1

BAB I

PENGENALAN TENTANG APLIKASI MATEMATIKA DISKRET

I.1. Pendahuluan

Banyak masalah kehidupan sehari-hari yang dapat diabstraksi sebagai

masalah yang berkaitan dengan himpunan benda-benda diskret dan relasi biner

pada benda-benda tersebut. Sebagai contoh, marilah kita perhatikan serangkaian

pol pendapat umum yang dilakukan untuk menentukan kepopuleran para calon

presiden. Dalam setiap pol yang diadakan, ingin diketahui pendapat para pemilih

tentang dua di antara para calon, dan lalu ditentukan siapa favoritnya. Hasil pol-

pol tersebut ditafsirkan sebagai berikut :

Calon a dianggap lebih favorit daripada calon b jika salah satu di antara tiga

kondisi berikut dipenuhi :

1. Calon a lebih favorit daripada calon b di dalam pol yang diadakan antara

keduanya.

2. Calon a lebih favorit daripada calon c di dalam sebuah pol, sedangkan

calon c lebih favorit daripada calon b di dalam pol yang lain.

3. Calon a lebih favorit daripada calon c, dan calon c lebih favorit daripada

calon d, dan calon d lebih favorit daripada calon b di dalam tiga pol

terpisah yang diadakan, dan begitu seterusnya.

Untuk dua calon tertentu, misalnya kita ingin tahu apakah salah satu lebih kuat

daripada yang lain atau tidak. Misalkan S = {a, b, c, ...} himpunan para calon

presiden dan R sebuah relasi biner pada S sedemikian rupa sehingga (a,b) ada di

dalam R jika pol antara a dan b diadakan dan a terpilih sebagai calon yang lebih

favorit.

Relasi biner pada suatu himpunan dapat disajikan dalam bentuk tabel atau

grafik. Misalkan relasi biner pada Gambar 1.1.a dan Gambar 1.1.b

mempresentasikan hasil-hasil pol yang diadakan. Kita lihat bahwa calon a lebih

favorit daripada calon e sebab pasangan terurut (a, b), (b, d), (d, e) ada di dalam R.

2

a

a b c d e

a ü

b ü b e

c ü ü

d ü ü

e

c d

(a) (b)

Gambar 1.1 Hasil pol yang diadakan

Sebagai ilustrasi lain, misalkan sejumlah kota dihubungkan oleh jalan-

jalan raya. Bila diberikan peta jalan-jalan raya tersebut, kita mungkin ingin

mengetahui apakah ada rute jalan raya antara kedua kota pada peta tersebut.

Dalam berbagai masalah yang berkaitan dengan benda-benda diskret dan relasi

biner, representasi grafik seringkali merupakan bentuk penyajian yang

memudahkan. Hal ini menuntun kita pada pembelajaran tentang teori graf, suatu

pembelajaran tentang aplikasi dari Matematika Diskret.

I.2. Penerapan Graf Dalam Persoalan Matematika Diskret

Graf dapat didefinisikan sebagai kumpulan simpul-simpul yang

dihubungkan dengan garis. Simpul biasa dinyatakan dengan istilah verteks dan

garis biasa dinyatakan dengan istilah edges atau busur.

Contoh :

1.1 Struktur kimia adalah kumpulan atom-atom yang terikat menurut aturan

ikatan kimia tertentu.

Sebagai contoh, CH4 (Metana) merupakan ikatan kimia yang terdiri dari 1

atom C dan 4 atom H, sehingga terbentuk ikatan seperti di bawah ini. H H C H H CH4 (Metana) Model Graf

Gambar 1.2

3

Dari ikatan yang ada pada Gambar 1.2, dapat diubah ke dalam model graf

seperti gambar di sampingnya.

1.2 Jaringan komunikasi adalah kumpulan beberapa pusat atau stasiun yang

dapat berkomunikasi secara langsung.

Subscriber Group Switching Centre Local exchange

Gambar 1.3 Jaringan Telepon

Switching Center Model Graf

Gambar 1.4 Jaringan Switching

1.3 Jaringan lalu lintas adalah kumpulan jalan yang saling berhubungan. Jika

digambar dalam bentuk graf, simpul melambangkan persimpangan dan

busur melambangkan arah lalu lintas.

4

Contoh :

Gambar 1.5 Jaringan Lalu Lintas

Gambar 1.6 Model Graf Jaringan Lalu Lintas

1.4 Sebuah papan sirkuit adalah kumpulan komponen yang dihubungkan

dengan sebuah lintasan konduktor. Jika digambar dalam bentuk graf,

simpul melambangkan simpangan dan busur melambangkan terminal dari

komponen. Model alternatif lainnya adalah simpul melambangkan

komponen dan busur melambangkan lintasan konduktor antara terminal-

terminal dalam komponen.

Gambar 1.7 Sirkuit dan Model Grafnya

5

Contoh-contoh di atas merupakan beberapa contoh tentang aplikasi graf

dalam sistem model yang nyata. Dalam setiap persoalan, graf memberikan sebuah

sruktur model tentang sistem yang kita pelajari, menjelaskan interaksi dan

hubungan antara berbagai komponen dalam sistem. Sedangkan dalam berbagai

persoalan, masalah yang sering muncul dalam pelaksanaannya adalah

mendapatkan sebuah penyusunan yang memenuhi semua permintaan, dan

optimal menurut beberapa kriteria seperti harga, pengeluaran atau penampilan.

Masalah dasar yang sering muncul pada Matematika Diskret yaitu :

1. Masalah eksistensi

Apakah sedikitnya ada satu penyusunan dalam tipe khusus ?

2. Masalah perhitungan

Berapa banyak penyusunan dari tipe khusus yang ada ?

3. Masalah optimisasi

Diperoleh dengan memilih bentuk dari semua penyusunan yang mungkin

untuk tipe yang pasti dan terbaik menurut beberapa kriteria.

Kita dapat mengilustrasikan masalah-masalah ini ke dalam contoh berikut :

Contoh 1.5 :

Masalah Alokasi :

Pada permasalahan pengalokasian frekuensi pengangkutan ke stasiun

pengirim, dimisalkan ada m saluran (frekuensi) yang mungkin digunakan oleh n

stasiun pengirim. Stasiun yang dialokasikan dekat dengan stasiun yang lain dan

tidak dapat menggunakan saluran yang sama tanpa menyebabkan percampuran.

Jadi, diberikan dua stasiun yang dapat atau tidak dapat dinyatakan bahwa kedua

stasiun itu menggunakan saluran yang sama. Sejumlah persoalan terjadi.

Masalah Eksistensi :

Apakah mungkin untuk mengalokasikan sebuah saluran pada setiap gardu

di mana untuk dua stasiun yang berbeda saluran harus mempunyai saluran yang

berbeda? Jika ya, bagaimana cara mendapatkan alokasi tersebut ?

Masalah Perhitungan :

Berapa banyak alokasi yang sesuai ?

6

Masalah Optimasi :

Berapa jumlah saluran minimum yang memenuhi kondisi alokasi ?

Bagaimana kita dapat memodelkan situasi ini ? Sebuah model graf dapat

dikembangkan sebagai berikut. Setiap stasiun dihubungkan oleh simpul dan 2

simpul dihubungkan oleh 1 busur jika dan hanya jika stasiun yang berhubungan

tidak menggunakan saluran yang sama.

Sebagai contoh, dimisalkan ada 5 stasiun dan informasi yang ada

dinyatakan dalam hubungan matriks berikut.

