MAKALAH KAPITA SELEKTA SMA

TENTANG MATRIKS

Oleh :

Suci Pusporini (09320014)

Risky Noorwiyadi (09320020)

Kelas : 2A Matkom

Jurusan Pendidikan Matematika dan Komputasi

Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Universitas Muhammadiyah Malang

2009

PEMBAHASAN

A. Pengertian Matriks dan Ordo Matriks

`Menurut Nasoetion (1980:24), suatu matriks merupakan himpunan

unsur-unsur yang disusun berdasarkan penggolongan terhadap dua sifat yang

sering disebut dengan istilah baris dan kolam. Susunan bilangan - bilangan

yang diatur pada baris dan kolom dan letaknya diantara dua buah kurung

(http://www.Belajar-Matematika.com ). Sederetan bilangan yang berbentuk

segi empat yang diapit oleh sepasang kurung siku

(http://www.p4tkmatematika.org/downloads/smk/Matriks).

Berdasarkan pemaparan tersebut maka dapat disimpulkan, Matriks

merupakan susunan bilangan-bilangan yang berbentuk siku-empat terdiri dari

baris dan kolom dengan diapit oleh sepasang kurung siku. Sebagai contoh :

a. [2 2 51 3 15 12 9] dan b. [3 3

1 2]Baris suatu matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang mendatar

dalam matriks. Kolom suatu matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang

tegak dalam matriks.

Bentuk umum :

Secara umum matriks Amxn = [ a11 … a1 n

… … …am1 … amn

]Perhatikan bahwa elemen matriks A tersebut berindeks rangkap misalnya

a11, yang artinya matriks A pada baris ke-1 dan kolom ke-1. Untuk lebih

jelasnya bentuk umum seperti :

Amxn = [ aij ]mxn

a 11 a 1 j …. a1na 21 a 2 j …. a2nai1 aij …. ainam 1 amj …. amn

m= baris

n= kolom

i = 1,2…m

j= 1,2…n

Matriks dinotasikan dengan huruf capital misalnya A, B, C dan lain-lain.

Banyanya baris dan banyaknya kolom menentukan ukuran dari matriks

tersebut yang disebut ordo matriks. Perhatikan bahwa elemen dari matriks A

di atas, misal a21 menyatakan elemen pada matriks A tersebut terletak pada

baris ke 2 dan kolom ke 1. Sedangkan matriks A berordo mxn dan ditulis

Amxn.

B. Macam-macam matriks

Menurut ordonya terdapat berbagai jenis matriks, antara lain.

a. Matriks Persegi

Yaitu matriks yang berordo nxn atau banyaknya baris sama dengan

banyaknya kolom.

Contoh: B2x2 = [2 43 7]

Pada suatu matriks persegi ada yang dinamakan sebagai diagonal utama

dan diagonal sekunder. Komponen-komponen yang terletak pada diagonal

utama pada matriks tersebut adalah 2 dan 7 yang berasal dari kiri atas ke

kanan bawah. Sebaliknya, komponen-komponen yang terletak pada

diagonal sekunder berasal dari kiri bawah ke kanan atas.

b. Matriks Baris

Yaitu matriks yang berordo 1xn atau hanya memiliki satu baris.

Contoh: A1x2 = 1 4

c. Matriks Kolom

Yaitu matriks yang hanya memiliki satu kolom.

Contoh C2x1= 23

d. Matriks Tegak

Yaitu matriks yang berordo mxn dengan m>n

Contoh: Q = 4 42 63 1

, Q berordo 3x2 sehingga matriks Q tampak tegak.

e. Matriks Datar

Yaitu matriks yang berordo mxn dengan m<n

Contoh: H= 2 3 165 6 3 , H berordo 2x3 sehingga matriks F tampak datar.

Berdasarkan elemen-elemen penyusunnya terdapat jenis matriks, antara

lain :

a. Matriks Nol

Yaitu matriks yang semua elemen penyusunnya adalah nol dan

dinotasikan sebagai O.

Contoh: O2x3 = 0 0 00 0 0

b. Matriks Diagonal

Yaitu matriks persegi yang semua elemen diatas dan dibawah diagonal

utamanya adalah nol.

Contoh: F2x2 = [1 00 3 ]

c. Matriks Skalar

Yaitu matriks diagonal yang semua elemen pada diagonalnya sama dan

elemen-elemen selain diagonal utama adalah 0.

