(10) translasi dan rotasi

17
MAKALAH KONSEP DASAR MATEMATIKA III ROTASI DAN TRANSLASI Untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan Perkuliahan pada Universitas Kristen Satya Wacana Disusun oleh: Akbar Alvian (292013288) Ali Ikhsani (292013511) Cahya Romana Putra (292013283) PROGRAM STUDI S1 PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2015

description

 

Transcript of (10) translasi dan rotasi

MAKALAH KONSEP DASAR MATEMATIKA III

ROTASI DAN TRANSLASI

Untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan Perkuliahan

pada Universitas Kristen Satya Wacana

Disusun oleh:

Akbar Alvian (292013288)

Ali Ikhsani (292013511)

Cahya Romana Putra (292013283)

PROGRAM STUDI S1 PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA

SALATIGA

2015

KATA PENGANTAR

Segala Puji serta Syukur kita panjatkan kehadirat Tuhan yang Maha

Esa karena atas rahmat dan karunia-Nya kami dapat menyelesaikan tugas

makalah yang berjudul Rotasi dan Translasi yang bermanfaat bagi kita

semua. Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Konsep

Dasar Matematika III pada Universitas Kristen Satya Wacana dan dapat

digunakan sebagai bekal untuk melaksanakan pembelajaran di Sekolah

Dasar khususnya sebagai tugas profesional.

Ucapan terima kasih juga kami sampaikan kepada semua pihak yang

telah membantu baik secara moril maupun materiil, sehingga penyusunan

makalah ini dapat terselesaikan, yaitu kepada :

1. Wahyudi, selaku dosen pembimbing yang telah memberikan

bimbingan selama ini kepada kami.

2. Yohana Setiawan , selaku asisten dosen pembimbing yang telah

memberikan bimbingan selama ini kepada kami.

3. Orang tua yang telah memberikan dukungan doa dan motivasi pada

kami.

4. Teman-teman kelas I angkatan 2013 yang telah memberi bantuan,

masukan dan dukungan dalam proses pembelajaran.

Kami menyadari makalah ini bukanlah karya yang sempurna karena

memiliki banyak kekurangan baik dalam hal isi maupun sistematika dan

teknik penulisan. Oleh sebab itu penulis mengharapkan kritik serta saran

yang membangun demi kesempurnaan makalah yang kami buat.

Besar harapan kami makalah ini dapat bermanfaat bagi kita semua

yang membaca.

Salatiga, 9 April 2015

Daftar Isi

Kata Pengantar ii

Daftar isi ii

Bab 1 Pendahuluan 1

1.1 Latar Belakang Transformasi Geometri 1

1.2 Tujuan dan Manfaat Rotasi dan Translasi 2

Bab 2 Pembahasan 3

2.1 Pengertian Translasi 3

2.2 Contoh Gambar Translasi 4

2.3 Contoh masalah dalam Translasi dan Penyelesaiannya 5

2.4 Translasi Titik 6

2.5 Translasi Ruas Garis 7

2.6 Translasi Bidang Datar 8

2.7 Pengertian Rotasi 9

Bab 3 Penutup 10

3.1 Kesimpulan 10

3.2 Saran 10

Daftar Pustaka 11

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Transformasi telah dikenal sejak lama, dimulai dari zaman

babilonia, yunani, para ahli aljabar muslim abad ke-9 sampai ke-15

dan dilanjutkan matematikawan eropa abad ke-18 sampai dua

decade pertama abad ke-19. Keberaturan dan pengulangan pola

member dorongan untuk mempelajari bagaiman dan apa yang tak

berubah oleh suatu transformasi. Transformasi geometri adalah

suatu fungsi yang mengaitkan antar setiap titik di bidang dengan

suatu aturan tertentu. Pengaitan ini dapat dipandang secara aljabar

atau geometri. Sebagai ilustrasi, jika titik (x,y) dicerminkan terhadap

sumbu x, maka diperoleh titik (x,-y). secara aljabar transformasi ini

ditulis T(x,y) =(x,-y) atau dalam bentuk matriks

𝑇 (𝑥𝑦) = (

1 00 −1

) (𝑥𝑦) = (

𝑥−𝑦)