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

- 1 0 0 1

1 - 1 1 0

0 1 - 1 1

0 1 1 - 1

1 0 1 1 - Tabel 1.1

1 menunjukkan adanya hubungan (Gardu tidak bisa diberikan pada channel yang

sama) dan

0 menunjukkan tidak ada hubungan.

Dari informasi yang ada, dapat dibuat model graf seperti di bawah ini.

1 5 2 4 3

Gambar 1.8

Penggambaran matriks konflik yang ada ke dalam bentuk graf tentu saja

tidak menyelesaikan masalah. Tetapi, aspek visual dari model graf tersebut

7

memberikan beberapa pandangan. Sebagai contoh, pembuatan segitiga ke dalam

bentuk graf, menunjukkan bahwa kita membutuhkan sedikitnya tiga saluran yang

berbeda. Dapatkah kita membuat alokasi, jika kita hanya mempunyai tiga saluran?

Bagaimana kita menyelesaikan masalah eksistensi jika kita hanya punya m

saluran? Sebuah alokasi mungkin terjadi hanya jika kita dapat mempartisi simpul

dalam graf menjadi m himpunan di mana tidak ada dua simpul dalam himpunan

yang sama terhubung oleh sebuah busur. Hal inilah yang membawa kita ke konsep

pewarnaan.

Sebuah graf dikatakan Graf k-colourable jika simpul-simpul dalam graf

dapat diwarnai dengan syarat 2 simpul yang adjacent (berdampingan) diwarnai

berbeda. Sebagai contoh Graf Gi, i = 1, 2, 3, 4, ... yang disajikan ke dalam Gambar

1.8 mempunyai i-pewarnaan.

G1 G2 G3 G4 Gambar 1.9

Sebuah Combinatorial Design merupakan cara memilih himpunan bagian

dari suatu himpunan berhingga jika dan hanya jika beberapa kondisi khusus

terpenuhi. Kondisi khusus ini disebut dengan mengeliminasi bias.

Contoh 1.6 :

Sebuah percobaan yang dilakukan untuk menguji efek samping dari 5 jenis obat

terhadap 5 subyek.

Dimisalkan obat-obat yang ada diberi label 1,2,3,4,5 dan subyeknya diberi nama

A,B,C,D,E.

Kemungkinan 1 : A B C D E

1 2 3 4 5

(Subyek A diberi obat berlabel 1, subyek B diberi obat berlabel 2, dan

seterusnya.)

Apa yang salah dengan kemungkinan 1 ?

8

Beberapa subyek mungkin alergi terhadap obat tertentu sehingga hasilnya akan

bias.

Kemungkinan 2 : Memberi setiap subyek setiap jenis obat, 5 hari berturut-turut.

HARI Senin Selasa Rabu Kamis Jumat

A 1 2 3 4 5 B 1 2 3 4 5 C 1 2 3 4 5 D 1 2 3 4 5

S U B Y E K E 1 2 3 4 5

Tabel 1.2

Apakah solusi ini benar ? Hasilnya dapat mengakibatkan bias, karena :

(i) Hari-hari tertentu, obat diberikan (Tiap hari sama obat)

(ii) Efek dari obat pertama dapat mempengaruhi efek obat terakhir

Bagaimana cara menghilangkan bias ?

Untuk menghilangkan bias, tidak ada 2 subyek yang mendapatkan jenis

obat yang sama pada hari yang sama. Jadi muncul tepat 1 kali pada setiap baris

dan kolom.

HARI Senin Selasa Rabu Kamis Jumat

A 1 2 3 4 5 B 2 3 4 5 1 C 3 4 5 1 2 D 4 5 1 2 3

S U B Y E K E 5 1 2 3 4

Tabel 1.3

Inilah solusi yang terbaik. Sejumlah persoalan akan timbul, seperti :

1. Apakah solusinya tunggal ?

2. Apa yang terjadi, jika kita hanya punya 4 subyek ?

Bentuk matriks yang diberikan di atas dapat disebut dengan istilah Latin

Square. Latin square didefinisikan sebagai suatu bentuk matriks di mana antara

satu baris dan satu kolom tidak ada yang sel yang sama.

9

LATIHAN SOAL

1. Gambarkan sebuah graf yang mewakili setiap komponen kimia berikut !

(a) H H H H H C C C C H H H H H C4H10 (Butana) (b) H H C H H H H C C C H H H H

C4H10 (Iso-butane)

Susunan di atas mempunyai komposisi yang sama tetapi berbeda bentuk.

Dapatkah kamu menjelaskan mengapa hal ini dapat terjadi ?

2. Untuk masing-masing graf di bawah ini, tentukan minimum warna yang

dibutuhkan untuk mewarnai simpul-simpul dibawah ini sehingga simpul yang

berdampingan dapat diwarnai berbeda.

(a) (b) (c)

10

3. Tentukan Latin Square dengan order :

(a) 2

(b) 3

(c) 4

4. Dua Latin Square A = (aij) dan B = (bij) dari n order yang sama dikatakan

ortogonal jika n2 order yang berpasangan (aij, bij) semuanya berbeda. Tentukan

sepasang Latin Square ortogonal order 3 !

11

BAB II

GRAF DAN JARINGAN

Pada bab terdahulu diberikan beberapa contoh tentang graf. Dalam bab ini,

kita akan melihat beberapa permasalahan khusus dalam rancangan jaringan.

Masyarakat modern didominasi oleh sistem jaringan untuk informasi

penyaluran, transportasi rakyat, dan penyaluran barang-barang serta energi.

Jaringan telekomunikasi dan jaringan komputer adalah contoh umumnya. Secara

luas dikatakan, sebuah jaringan adalah sebuah sistem yang melibatkan aliran atau

perpindahan komoditas. Komoditas yang dimaksud dapat berupa benda yang

dapat disentuh, seperti komponen elektronik, mobil-mobil, kaleng bir, gas alam

atau benda yang tidak dapat disentuh seperti informasi, persahabatan dan

hubungan kekeluargaan. Jaringan-jaringan ini dapat dimodelkan ke dalam

kesatuan matematika yang disebut graf.

Seperti yang telah dijelaskan dalam pendahuluan, sebuah graf dapat

disebut sebagai kumpulan titik yang disebut simpul dan dihubungkan oleh garis

yang disebut busur. Graf dapat digunakan sebagai cara yang sangat sederhana

untuk memodelkan banyak jaringan. Sebagai contoh, sebuah jaringan komunikasi

dapat dimodelkan ke dalam bentuk graf, dengan simpul menyatakan pusat

komunikasi (contohnya, saluran telepon) dan busur menyatakan jaringan

komunikasi (contohnya, saluran telegraf). Dalam memodelkan sebuah jaringan

dengan graf, simpul dalam graf umumnya dinyatakan dalam bentuk titik yang

menyatakan asal aliran serta tempat berakhir (contohnya, stasiun kereta api,

terminal, pabrik, gudang, dan lain-lain). Busur dalam graf secara umum

menyatakan saluran di mana komoditas berakhir (contohnya, trayek kereta api,

rute penerbangan, aliran pipa, dan lain-lain).

Sebuah graf memberikan model struktural dari jaringan. Dalam

kebanyakan jaringan, metode konstruksi biasanya dinyatakan oleh harga, efisiensi,

kehandalan dan kapasitas.

12

II.1. Graf

Graf adalah kumpulan simpul atau verteks yang dihubungkan dengan garis

atau busur.