Contoh: F2x2 = [3 00 3 ]

d. Matriks Simetri

Yaitu matriks persegi yang setiap elemennya selain elemen diagonal

adalah simetri terhadap diagonal utama, atau matriks dimana susunan

elemen-elemen antara matriks dengan transposenya sama. C=CT; maka C

adalah matriks simetris

Contoh: C3x3 = 1 2 32 2 53 5 3

e. Matriks Simetri Miring

Yaitu Matriks simetri yang elemen-elemennya selain elemen diagonal

saling berlawanan.

Contoh: W3x3 = 1 −2 32 2 5

−3 −5 3

f. Matriks Identitas (satuan)

Yaitu matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal utamanya

adalah satu dan elemen yang lain adalah nol dan dinotasikan sebagai I.

Contoh: I3x3 = [1 0 00 1 00 0 1 ]

g. Matriks Segitiga Atas

Yaitu dikatakan segitiga atas jika aij = 0 untuk i>j dengan kata lain matriks

persegi yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya adalah nol.

Contoh: K3x3 = [2 3 30 1 10 0 8 ]

h. Matriks Segitiga Bawah

Yaitu dikatakan segitiga bawah jika aij = 0 untuk i<j dengan kata lain

matriks persegi yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya adalah nol.

Contoh: V3x3 = [2 0 02 1 03 1 8]

i. Matriks Transpose yaitu matriks yang diperoleh dari memindahkan

elemen-elemen baris menjadi elemen pada kolom atau sebaliknya.

Transpose suatu matriks dilambangkan dengan …T, misal transpose

matriks B dilambangkan dengan BT

Contoh: B2x3 = 1 2 30 3 4 , maka BT =

1 02 33 4

Perhatikan bahwa ordo dari BT adalah 3x2. Sehingga pada matriks

transpose baris menjadi kolom dan sebaliknya, kolom menjadi baris.

C. Operasi Matriks dan Sifat-sifatnya

a. Operasi kesamaan

Dua buah matriks atau lebih dikatakan sama jika dan hanya jika

mempunyai ordo sama dan elemen-elemen yang seletak juga sama.

Contoh: A=¿ (1 2 ¿ ) ¿¿

¿ ¿¿

A = B, A ≠ C, B ≠ C

b. Penjumlahan dan Pengurangan dua Matriks

Penjumlahan Matriks, Jika A + B = C, maka elemen-elemen C diperoleh

dari penjumlahan elemen-elemen A dan B yang seletak, yaitu cij = aij +bij

untuk C pada baris ke-i dan kolom ke-j. sehingga, matriks A dan B dapat

dijumlahkan apabila kedua matriks memiliki ordo yang sama.

Contoh A= [2 14 3], B= [3 1

4 1] maka A + B = [2 14 3]+[3 1

4 1]= [5 2

8 4] = C

Sifat-sifat penjumlahan matriks

1. A+B = B+A (Komutatif)

2. A+(B+C) = (A+B)+C (Assosiatif)

3. A+O = O+A = A

4. (A+B)T = AT+BT

5. Ada B sedemikian hingga A + B = B + A = 0 yaitu B = -A

Pengurangan matriks, jika A – B = C, maka elemen-elemen C diperoleh

dari pengurangan elemen-elemen A dan B yang seletak, yaitu cij = aij-bij

atau pengurangan dua matriks dapat dipandang sebagai penjumlahan

matriks yaitu A + (-B)

Contoh: A=[1 24 3], B= [2 3

1 1], maka A-B = [1 24 3]−[2 3

1 1]¿ [−1 −1

3 2 ]c. Perkalian matriks dengan skalar.

Perkalian sebuah matriks dengan skalar, maka setiap unsur matriks

tersebut terkalikan dengan skalar. Msalkan matriks A dikalikan dengan

suatu bilangan real k maka kA diperoleh dari hasil kali setiap elemen A

dengan k.

Contoh: A = [−1 −13 2 ] maka 3A = 3 [−1 −1

3 2 ]=[−3 −39 6 ]

Jika a dan b bilangan real (skalar) dan matriks A dan matriks B merupakan

dua matriks dengan ordo sama sehingga dapat dilakukan operasi hitung.

Maka berlaku sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar:

1. a(A+B) = aA+aB

2. a(A-B) = aA-aB

3. (a+b)B = aB+bB

4. (a-b)B = aB-bB

5. (ab)B = a(bB)

6. (aB)T = aBT

d. Perkalian Dua Matriks

Dua buah matriks atau lebih (misal matriks AB) dapat dikalikan jika dan

hanya jika jumlah kolom pada matriks A sama dengan jumlah baris pada

matriks B. jadi AmxnBnxr bias didefinisikan, tapi BnxrAmxn tidak dapat

didefinisikan.

