1001-soal-dan-solusi-uas-kalkulus-i-ittelkom.pdf
-
Upload
ihwan-fauzi -
Category
Documents
-
view
125 -
download
28
Transcript of 1001-soal-dan-solusi-uas-kalkulus-i-ittelkom.pdf
-
1001 Pembahasan UAS Kalkulus I
i
KATA PENGANTAR
Sebagaian besar mahasiswa menganggap bahwa Mata Kuliah yang berhubungan dengan menghitung yang salah satunya Kalkulus adalah susah, rumit dan memusingkan. Alhasil jalan keluar yang ditempuh untuk mengatasinya adalah mahasiswa menghafal teknik (urutan cara) menjawab soal, bukan memahami inti persoalan, materi, dan bagaimana mendapatkan ide menyelesaikan soal.
Sebagian lagi menganggap pemahaman materi saja sudah cukup. Pengalaman saya, mahasiswa yang baru memahami sebuah materi secara intuitif tetap saja akan kesulitan ketika menjawab persoalan. Kesulitan bukan karena tidak tahu jawabannya, tetapi kurang pandai bagaimana cara mengungkapkannya. Kemampuan seseorang menuangkan apa yang
difahaminya ke dalam tulisan yang sistematis dan bisa dimengerti orang lain juga penting, karena orang khususnya dosen ketika UAS menilai apa yang kita tulis pada lembar jawaban bukan apa yang ada di dalam otak kita.
1001 soal dan pembahasan ini dibuat bukan dengan tujuan agar mahasiswa pembaca menghafal teknik menjawabnya, melainkan supaya pembaca dapat lebih memahami materi, dan berlatih mengungkapkan apa yang difahami. Tentunnya tulisan ini tidaklah cukup bagi pembaca, text book dan penjelasan dari dosen tetaplah lebih utama, jadikan soal- soal yang ada disini sebagai latihan, sekedar untuk melihat kebenaran jawaban anda atau ketika anda merasa sudah mengalami kebuntuan, baru silahkan pembaca menyimak pembahasannya.
-
1001 Pembahasan UAS Kalkulus I
ii
Semoga bermanfaat !
Penulis
Arip Paryadi
-
1001 Pembahasan UAS Kalkulus I
iii
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ...................................................................................... i
DAFTAR ISI ................................................................................................. iii
MATHEMATIC FORMULAE ....................................................................... v
SOAL SOAL ................................................................................................... 2
Uas 2009-2010 Kalkulus I MA1114 (SP).................................................... 3 Uas 2008-2009 Kalkulus I MA1114 ............................................................ 4
Uas 2007-2008 Kalkulus I MA1114 ............................................................ 5
Uas 2006-2007 Kalkulus I MA1114 ............................................................ 6
Uas 2005-2006 Kalkulus 1 MA1114 ........................................................... 7
Uas 2004-2005 Kalkulus I MA1114 ............................................................ 8
Uas 2003-2004 Kalkulus I MA1122 ............................................................ 9
Uas 2003-2004 Kalkulus I PU1333 ........................................................... 10
Uas 2003-2004 Kalkulus I MA1314 ......................................................... 11
Uas 2002-2003 Kalkulus I PU1333 ........................................................... 12
Uas 2002-2003 Kalkulus I MA1314 .......................................................... 13
Uas 2002-2003 Kalkukus I ........................................................................ 14
Uas 2001-2002 Kalkulus I DA1314 .......................................................... 15
Uas 2000-2001 Kalkulus I ......................................................................... 16
PEMBAHASAN ............................................................................................ 17
Uas 2009-2010 Kalkulus I MA1114 (SP).................................................. 18 Uas 2008-2009 Kalkulus I MA1114 .......................................................... 21
Uas 2007-2008 Kalkulus I MA1114 .......................................................... 25
Uas 2006-2007 Kalkulus I MA1114 .......................................................... 28
-
1001 Pembahasan UAS Kalkulus I
iv
Uas 2005-2006 Kalkulus I MA1114 .......................................................... 32
Uas 2004-2005 Kalkulus I MA1114 .......................................................... 36
Uas 2003-2004 Kalkulus I MA1122 .......................................................... 40
Uas 2003-2004 Kalkulus I PU1333 ........................................................... 45
Uas 2003-2004 Kalkulus I MA1314 .......................................................... 49
Uas 2002-2003 Kalkulus I PU1333 ........................................................... 52
Uas 2002-2003 Kalkulus I MA1314 .......................................................... 56
Uas 2002-2003 kalkulus I .......................................................................... 61
Uas 2001-2002 Kalkulus I DA1314 .......................................................... 66
Uas 2000-2001 Kalkulus I ......................................................................... 71
TRIGONOMETRY FORMULAE ................................................................ 76
-
1001 Pembahasan UAS Kalkulus I
v
MATHEMATIC FORMULAE
( ) uvvuuv ''' +=
2
'
''
v
uvvu
v
u =
dxdy
dydu
dxdu
=
( ) 1' = nn nxx ( ) xx ee =' ( ) aaa xx ln'= ( ) xx cossin '= ( ) xx sincos ' = ( ) xx 2' sectan = ( ) xx 2' csccot = ( ) xxx tansecsec ' = ( ) xxx cotcsccsc ' = ( )
xx
1ln ' =
( ) )(')(1)(ln ' xfxfxf =
( )2
'1
1
1sin
x
x
=
( )2
'1
1
1cos
x
x
=
( ) 2'1 1 1cot xx +=
= vduuvudv
++
=
+
cn
xdxxn
n
1
1
cxdxx
+= ln1
cea
dxe axax +=1
+
=
ca
x
xa
dx 122
sin
+= cxxdx cossin cxxdx += sincos
ca
x
ax
dx+
=
+
122
sinh
cxxdx += coslntan
cxxdx += sinlncot
cxxxdx ++= tanseclnsec
cxxxdx += cotcsclncsc
ca
x
aax
dx+
=
+1
22 tan1
( ) 2'1 1 1tan xx +=
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 2
SOAL SOAL
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 3
UJIAN AKHIR SEMESTER PENDEK 2009/2010 KALKULUS I/MA1114
15 AGUSTUS 2009 TUTUP BUKU
Uas 2009-2010 Kalkulus I MA1114 (SP) 1. Diketahui daerah D dibatasi kurva xy = , garis 1=y , garis 4=x .
a. Gambarkan daerah D b. Hitung luas daerah D c. Hitung volume benda putar bila D diputar terhadap sumbu y.
2. a. Cari turunan dari xey1sin
=
b. Hitung ( ) xxx
xe12lim +
bila ada
3. Hitung integral
a. 2
0
5cos
pi
xdx
b. +
dxxx
x
106
32
4. Periksa kekonvergenan integral tak wajar ( )( ) ++
0 234 dxxx
x
No 1a 1b 1c 2a 2b 3a 3b 4 Nilai 2 4 7 4 7 7 7 7
Selamat Bekerja dengan Jujur !
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 4
UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2008/2009 KALKULUS I MA1114
SELASA / 13 JANUARI 2009 TUTUP BUKU
Uas 2008-2009 Kalkulus I MA1114 1. Diketaui D adalah daerah yang dibatasi oleh kurva 42 =+ yx dan garis
2+= xy a. Gambarkan daerah D dan cari titik-titik potongnya b. Hitung luas daerag D c. Hitung volume benda putar, bila D diputar mengelilingi sumbu x
2. Bila ( )axxa
xf 11 tantan1)( += , a konstanta. Tentukan a sehingga
2)0(' =f 3. Hitung ( )x
x
xcotlim0+
, bila ada.
4. Hitung integral
a. + 342 xx
dx
b. dxxx + 423
5. Periksa kekonvergenan integral tak wajar dxex x
32
Soal 1 2 3 4 5 Nilai 8 8 8 8 8
Selamat Mengerjakan !
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 5
UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2007-2008 KALKULUS I/MA1114
TUTUP BUKU Uas 2007-2008 Kalkulus I MA1114
1. Diketahui suatu daerah D di kuadran I yang dibatasi oleh kurva 24 xy = , garis xy 3= dan sumbu y.
a. Gambarkan daerah D dan hitung luasnya b. Hitung volume benda putar, bila D diputar terhadap garis 4=x
2. Diketahui ( ) ( )
=
2
1
sinpix
xxf a. Hitung ( )xf
x
lim2
+pi
b. Tentukan turunan pertama dari ( )xf
3. a. Hitung integral
+ dxxxx
x
66
23
3
b. periksa kekonvergenan integral tak wajar
0dxxe x
No 1 2 3 Nilai 12 14 14
Selamat mengerjakan denga jujur !
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 6
UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2006/2007 KALKULUS I MA1114
SABTU / 13 JANUARI 2007 TUTUP BUKU
Uas 2006-2007 Kalkulus I MA1114 Berdoalah sebelum mulai mengerjakan! Kerjakan dengan jujur dan teliti!