Definisi 2.1

Graf adalah himpunan busur dan simpul yang banyaknya berhingga dan busur-

busurnya menghubungkan sebagian atau keseluruhan pasangan dari simpul-

simpulnya. (C.L. Liu)

Graf G(V, E) terdiri atas himpunan simpul yang dinyatakan

dengan V = {v1,v2, v3, ..., vn} dan himpunan busur yang dinyatakan dengan E =

{e1, e2, e3, ..., en} dengan ei = (vi, vj) merupakan busur yang menghubungkan

simpul vi dan simpul vj.

Dalam menggambarkan graf, simpul digambarkan dengan lingkaran kecil

atau titik tebal dan busur digambarkan dengan garis, dan arah panah pada garis

melambangkan arah dari garis tersebut. Nomor atau nama simpul dapat diletakkan

di dalam lingkaran kecil atau di tepi titik tebal.

Busur (i,j) disebut busur berarah jika terdapat suatu aliran dari simpul i

menuju ke simpul j. Dalam hal ini simpul i disebut simpul awal, sumber atau

pangkal dan simpul j disebut simpul akhir, ujung, tujuan, atau terminal dari busur

(i, j). Jika tidak terdapat aliran dari simpul i ke simpul j, maka busur (i, j) disebut

busur tidak berarah.

i j i j i j a. busur tak berarah b. busur berarah c. busur dua arah

Gambar 2.1 Penulisan simpul dan busur dari graf G (V, E) yang digunakan seperti

Gambar 2.1. Jika simpul s telah diberi nomor i maka cukup ditulis i, dan jika

simpul s telah diberi nomor j, maka cukup ditulis simpul j. Demikian juga busur

yang menghubungkan simpul i dan j cukup ditulis busur (i,j).

II.2. Jaringan

Suatu jaringan G (V, E, W) terdiri atas himpunan simpul yang dinyatakan

dengan V = {v1,v2, v3, ..., vn} dan himpunan busur yang menghubungkan simpul-

13

simpul ∈ V dinyatakan dengan E = {e1, e2, e3, ..., en} = {(vi, vj) : vi V∈ } dan

setiap busur pada jaringan diberikan bobot (W).

Dengan kata lain, jaringan merupakan suatu graf yang memiliki bobot

pada setiap busurnya. Oleh karena itu, pada umumnya graf dinotasikan dengan G

(V, E) dan jaringan dinotasikan dengan G(V, E, W).

Jaringan komunikasi jika dibuat dalam bentuk graf, maka simpul

melambangkan pusat komunikasi dan busur melambangkan link komunikasi.

Contoh :

Perusahaan memproduksi l tanaman, P1, P2, ..., Pl yang dibutuhkan m outlets

atau pasar M1, M2, ..., Mm. Komoditas khusus disimpan pada n gudang, W1,

W2, ..., Wn. Dalam graf, busur melambangkan hubungan transportasi dan

simpul melambangkan produksi tanaman, gudang dan pasar.

Pada tiap busur, akan ditentukan jumlah maksimum komoditas yang dapat

ditransport sepanjang hubungan dan harga transport 1 unit.

Pada simpul mewakili:

Tanaman Pi, i = 1, 2, ..., l . Kita dapat menentukan bobot sebagai rata-rata

produksi tanaman dan harga produksi per unit untuk Pi.

Gudang Wj, j = 1, 2, ..., n. Kita dapat menentukan bobot sebagai

kemampuan penyimpanan pada gudang Wj dan harga penyimpanan satu

unit per waktu.

Pasar Mk, k = 1, 2, ..., m, kita dapat menentukan bobot sebagai permintaan

per waktu, dan harga penjualan komoditas.

Pembahasan selanjutnya tentang seberapa jauh penggunaan graf sebagai

model struktural. Sekarang, kita akan membahas beberapa persoalan khusus

yang muncul.

Persoalan Penghubung

Sebuah jaringan komunikasi (contohnya, jaringan telepon) yang

menghubungkan n pusat atau kota T1, T2, ..., Tn harus diinstall. Masing-masing

pusat mampu untuk menerima dan menyalurkan informasi. Jadi dua pusat

dapat berkomunikasi secara langsung maupun tidak langsung. Diberikan

contoh n×n matriks C = [cij] di mana cij menyatakan harga penginstallan

14

jaringan komunikasi (contohnya, jaringan telepon) antara pusat Ti dan Tj,

disusun menjadi sebuah jaringan untuk mencapai dua tujuan berikut :

(i) sedikitnya dua pusat yang dapat berkomunikasi, dan

(ii) jumlah biaya instalasi adalah minimum.

Berdasarkan Persoalan Penghubung di atas, jika n = 6, dan matriks biayanya

adalah :

T1 T2 T3 T4 T5 T6 T1 T2 T3 T4 T5 T6

0 5 10 ∞ ∞ 3 5 0 8 4 10 ∞ 10 8 0 5 15 ∞ ∞ 4 5 0 13 7 ∞ 10 15 13 0 2 3 ∞ ∞ 7 2 0

Tabel 2.1

Graf yang digambarkan berdasarkan matriks di atas adalah pada Gambar 2.2.

di bawah ini : T1 5 T2 10 8 3 10 4 T3 T6

15 7 5 2

13 T5 T4

Gambar 2.2

Biaya yang bertanda ∞ artinya pusat yang berhubungan tidak dapat

berkomunikasi secara langsung, sehingga kita dapat menghilangkan busur

tersebut dari graf kita.

Persoalan Lintasan Terpendek

Perhatian khusus ditujukan untuk menemukan rute terpendek antara

pasangan pusat dalam sebuah jaringan. Contohnya, sebuah perusahaan bisnis

besar dengan kantor pusat di New York mempunyai beberapa cabang utama di

negara-negara seluruh dunia. Kantor pusat mengkoordinasi seluruh kegiatan

operasi perusahaan, dan setiap hari seluruh informasi (meliputi permintaan,

15

penawaran dan biaya) harus diberikan dari kantor pusat ke kantor-kantor

cabang. Informasi yang ada dikirimkan via teleks. Diberikan biaya pengiriman

pesan melalui teleks antara dua perusahaan, dan ditentukan rute komunikasi

termurah dari kantor pusat dan setiap kantor cabang lainnya.

Perusahaan perbankan dengan kantor pusat di New York (NY) dan kantor

cabang di Paris (P), Zurich (Z), Berlin (B), Tokyo (T), Hongkong(HK) dan

Sydney (S). Setiap hari informasi penting (meliputi permintaan, penawaran

dan biaya) harus diberikan dari kantor pusat ke kantor-kantor cabang.

Informasi yang ada dikirimkan via teleks. Biaya pengiriman pesan antara dua

kantor cabang diberikan dalam matriks di bawah ini :

NY P Z B T HK S NY P Z B T HK S

0 8 10 12 10 15 20 8 0 2 1 10 10 10 10 2 0 3 12 12 15 12 1 3 0 10 10 10 10 10 12 10 0 3 5 15 10 12 10 3 0 5 20 10 15 10 5 5 0

Tabel 2.2

Graf yang digambarkan berdasarkan matriks di atas adalah pada Gambar 2.3.

di bawah ini :

10

P 1 10 B 2 10 10 8 3 10 10 T 12 10 NY 20 5 15 3

10 S HK 5 Z 12 15 12

Gambar 2.3

Seperti contoh terdahulu, model graf ini memberikan himpunan semua

hubungan yang mungkin dan permasalahannya adalah memilih sebuah

16

himpunan bagian dari himpunan ini yang menunjukkan bahwa jaringan yang

ada sesuai dan jumlah biaya dari pengiriman informasi dari kantor pusat ke

kantor cabang dapat diminimalkan.