Masalah ini dapat diperluas untuk menentukan peta dari suatu

konfigurasi geometri berbentuk daerah tertentu oleh suatu

transformasi. Transformasi geometri meliputi translasi (pergeseran),

rotasi(perputaran) Namun, pada makalah ini penulis mengkhususkan

pada translasi (pergeseran). Dimana Suatu titik atau sistem

mengalami pergeseran namun tidak merubah bentuk, karena setiap

titik penyusun sistem mengalami pergeseran yang sama.

1.2 Rumusan Masalah

1.2.1 Bagaimana definisi dari suatu translasi?

1.2.2 Bagaimana penerapan translasi dalam kehidupan sehari-hari?

1.3 Tujuan Penulisan

1.3.1 Mengetahui definisi dari suatu translasi

1.3.2 Mengetahui apa itu rotasi

1.3.3 Mengetahui apa itu translasi

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Pengertian Transalasi

a. Definisi translasi

Sebelum kita mendefinisikan translasi kita harus tahu definisi

transformasi lebih dulu. Transformasi adalah aturan secara

geometris yang dapat menunjukkan bagaimana suatu bangun dapat

berubah kedudukan dan ukurananya berdasarkan rumus

tertentu.Translasi itu sendiri merupakan suatu transformasi yang

memindahkan setap titik dari suatu posisi ke posisi yang baru

sepanjang ruas garis dan arah tertentu.

b. Contoh translasi dalam kehidupan sehari-hari

Salah satu contoh translasi yang bisa kita lihat adalah pergeseran

atau perpindahan orang pada eskalatot dan lift. Peralatan yang

biasa dipakai mal-mal ini berguna untuk memindahkan orang dari

satu lantai ke lantai lain.

Selain itu, penggunaan konsep translasi sering digunakan

programmer game dalam membuat games. Penerapan translasi

terlihat pada pergerakan objek saat mengikuti visualisasi dari

persamaan garis

2.2 Contoh Gambar Translasi

Berdasarkan gambar di atas, segitiga ABC yang mempunyai koordinat A(3,

9), B(3, 3), C(6, 3) ditranslasikan:

Berdasarkan penjelasan diatas, maka untuk mencari nilai translasi dapat

digunakan rumus sebagai berikut :

dimana :

a menyatakan pergeseran horizontal (kekanan+, kekiri-)

b menyatakan pergeseran vertikal (keatas+,kebawah-)

2.3 Contoh masalah dalam Translasi dan Penyelesaiannya

1. Translasi

q

pT1 memetakan titik A(1,2) ke titik A'(4,6)

a. Tentukan translasi tersebut !

b. Tentukanlah bayangan segitiga ABC dengan titik sudut A(1, 2),

B(3, 4), dan C( 5, 6) oleh translasi tersebut.

c. Jika segitiga yang kalian peroleh pada jawaban b ditranslasikan

lagi dengan

1

12T Tentukan bayangannya!

d. Translasikan segitiga ABC dengan translasi T2 ◦T1. Samakah

jawabannya dengan jawaban c?

Jawaban

a. 6,42,12,1 1'1

AqpAAq

pT

Diperoleh 1+p = 4 sehingga p = 3

2+q = 6 sehingga q = 4

Jadi translasi tersebut adalah

4

31T

b. translasi

4

31T artinya artinya memindahkan suatu titik 3

satuan ke kanan dan 4 satuan ke atas. Dengan

mentranslasikan titiktitik A', B', dan C' dari segitiga ABC

dengan translasi T1, kalian memperoleh segitiga A'B'C' sebagai

berikut

10,2'46,35'6,5

8,6'44,33'4,3

6,4'42,31'2,1

4

3

4

3

4

3

1

1

1

CCC

BBB

AAA

T

T

T

Jadi bayangan segitiga ABC adalah segitiga A'B'C' dengan titik

A'(4,6), B'(6,8), dan C'(-2,10)