1. Diketaui daerah D dibatasi oleh grafik 21 xy = , garis x = 1, dan garis y = 1 d. Hitung luas daerah D e. Volume benda putar , jika daerah D diputar terhadap sumbu y.
2. a. Tentukan 'y ( untuk x > 0 dan y > 0) jika yx xy = b. Diketahui =
3
0).1(cos)(
x
xxdttf pi Tentukan nilai f(8).
3. Hitung +
+ dxxx
x23
2 1
4. Selidiki kekonvergenan +
0
1 1dx
x
x
5. Diketahui 1
)(+
=
x
xxf
a. Selidiki apakah f(x) mempunyai invers ? b. Cari ( )11 f !
NOMOR 1 2a 2b 3 4 5 NILAI MAKS 8 4 4 8 8 8 PENGOREKSI FDA JDN ERW ZKA DMA SSI
-o0o- Semoga Kemudahan Senantiasa Menyertai Anda -o0o-
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 7
UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2005/2006 KALKULUS 1 MA1114 SENIN 2 JANUARI 2006
TUTUP BUKU Uas 2005-2006 Kalkulus 1 MA1114
Berdoalah sebelum mulai mengerjakan! Kerjakan dengan jujur dan teliti!
1. Diketahui daerah D dibatasi oleh grafik y = x2 dan y = x. Grafik fungsi y = xm membagi luas daerah D menjadi dua bagian yang sama. a. Gambarkan daerah D b. Tentukan m
2. Tentukan panjang kurva y = x3/2 dari titik (0,0) ke (1,1).
3. Carilah a. dxxx )(cos)(sin 34
b. 1
0
1 )(tan dxx
4. Selidiki kekonvergenan
3
0 29 x
dx
5. Diketahui f(x) = (x-pi)tan x. Tentukan a. ( )xf ' . b. )(lim xf
x +pi
No 1 2 3 4 5 Jumlah Nilai Max 8 8 8 8 8 40 Pengoreksi ERW BZL FDA SSI JDN
-o0o- Semoga Kemudahan Senantiasa Menyertai Anda -o0o-
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 8
UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2004/2005 MA-1114 KALKULUS I
SENIN 10 JANUARI 2005 TUTUP BUKU
Uas 2004-2005 Kalkulus I MA1114 1. Diketahui D dibatasi oleh 2xy = , x = 2 dan y = 1
a. Hitung luas D b. Hitung volume benda putar yang terjadi jika D diputar terhadap garis
x = 3
2. Bila xxxxf )sin()( += , tentukan : a. )(' xf b. )(lim
0xf
x +
3. Hitung ++
+
1
12 52
5 dxxx
x
4. Hitung
dxx 2
32 )14(1
5. Periksa kekonvergenan integral tak wajar 2
1)1ln( dxx
-o0o- Semoga Kemudahan Senantiasa Menyertai Anda -o0o-
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 9
UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2003/2004 MA 1122 KALKULUS I
23 DESEMBER 2003 TUTUP BUKU
Uas 2003-2004 Kalkulus I MA1122
1. Diketahui 1
)(2 +
=
x
xxf
Tentukan : a. Daerah dimana grafik f naik atau turun dan titik ekstrimnya beserta
jenisnya (bila ada) b. Daerah dimana grafik f cekung atau cekung ke bawah dan titik
beloknya (bila ada) c. Garis-garis Asimtot d. Sketsa grafik f
2. Diketahui +
=
4
2 4
3
,
1)(
x
x
dtt
xxH tentukan H(2)
3. Daerah D dibatasi oleh kurva-kurva y = x2 dan y = 4 a. Gambar daerah D dan hitung luas daerah tersebut b. Hitung volume benda putar yang terjadi apabila daerah D diputar
terhadap garis y = -1
4. Diberikan ( ) xxxf ln2 1)( += , tentuka f (x) 5. Hitung integral-integral berikut
a. dxe x9 Dengan menggunakan subtitusi xeu = 9
b. pi
0
2cos xdxx
-o0o- Semoga Kemudahan Senantiasa Menyertai Anda -o0o-
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 10
UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2003/2004 PU 1333 KALKULUS
SENIN 5 JANUARI 2004 TUTUP BUKU
Uas 2003-2004 Kalkulus I PU1333 1. Diketahui daerah tertutup D yang dibatasi oleh kurva xy = , garis
0=x dan garis y = 3 a. Hitung luas daerah D b. Hitung volume benda putar jika D diputar terhadap garis y = -1
2. Diketahui ( ) ecxxxf coscos)( = a. Hitung : )(lim
0xf
x
b. Tentukan turunan pertama f(x) 3. Hitung integral berikut:
a. +
dxxx
x
522
2
b. ( ) + dxx2ln 4. Selidiki kekonvergenan integral tak wajar berikut:
a. ( ) ++
0 2332x
dx
b.
3
12 6
12 dxxx
x
Selamat Bekerja Dengan Jujur
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 11
UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2003/2004 MA 1314 KALKULUS I SENIN 5 JANUARI 2004
TUTUP BUKU Uas 2003-2004 Kalkulus I MA1314
1. Tentukan 'y dari bentuk emplisit 1=+ xyex
2. Hitung + dxx)2ln(
3. Diketahui
3
12 6
12 dxxx
x
a. Periksa apakah integral di atas adalah integral tak wajar ? b. Jika integral tak wajar, periksa kekonvergenannya!
4. a. Tentukan selang kekonvergenan deret :
( ) +++=+=0
2...3211
n
n xxxn
b. Tentukan jumlah deret pada soal 4a dengan menggunakan :
xxxx
=++++1
1...1 32
5. Tentukan deret McLaurin dari fungsi x
xxf
+=
1)(
Selamat Bekerja Dengan Jujur
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 12
UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2002/2003 KALKULUS / PU 1333
6 JANUARI 2003 TUTUP BUKU
Uas 2002-2003 Kalkulus I PU1333 Kerjakan dengan singkat dan jelas! Jangan lupa berdoa sebelum mengerjakan!
1. Diketaui ecxxxf cos)1()( += a. Tentukan )(' xf b. Hitung )(lim
0xf
x+
2. Hitung integral berikut a. ( )dxx 25ln + b.
22 4 xx
dx
3. Selidiki kekonvergenan dari
a. ( ) ++
0231x
dx
b. +
0
21dx
e
ex
x
4. Diketahui daerah D dibatasi oleh xy = , x = 4 , sumbu x. a. Tentukan luas D b. Hitung volume benda putar jika D diputar terhadap sumbu y.
Selamat Bekerja Dengan Jujur
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 13
UJIAN AKHIR SEMESTER GENAP 2002/ 2003 MA1314 KALKULUS I JUMAT, 13 JUNI 2003
TUTUP BUKU Uas 2002-2003 Kalkulus I MA1314
1. Hitung
a. ( ) ( ) + + 41 643 2223
xx
xxx
b. +
dxxx 1
122
2. Tentukan kekonvergenan integral tak wajar ( ) dxxx
+
+
1232 1
3. Diketaui ( ) 2cot)( xxxf = Tentukan : a. Turunan pertama dari f(x) ! b. )(lim
0xf
x +
4. Tentukan selang kekonvergenan ( ) +=
+1 2121
nn
n
n
x
Selamat Bekerja Dengan Jujur
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 14
UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2002/2003 KALKULUS I TUTUP BUKU
Uas 2002-2003 Kalkukus I
1. Hitunglah ( ) xx
xsin
0tanlim
+
2. Tentukan )(' xf dari 2)sin2()( xxxf +=
3. Hitung integral berikut dx
x
x 14 2
4. Tentukan kekonvergenan integral tak wajar di bawah a. dx
e
ex
x
+
21
b.
xx
dx3ln
5. a. Periksa kekonvergenan deret
=
+
1
1
!3
n
n
n
b. Tentukan selang kekonvergenan deret +
=
0 2
1
)1(2
n
nn
n
x
Selamat Bekerja Dengan Jujur
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 15
UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2001/2002 DA 1314 KALKULUS I
SENIN 15 JANUARI 2001 TUTUP BUKU
Uas 2001-2002 Kalkulus I DA1314 1. Diberikan fungsi 1,22)( 2 ++= xxxxf . Tunjukkan bahwa fungsi
)(xf mempunyai invers kemudian carilah )(1 xf
2. a. Carilah integral tak tentu +
+ dxxx
x
44
3
b. Hitunglah
3
12
29 dxx
x
3. selidiki kekonvergenan integral tak wajar berikut a. dxx +
0)1ln(
b. 1
0
2
dxx
ex
4. Tentukan selang/himpunan kekonvergenan dari deret pangkat
+
=
+
0
1
32)2(
n
nn
n
x
5. Perderetkan ke dalam deret Mac Laurin (minimal 4 suku pertama) untuk fungsi 24
1)(x
xf
=
Selamat Bekerja Dengan Jujur
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 16
UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2000/2001 KALKULUS 1
SENIN / 24 NOVEMBER 2000 TUTUP BUKU
Uas 2000-2001 Kalkulus I
1. Diketahui xxxxf 1)42()( += a. Tentukan )(' xf b. Hitunglah )(lim xf
x ( jika ada )
2. Hitung
a. ( )( ){ } 53
21ln dxxx
b.
dxx
x
29
32
3. Hitung ++
dxxxx
xx
)22)(1(32
2
2
4. Tentukan kekonvergenan integral tak wajar berikut :
a. 2
0tan
pi
d
b.