A B AB

mxn nxr = mxr

sehingga hasil kali matriks AB berordo mxr.

Catatan:

Perkalian 2 matriks AB dapat didefinisikan, jika banyaknya

kolom matriks A = banyaknya baris matriks B.

Hasil kali dua matriks AB adalah suatu matriks dengan banyaknya

baris = banyaknya baris matriks A dan banyaknya kolom =

banyaknya kolom matriks B.

Pada umumnya AB ≠ BA

Apabila A suatu matriks persegi maka A2 = A.A ; A3 = A2.A ;

A4 = A3.A dan seterusnya.

Apabila AB=BC maka tidak dapat disimpulkan bahwa A = C.

Apabila AB=0 maka tidak dapat disimpulkan bahwa A=0 atau B=0

Contoh perkalian matriks:

1. Perkalian matriks berordo 1xa dengan ax1

A = 1 2 3 dan B = 321

, A1x3B3x1 = [(1x3) + (2x2) + (3x1)]

= [10]

Hasil kalinya merupakan matriks berordo 1x1.

2. Perkalian matriks berordo ax1 dengan 1xa

A= 123

dan B = 1 2 3 , A3x1B1x3 = [1x 1 1 x2 1x 32x 1 2 x2 2x 33x 1 3 x2 3 x3]

= [1 2 32 4 63 6 9]

Hasil kalinya merupakan matriks berordo 3x3.

3. Perkalian matriks berordo mxn dengan matriks nxr

A = [2 51 3], B = 1 2 3

3 1 2

A2x2B2x3 = [2 51 3] 1 2 3

3 1 2

AB = (2 x1 )+(5x 3) (2 x2 )+(5 x1) (2 x3 )+(5x 2)(1 x1)+(3 x3) (1 x2 )+(3 x1) (1 x 3 )+(3x 2)

= 17 9 169 5 9

Sifat-sifat perkalian matriks dengan matriks antara lain :

1. A(BC) = (AB)C

2. A(B+C) = AB + AC

3. (B+C)A = BA + CA

4. A(B-C) = AB – AC

5. (B-C)A = BA – CA

6. a(BC) = (aB)C = B(aC)

7. AI = IA = A

D. Determinan, Adjoin dan Invers Matriks

a. Determinan.

Untuk setiap matriks persegi terdapat suatu bilangan tertentu yang disebut

determinan. Determinan matriks adalah jumlah semua hasil perkalian

elementer yang bertanda dari A dan dinyatakan dengan det(A) atau |A|

(Howard Anton, 1991 : hal 67).

Yang diartikan dengan sebuah hasil perkalian elementer bertanda dari

suatu matriks A adalah sebuah hasil perkalian elementer pada suatu kolom

dengan +1 atau -1.

Untuk mengetahui tanda +1 atau -1dalam menentukan determinan suatu

matriks yaitu dengan menggunakan permutasi sesuai besar peringkat matriks

tersebut dan ada atau tidaknya invers pada hasil permutasi peringkat matriks

tersebut.

Invers terjadi pada suatu permutasi jika terdapat bilangan yang lebih besar

mendahului bilangan yang lebih kecil pada kolom. Jika banyak invers genap

dan nol maka tanda +1 dan jika banyak invers ganjil maka tanda -1.

Misal :

1. Determinan untuk ordo 2x2 maka bentuk matriks seperti ini :

[a 11 a12a 21 a 22] permutasi dari bilangan bulat 1 dan 2 diambil bersama adalah

2! = 2 yaitu 1 2 dan 2 1 (untuk kolom) sedangkan baris menjadi patokan

dan selalu berurut. Sehingga determinan dari matriks berordo 2x2 adalah

+1(a11.a22)-1(a12.a21) = a11.a22 – a12.a21. jika matriks dalam bentuk [a bc d ]

maka untuk mencari determinannya lebih dikenal dengan bentuk ad – bc.