2.4 Translasi Titik

Minggu lalu, Candra duduk di pojok kanan baris pertama di

kelasnya. Minggu ini, ia berpindah ke baris ketiga lajur keempat yang

minggu lalu ditempati Dimas. Dimas sendiri berpindah ke baris

kedua lajur kedua yang minggu lalu ditempati Sari. Perhatikan

perpindahan tempat duduk Candra dan Dimas ini.

Candra berpindah 2 lajur ke kiri dan 2 baris ke belakang. Saat

berpindah ini, Candra telah melakukan translasi 2 satuan ke kiri

dan 2 satuan ke atas yang ditulis sebagai

2

2

Kemudian, Dimas berpindah 2 lajur ke kiri dan 1 baris ke depan.

Saat berpindah ini, Dimas telah melakukan translasi 2 satuan ke

kiri dan 1 satuan ke bawah yang ditulis sebagai

1

2

Misalkan, tempat duduk Candra minggu lalu di titik N(a, b) pada

koordinat Cartesius. Dengan translasi

2

2, diketahui tempat

duduknya inggu ini pada titik N ’(a-2,b+2).Kalian dapat menuliskan

translasi ini sebagai berikut

2,2',2

2

baNbaN

Dengan prinsip yang sama, jika titik P(x, y) ditranslasikan dengan

b

aT1

maka diperoleh bayangannya byaxP ,' . Secara matematis, ditulis

sebagai berikut.

byaxPyxPb

aT

,, '1

Contoh

bayangan titik P (3,5) ditranslasikan

3

2 adalah…..

jawab:

55),2(35,3 '3

21

PPT

= P’(1,8) Jadi bayangan titik P (3,5) adalah

P’(1,8)

2.5 Translasi Ruas Garis

Untuk translasi ruas garis tetap menggunakan konsep

translasi titik di atas. Namun, ada dua cara yang bisa dilakukan untuk

menyelesaikan translasi ruas garis. Cara pertama yaitu dengan memandang

garis tersebut dipandang sebagai himpunan titik.

Sedang cara kedua adalah dengan menggunakan sifat grafik fungsi y=f(x-

a)+b dengan a,b >0 dengan mengeser fungsi y=f(x) sejauh a satuan kekanan

dan b satuan ke atas.

Contoh :

Tentukan peta dari garis y = 2x + 1 yang digeser menurut vektor (2,1)

Jawab:

Cara pertama

Garis y = 2x + 1 dapat dipandang sebgai himpunan titik (x, 2x + 1),

x ∈ R. Jika titik ini digeserkan menurut vektor (2,1) maka

diperoleh

𝑇 (𝑥

2𝑥 + 1) = (

𝑥 + 2(2𝑥 + 1) + 1

) (𝑥 + 22𝑥 + 2

) = (𝑡

𝑓(𝑡))

Untuk menentukan peta garis ini, misalkan t = x + 2 , maka x = t -2,

Sehingga 2𝑥 + 2 = 2(𝑡 − 2) + 2 = 2𝑡 − 2 ganti kembali t dengan x, maka peta

garis y = 2x + 1 yang ditranslasikan menurut vektor (2,1) adalah garis y =

2x + 2

Cara kedua

Gunakan sifat bahwa grafik fungsi y=f(x-a)+b dengan a,b >0 diperoleh

dengan mengeser fungsi y=f(x) sejauh a satuan kekanan dan b satuan ke

atas. Jika grafik y = 2x + 1 digeserkan sejauh 2 satuan kekanan dan I

satuan ke atas, maka hasilnya adalah grafik : 𝑦 = (2(𝑥 − 2) + 1) + 1 = 2𝑥 −

4 + 2 = 2𝑥 − 2

5,3''16,14''6,4'1

12

AAAT

9,3''110,12''6,4'