0 2dxxex
5. Tentukan selang ( himpunan ) kekonvergenan deret +
=
+
1
1
)1()1(kk
k
kkx
Selamat Bekerja Dengan Jujur
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 17
PEMBAHASAN
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 18
PEMBAHASAN UJIAN AKHIR SEMESTER PENDEK 2009/2010
KALKULUS I/MA1114 15 AGUSTUS 2009
Uas 2009-2010 Kalkulus I MA1114 (SP) 1. Diketahui daerah D dibatasi kurva
xy = , garis 1=y , garis 4=x .
a. Gambar daerah D diperlihatkan pada gambar di samping
b. Menghitung luas daerah D luas salah satu partisi dari D adalah :
( ) yyA = 24 apabila luas seluruh partisi dari D dijumlahkan akan diperoleh luas daerah D yaitu
( ) 21
331
2
1
2 44 yydyyA = = ( ) ( ) 353138 48 ==
c. Menghitung volume benda putar bila D diputar terhadap sumbu y.
Jika salah satu partisi dari D diputar terhadap sumbu y maka akan diperoleh sebuah cakram dengan jari-jari bagian dalam 2y dan jari-jari bagian luar 4 serta tebal y . Volume cakram tersebut yaitu
( ) ( ) yytrrV dl == 422 16pipi Sehingga volume benda putar yang dimaksud adalah
( ) ( ) pipipi 5492155121 4 1616 == = yydyyV
1
xy =
40
D
Ddaerah
y
1 24 y
40 1
2
y
2yrd =
4=lr
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 19
2. a. Mencari turunan dari xey1sin
=
misalkan xu 1sin= maka 21
1
xdxdu
= ,
uey = dan uedudy
= .
Dengan menggunakan aturan rantai kita peroleh :
2
sin
2 11
11
x
e
x
edxdu
dudy
dxdy xu
=
==
b. Menghitung ( ) xxx
xe12lim +
( ) xxx
xe12lim +
( ) ( )212 ln1limexplnexplim xe
xxe
x
x
xx
x
+=+=
( )
**2
limexp*ln
limexp 22
xe
xe
x
xex
x
x
x
x +
+=
+=
( ) 10exp22
limexp ==+
+=
xe
ex
x
x
Note : * dan ** limit berbentuk / sehingga LH dapat diterapkan.
3. Menghitung integral
a. 2
0
5cos
pi
xdx
xdx5cos ( )= xdxx coscos 22 ( ) = xdxx cossin1 22 ( ) += xdxxx cossinsin21 42
( ) ( ) += xdxx sinsinsin21 42
cxxx ++= 5513
32 sinsinsin
2
0
5cos
pi
xdx
( ) 1580551332 2sinsinsin =+=pi
xxx
b. +
dxxx
x
106
32
+
dxxx
x
106
32
( )
+
+=
106
1062
2
21
xx
xxd
cxx ++= 1062
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 20
Alternative lain adalah dengan melihat kenyataan bahwa
+
dxxx
x
106
32
( ) +
= dxx
x
13
32
kemudian lakukan substitusi
tx tan3 =
4. Memeriksa kekonvergenan integral tak wajar ( )( ) ++
0 234 dxxx
x
( )( ) ++
0 234 dxxx
x ( )( ) ( )( ) +
++
+
+=
+
3
202 234
lim234
limbb
a
a
dxxx
xdxxx
x
( )( ) ( )*........234
lim3
+
++
c
c
dxxx
x
Misalkan ( )( ) ( ) ( )23234
++
=
+
+
x
bx
a
xx
x. Untuk mendapatkan nilai a dan b
kita kalikan kedua ruas dengan ( )( )23 + xx menjadi ( ) ( )324 ++=+ xbxax
untuk 2=x diperoleh b56 = atau 56=b
untuk 3=x diperoleh a51 = atau 51=a sehingga
( )( ) ++ dx
xx
x
234
( ) ( ) cxxdxxx +++=
++
= 2ln3ln25
635
156
51
.
Sekarang kita selesaikan limit bagian pertama pada ruas kanan (*)
( )( ) ++
a
a
dxxx
x
02 234
lim ( )aa
xx 056
51
22ln3lnlim ++=
( ) ( ) =+++=
2ln3ln2ln3lnlim 56
51
56
51
2aa
a
Ini menunjukkan bahwa ( )( ) ++
a
a
dxxx
x
02 234
lim divergen yang berakibat
( )( ) ++
0 234 dxxx
x juga divergen.
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 21
PEMBAHASAN UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2008/2009
KALKULUS I MA1114 SELASA / 13 JANUARI 2009
Uas 2008-2009 Kalkulus I MA1114 1. Diketaui D adalah daerah yang dibatasi oleh
kurva 42 =+ yx dan garis 2+= xy a. Menggambar daerah D dan mencari
titik-titik potongnya Titik potong kurva antara 42 =+ yx dan
2+= xy
42 =+ yx
422 =++ xx 022 =+ xx
( )( ) 012 =+ xx 2=x atau 1=x
b. Menghitung luas daerah D luas salah satu partisi dari D adalah :
( ) ( )( ) xxxA ++= 242 ( ) xxx += 22
Jika luas semua partisi dari D kita jumlahkan akan didapat luas daerah D yaitu :
( ) +=
1
2
2 2 dxxxA
1
2
23 221
31
+= xxx
2942
382
21
31
=
+=
2+= xy
42 += xy
2
D
1
x
( ) ( )242 ++ xx
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 22
c. Menghitung volume benda putar, bila D diputar mengelilingi sumbu x.
Bila sebuah partisi dengan tinggi 22 + xx dan alas x diputar terhadap
sumbu x maka akan diperoleh sebuah cakram dengan jari jari dalam 2+xdan jari jari bagian luar 42 + x serta tebal x . Luas volume cakram tersebut adalah
( )trrV dl 22 = pi ( ) ( ) xxx
++= 2
22 24pi
( ) ( )( ) xxxxx +++= 44168 224pi ( ) xxxx += 1249 24pi
Sehingga volume benda putar yang dimaksud adalah :
( ) +=
1
2
24 1249 dxxxxV pi1
2
235 122351
+= xxxxpi
+
+= 24824
5321223
51
pi pi5
108=
2. Menentukan a sehingga 2)0(' =f jika ( )axxa
xf 11 tantan1)( +=
( ) ( )22 1111
'
ax
a
xaxf
++
+=
karena 2)0(' =f maka
aa
+=12
212 aa += 0122 =+ aa
( ) 01 2 =a ,
1=a
x
2+= xrd
42 += xrl
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 23
3. Menghitung ( )xx
xcotlim0+
( )xx
xcotlim0+
( ) ( )xxxx
x
x
cotlnlimexpcotlnexplim00 ++
==
( )*
1cotln
limexp0
=
+
x
x
x
=+
2
2
0 1
cotcsc
limexp
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xxx coslim
sinlimexp
cos
sinsin
limexp002
2
0 +++ ==
( ) 10.1exp ==
Note : *limit berbentuk / sehingga LH bisa diterapkan.
4. Mengitung integral
a. + 342 xx
dx
( )*
21 2
=
x
dx ( ) cx += 2sin 1
Note: * jika kurang faham lakukan substitusi tx sin2 =
b. dxxx + 423
misalkan : 42 += xu maka xdxdu 2= atau x
dudx2
=
sehingga
dxxx + 423 =x
duux2
3 = duux 22
1
( ) = duuu 421
= duuu 2
12
34
21
cuu +
=
23
25
38
52
21
( ) ( ) cxx +++= 232252 4344
51
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 24
5. Memeriksa kekonvergenan integral tak wajar dxex x
32
dxex x
32 +=
bx
ba
x
a
dxexdxex0
20
2 33 limlim
misalkan 3xu = maka dxxdu 23= sehingga
dxex x
32 = dueu3
1 ceu +=
31
ce x += 3
31
dxex x
32b
x
ba
x
a
ee0
033
31
lim31
lim
+=
=+++=
31
31
lim31
31
lim33 b
b
a
a
ee
Jadi dxex x
32 divergen.