Persoalan Aliran Maksimum

Persoalan dasar dimulai dengan menentukan jumlah aliran maksimum

yang dapat dikirim antara pasangan pusat dalam jaringan. Sebagai contoh

sebuah jaringan telepon menghubungkan n pusat (sambungan telepon)

T1, T2, ..., Tn. Jumlah maksimum panggilan langsung yang disebut cij dapat

dibuat per unit waktu antara Ti dan Tj, tergantung jumlah saluran yang

menghubungkan dua pusat. Setiap pusat tentu saja dapat menerima dan

mengirim panggilan. Diberikan matriks C = [cij]. Permasalahannya adalah

menentukan jumlah panggilan maksimum yang dapat terjadi antara dua pusat

yang diberikan.

Sesuai contoh jika n = 6 dan kapasitas matriks C diberikan seperti di bawah ini

=

0508000050020100200802002060001002002080020602004000080400

C

Jaringan yang ada dapat digambarkan sebagai berikut : C2 60 C4 40 20 80 C1 20 20 C6 80 20 50 100 C3 C5 Gambar 2.4 Perkembangan teori graf diawali dari teka-teki (puzzle). Salah satu teka-

tekinya adalah masalah jembatan Konigsberg. Solusi dari teka-teki ini mengilhami

beberapa konsep dasar dalam teori graf.

17

Sebuah rencana kota tua Konigsberg (sekarang Kaliningrad) di Prussia

Timur dan sungai Pregel (sekarang Pregolya) dengan tujuh jembatan perentang

ditunjukkan pada Gambar 2.5. Hal ini menunjukkan bahwa masyarakat

Konigsberg dapat menghibur diri mereka dengan mengelilingi kota dan

menyeberangi tujuh jembatan tepat satu kali. Pada tahun 1736 Leonhard Euler,

seorang matematikawan dari Swiss, dalam artikel perdananya mengembangkan

sebuah metode untuk menyelesaikan persoalan umum ini.

Gambar 2.5

Metode Euler menjelaskan bahwa setiap daratan dinyatakan dengan

simpul dan setiap jembatan dinyatakan dengan busur yang menghubungkan

simpul-simpul. Berdasarkan informasi tersebut, dapat dibuat graf seperti di bawah

ini :

C A B D

Gambar 2.6

Hal inilah yang membuat hasil kerja Euler memberikan konsep penting

dalam “graf Eulerian” yang muncul dalam kehidupan modern sekarang. Aplikasi

hal ini dalam teori graf seperti pengiriman surat, pengeplotan mesin dan masih

banyak lagi. Aplikasi ini akan dibahas dalam Bab 6.

A

C

D

B

18

LATIHAN SOAL

1. Sebuah perusahaan minuman mempunyai 3 jenis minuman B1, B2, dan B3.

Masing-masing minuman mempunyai kapasitas produksi 5000 karton per

bulan. Perusahaan mempunyai outlet di Louisville (M1), Plains (M2), Pittsburg

(M3) dan St. Louis (M4) yang membutuhkan 1.500, 3.500, 2.000, dan 2.500

karton per bulan. Biaya pengiriman per 100 karton minuman Bi, i = 1, 2, 3, ke

outlet-outlet Mj, j = 1, 2, 3, 4 diberikan dalam matriks di bawah ini :

M1 M2 M3 M4

2520351217182582015305

3

2

1

BBB

a. Gambarkan graf berbobot untuk menunjukkan situasi di atas !

b. Permasalahan optimasi apa yang akan muncul ?

2. Seorang penjual koran bertanggung jawab dalam mengirimkan koran-koran ke

rumah-rumah yang ditunjukkan dalam map ini pada sore hari. Karena

kemacetan lalu lintas, dia tidak dapat menyeberang jalan kembali dan tidak

dapat mengirimkan koran ke rumah-rumah di seberang jalan. Jadi ia harus

berjalan sebanyak dua kali. Apakah mungkin bagi penjual koran untuk

menentukan rute terpendek agar ia dapat berjalan di jalan itu tepat hanya satu

kali ?

19

3. Air dikirimkan dari sumber penampungan utama D ke sebuah penampungan

cabang lainnya, R, melalui sebuah saluran pipa yang terdiri atas 5 stasiun

pemompa P1, P2, ..., P5. Rata-rata air yang dialirkan antara berbagai stasiun per

hari dalam jutaan liter disajikan dalam tabel di bawah ini.

D P1 P2 P3 P4 P5 R

0000000250000000200000000015000000

18016000000002000100000001702002300

5

4

3

2

1

RPPPPPD

Permasalahannya adalah untuk memaksimumkan aliran air per hari dari

sumber penampungan utama ke penampungan cabang lainnya.

(a) Gambarkan jaringannya !

(b) Dimisalkan sebuah penampungan R` ditambahkan ke dalam jaringan.

Stasiun pemompa P3, P4 dan P5 dihubungkan ke R` dengan saluran

pipa yang mempunyai kapasitas 50, 75, dan 100 juta liter per hari.

Bagaimana perubahan yang terjadi pada jaringan? Permasalahan

optimasi apa yang muncul ?

(c) Dimisalkan pompa P4 mempunyai kapasitas maksimum 280 juta liter

per hari dan kapasitas pipa tidak berubah. Bagaimana jaringan dalam

soal (a) akan berubah ?

4. Perpustakaan universitas dikelompokkan ke dalam empat fasilitas, dengan

nama Catalog (C), Photocopy (P), Jurnal (J) dan Buku baru (B). Sebuah

investigasi menjelaskan permintaan harian, dan jumlah peredaran setiap

pasangan fasilitas : E C P J B

−−

−−

−

261942322664125801964774421257720032804200

BJPCE

20

E menyatakan jalan masuk. Diputuskan untuk mengatur fasilitas-fasilitas ke

dalam bentuk jalan, dengan tujuan memaksimumkan jumlah nilai pasangan

fasilitas yang berdampingan. Gambarkan model graf untuk persoalan ini !

5. Sebuah universitas mensponsori seminar setengah hari tentang Optimasi

Kombinatorial. Ada tujuh pembicara, masing-masing dari mereka berbicara

selama 1 jam. Seminar ini memerlukan waktu lebih dari 4 jam dan oleh karena

itu beberapa pembicara harus menjadwalkan waktunya pada jam yang sama.

Matriks berikut memberikan hubungan antara para pembicara dalam seminar.

“1” menunjukkan pembicara tidak dapat menjadwalkan pada waktu yang sama

dan “-“ menunjukkan tidak ada hubungan.

1 2 3 4 5 6 7

−−−−−−−−

−−−−−−

−−−−−−−−−

−−−−

111111

11111111

11111

111

7654321

a. Gambarkan matriks di atas ke dalam bentuk graf !

b. Dapatkan seminar diatur dalam waktu yang spesifik ?

21

BAB III

KONSEP DASAR TEORI GRAF

Pada bab ini akan diperkenalkan konsep-konsep dasar dari teori graf. Graf

biasa dilambangkan dengan G, verteks atau simpul dilambangkan dengan V dan

busur atau garis dilambangkan dengan E.

Sebuah graf G terdiri dari himpunan V(G) dari simpul, himpunan E(G) dari busur

dan suatu relasi insidensi yang menghubungkan setiap busur.