7,5''18,16''8,6'

1

1

1

1

2

2

AAA

BAA

T

T

Jadi bayangan segitiga A'B'C' adalah segitiga A''B''C'' dengan titik A''(3,5),

B''(5,7) dan C''(-3,9)

Translasi Ruas Garis Untuk translasi ruas garis tetap menggunakan

konsep translasi titik di atas. Namun, ada dua cara yang bisa dilakukan

untuk menyelesaikan translasi ruas garis. Cara pertama yaitu dengan

memandang garis tersebut dipandang sebagai himpunan titik.

Sedang cara kedua adalah dengan menggunakan sifat grafik fungsi y=f(x-

a)+b dengan a,b >0 dengan mengeser fungsi y=f(x) sejauh a satuan kekanan

dan b satuan ke atas.

Contoh :

Tentukan peta dari garis y = 2x + 1 yang digeser menurut vektor (2,1)

Jawab:

Cara pertama

Garis y = 2x + 1 dapat dipandang sebgai himpunan titik (x, 2x +1),x ∈ R.

Jika titik ini digeserkan menurut vektor (2,1) maka diperoleh

𝑇 (𝑥

2𝑥 + 1) = (

𝑥 + 2(2𝑥 + 1) + 1

) (𝑥 + 22𝑥 + 2

) = (𝑡

𝑓(𝑡))

Untuk menentukan peta garis ini, misalkan t = x + 2 , maka x = t -2,

Sehingga 2𝑥 + 2 = 2(𝑡 − 2) + 2 = 2𝑡 − 2 ganti kembali t dengan x, maka peta

garis y = 2x + 1 yang ditranslasikan menurut vektor (2,1) adalah garis y =

2x + 2

Cara kedua

Gunakan sifat bahwa grafik fungsi y=f(x-a)+b dengan a,b >0 diperoleh

dengan mengeser fungsi y=f(x) sejauh a satuan kekanan dan b satuan ke

atas. Jika grafik y = 2x + 1 digeserkan sejauh 2 satuan kekanan dan I

satuan ke atas, maka hasilnya adalah grafik : 𝑦 = (2(𝑥 − 2) + 1) + 1 = 2𝑥 −

4 + 2 = 2𝑥 − 2

2.6 Translasi Bidang Datar

Untuk menentukan bayangan hasil translasi bangun datar dapat dilakukan

dengan mentranslasikan masing-masing titik sudutnya.

Contoh :

Diketahui segitiga OAB dengan koordinat titik O(0,0), A(3,0) dan B(3,5).

Tentukan koordinat bayangan segitiga OAB tersebut bila ditranslasi oleh T

=

3

1 jawab :

titik O (0,0)

31

T

O’(0+1, 0+3) = O’(1,3)

titik A (3,0)

31

T

A’(3+1, 0+3) = A’(4,3)

titik B (3,5)

31

T

B’ (3+1, 5+3) = B’(4,8)

1. Tentukan bayangan lingkaran (x-3)2 + (y+1)2 = 4 jika ditranslasikan

2

5T !

Jawab

Ambil sembarang titik P(a,b) pada lingkaran (x-3)2 + (y+1)2 = 4

sehingga diperoleh (a-3)2 + (b+1)2 = 4

Translasikan titik P dengan

2

5T sehingga diperoleh

2,5'',2

5

baPbaP

Jadi titik P'(a-5, b+2)

Perhatikan bahwa: a'= a - 5. Dari persamaan (*), didapat a = a'+ 5.

b'= b + 2. Dari persamaan (*), didapat b = b' - 2.