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 25
PEMBAHASAN UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2007-2008
KALKULUS I/MA1114 Uas 2007-2008 Kalkulus I MA1114
1. Diketahui suatu daerah D di kuadran I yang dibatasi oleh kurva 24 xy = , garis xy 3= dan sumbu y. a. Gambar daerah D luas daerahnya
Perhatikan gambar disamping ! Titik potong antara kurva 24 xy = dan
xy 3= terjadi saat xx 34 2 = yaitu 0432 =+ xx
( )( ) 014 =+ xx 4=x (tidak memenuhi karena D pada
kwadran I) atau 1=x Luas salah satu partisi dari D adalah :
( )( ) ( ) xxxxxxA +== 4334 22 Jika kita jumlahkan luas seluruh partisi dari D akan didapat luas daerah D yaitu
( ) += 10
2 43 dxxxA
6131
02
233
31 4 =+= xxx
satuan luas.
b. Menghitung volume benda putar, bila D diputar terhadap garis 4=x Apabila salah satu partisi dengan tinggi
432 += xxt dan alas x serta berjarak x4 dari garis 4=x diputar terhadap garis 4=x akan diperoleh sebuah kulit tabung dengan dengan tinggi 432 += xxt , jari-jari xr = 4 serta tebal x .
xy 3= 1
( ) xx 34 2 x
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 26
Volume kulit tabung tersebut adalah : ( )( ) xxxxrrtV +== 43422 2pipi ( ) xxxx += 16162 23pi
Apabila volume seluruh kulit tabung dijumlahkan akan diperoleh volume benda putar yang dimaksud yaitu
( ) += 10
23 16162 dxxxxV pi ( ) pipi 65102331441 151682 =+= xxxx 2. Diketahui ( ) ( ) ( )21sin pi= xxxf
a. Menghitung ( )xfx
lim2
+pi
( ) ( ) ( )21
22
sinlnexplimlim pipipi
++
=xxxf
xx
( ) ( )*
sinlnlimexp
sinlnexplim
22 22pipi
pipi
=
=++
x
x
x
x
xx
( ) 10expsincos
limexp2
===+
x
x
x pi
Note :*limit berbentuk 0/0 sehingga LH dapat diterapkan.
b. Menentukan turunan pertama dari ( )xf
( ) ( ) = 21
sinpix
xxf
( ) ( )2
2
1sinln
sinlnlnpi
pi
==
x
xxxf x
( )
=
2
sinlnlnpix
xDxfD xx
( )( )
( )( )22
2sincos sinln'
pi
pi
=
x
xx
xfxf xx
( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )
=
= 2
1
22
22
2
2 sinsinlncotsinlncot
'
pi
pi
pi
pi
pix
xx
xxxxf
x
xxxxf
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 27
3. a. Menghitung integral ( )( ) ++
=
+ dxxxx
xdxxxx
x
236
66 3
23
3
misalkan ( )( ) 232363
++
++=+
+
x
dx
c
x
ba
xxx
x
untuk mendapatkan nilai a, b, c dan d kita kalikan kedua ruas dengan ( )( )23 + xxx menghasilkan
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )*....................32232363 ++++++=+ xdxxcxxxbxxaxx kemudian dengan menyulihkan nilai 0=x , 3=x , 2=x dan 1=x ke dalam (*) secara berturut turut kita peroleh
b66 = atau 1=b c1533 = atau 5
11=c
d102 = atau 51
=d
dcba 4445 += atau 1=a Dengan demikian kita memiliki
( ) ( ) Cxxxxdx
xxxdx
xxx
x
+++=
+
+=
+
2ln3lnln23
116
6
51
511
51
511
23
3
b. Memeriksa kekonvergenan integral tak wajar
0dxxe x
Misalkan xu = dan dxedv x= maka dxdu = dan xev = sehingga ==
vduuvudvdxxe x
cexedxexe xxxx +=+=
0dxxe x
axx
a
ax
a
exedxxe00
limlim
==
11lim1**1
lim11lim =
+=
+=+=
aaaa
aa
a ee
aeae
Jadi
0dxxe x
konvergen ke 1.
Note :** limit berbentuk / sehingga LH dapat diterapkan
-
1001 Soal & Pembahasan UAS
Arip Paryadi , IT Telkom
PEMBAHASAN UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2006/2007
KALKULUS I MA1114 SABTU / 13 JANUARI 2007
Uas 2006-2007 Kalkulus I MA1114 1. Diketaui daerah D dibatasi oleh grafik
21 xy = , garis x = 1, dan garis y = 1. a. Menghitung luas daerah D
Perhatikan gambar di samping ! Luas salah satu partisi dari D adalah
xxxxA == 22 ))1(1( . Sehingga luas daerah D adalah :
luassatuan31
31 1
0
31
0
2=== xdxxA
b. Menentukan volume benda putar , jika daerah D diputar terhadap sumbu y.
Metode kulit tabung Jika salah satu irisan dengan tinggi
22 )1(1 xx = dan alas x serta berjarak x dari sumbu y diputar terhadap sumbu y akan diperoleh suatu kulit tabung dengan tinggi 2x , jari jari x dan tebal x . Sehingga volume kulit tabung tersebut adalah :
( ) xxxxxV == 32 22 pipi 24
1221
0
41
0
3 pipipi =
== xdxxV
1=y
1y =
Pembahasan UAS Kalkulus I
28
UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2006/2007
x
y
1=x2x
Dx
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 29
2. a. Menentukan 'y
jika yx xy = yx xy =
yx xy lnln = xyyx lnln =
( ) ( )xyDyxD xx lnln = y
xxyxy
yy 1ln''1ln +=+
yx
yxyy
yx lnln'' =
yx
yyxyx ln'ln =
xyx
yx
y
yln
ln'
=
b. Menentukan f(8) jika diketahui ( )*........).1(cos)(3
0 =x
xxdttf pi
Terlebih dahulu kita tentukan fungsi ekspilisit dari f(x) dengan menerapkan teorema dasar kalkulus pada (*)
]).1(cos[)(3
0 =x
xx xxDdttfD pi
pipipi )sin()1(cos3)( 23 xxxxxf += 1sincos3)( 23 = xxxxxf pipipi
23
31sincos)(
x
xxxxf = pipipi
Dengan menyulihkan nilai x = 2 ke persamaan terkahir kita peroleh
23
2.312sin22cos)8()2( == pipipiff 0
12101
=
=
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 30
3. Menghitung +
+ dxxx
x23
2 1
misalkan 1)1(
122
2
+++=
+
+
x
c
x
bx
a
xx
xmaka :
)1()1()1(
)1(1
2
2
2
2
+
++++=
+
+
xx
cxxbxaxxx
x
22 )1()1(1 cxxbxaxx ++++=+ untuk 0=x kita peroleh 1=b untuk 1=x kita peroleh 2=c untuk 1=x kita peroleh cba ++= 222 atau 1=a sehingga :
+
+ dxxx
x23
2 1
+++= dx
xxx 1211
2 Cxxx +++= 1ln21ln
4. Menyelidiki kekonvergenan +
0
1 1dx
x
x
+
=+
0
1
0
1 1lim
1 aadx
x
xdxx
x
+
+=
0
1 11)1(
limaa
dxx
x
++=
0
1 111lim
aa
dxx
x
dxxxaa
++=
21
210
1)1()1(lim
02
12
3
1)1(2)1(
32
limaa
xx
++=
34)1(2)1(
322
32
lim 21
23
1=
++
=
aa
a
Dengan demikian +
0
1 1dx
x
x konvergen ke 34
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 31
5. Diketahui 1
)(+
=
x
xxf
a. Menyelidiki apakah )(xf mempunyai invers Untuk menyelidikinya kita periksa apakah f monoton murni untuk setiap selang pada R (sesuai dengan domainnya). Sekarang perhatikan bahwa
Rxxx
xxxf >
+=
+
+= 0
)1(1
)1()1()(' 22
Ini menunjukkan bahwa f selalu naik yaitu f monoton murni sehingga f memiliki invers.
