01. Strategi Pembuktian

Strategi Pembuktian

Indah Yanti, S.Si, M.SiJurusan Matematika Fakultas MIPA

Universitas Brawijaya

Matematika Diskrit I

Matematika Diskrit I - Indah Yanti 2

MENGAPA???

AKSIOMA

DEFINISI

TEOREMA

PROPOSISI

LEMMA

RUMUS


TUJUAN

Memperkenalkan bagaimana cara membuktikan

Membiasakan diri dengan metode – metode pembuktian yang ada

Mampu membuktikan sendiri teorema – teorema yang ada


Istilah


Conjecture Matematikawan memformulasikan conjecture dan kemudian mencoba membuktikan bahwa conjecture tersebut benar atau salah.

Ketika dihadapkan dengan pernyataan yang akan dibuktikan:• terjemahkan setiap istilah dengan definisinya• analisa arti dari hipotesis dan kesimpulan• coba membuktikan dengan menggunakan salah satu dari

metoda pembuktian

Jika pernyataan berupa implikasi; coba buktikan dengan bukti langsung.Gagal , coba dengan bukti tak langsung.


Pembuktian LangsungPembuktian LangsungSuatu implikasi p q dapat dibuktikan dengan menunjukkan bahwa jika p benar, maka q juga benar.

Contoh Berikan pembuktian langsung teorema :“Jika n ganjil, maka n2 juga ganjil.”

Petunjuk Asumsikan bahwa hipotesis dari implikasi ini benar (n ganjil)

Gunakan aturan inferensi dan teorema yang telah diketahui untuk menunjukkan bahwa q juga benar (n2 ganjil)


Pembuktian Langsung

Bukti Asumsi : n ganjilMaka n = 2k + 1, dimana k bilangan bulat.

Akibatnya, n2 = (2k + 1)2

= 4k2 + 4k + 1= 2(2k2 + 2k) + 1= m + 1

dimana m = 2(2k2 + 2k), yang selalu bernilai genap.

Karena n2 dapat dituliskan dalam bentuk m + 1, maka n2 ganjil.


Pembuktian Tak LangsungPembuktian tak langsung

Implikasi pq adalah ekivalen dengan bentuk contra-positive nya, ∼q ∼pp q dapat dibuktikan dengan menunjukkan bahwa jika q salah, maka p juga salah.

ContohBerikan bukti tak langsung teorema :“Jika 3n + 2 ganjil, maka n adalah ganjil.”

Petunjuk Asumsikan bahwa kesimpulan dari implikasi salah (n genap) Gunakan aturan inferensi dan teorema yg telah diketahui untuk

menunjukkan bahwa p juga salah (3n + 2 genap)


Pembuktian Tak LangsungBuktiAsumsi: n genapMaka n = 2k, dimana k bulat.

Dengan demikian 3n + 2 = 3(2k) + 2 = 6k + 2= 2(3k + 1)

Oleh karena itu, 3n + 2 genap.

Telah ditunjukkan bahwa kontrapositif dari implikasi bernilai benar,jadi implikasi bernilai benar, yaitu

Jika 3n + 2 ganjil, maka n ganjil


Bukti Kosong

Bukti kosongJika hipotesis p dari implikasi p q salah, maka p q selalu benar, apapun nilai kebenaran dari q

ContohP(n): Jika n > 1, maka n2 > 1. Tunjukkan P(0) benar.

P(0) hipotesis bernilai salah, karena tidak memenuhi n > 1.


Bukti Trivial

Bukti trivialJika konklusi q dari implikasi p q benar, maka p q selalu benar, apapun nilai kebenaran dari p.

ContohP(n): Jika a, b integer positif dengan a b, maka an bn.

Tunjukkan P(0) benar

a0 b0 1 1 selalu bernilai benar.


Pembuktian dengan Kontradiksi

Pembuktian dengan kontradiksiPembuktian dengan kontradiksi adalah dengan mengasumsikan konklusi salah dan kemudian masukkan sebuah kontradiksi.

ContohBuktikan bahwa jumlah dari bilangan prima adalah tak hingga.


Pembuktian dengan Counterexample

Pembuktian dengan counterexample Untuk membuktikan x P(x) ∀ salah cukup dengan menunjukkan

satu nilai x pada domain sehingga P(x) salah. Nilai x tersebut selanjutnya disebut counterexample dari

pernyataan x P(x) ∀

ContohTunjukkan pernyataan “Setiap bilangan bulat positif adalah hasil penjumlahan tiga bilangan kuadrat” bernilai salah.BuktiAmbil bilangan 7, maka bilangan 7 tidak dapat diekspresikan dalam bentuk 7 = a2 + b2 + c2 dimana a, b, c adalah bilangan bulat.


Pembuktian dengan Counterexample

Argumen dengan bentuk

∀x D (P(x) Q(x))

dapat dibuktikan dengan cara menentukan x D dimana P(x) Q(x) bernilai salah.Artinya terdapat x D dimana P(x) tetapi Q(x) salah. nilai x disebut dengan counterexample untuk implikasi tersebut.

Dengan menunjukkan (P(x) Q(x)) salah dengan mengambil x D sehingga membuktikan x ∀ D (P(x) Q(x)) salah disebut disproof dengan counterexample.


Bukti Eksistensi

Bukti Eksistensi KonstruktifMembuktikan pernyataan “ x sedemikian sehingga P(x)” ∃ dengan cara Menemukan x sehingga P(x) benar Menunjukkan sebuah algoritma untuk menemukan x

Contoh Tunjukkan bahwa terdapat sebuah bilangan bulat positif yang

dapat ditulis sebagai jumlahan dari dua buah bilangan kuadrat Buktikan terdapat bilangan bulat x semikian sehingga x2 =

15129


Bukti Eksistensi

Bukti eksistensi non konstruktifMembuktikan pernyataan “ x sedemikian sehingga P(x)” ∃dengan cara Menunjukkan keberadaan x dengan menggunakan

teorema yang telah dibuktikan (atau aksioma) Asumsi tidak ada x sehingga terjadi kontradiksi

KelemahanKemungkinan tidak adanya petunjuk nyata bagaimana menemukan x


Bukti Eksistensi

ContohTunjukkan bhw ada bilangan irrasional x dan y sehingga xy rasional.


Bukti Ketunggalan

Ada 2 bagian dalam bukti ketunggalanMenunjukkan ada elemen x yang memenuhi sifat yang diinginkan (existence)Menunjukkan bahwa jika y ≠ x maka y tidak memenuhi sifat yang diinginkan (uniqueness)

ContohTunjukkan bahwa setiap bilangan bulat mempunyai invers penjumlahan yang tunggal.


Bukti Ketunggalan

Solusi (existence)Jika p bulat maka p + q = 0 ketika q = -p, dan q juga bulat

(uniqueness)Misalkan ada r bulat dengan r q dan p + r = 0. Maka p + q = p + r. Dengan mengurangi kedua ruas dengan p didapat q = r, kontradiksi dgn r q.Jadi ada bilangan bulat q yang tunggal sehingga p + q = 0.


SOAL

Soal 1.Buktikan jika n bilangan bulat positif dengan n2 > 100 maka n > 10.

Soal 2.Buktikan bahwa untuk bilangan – bilangan bulat m dan n jika m + n ≥ 73, maka m ≥ 37 atau n ≥ 37.

Soal 3.Buktikan bahwa jika x2 + x – 2 = 0 maka x ≠ 2.

01. Strategi Pembuktian

Documents

Transcript of 01. Strategi Pembuktian