Contoh:

Jika matriks A = [2 14 3] maka det (A) = |A| = (2x3) – (1x4) = 6 – 4 = 2

2. Determinan untuk ordo 3x3

Maka bentuk matriks seperti [a11 a12 a 13a21 a 22 a 23a31 a 32 a 33], permutasi dari

bilangan bulat 1, 2 dan 3 diambil bersama adalah 3! = 6 yaitu 123,

132, 213, 231, 312, dan 321 (untuk kolom) sedangkan baris menjadi

patokan dan selalu berurut. Sehingga determinan dari matriks berordo

3x3 adalah +1(a11.a22.a33)-1(a11.a23.a32)-

1(a12.a21.a31)+1(a12.a23.a31)+1(a13.a21.a32)-1(a13.a22.a31).

Untuk mempermudah dalam mencari determinan maka berlaku :

a) Metode Sarrus

Misal matriks A = [a b cd e fg h i ]

a bd eg h

- - - + + +

Maka |A| = aei + bfg + cdh – ceg – afh – bdi.

Cara ini hanya berlaku pada matriks berordo 3x3.

Contoh: D = [1 2 23 1 21 2 3]

Maka det (D) = |D| adalah [1 2 23 1 21 2 3]1 2

3 11 2

|D| = (1x1x3) + (2x2x1) + (2x3x2) – (2x1x1) – (1x2x2) – (2x3x3)

= 3 + 4 + 12 – 2 – 4 – 12 = 0

b) Metode Minor dan Kofaktor

Minor suatu matriks A dilambangkan dengan Mij adalah matriks

bagian dari A yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-

elemennya pada baris ke-i dan elemen-elemen pada kolom ke-j.

Contoh:

A= [1 2 10 2 12 0 2] maka :

M11 = [1 2 10 2 12 0 2] =[2 1

0 2]

M12 = [1 2 10 2 12 0 2] = [0 1

2 2]

M13 = [1 2 10 2 12 0 2] = [0 2

2 0]

M11, M12 dan M13 merupakan submatriks hasil ekspansi baris ke-1

dari matriks A. Kofaktor suatu elemen baris ke-i dan kolom ke-j

dari matriks A dilambangkan dengan α ij = (-1)i+j ¿ Mij∨¿, dari

matriks A tersebut kofaktor a11 dilambangkan dengan α11 yaitu

(-1)i+j ¿ Mij∨¿

Untuk mencari det(A) dengan metode minor dan kofaktor cukup

mengambil satu ekspansi saja misal ekspansi baris ke-1atau kolom

ke-1.

Sehingga

Contoh :

H = [1 2 10 2 12 0 2], untuk mencari |H| dengan metode minor dan

kofaktor adalah harus mencari determinan minornya terlebih dahulu yang

diperoleh dari ekspansi baris ke-1, yaitu det(M11), det(M12), det(M13),

maka,

|M11| = (2x2)-(1x0) = 4

|M12| = (0x2)-(1x2) = -2

|M13| = (0x0)-(2x2) = -4

|H| = h11α11 + h12α12 + h13α13

= h11.(-1)1+1|M11| + h12.(-1)1+2|M12| + h13.(-1)1+3|M13|

= (1.4) + (2.(-1.-2)) + (1.-4)

= 4 + 4 – 4 = 4

b. Adjoin matriks

Adalah transpose dari kofaktor-kofaktor matriks tersebut, dilambangkan

dengan adj A = (αij)T

Contoh

H = [1 2 10 2 12 0 2] kita telah mengetahui sebelumnya α11= 4, α12= 2,

α13= -4,

α21= (-1)2+1 |2 10 2|=¿ -4, α22= (-1)2+2 |1 1

2 2|=¿ 0

α23= (-1)2+3|1 22 0|=4 ,α31= (-1)3+1 |2 1

2 1| = 0

α32= (-1)3+2 |1 10 1|=¿-1, α33= (-1)3+3 |1 2

0 2| = 2

maka adj H = [α 11 α 21 α 31α 12 α 22 α 32α 13 α 23 α 33] = [ 4 −4 0

2 0 −1−4 4 2 ]

c. Invers Matriks

Jika A dan B matriks persegi nxn sedemikian hingga AB=BA=I, B disebut

invers A (B=A-1) dan A disebut invers B (A=B-1) sehingga berlaku

A A-1= A-1A=I, I adalah identitas.

Invers matriks A dirumuskan A-1 = 1

¿ A∨¿¿ . Adj(A)

Pembuktian :

Misal matriks 2x2, matriks A= [a bc d ] dan misalkan invers matriks A

adalah A-1= [ x yu v ]. Berdasarkan pengertian invers matriks, maka berlaku

AA-1=I, dengan I matriks identitas.