b. Mencari )1(1 f misalkan )(1 yfx =
1)(
+=
x
xxf
1+=
x
xy
xxy =+ )1( xyyx =+
yxyx =
yxy = )1(
yy
yy
x
=
=
11
yyyf
=
1)(1
x
xxf
=
1)(1
21
)1(11)1(1 =
=f
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 32
2xy =
xy =
mxy =
PEMBAHASAN UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2005/2006
KALKULUS 1 MA1114 SENIN 2 JANUARI 2006
Uas 2005-2006 Kalkulus I MA1114 1. Diketahui daerah D dibatasi oleh grafik y = x2 dan y = x. Grafik fungsi
y=xm membagi luas daerah D menjadi 2 bagian yang sama. a. Menggambar daerah D
b. Menentukan nilai m Karena Grafik fungsi y = xm membagi luas daerah D menjadi 2 bagian yang sama, maka luas daerah yang dibatasi fungsi y = xm dan y = x adalah setengah luas D. secara matematis dapat dituliskan dalam :
= 1
0
21
0)(
21)( dxxxdxxx m
1
0
321
0
12
31
21
21
11
21
=
+
+ xxxm
x m
=
+
31
21
21
11
21
m
121
11
21
=
+
m
125
121
21
11
==
+m
57
= m
2xy =
xy =
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 33
2. Menentukan l = panjang kurva y = x3/2 dari titik (0,0) ke (1,1).
+=
1
0
2
1 dxdxdyl
+=
1
0
22
1
231 dxx
+=1
0 491 dxx
1
0
23
94
491
32
+= x
= 1
413
278 2
3
3. Menentukan : a. dxxx )(cos)(sin 34
dxxx )(cos)(sin 34 = dxxxx )cos()(cos)(sin 24 ( ) = dxxxx )cos()(sin1)(sin 24
( ) = dxxxx )cos()(sin)(sin 64 ( ) ( ) = xdxx sin)(sin)(sin 64
( ) ( ) cxx += 75 sin71
sin51
b. 1
0
1 )(tan dxx
misalkan : )(tan 1 xu = dan dxdv =
maka : dxx
du 211
+= dan xv = sehingga
=
udvdxx)(tan 1 = vduuv dxx
xxx
+=
21
1)(tan
( )
+
+=
2
221
1
1
1)(tanx
xdxx
Cxxx ++= 21 1ln21)(tan
dengan demikian 1
0
1 )(tan dxx1
0
21 1ln21)(tan
+= xxx
=
1ln2102ln
21)1(tan 1 2ln
21
4=
pi
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 34
4. Menyelidiki kekonvergenan
3
0 29 x
dx
3
0 29 x
dx
=
a
a x
dx0 23 9
lim
misalkan : sin3=x maka ddx cos3= jika 0=x maka 0= jika 3x maka
2pi
sehingga
a
a x
dx0 23 9
lim
=
b
b
d0 2
2sin99
cos3lim
pi
=
b
b
d0 2
2)sin1(9
cos3lim
pi=
b
b
d0 2
2cos9
cos3lim
pi
=
b
b
d0
2cos3
cos3lim
pi
=
b
b
d0
2
lim pi 2
lim
2
pi
pi==
bb
Jadi
3
0 29 x
dx konvergen ke
2pi
Alternative lain
3
0 29 x
dx
=
a
a x
dx0 23 9
lim a
a
x
0
1
3 3sinlim
=
23sinlim 1
3
pi=
=
a
a
yaitu
3
0 29 x
dx konvergen ke
2pi
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 35
5. Diketahui ( ) xxxf tan)( pi= a. Menentukan ( )xf '
xxy tan)( pi= xxy tan)ln(ln pi=
)ln()tan(ln pi= xxy ( ) ( )[ ]pi= xxDyD xx lntanln
( ) ( )xx
xxyy
tan1ln)(sec'1 2
pipi
+=
( ) ( ) ( ) yxx
xxy
+= tan1lnsec' 2
pipi
( ) ( ) ( ) ( ) xxxx
xxy tan2 tan1lnsec' pipi
pi
+=
b. Menghitung )(lim xfx +pi
)(lim xfx +pi
x
x
xtan)(lim pi
pi=
+
=
+
x
x
x tan)ln(explim pipi
[ ])ln()tan(explim pipi
=+
xxx
[ ])ln()tan(limexp pipi
=+
xxx
( ) *)cot(
lnlimexp
=
+ x
x
x
pi
pi
=+ )(csc
1
limexp 2 xx
x
pi
pi
*2 )(sinlimexp
pipi =
+ x
x
x 1)cos()sin(2
limexpxx
x
=+pi
( ) 10exp 0 === e
note : * limit bernilai 0/0 sehingga LH dapat diterapkan
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 36
PEMBAHASAN UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2004/2005
MA-1114 KALKULUS I SENIN 10 JANUARI 2005
Uas 2004-2005 Kalkulus I MA1114 1. Diketahui D dibatasi oleh 2xy = , x = 2 dan y
= 1 a. Menghitung luas D
Luas salah satu partisi pada D adalah ( ) xxA = 12
sehingga luas daerah D adalah
( ) = 21
2 1 dxxA
2
1
3
31
= xx
341
312
38
=
=
b. Menghitung volume benda jika D diputar terhadap garis x = 3 jika salah satu irisan dengan tinggi 12 x dan alas x serta berjarak x3 dari garis x = 3 diputar terhadap garis 3=x akan diperoleh suatu kulit tabung dengan tinggi
12 x , jari jari x3 dan tebal x . Sehingga volume kulit tabung tersebut adalah :
( )( )( ) xxxx
xxxV
++==
332132
23
2
pi
pi
( ) ++= 21
23 332 dxxxxV pi
112
7321
412
2
1
234==
++=
pipi xxxx
}x
2xy =
1=y
2=x1
4
x
y
} 12 x
}x
30 x
x3
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 37
2. Diketahui xxxxf )sin()( += a. Menentukan )(' xf
xxxy )sin( += xxxy )sinln(ln += xxxy )sinln(ln += ( )( )xxxDyD xx sinln)(ln +=
( ) xxx
xxxy
y sincos1
sinln'1+
+++=
( ) yxxx
xxxy
+
+++=
sincos1
sinln'
( ) ( )xxxxxx
xxxy sin
sincos1
sinln' +
+
+++=
b. Menghitung )(lim0
xfx +
)(lim0
xfx
+( )x
x
xx sinlim0
+=+
( )xx
xx sinlnexplim0
+=+
( )[ ]xxxx
sinlnexplim0
+=+
( )[ ]xxxx
sinlnlimexp0
+=+
( )*
1sinln
limexp0
+=
+
x
xx
x
+
+
=+
20 1
sincos1
limexp
x
xx
x
x
( )**
sincos1
limexp2
0
+
+=
+ xx
xx
x
( ) ( )
+
++=
+ x
xxxx
x cos1sincos12
limexp2
0
1)0exp(20
exp 0 ===
= e
Note : * limit berbentuk / **(0/0) sehingga LH dapat diterapkan.
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 38
3. Menghitung ++
+
1
12 52
5 dxxx
x
++
+
1
12 52
5 dxxx
x
( ) +++
=
1
1 22 215 dx
x
x
misalkan : tan21 =+x maka ddx 2sec2= jika 1=x maka 0= jika 1=x maka
4pi = sehingga
( ) +++
1
1 22 215 dx
x
x
+
+=
4
0
22 sec24tan4
5)1tan2(pi
d
+
+=
4
0
22 sec2)1(tan4
4tan2pi
d +
=
4
0
22 sec2)(sec4
4tan2pi
d
( ) += 40
4tan221
pi
d [ ] 40
4cosln221
pi
+=
( )
+= 02
21ln2
21
pi 221ln
2=
pi
4. Menghitung
dxx 2
32 )14(1
misalkan : sec21
=x maka dxd tansec21
= sehingga
dxx 2
32 )14(1
( ) = dtansec21
1sec
12
32
=
d2
32 )(tantansec
21
=
d3tantansec
21
=
d2tan
sec
21
= d
cos
1sincos
21
2
2
= d
sincos
sin1
21
= dcotcsc21 C+= csc
21 Cx += 241
21
x2
1 241 x
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 39
5. Memeriksa kekonvergenan integral tak wajar 2
1)1ln( dxx
2
1)1ln( dxx =
+
2
1)1ln(lim
aa
dxx
Misalkan )1ln( = xu dan dxdv = maka 1
=
x
dxdu dan xv = sehingga
== vduuvudvdxx )1ln(
= dxx
xxx
1)1ln(
+= dx
x
xxx
11)1()1ln(
+= dxx
xx1
11)1ln(
( ) Cxxxx ++= )1ln()1ln( Cxxxx += )1ln()1ln(
Cxxx += )1ln()1( jadi
2
1)1ln( dxx [ ]2
1)1ln()1(lim
aa
xxx =+
( ) ( ) ( )( )[ ]aaaa
=+
1ln12lim1
)1ln()1(2lim1
=+
aaaa
)1ln()1(lim)2(lim11
=++
aaaaa
=+
11
)1ln(lim1
1
a
a
a
=+
21
)1(11
1
lim1
a
a
a
)(1)1(lim11
ansaa
==+
1kekonvergen)1ln(2
1 dxx
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 40
PEMBAHASAN UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2003/2004
MA1122 KALKULUS I 23 DESEMBER 2003
Uas 2003-2004 Kalkulus I MA1122
1. Diketahui 1
)(2 +
=
x
xxf
a. Daerah kemonotonan f dan titik ekstrimnya beserta jenisnya Kemonotonan dari f dapat ditentukan dari )(' xf
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )2222
2
22
2
1
11
1
1
1
21)('+
+=
+
=
+
+=
x
xx
x
x
x
xxxxf
f monoton naik jika 0)(' >xf yaitu pada selang (-1,1) f monoton turun jika jika 0)('
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 41
43
,3
0,0
43
,3
21
,1
21
,1
( )1
grafik 2 +=
x
xxf
f cekung ke atas jika ( ) 0" >xf yaitu pada selang ),3()0,3(
f cekung ke bawah jika ( ) 0"
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 42
2. Menentukan )2('H jika diketahui +
=
4
2 4
3
1)(
x
x
dtt
xxH
Terlebih dahulu kita tentukan fungsi ekspisit dari H(x) dengan menerapkan teorema dasar kalkulus.