Jika e adalah sebuah busur dari G dengan ujung u dan v maka e dikatakan

menghubungkan u dan v.

Definisi 3.1

Sebuah busur dikatakan berinsidensi (insident), jika simpul tersebut terdapat busur

yang menghubungkannya dengan simpul yang lain.

Sebuah busur yang memiliki ujung yang sama dikatakan loop. Misalkan

busur berarah (a) berinsidensi dari simpul a dan berinsidensi ke simpul a, maka

dikatakan loop. Dengan kata lain loop merupakan sebuah busur yang berinsidensi

dari dan ke simpul yang sama. Pada Gambar 3.1 diberikan sebuah contoh graf G

dengan V(G) = {v1, v2, ..., v5} dan E(G) = {e1, e2, ..., e8}. Busur e8 merupakan

loop. Gambar lain dari Graf G digambarkan pada Gambar 3.2 :

v2 e1 e5 e7 v1 e3 e4 e8 v4 v5 e2 e6 v3

Gambar 3.1

v2 e1 e5 e4 e3 v1 e8 v5 e7 v4 e2 e6 v3

Gambar 3.2

22

Definisi 3.2

Dua simpul dikatakan berdampingan (adjacent), jika kedua simpul tersebut

dihubungkan oleh sebuah busur.

Pada busur berarah (a,b), simpul a dikatakan berdampingan (adjacent) ke simpul

b, dan simpul b dikatakan berdampingan (adjacent) dari simpul a.

Definisi 3.3

Sebuah simpul dikatakan simpul terasing atau terisolasi jika tidak terdapat busur

yang berinsidensi dengannya.

Sebuah busur dari suatu graf dikatakan insidensi jika busur tersebut

memiliki satu simpul persekutuan. Dua simpul dikatakan berdampingan jika

simpul-simpul tersebut berada pada ujung garis yang sama. Sebuah simpul

dikatakan terasing jika tidak ada busur yang menghubungkannya dengan simpul

yang lain.

e3 e1 v1 v2

e4 e2 v5 v6 e6

v3 v4 e5

Gambar 3.3. Graf dengan 6 simpul dan 6 busur

Perhatikan Gambar 3.3 di atas :

v6 merupakan simpul terasing, karena tidak ada busur yang

menghubungkan simpul v6 dengan simpul lainnya.

Busur e1 merupakan loop, karena menghubungkan v2 dengan dirinya

sendiri.

Busur e2, e5 dan e6 insidensi pada v4.

v1 dan v2 berdampingan, karena berada pada satu garis yaitu e3.

Secara umum, bentuk graf tidak unique atau tunggal.

Definisi 3.4

Suatu graf dikatakan multiple edges jika terdapat lebih dari 1 busur yang

menghubungkan pasangan titik yang sama.

23

Pada Gambar 3.2 didapatkan bahwa busur e3 dan e4 multiple edges. Simpul v2 dan

v3 sama-sama dihubungkan e3 dan e4.

Definisi 3.5

Suatu graf dikatakan simpel atau sederhana jika tidak memiliki loop dan multiple

edges.

Contoh 3.1 : v1 v2

v3 v4

Gambar 3.4 Graf Simpel

Gambar 3.1 dan Gambar 3.2 merupakan graf tidak simpel

Definisi 3.6

Suatu graf dikatakan graf complete atau graf lengkap jika graf tersebut simpel dan

setiap pasangan simpul yang berbeda dihubungkan oleh satu busur.

Graf complete yang mempunyai n titik dinotasikan Kn.

Kn punya

2n

= )1(21

−nn busur.

Bukti :

)1(21

)!2(!2)!2()!1(

)!2(!2!

2 −=−

−−=

−= nn

nnnn

nnCn

Definisi 3.7

Graf yang memiliki himpunan simpul yang dapat dipartisi menjadi 2 himpunan X

dan Y, di mana ujung satunya di X dan ujung yang lain di Y, dinamakan graf

Bipartite.

Definisi 3.8

Graf Bipartite Complete adalah graf Bipartite dengan bipartisi (X,Y) di mana

setiap simpul X dihubungkan dengan setiap simpul Y. Graf Bipartite Complete

dinotasikan dengan Km,n , di mana X = m dan =Y n.

24

Contoh 3.2 :

K1,3 K2,3 K3,3

Gambar 3.5

Catatan :

Graf Bipartite tidak mungkin punya loop, tidak harus simpel tetapi punya multiple

edges.

Sebuah graf G adalah k-colourable jika simpul-simpulnya dapat diwarnai,

tidak lebih dari k-warna, di mana tidak ada dua simpul yang berdampingan

diwarnai yang sama. Jika graf G 2-colourable, maka graf ini memiliki bipartisi

(X,Y) dengan simpul dari X diberi 1 warna dan simpul di Y diberi warna lainnya.

Kesimpulannya, jika G merupakan graf Bipartite maka G merupakan 2-

colourable. Oleh karena itu, kita dapat mengatakan bahwa graf G bipartite jika

dan hanya jika 2-colourable.Jika G merupakan graf Bipartite akan mempunyai 2

warna atau yang lebih dikenal dengan istilah 2-colourable.

Contoh 3.3 :

Mana dari graf di bawah ini yang merupakan graf Bipartite ?

u2 v2 v5 u6 u5 v1 v3 v6 v8 u4 u7 v4 v7 u1 u3 G1 G2

Gambar 3.6

25

Jawaban :

G1 tidak 2-colourable, karena graf ini berbentuk segitiga dengan simpul

u1u2u3. Jadi G1 bukan merupakan graf Bipartite. Selain itu, G2 adalah 2-

colourable seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.7 di bawah ini :

v2 v5 hitam v1 v3 v6 v8 putih v4 v7

Gambar 3.7

Kita mendapatkan bahwa graf di atas 2-colourable. Pertama, simpul v1 diwarnai

hitam. Kemudian simpul v2, v3 dan v4 yang berdampingan dengan v1 diberi warna

putih. Simpul v5, v6, dan v7 yang berdampingan ke satu atau lebih dari simpul v2,

v3 dan v4 diwarnai hitam. Terakhir, simpul v8 yang berdampingan dengan simpul

v5, v6, dan v7 diberi warna putih. Jadi G2 adalah sebuah graf Bipartite dengan

bipartisi (X,Y) di mana X = {v1, v5, v6, v7} dan Y = {v2, v3, v4, v8}. Gambar

alternatif dari G2 digambarkan sebagai berikut :

v1 v5 v6 v7 G2 v2 v3 v4 v8

Gambar 3.8

Catatan :

Contoh di atas merupakan cara sederhana untuk menentukan apakah graf

yang diberikan Bipartite atau tidak.

Definisi 3.9

Sub graf dari graf G adalah graf H dengan sifat :

1. )()( GVHV ⊆

2. )()( GEHE ⊆

26

3. Jika e adalah busur H yang menghubungkan simpul u dan v maka e adalah

busur G yang menghubungkan u dan v.

Definisi 3.10

Jika sub graf H dari G tidak identik atau tidak sama terhadap G maka H dikatakan

proper sub graf dari G.

Definisi 3.11

Jika jumlah simpul di H sama dengan jumlah simpul di G (V(H) = V(G)) maka H

dikatakan spanning subgraf dari G.

Contoh 3.4 :

v1 v2 v1 v2 v1 v2 v5 v5 v5 v6 v6 v6 v8 v7 v8 v8 v7 v4 v3 v4 v3 v4 v3

G A proper subgraph A spanning subgraph of G. of G.

