Tanda , tanda menjadi dan sebaliknya. Penyelesaian pertidaksamaan linear dapat disajikan dengan garis bilangan atau dengan himpunan. Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan

12. Pemecahan Masalah Matematika

Documents

Transcript of 12. Pemecahan Masalah Matematika