+ =
+=
4
2 4
4
2 4
33
1
1
1)('
x
xx
x
xx dt
txDdt
t
xDxH
+
++
=
4
2 4
4
2 4
33
1
1
1
1 x
xx
x
x
dtt
xDdtt
( ) ( )
+
+
++
=
443
24
2 4 21
2
41
3
1
13
xx
xxdt
t
x
x
( )25712
25612
256182
1
12'4
4 4=
+
++
+= dt
tH
3. Daerah D dibatasi oleh kurva-kurva y = x2 dan y = 4
a. Menggambar daerah D dan menghitung luas daerahnya.
luas salah satu partisi dari D adalah :( ) xxA = 24
Apabila luas seluruh partisi kita jumlahkan maka akan diperoleh luas dari D yaitu :
( ) 22
32
2
2
3144
= = xxdxxA
332
388
388 =
+
=
22
2xy =
4
D
x
24 x
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 43
b. Menghitung volume benda putar yang terjadi apabila daerah D diputar terhadap garis y = -1
Apabila sebuah partisi diputar terhadap garis y = -1 maka akan diperoleh sebuah cakram dengan jari jari luar 5=lr dan jari jari dalam
12 += xrd serta tebal xt = . volume dari cakram tersebut yaitu
( )trrV dl 22 = pi ( ) xx
+=
22 125pi
( ) xxx += 242 24pi Sehingga volume benda putar yang dimaksud adalah :
( ) +=
2
2
24 242 dxxxV pi2
2
35 2432
51
+= xxxpi
+
+= 48
316
53248
316
532
pi pi15
1088=
4. Menentukan 'y jika ( ) xxy ln2 1+= ( ) ( ) ( )1lnln1lnln 2ln2 +=+= xxxy x
( ) ( )( )1lnlnln 2 += xxDyD xx
( )1
ln21ln'2
2
++
+=
x
xx
x
x
yy
( )y
x
xx
x
xy
++
+=
1ln21ln
'2
2 ( ) ( ) xxx
xx
x
x ln22
21
1ln21ln
+
++
+=
4x
5=lr
12 += xrd
1
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 44
5. Hitung integral-integral berikut
a. dxe x9
Misalkan xeu = 9 maka x
x
e
dxedu
=
92atau
xx
x
e
udue
duedx 292 == sehingga
dxe x9 = xe
duu 22
duu
u
= 2
2
92
duu
u
=
92 2
2
duu
+=9
912 2 duuu +
+=3
233
2312
( ) ( ) cuuu +
++= 3ln
233ln
232
( ) ( ) cuuu +++= 3ln33ln32 ( )( ) cuu
u ++
+=33ln32
c
e
ee
x
xx +
+
+=39
39ln392
b. pi
0
2cos xdxx
( )
+=
pi
0 22cos1 dxxx
( ) += pi0
2cos21 dxxxx
+=pipi
00
2*2cos
21
21
xdxxx
+=pipipi
00
22sin
212sin
221
4xdxxx
42cos
410
21
4
2
0
2 pipipi
=
++= x
Note : *terapkan integrasi parsial dengan xu = dan xdxdv 2cos=
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 45
PEMBAHASAN UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2003/2004
PU 1333 KALKULUS SENIN 5 JANUARI 2004
Uas 2003-2004 Kalkulus I PU1333 1. Diketahui daerah tertutup D yang dibatasi oleh kurva xy = , garis
0=x dan garis y = 3 a. Menghitung luas daerah D
Luas salah satu partisi pada D adalah ( ) xxA = 3
sehingga luas daerah D adalah
( )9
0
239
0 3233
= = xxdxxA ( ) 9093
227 23
=
=
b. Menghitung volume benda putar jika D diputar terhadap garis 1=y
jika salah satu irisan diputar terhadap garis 1=y maka akan diperoleh sebuah cakram dengan jari jari dalam ( ) 11 += xx dan jari jari luar 4 serta tebal x . Sehingga volume cakram tersebut adalah :
trtrV dl22 pipi =
xx3
xy =3
90
x3
91+x
4
1
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 46
trr dl )( 22 = pi ( ) xx += )14( 22pi ( ) xxx ++= )1216(pi
( ) xxx += 152pi ( ) += dxxxV 152pi
9
0
23
2 1532
.221
+= xxxpi
9
0
23
2 1534
21
+= xxxpi
( )
+= 013527.
3481.
21
pi pi2
117=
2. Diketahui ( ) ecxxxf coscos)( = a. Menghitung : )(lim
0xf
x
)(lim0
xfx +
x
x
xcsc
0)(coslim
+=
( )( )xx
xcsc
0coslnexplim
+=
( )( )xx
xcsc
0coslnlimexp
+=
( )xxx
cosln.csclimexp0+
=
.
sin)ln(cos
limexp*
0 x
x
x +=
x
x
x
x cos
cos
sin
limexp0
=+
1)0exp( ==
Note : * limit berbentuk 0/0 , sehingga LH bisa diterapkan.
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 47
b. Menentukan turunan pertama f(x) ( ) ecxxy coscos=
xxy csc)ln(cosln =
)ln(coscscln xxy =
[ ])ln(coscscln xxDyD xx =
x
xxxxxy
y cossin
.csc)ln(coscot.csc'1 +=
[ ] yxxxxy sec)ln(coscot.csc' +=
[ ] xxxxxxy csc)(cos.sec)ln(coscot.csc' += 3. Menghitung
a. +
dxxx
x
522
2
+
dxxx
x
522
2 ( ) += dxxx
22 212
misalkan tan21 =x maka ddx 2sec2= sehingga :
( ) + dxxx
22 212
+
+=
d22 sec24tan4
)1(tan2
+
+=
d22 sec2)1(tan4
2tan2
+
=
d22 sec2sec42tan2
+
=
d22 sec2sec42tan2
( ) c++= 2cosln221
c+= cosln
c
xx
x+
+
=
52
2ln2
1tan
21
1x
2
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 48
b. ( ) + dxx2ln Misalkan )2ln( xu += dan dxdv = maka
dxx
du+
=
21 dan xv = sehingga
( ) + dxx2ln = udv = vduuv
++= dx
x
xxx
2)2ln(
+
++= dx
x
xxx
22)2()2ln(
++= dx
xxx
221)2ln(
cxxxx ++++= )2ln(2)2ln( cxxx +++= )2ln()2(
4. Menyelidiki kekonvergenan integral tak wajar a. ( ) +
+
0 2332x
dx
+=
+
a
a x
dx0 2
3)32(lim
+=
+
a
a
x0
23)32(lim
a
a
x0
21
21
.)32(2lim +
+=
a
a x 0321
lim+
=
+ 31
321
lim ++
=
+ aa 31
=
( ) ++
0 2332x
dx konvergen ke
31
b.
3
12 6
12 dxxx
x
=
a
a
dxxx
x
123 6
12lim
( )
=
a
a
dxxx
xxd1
2
2
3 66
lima
a
xx1
2
36lnlim =
==
6ln6lnlim 23
aaa
Jadi integral di atas divergen.