Dengan mensubstitusi nilai a dan b ini ke persamaan (*), akan

Diperoleh (a'+ 5-3)2 + (b' - 2+1)2 = 4

(a'+ 2)2 + (b' - 1)2 = 4

Jadi bayangan dari (x-3)2 + (y+1)2 = 4 jika ditranslasikan dengan

2

5T adalah (a'+ 2)2 + (b' - 1)2 = 4

2.7 Pengertian Rotasi

a) Definisi Rotasi

Rotasi (perputaran) Perubahan posisi dalam rotasi diperoleh dengan

cara memutar obyek dengan mengacu pada pusat perputaran tertentu.

Rotasi berbeda dengan translasi karena perubahan posisi pada translasi

tidak mengacu pada suatu titik tertentu. Keistimewaan dari rotasi

adalah jarak antara titik pusat dengan masing-masing bagian dari obyek

yang diputar akan selalu tetap, seberapa jauh pun obyek itu diputar.

Sifat - sifat rotasi

a. Dua rotasi bertumt-turut mempakan rotasi lagi dengan sudut putar

sama dengan jumlah kedua sudut putar semula.

b. Pada suatu rotasi, setiap bangun tidak berubah bentuknya.

Catatan:

Pada transformasi pergeseran (translasi), pencerminan (refleksi) dan

perputaran (rotasi), tampak bahwa bentuk bayangan sama dan

sebangun (kongruen) dengan bentuk aslinya. Transformasi jenis ini

disebut transformasi isometri.

b) Contoh Rotasi dalam kehidupan sehari hari

Salah satu contoh rotasi yang bisa kita lihat adalah perputaran pda

jarum jam dinding atau ada pada waktu saat kita memutar sebuah

benda .

Untuk rotasi searah jarum jam, sudut diberi tanda negatif (–)

Untuk rotasi berlawanan arah jarum jam, sudut diberi tanda positif (+)

Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dirotasi:

+90° atau –270° dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga

A2B2C2 dengan koordinat A2(-9, 3), B2(-3, 3), C2(-3, 6)

+270° atau –90° dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga

A3B3C3 dengan koordinat A2(9, -3), B2(3, -3), C2(3, -6)

+180° atau –180° dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga

A4B4C4 dengan koordinat A4(-3, -9), B4(-3, -3), C4(-6, -3)11

BAB III

PENUTUP

3.1 KESIMPULAN

Translasi merupakan suatu transformasi yang memindahkan setap titik

dari suatu posisi ke posisi yang baru sepanjang ruas garis dan arah

tertentu.

Salah satu contoh translasi yang bisa kita lihat adalah pergeseran atau

perpindahan orang pada eskalatot dan lift. Selain itu, penggunaan konsep

translasi sering digunakan programmer game dalam membuat games.

Dengan prinsip yang sama, jika titik P(x, y) ditranslasikan dengan

b

aT1

maka diperoleh bayangannya byaxP ,' . Secara matematis, ditulis

sebagai berikut.

byaxPyxPb

aT

,, '1

Untuk translasi ruas garis tetap menggunakan konsep translasi titik di

atas. Namun, ada dua cara yang bisa dilakukan untuk menyelesaikan

translasi ruas garis. Cara pertama yaitu dengan memandang garis tersebut

dipandang sebagai himpunan titik. Sedang cara kedua adalah dengan

menggunakan sifat grafik fungsi y=f(x-a)+b dengan a,b >0 dengan mengeser

fungsi y=f(x) sejauh a satuan kekanan dan b satuan ke atas.

Untuk menentukan bayangan hasil translasi bangun datar dapatdilakukan

dengan mentranslasikan masing-masing titik sudutnya.

3.2 SARAN

Setelah membahas materi mengenai translasi penulis mengharapkan agar

kedepan materi translasi dikembangkan lebih jauh terutama mengenai

sifat-sifat dari translasi itu sendiri. Selanjutnya penulis juga sendiri

mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun.

Daftar Pustaka

https://deking.wordpress.com/2007/12/14/transformasi/

http://rumus-matematika.com/lebih-mengenal-transformasi-geometri/