Gambar 3.9

Derajat d(v) dari simpul v di G adalah jumlah busur di G yang insiden

dengan v. Jika loop dihitung 2 busur.

Contoh 3.5 :

Dari graf G, buktikan bahwa :

∑∈

=)(

)(2)(GVV

GEvd

Bukti :

Ketika menjumlahkan derajat simpul-simpul dari G, kita menghitung

masing-masing busur di G dua kali, satu kali untuk setiap dua simpul yang insiden

dengan busur (loop dihitung sebagai dua busur). Jadi, jumlah derajat dari simpul-

simpul di G sama dengan dua kali jumlah busur di G.

27

Definisi 3.12

Graf G dikatakan k-regular, jika setiap simpul di G punya derajat k. Graf

complete Kn = (n-1)-regular, di mana n menunjukkan jumlah simpul.

Graf complete bipartite Kn,n= n regular.

Contoh 3.6 :

Sebuah perusahaan membutuhkan 6 pekerja W1, W2, ..., W6 untuk 6 pekerjaan J1,

J2, ..., J6 dengan permintaan keahlian yang berbeda. Setiap pekerja dikualifikasi

utnuk satu atau lebih pekerjaan, seperti yang ditunjukkan di bawah ini :

Pekerja Pekerjaan yang dikualifikasikan

W1 J1, J2 dan J3

W2 J2 dan J4

W3 J1 dan J3

W4 J3, J5 dan J6

W5 J2

W6 J4 dan J5

Dapatkah semua pekerja ditugaskan sehingga tiap orang untuk 1 pekerjaan yang

dikualifikasikan ?

Penyelesaian :

Kita dapat membentuk graf Bipartite G dengan bipartisi (X,Y) dimana

misal X = pekerja = { W1, W2, ..., W6 }

Y = pekerjaannya = { J1, J2, ..., J6 }

W1 dihubungkan dengan Jk jika dan hanya jika W1 dikualifikasikan untuk

pekerjaan Jk. Graf hasil digambarkan pada Gambar 3.10.

W1 W2 W3 W4 W5 W6 G J1 J2 J3 J4 J5 J6

Gambar 3.10

Penugasan mungkin jika dan hanya jika G memuat 1 regular spanning graf (sub

graf yang memiliki 1 faktor). Graf di atas hanya latihan untuk menentukan apakah

sub graf ada. Salah satu dari sub graf ditunjukkan oleh Gambar 3.11 di bawah ini,

dengan busur-busur dari sub graf diberi garis tebal.

28

W1 W2 W3 W4 W5 W6 J1 J2 J3 J4 J5 J6

Gambar 3.11

Jadi penugasan pekerja untuk tiap jenis pekerjaan yang dikualifikasikan mungkin.

Penugasan yang dilakukan seperti di bawah ini :

Pekerja Pekerjaan

W1

W2

W3

W4

W5

W6

J1

J4

J3

J6

J2

J5 Tabel 3.1

Catatan : 1. Diberikan graf Bipartite G dengan bipartisi (X,Y) maka G mempunyai 1-

regular spanning subgraf, jika dan hanya jika

(i) YX = {jumlah bipartisi X=Y}

(ii) untuk himpunan bagian S dari simpul X sedikitnya S dari Y yang

berdampingan ke satu atau lebih S.

Contoh : W5 J2

W1 J1, J2, J3

2. Ada sebuah algoritma yang disebut Metode Hungarian, menugaskan n orang

untuk n pekerjaan sehingga tiap orang punya tugas sesuai dengan yang

dikualifikasikan.

Definisi 3.13

Walk dalam graf G merupakan barisan non-null berhingga w = v0 e1 v1 e2 v2 ... ek vk

di mana menunjukkan titik dan busur sehingga untuk ki ≤≤1 , ujung ei = vi-1 dan

vi .

W dikatakan walk dari v0 (asal) ke vk (tepat berhenti) atau (v0-vk)-walk.

29

Panjang walk merupakan jumlah busur dari w.

Jika simpul vo, v1, ..., vk dari walk w berbeda maka disebut lintasan atau path.

Jika panjangnya positif dan asal serta simpul berhentinya sama maka dikatakan

walk tertutup.

Cycle merupakan walk tertutup yang memiliki asal dan simpul-simpul di

dalamnya berbeda. Jadi dapat disimpulkan bahwa sebuah lintasan pasti

merupakan walk tetapi walk belum tentu merupakan lintasan.

Gambar 3.12 mempunyai banyak cycle, contohnya v0e1v1e2v2e10v5e7v0

adalah cycle dengan panjangnya 4.

e3 v1 e2 v2 e1 e4 Walk: v0 e1 v1 e8 v5 e10 v2 e3 v2 v0 e8 e9 e11 v3 e10 Path : v0 e1 v1 e8 v5 e6 v4 e5 v3 e7 e5 v5 e6 v4

Gambar 3.12

Cycle : v0 e1 v1 e8 v5 e7 v0 dengan panjang atau length 3

Length atau panjang merupakan jumlah dari busurnya.

Contoh 3.7:

Tunjukkan jika G merupakan graf bipartite dan tidak punya cycle dari length

ganjil !

Bukti :

Misal C = v0 e1 v1 e2 v2 ... ek-1 vk -1 ek v0 adalah cycle di G. G bipartite jika 2-

colourable. Jadi simpul C dapat diwarnai dengan 2 warna berbeda, jika dan hanya

jika simpul lainnya berbeda warna.

Simpul v0, v2, v4, ..., vk-2 diberi satu warna dan v1, v3, v5, ..., vk-1 diberi warna

lainnya. Satu kemungkinannya, k bilangan bulat genap dan c sebuah cycle dengan

length genap.

30

Catatan :

Graf yang tidak punya cycle dari length ganjil adalah bipartite. Dengan kata lain

graf dikatakan bipartite jika dan hanya jika tidak punya length cycle ganjil.

Dua simpul u dan v dari graf G dikatakan terhubung jika ada lintasan (u,v)

di G. Graf G terhubung jika setiap pasangan titik G terhubung, selainnya dari G

tidak terhubung. Maksimal sub graf terhubung dari G disebut komponen G.

Gambar 3.13 mengilustrasikan definisi ini.

Gambar 3.13 Graf tidak terhubung dengan 5 komponen Dari Gambar 3.13, diperoleh sub graf yang terhubung maksimal 5

komponen. Dengan kata lain dari gambar di atas berarti ada 5 komponen, 9 simpul

dan 8 busur.

Sebuah graf terhubung tanpa cycle disebut tree atau pohon. Dalam pohon

ada 2 simpul terhubung oleh lintasan yang tunggal. Pemindahan sembarang busur

dari pohon menghasilkan graf tak terhubung. Dengan kata lain sebuah pohon

adalah minimal graf terhubung (dalam arti memiliki jumlah busur paling sedikit).

Contoh 3.8 :

Tunjukkan bahwa setiap graf terhubung memiliki pohon perentang !

Jawab :

Misal G graf terhubung dan T adalah minimal sub graf perentang

terhubung. Akan ditunjukkan bahwa T adalah pohon dan T tidak punya cycle.