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 49
PEMBAHASAN UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2003/2004
MA 1314 KALKULUS I SENIN 5 JANUARI 2004
Uas 2003-2004 Kalkulus I MA1314 1. Menentukan 'y dari bentuk emplisit 1=+ xyex
( ) ( )1xxyx DexD =+ ( ) 0'1 =++ xyyexy
0'1 =++ xyxy exyye
xyxy yeexy = 1'
xy
xy
xe
yey = 1'
2. Menghitung + dxx)2ln(
( Lihat Pembahasan Ujian Akhir Semester Ganjil 2003/2004 Pu 1333 Kalkulus I Senin 5 Januari 2004 No. 3b)
3. Diketahui
3
12 6
12 dxxx
x
a. Memeriksa apakah integral di atas adalah integral tak wajar Benar , integral di atas merupakan integral tak wajar karena jika subtitusikan x = 3 maka fungsi integran
612
2
xx
xmenjadi tak
terdefinisi.
b. Memeriksa kekonvergenan integral di atas. ( Lihat Pembahasan Ujian Akhir Semester Ganjil 2003/2004 Pu 1333 Kalkulus I Senin 5 Januari 2004 No. 4b)
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 50
4. ( Untuk kurikulum baru soal ini termasuk dalam materi kalkulus tingkat II) a. Menentukan selang kekonvergenan deret :
( ) +++=+=0
2...3211
n
n xxxn
misalkan : ( ) nn xna 1+= maka ( ) 11 2 ++ += nn xna
n
n
n a
a 1lim +
= ( )( ) nn
n xn
xn
12
lim1
+
+=
+
( )( ) xnn
n 12
lim+
+=
( )( )1
2lim
+
+=
n
nx
n
x=
Agar deret konvergen maka haruslah < 1yaitu 1+1 maka menurut uji deret ganti tanda deret tersebut divergen.
- Untuk 1=x deret menjadi ( ) +++=+=0
....3211n
n . Deret ini
monoton naik dan tak terbatas di atas sehingga deret ini divergen.
jadi ( ) +=0
1n
nxn konvergen pada 11
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 51
b. Menentukan jumlah deret pada soal 4a dengan menggunakan :
xxxx
=++++1
1...1 32
( ) ++++=+=0
32...43211
n
nxxxxn
( )....1 32 ++++= xxxDx ( )21
11
1xx
Dx
=
=
5. Menentukan deret McLaurin dari fungsi x
xxf
+=
1)(
( )
=
+=
+=
xx
xx
x
xxf
11
11
1)(
( ) ( ) ( )( )......1 32 ++++= xxxx
( ) ( ) ( ) 1000
11 +
=
=
=
= = =n
n
nn
n
n
n
nxxxxx
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 52
PEMBAHASAN UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2002/2003
KALKULUS / PU 1333 6 JANUARI 2003
Uas 2002-2003 Kalkulus I PU1333 1. Diketaui ecxxxf cos)1()( +=
a. Menentukan )(' xf ecxxxf cos)1ln()(ln +=
)1ln(cos)(ln += xecxxf ( ) ( ))1ln(cos)(ln += xecxDxfD xx
11
.cos)1ln(cot.cos)()('
+++=
xecxxgxecx
xfxf
[ ] )(1
1.cos)1ln(cot.cos)(' xf
xecxxgxecxxf
+++=
[ ] ecxxecxx
xgxecxxf cos)1ln(.cos1
1)1ln(cot.cos)(' ++
++=
b. Menghitung )(lim0
xfx +
)(lim0
xfx
+
ecx
x
xcos
0)1(lim +=
+
( )ecxx
xcos
0)1ln(explim +=
+
( )ecxx
xcos
0)1ln(limexp +=
+
)1ln(.coslimexp0
+=+
xecxx
*sin
)1ln(limexp
0 x
x
x
+=
+
x
x
x cos
11
limexp0
+=
+
e== )1exp(
Note : *limit berbentuk 0/0, sehingga kita dapat menerapkan LH
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 53
2. Menghitung integral a. ( )dxx 25ln +
misalkan : )25ln( += xu dan dxdv =
maka dxx
du25
5+
= dan xv = sehingga
( ) =+ udvdxx 25ln = vduuv dx
x
xxx
++=
255).25ln(
dxx
xx +
+= )25
21()25ln(
cxxxx +
++= )25ln(
52)25ln(
cxxx ++
+= )25ln(
52
b.
22 4 xx
dx
misalkan : tx sin2= maka tdtdx cos2= sehingga
22 4 xx
dx
=
tt
tdt22 sin44sin4
cos2
=
)sin1(4sin4cos2
22 tt
tdt=
)(cos4sin4cos2
22 tt
tdt
=tt
tdtcos2.sin4
cos22 = t
dt2sin4
= tdtec2cos41
cgt += cot41
cx
x+
=
2441
tx
2
24 x
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 54
3. Menyelidiki kekonvergenan dari
a. ( ) ++
0231x
dx
( ) ( ) += + ++ a
a x
dxx
dx0 2
30 23 1lim
1
( ) += +
a
a
dxx0
231lim
a
a
x0
21)1(2lim
++=
211
12lim =
+=
+ aa
Ini menunjukkan bahwa ( ) ++
0231x
dx konvergen ke 2.
b. +
0
21dx
e
ex
x
+
=+
0
2
0
2 1lim
1 b xx
bx
x
e
dxedxe
e
Misalkan : xeu = maka dxedu x= Jika x maka + 0u Jika 0=x maka 1=u sehingga
+
=+
0
2
0
2 1lim
1 b xx
bx
x
e
dxedxe
e
+
=+
1
20 1lim
cc u
du 110
)(tanlimcc
u
+=
4)(tan)1(tanlim 11
0
pi==
+c
c
Ini menunjukkan bahwa +
0
21dx
e
ex
x
konvergen ke 4pi
.
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 55
4. Diketahui daerah D dibatasi oleh xy = , x = 4 , sumbu x. a. Menentukan luas D
Luas salah satu partisi dari D adalah xxA =
dengan demikian luas seluruh daerah D adalah
316
32
4
0
234
0=== xdxxA
b. Menghitung volume benda putar jika D diputar terhadap sumbu y. Jika sebuah partisi dari D dengan tinggi
x dan alas x serta berjarak x dari sumbu y diputar terhadap sumbu y maka aka diperoleh sebuah kulit tabung dengan jari jari x, tebal x dan tinggi
x . Sehingga volume kulit tabung tersebut sebesar
xxxxxV == 23
22 pipi
jadi volume benda yang dimaksud adalah
pipipi5
12852
.224
0
254
0
23
=== xdxxV
x 4=x0
x
x
x
x
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 56
PEMBAHASAN UJIAN AKHIR SEMESTER GENAP 2002/ 2003
MA1314 KALKULUS I JUMAT, 13 JUNI 2003
Uas 2002-2003 Kalkulus I MA1314 1. Menghitung
a. ( ) ( ) + + 41 643 2223
xx
xxx
misalkan ( ) ( ) ( ) ( ) ( )41141643
2222
23
+
++
+
=
+
+
x
dcxx
bx
a
xx
xxx,
untuk mendapatkan nilai a, b, c, dan d kalikan kedua ruas dengan ( ) ( )41 22 + xx
sehingga persamaan menjadi ( )( ) ( ) ( )( )*1441643 22223 +++++=+ xdcxxbxxaxxx
,
kemudian dengan menyulihkan nilai 1=x , 1=x , 0=x dan 2=xsecara berturut turut kita peroleh
b55 = atau 1=b ba 51013 += atau 5
9=a
dba += 440 atau 5
16=d
dcba 368820 +++= atau 56
=c
sehingga
( ) ( ) dxxx xxx + + 41 643 2223
( ) ( ) ( ) dxxxxx
+
+
+
=
45166
11
159
22
( ) ( ) ( ) dxxxx
xx
+
++
+
=
4**1
516
4*2
53
11
159
222
( ) ( ) ( ) cxxxx +++= 2tan584ln53111ln59 12 Note : gunakan substitusi 42 += xu pada (*) dan tx tan2= pada (**)
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 57
b. +
dxxx 1
122
misalkan tan=x maka ddx 2sec= sehingga
+
dxxx 1
122
+
=
d222
sec1tantan
1
=
d222
secsectan
1
= dsec
tan
12 =
dcos
1sincos
2
2
= d
sin1
sincos
= dcsccot
c+= csc cx
x+
+=
12
2. Menentukan kekonvergenan integral tak wajar ( ) dxxx
+
+
1232 1
( ) dxxx
+
+
1 232 1 ( ) += +
a
ax
x
1 232 1
lim
misalkan 12 += xu maka xdxdu 2= jika 1=x maka 2=u jika +x maka +u sehingga
( ) ++a
ax
x
1 232 1
lim =+
b
bu
du
2 23
21
limb
b u 2
2.