[a bc d ][ x y

u v ]=[1 00 1]

[ax+bu ay+bvcx+du cy+dv ]=[1 0

0 1]Berdasarkan kesamaan matriks maka diperoleh:

ax + bu = 1 (1)

cx + du = 0 (2)

ay + bv = 0 (3)

cy + dv = 1 (4)

dari persamaan-persamaan dilakukan eleminasi untuk menentukan nilai x,

y, u, dan v.

ax + bu = 1 xd adx + bdu = d

cx + du = 0 xb bcx + bdu = 0

adx – bcx = d

x(ad-bc) = d

x = d

ad−bc

substitusikan x pada persamaan (2), sehingga diperoleh u =−c

ad−bc ,

dengan cara yang sama seperti diatas, akan diperoleh juga y = −b

ad−bc , dan

v= a

ad−bc . Dengan demikian A-1= [ dad−bc

−bad−bc

−cad−bc

aad−bc ]

= 1

ad−bc [ d −b−c a ], dengan ad-bc≠0

Maka invers matriks A=[a bc d ]adalah A-1=

1ad−bc [ d −b

−c a ]Sehingga rumus invers matriks adalah A-1 =

1¿ A∨¿¿ . Adj(A)

SOAL MATRIKS

1. Diketahui matriks A dan B berordo 3x3

A = ¿ ( 6 −2 −3 ¿ ) (−1 1 0 ¿ ) ¿¿

¿ dan

B= ¿ ( x x+ y y+z ¿ ) ( z−a b b+2 c ¿ ) ¿¿

¿

Jika A = B, tentukan nilai a,b,c,d,e,f,x,y dan z.

2. Diketahui matriks P dan Q yang berordo 2x2

P = ¿ (2 x− y 3 x ¿ ) ¿¿

¿ dan

Q = ¿ ( 7 −4 ¿ )¿¿

¿ Jika P = Qt

, tentukan x3− y3

.

3. Ditentukan matriks-matriks A = ¿ (1 2¿ ) ¿

¿¿

, carilah matriks

a. 2A b. -2B c.

25 (A+B) d. (5A-2B)t

4. Jika H adalah matriks berordo 3x3, tentukan matriks H dari persamaan

berikut:

( 2 −3 5 ¿ ) (−1 0 4 ¿ ) ¿¿

¿¿

5. Tentukan hasil perkalian matriks berikut:

a.(3 4 ) ¿ (2 −1 3 ¿ )¿

¿¿

b.

( 4 8 −9¿ ) ( 1 −6 4 ¿ )¿¿

¿¿

c.

(−6 3 ¿ ) ( 3 6 ¿ )¿¿

¿¿

6. Ditentukan matriks-matriks P = ¿ (−1 2 ¿ ) ¿

¿¿,

Q = ¿ (4 −1 ¿ ) ¿¿

¿ dan

R = ¿ (−3 0 ¿ ) ¿¿

¿. Carilah matriks P(QR ) , ( PQ ) R , ( PQ )t dan Pt Qt

7. Selesaikan setiap persamaan berikut:

a.

(2 5¿ )¿¿

¿¿b.

(1 2 0 ¿ ) ¿¿

¿¿

8. Ditentukan matriks A = ¿ (1 2¿ )¿

¿¿. Carilah matriks A2 , A3 , dan A4

.

9. Jika A = [1 32 4] dan I, matriks satuan ordo dua, maka A2 - 2A + I adalah

10. Diketahui matriks A = [1 24 3] dan matriks Identitas. Tentukan nilai x

supaya matriks A - xI merupakan matriks singular!

11. Diket A = [ x+ y xy x− y ] B ¿ [ 1 −1

2x

−2 y 3 ] , jika At =B. tentukan nilai x?

12. Tentukan determinan dari :

A = [16 −516 −5 ]

B = [ 2 9 160 0 024 16 8 ]

C = -6 1 -3 -12 4 -2 2 3-2 -1 -1 -1 2 1 1 9

DAFTAR PUSTAKA

Johanes, Kastolan, Sulasim. 2006. Kompetensi matematika. Jakarta:

Yudhistira.

JR, Frank Ayres. 1985. Teori dan soal-soal matriks (versi S1/matriks).

Jakarta: Erlangga.

Tim penyusun soal. 2008. Detik-detik ujian nasional. Klaten: Intan

Pariwara.

Matriks(online). (www.belajar-matematika.com, diakses 24 september

2010).