Ambil busur e yang menghubungkan x dan y di T. Selama T adalah minimal

penghapusan e dari hasil T pada graf tak terhubung. Jadi ada simpul u dan v di T,

yang tak terhubung di sub graf T-e dengan menghapus busur e. P menyatakan

lintasan (u-v) di T, lintasan ini ada selama T terhubung. Jelas bahwa e terdapat di

P. x mendahului y di P (lihat Gambar 3.14).

31

x y v u e V

Gambar 3.14

Jika e ada di cycle C di T, maka x dan y akan terhubung di T-e oleh

lintasan C-e (lihat Gambar 3.15). Tetapi, kemudian u dan v akan dihubungkan ke

T-e, selama di T-e, u dihubungkan dengan x dan v dihubungkan dengan y. e tidak

dapat masuk ke cycle T. Jadi T adalah pohon.

Gambar 3.15 mengilustrasikan hasil pembuktian di atas.

G a spanning tree of G

Gambar 3.15

Jika dua simpul u dan v terhubung di graf G, jarak d(u,v) antara u dan v

merupakan panjang lintasan (u,v) yang paling pendek di G. Jika tidak ada lintasan

yang menghubungkan u dan v di G, kita definisikan d(u,v) tak terbatas.

Diameter dari graf G dinyatakan sebagai Diam (G), yang didefinisikan sebagai

berikut.

Diam (G) = )},({max)(),(

vudGVvu ∈

Distance merupakan jarak terpendek dan Diam merupakan maksimum dari

distance graf G.

32

Contoh 3.9 :

Cari diameter dari graf berikut !

v2 v3 d (v1,v7) = 1 d (v1,v5) = 3 v1 v7 v8 v4 d (v1,v8) = 2 d (v2,v5) = 2

v6 G v5 diam (G) = 3 Gambar 3.16

Dalam rancangan jaringan, diameter dari sebuah graf merupakan sebuah

parameter penting yang menghubungkan jumlah maksimum dari jaringan

termasuk pesan antara dua pusat dalam jaringan harus dilalui. Jadi, diameter

merupakan ukuran keefisienan dan keefektifan yang penting dalam jaringan di

mana waktu ditunda atau signal diturunkan secara proporsional terhadap panjang

lintasan yang akan digunakan. Contohnya jaringan komunikasi. Kegunaan penting

dari parameter untuk mengukur kehandalan jaringan adalah konektivitas, yang

akan dibahas pada Bab 7.

Tujuan kita adalah mengembangkan algoritma yang dapat

diimplementasikan ke dalam komputer sehingga kita dapat menspesifikasikan graf

ke dalam program komputer.

Representasi Graf pada Matriks

Di dalam suatu graf seringkali perhitungan-perhitungan yang dikerjakan

akan lebih sederhana bila graf yang dihadapi dinyatakan dalam bentuk matriks.

Dalam pembahasan ini, ada tiga bentuk representasi matriks dari suatu graf, yaitu:

1. Matriks Adjasensi

Matriks Adjasensi dari G dengan m×m matriks A = [aij] menunjukkan

jumlah busur yang menghubungkan vi dan vj. Xij bernilai 1 jika busur (i. j) ∈ E

mempunyai arah dari simpul i ∈ V ke simpul j ∈ V, dan bernilai 0 jika tidak ada

hubungan sama sekali. Jika loop diberi nilai 2.

33

Jika graf G merupakan graf tak berarah, setiap busur (i, j) dapat dinyatakan

sebagai suatu busur dengan dua arah. Dalam hal ini matriks Adjasensi X

merupakan matriks simetris.

Contoh 3.10 : e6 e7

v1 v2 v6

e4 e5 e3

v3 v4 v5 e1 e2 Gambar 3.17 Matriks Adjasensi X dari graf berarah pada Gambar 3.17 adalah :

==

000000000000010001001000111000000010

][ ijXX

e6 e7 v1

v2 v6

e4 e5 e3

v3 v4 v5 e1 e2 Gambar 3.18 Matriks Adjasensi X dari graf tak berarah pada Gambar 3.18 adalah :

==

000010001010010111001000111001001010

][ ijXX

Beberapa sifat penting dapat diturunkan dari representasi matriks suatu graf

berarah maupun graf tak berarah. Dengan melihat contoh di atas, dapat diturunkan

sifat bahwa :

34

Matriks Adjasensi X dari graf berarah :

Suatu kolom yang seluruh elemennya bernilai 0 menyatakan suatu

sumber.

Suatu baris yang seluruh elemennya bernilai 0 menyatakan suatu

muara.

Jika seluruh elemen diagonal utamanya bernilai 0, maka menyatakan

tidak terdapat loop dalam graf tersebut. Sebaliknya, suatu elemen yang

tidak bernilai 0 pada diagonal menyatakan suatu loop.

Matriks X tidak simetri.

Matriks Adjasensi X dari graf tak berarah :

Jika pada graf ditambahkan suatu simpul yang tidak terhubung, maka

pada matriks X akan ditambahkan pula baris dan kolom yang seluruh

elemennya bernilai 0.

Matriks X simetris.

Elemen yang tidak bernilai 0 pada diagonal menyatakan suatu loop.

2. Matriks Insidensi

Secara khusus, jika V(G) = {v1,v2, ..., vm} dan E(G) = {e1, e2, ..., en} kita

definisikan sebagai matriks Insidensi dari G dengan ordo m×n. Matriks Insidensi

Z dari graf berarah merupakan matriks [zij] di mana zij bernilai 1 jika simpul i

merupakan simpul awal busur, zij bernilai -1 jika simpul i merupakan simpul akhir

busur, dan bernilai 0 jika lainnya. Berdasarkan Gambar 3.17, matriks Insidensi Z

dari graf berarah tersebut adalah :

−−−

−−

−−

==

000010001010010111001000111001001010

][ ijZZ

Matriks Insidensi Z dari graf tak berarah adalah matriks [zij] di mana zij

bernilai 1 jika simpul i dihubungkan dengan busur dan bernilai 0 jika lainnya.

Matriks Insidensi dari graf tak berarah Gambar 3.18 adalah :

35

==

000010001010010111001000111001001010

][ ijZZ

Dari representasi matriks Insidensi Z pada contoh di atas dapat dilihat bahwa :

Pada graf tak berarah :

Jumlah elemen tidak nol pada suatu baris menunjukkan derajat dari

simpul.

Setiap kolom mempunyai tepat dua elemen yang tidak nol.

Suatu kolom yang hanya mempunyai satu elemen tidak nol

menunjukkan suatu gelung.

Pada graf berarah :

Pada suatu baris yang semua elemen-elemen tidak nolnya adalah 1

menunjukkan bahwa barisan (simpul) merupakan suatu sumber.

Suatu baris yang semua elemen-elemen tidak nolnya adalah -1

menunjukkan bahwa baris (simpul) merupakan muara.

Jumlah elemen 1 pada suatu baris menunjukkan derajat keluar dari baris

(simpul). Jumlah elemen -1 pada suatu baris menunjukkan derajat masuk

dari simpul.

Setiap kolom mempunyai satu elemen -1 dan satu elemen 1. Hal ini

sebagai akibat bahwa setiap busur selalu mempunyai satu simpul awal

dan satu simpul akhir.

3. Matriks Biaya

Diberikan jaringan G(V, E, W) matriks biaya C dari jaringan G merupakan

matriks [Cij] di mana Cij menyatakan biaya (pengangkutan satu satuan barang)

pada busur (i, j).

Pada representasi di atas, Cij menyatakan bobot w(i, j). Matriks biaya C tersebut

merupakan matriks bujur sangkar n×n. Bilamana G merupakan jaringan tak

berarah maka matriks C merupakan matriks yang simetri.