21
lim
=
+
21
211
lim =+=+ bb
Jadi ( ) dxxx
+
+
1232 1
konvergen ke 2
1
12 +x
1
x
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 58
3. Diketaui ( ) 2cot)( xxxf = a. Menentukan turunan pertama dari f(x)
( ) 2cotlnln xxy =
( )xxy cotlnln 2= ( ) ( ))ln(cotln 2 xxDyD xx =
( )x
xxxxxy
y cotcot.csc
cotln2'1 2 +=
( ( ) )yxxxxy csccotln2' 2=
( ( ) )( ) 2cotcsccotln2' 2 xxxxxxy =
b. Menghitung )(lim0
xfx +
( ) 2cotlim0
x
x
x+
( ) 2cotlnexplim0
x
x
x+
=
( )xxx
cotlnexplim 20+
= ( )xxx
cotlnlimexp 20+
=
( )*
1cotln
limexp
20
=
+
x
x
x
=+
3
2
0 2
cotcsc
limexp
x
x
x
x
x
x
x
x
x cos
sinsin
12lim
exp 23
0+=
=
++ x
x
x
x
xx coslim
sinlim21
exp2
00
10.1.21
exp =
=
Note : *limit berbentuk / sehingga kita dapat menerapkan LH
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 59
4. Menentukan selang kekonvergenan ( )
+
=
+1 2121
nn
n
n
x
(untuk kurikulum baru materi ini termasuk dalam kalkulus tingkat II)
misalkan ( )
2121n
xa
n
n
n +
+=
maka ( )
22
1
1 )1(21
+
+=
+
+
+n
xa
n
n
n
( ))12(2
122
1
++
+=
+
+
nn
xn
n
n
n
n a
a 1lim +
= ( )( ) ( )nn
n
n
n x
n
nn
x
12
1221
lim21
22
1
+++
+=
+
+
+
( )( ) ( )121122lim 2
21
2
1
+++
+=
+
+
+
nn
n
x
xn
n
n
n
n
( )12)1(21lim 22
+++=
nn
nx
n
++
+=
2
2
2
121lim2
1
nnn
nx
n 21+
=
x
Agar deret konvergen maka haruslah 1
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 60
nn
alim
o 01lim 2 == nn
Karena 11
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 61
PEMBAHASAN UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2002/2003
KALKULUS I Uas 2002-2003 kalkulus I
1. Menghitung ( ) xx
xsin
0tanlim
+
( ) xx
xsin
0tanlim
+( ) x
x
xsin
0tanlnexplim
+= ( ) x
x
xsin
0tanlnlimexp
+=
( )xxx
tanlnsinlimexp0+
=
( )*
csc
tanlnlimexp
0 x
x
x+
=
xx
x
x
x cotcsc
tansec
limexp
2
0
=+ x
x
x csc
seclimexp
2
0 =
+
x
x
x20 cos
sinlimexp =
+1)0exp( 0 === e
Note : * limit berbentuk / sehingga kita dapat menerapkan LH
2. Menentukan 'y dari 2)sin2( xxy +=
2)sin2( xxy += 2)sin2ln(ln xxy +=
)sin2ln(ln 2 xxy +=
( ) ( )( )xxDyD xx sin2lnln 2 += ( )
x
xxxxy
y sin2cos
sin2ln2'1 2+
++=
( ) yx
xxxxy
+++=
sin2cos
sin2ln2'2
( ) ( ) 2sin2sin2cos
sin2ln2'2
xx
x
xxxxy +
+++=
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 62
3. Menghitung dx
x
x 14 2
misalkan : sec21
=x maka ddx tansec
21
= sehingga
dx
x
x 14 2
=
dtansec21
sec21
1sec2
= dtantan2
= d2tan = d)1(sec2 c+= tan ( ) cxx += 2sec14 12
4. Menentukan kekonvergenan
a. dxe
ex
x
+
21
dxe
ex
x
+
21
++
+=
b
x
x
ba x
x
a
dxe
edxe
e
0 2
0
2 1lim
1lim
misalkan : xeu = maka dxedu x= sehingga
dxe
ex
x
+
21
+
= 21 udu
cu += 1tan ( ) ce x += 1tan dx
e
ex
x
+
21
( ) ( )bxba
x
a
ee0
101 tanlimtanlim
+=
( )
++
+=
4tanlimtan4lim
11 pipi bb
a
a
ee
240
24pipipipi
=
++
+=
Jadi dxe
ex
x
+
21 konvergen ke
2pi
14 2 x
1
x2
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 63
b.
xx
dx3ln
Karena domain dari ln x adalah x > 0 maka kita tidak dapat melakukan pengintegralan untuk kasus ini.
5. a. Memeriksa kekonvergenan deret
=
+
1
1
!3
n
n
n
misalkan : !
3 1
na
n
n
+
= maka )!1(3 2
1 +=
+
+n
an
n
n
n
n a
a 1lim +
= ( ) 12
3!
!13
lim ++
+=
n
n
n
n
n ( )!1!
33
lim 12
+=
+
+
n
nn
n
n
( ) !1!3lim
nn
n
n +=
( ) 011
lim3 =+
=
nn
karena = 0 < 1 maka menurut uji hasil bagi deret
=
+
1
1
!3
n
n
n
konvergen.
b. Menentukan selang kekonvergenan deret +
=
0 2
1
)1(2
n
nn
n
x
misalkan : ( )12 21
+=
n
xa
nn
n maka ( )( ) 222112 21
2
1
1++
=
++=
++
+nn
x
n
xa
nnnn
n
n
n
n a
a 1lim +
=nn
nn
n x
n
nn
x1
2
2
1
21
222
lim
+
+
++=
221
22
lim 221
1 ++
+=
+
nn
n
x
xn
n
n
n
n 2212lim 2
2
++
+=
nn
nx
n
221
lim2 22
++
+=
nn
nx
n
++
+
=
22
22
221
11lim2
nnn
nn
xn
x2=
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 64
Agar deret konvergen maka haruslah 1
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 65
Sekarang perhatikan bahwa 22 1 nn >+ atau 221
11
nn=p ) maka
menurut uji perbandingan deret +
=0 2 11
n nkonvergen yang
berakibat +
=0 2 )1(1
21
n njuga konvergen.
Dengan demikian deret +
=
0 2
1
)1(2
n
nn
n
x konvergen pada
21
21 x
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 66
PEMBAHASAN UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2001/2002
DA 1314 KALKULUS I SENIN 15 JANUARI 2001
Uas 2001-2002 Kalkulus I DA1314 1. Membuktikan bahwa 1,22)( 2 ++= xxxxf memiliki invers dan
menentukan )(1 xf Untuk membuktikan bahwa f memilik invers harus kita tunjukkan bahwa f monoton murni pada domain yang diberikan. Sekarang perhatikan bahwa untuk 1
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 67
Dengan membandingkan koefisien suku yang sejenis di dapat 44 =a atau 1=a , 1=c , 0=+ ba atau 1=b . sehingga
+
+ dxxx
x
44
3
+
++= dx
x
x
x 411
2
++
+
+= dxxx
x
x 41
41
22
( )
++
+
+ =
444
211
22
2
x
dxx
xddxx
( ) cxxx +
++=
2tan
214ln
21ln 12
b. Menghitung
3
12
29 dxx
x
misalkan : sin3=x maka ddx cos3=
jika 1=x maka 31
sin 1=
jika 3=x maka 2pi = sehingga
3
12
29 dxx
x
=
2
31
sin2
2
1
cos3sin9
sin99pi
d
=
2
31
sin2
2
1
cos3sin9
)sin1(9pi
d
=
2
31
sin2
2
1
cos3sin9cos9
pi
d
=
2
31
sin2
1
cos3sin9cos3
pi
d
=
2
31
sin
2
1
cot
pi
d =
2
31
sin
2
1
)1(cscpi
d
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 68
( ) 231
sin 1cot
pi
=
=
31
sin31
sincot2
0 11pi
31
sin222
1++=pi
3. Menyelidiki kekonvergenan integral tak wajar a. dxx +
0)1ln(
dxx +
0)1ln( dxx
a
a +=
0)1ln(lim
Misalkan )1ln( += xu dan dxdv = maka dxx
du1
1+
= dan xv =
sehingga
dxx + )1ln( = udv = vduuv
+
+= dxx
xxx
1)1ln(
+
++= dx
x
xxx
11)1()1ln( dx
xxx
++=
111)1ln(
( ) cxxxx +++= )1ln()1ln( cxxx +++= )1ln()1(
dxx +
0)1ln( [ ]a
a
xxx0
)1ln()1(lim ++=
[ ] =++=
aaaa
)1ln()1(lim
Jadi dxx +
0)1ln(
divergen.
4. Menentukan selang kekonvergenan dari deret pangkat +
=
+
0
1
32)2(
n
nn
n
x
misalkan ( )32
2 1
+
=
+
n
xa
nn
n maka ( )
522 12
1+
=
++
+n
xa
nn
n
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 69
n
n
n a
a 1lim +
= ( ) ( ) nnnn
n x
n
n
x1
12
2)32(
)52(2
lim +++
+
+
=
( )52322lim
+
+=
n
nx
n 5232
lim2+
+=
n
nx
nx2=
Agar deret kongergen maka haruslah 1
-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 70
misalkan 32
1+
=
nan maka ( ) 52
1312
11 +
=
++=+
nnan sehingga
152
2152
2)52(52321