36

Graf terboboti merupakan graf G di mana setiap busur e dan G memiliki

bilangan real w(e) yang disebut bobot. Jika H merupakan sub graf terboboti dari

G, maka bobot w(H) didefinisikan sebagai

∑∈

=)(

)()(HEe

ewHw

Contoh 3.11 :

Jaringan komunikasi dapat dinyatakan dalam graf terboboti. Titik G adalah pusat

T1, T2, ..., Tn. Kita menghubungkan dua titik dengan sebuah busur jika link

komunikasi dapat diinstall antara pusat yang berhubungan, biaya untuk

menginstall dinyatakan sebagai bobot suatu busur. Bobotnya tidak negatif, selama

bobot tersebut menyatakan biaya.

Graf berarah adalah suatu graf G di mana setiap busur mempunyai arah.

Sebuah digraf D terdiri dari himpunan simpul V(D), himpunan busur

berarah dan sebuah relasi insidensi yang menghubungkan setiap busur D yang

merupakan pasangan berurut di D. Jika a adalah sebuah busur dari D yang

menunjukkan pasangan terurut (u,v), maka a dikatakan yang menghubungkan u

(ekornya a) ke v (kepalanya a).

Sebuah digraf dikatakan simpel jika tidak punya loop dan tidak ada dua

busur yang memiliki pangkal dan ujung yang sama. Seperti halnya graf, digraf

dapat dilambangkan di mana verteks dilambangkan dengan titik, busur oleh garis

dan panah diletakkan di atas busur untuk menunjukkan arah.

Diberikan graf G, kita dapat memperoleh digraf D dari G dengan:

(i) menentukan arah untuk setiap busur G

(ii) mengubah setiap busur G dengan suatu pasangan yang memiliki arah

busur yang berbeda.

G

Gambar 3.19

37

Graf yang diperoleh dengan cara (i) disebut Orientasi Graf G.

Diberikan sebuah digraf D, kita dapat memperoleh graf G dengan

mengubah setiap busur di D dengan suatu busur yang menghubungkan ujung yang

sama. Graf G yang diperoleh dengan cara (ii) disebut Underlying Graf G.

Sebuah jalan berarah di D merupakan barisan tak kosong berhingga

W = vo a1 v1 a2 ... ak vk di mana menunjukkan simpul dan busur, dan untuk

ki ≤≤1 busur ai menghubungkan vi-1 ke vi. Jumlah busur di W disebut panjang

W. Jika titik v0, v1, ..., vk berbeda dan jalan berarah yang merupakan lintasan, maka

disebut lintasan berarah / Dipath .

Contoh 3.12 :

Tentukan graf berarah terboboti D, di mana busur terboboti menunjukkan rata-rata

alur maksimum, dan alur maksimum di antara pasangan titik tertentu dalam

jaringan.

Solusi :

Solusi dari permasalahan di atas dapat diselesaikan dengan

mengembangkan algoritma yang tepat. Penggunaan suatu algoritma biasanya

didasarkan pada waktu prosesnya. Hal inilah yang mendasari kita untuk

membicarakan algoritma kompleksitas waktu.

Algoritma dikelompokkan berdasarkan waktu proses dari implementasi

dalam komputer, tergantung ukuran masukan (input). Dalam algoritma teori graf,

masukan yang dimaksud berupa jumlah simpul dan busur. Biasanya pernyataan di

atas digunakan untuk memperkirakan jumlah operasi dasar komputer

(penjumlahan, perkalian, dan perbandingan) yang dibutuhkan dalam proses

algoritma. Jika algoritma memproses masukan waktu cn2 untuk beberapa

konstanta c, maka waktu kompleksitas T(n) dari algoritma dapat ditulis O(n2)

(dibaca “order n2”).

Secara umum, T(n) disebut O(f(n)), jika ada a konstanta real c>0 sehingga

T(n) ≤ cf(n) untuk semua bilangan n.

Waktu kompleksitas dari sebuah algoritma menunujukkan ukuran masalah

yang dapat diselesaikan.

Tabel 3.2 dan 3.3 di bawah memberikan ilustrasi tentang hal di atas. Kita

asumsikan bahwa komputer mempunyai kecepatan 106 per detik.

38

Ukuran n Algoritma Kompleksitas 20 30 60 A1 A2 A3 A4 A5

n2 n3 n5 2n

3n

0,0004 detik 0,008 detik 3,200 detik 1,049 detik 58,113 menit

0,0009 detik 0,027 detik 24,300 detik 17,896 menit 6,529 tahun

0,0036 detik 0,216 detik 12,96 detik 366 abad 1,3x1013 abad

Tabel 3.2. Waktu Proses Untuk Berbagai Algoritma

Ukuran n

Algoritma Kompleksitas Komputer sekarang

Komputer 100 x lebih

cepat

Komputer 1000 x lebih

cepat A1 A2 A3 A4 A5

n2 n3 n5 2n

3n

60.000 1.533 81 32 20

600.000 7.114 205 38,4 24,2

1.897.367 15.326 325 41,7 26,3

Tabel 3.3 Ukuran Maksimum Pemecahan Masalah Dalam Satu Jam Waktu Komputer

Tabel 3.3 memberikan masalah besar yang dapat diselesaikan dalam 1 jam

oleh komputer dengan kecepatan berbeda. Untuk algoritma A4 dan A5, sebuah

komputer yang cepat tidak dapat menyelesaikannya.

Sebuah algoritma di mana T(n) adalah polinomial terbanyak dalam n

disebut sebagai algoritma polinomial. Sebuah algoritma dikatakan eksponensial

jika ada sebuah aplikasi di mana T(n) eksponensial di n. Algoritma A1 dan A3

adalah polinomial selama algoritma A4 dan A5 adalah eksponensial. Algoritma

eksponensial tidak efisien dan biasanya merupakan variasi dari penelusuran

ekshaustive. Tujuan kita adalah mengembangkan algoritma polinomial. Algoritma

polinomial menentukan sebuah algoritma di mana T(n) eksponensial di n.

Jika n2, n3, n5 maka polinomial (nk), k = 1,2,3, ...

Jika 2n, 3n maka eksponen (kn), k = 1,2, ...

39

LATIHAN SOAL

1. Diberikan graf G di bawah ini :

v2 v3

v1 G v4 v7 v6

v5

(a) Berikan sebuah contoh :

(i) sebuah jalan tetapi bukan lintasan,

(ii) sebuah lintasan

(iii) sebuah cycle

(b) Tentukan jarak dari v6 ke setiap simpul lainnya di graf G !

(c) Tentukan sebuah sub graf perentang di G yang tidak punya cycle.

(d) Tentukan matriks adjasensi dan insidensi dari G !

2. Berikan sebuah contoh dari graf yang

(i) tidak mempunyai simpul yang berderajat ganjil

(ii) tidak mempunyai simpul yang berderajat genap

(iii) mempunyai 4 komponen, 6 simpul dan 3 busur

(iv) 3-regular tetapi tidak lengkap.

3. (a) Misalkan m dan n adalah bilangan bulat sehingga nm ≤≤1 . Berikan

contoh graf yang mempunyai n simpul dan m komponen.

(b) Apakah mungkin bagi sebuah graf untuk mempunyai komponen lebih dari

simpulnya ? Jelaskan !

40

4. Mana dari graf di bawah ini yang merupakan graf bipartite ?

5. Jika mungkin, gambarkan graf G yang memiliki sifat berikut, dan jika tidak

ada jelaskan mengapa ?

(a) G adalah graf simpel dengan derajat simpulnya 2, 3, 4, 4 dan 5

(b) G adalah graf simpel dengan tepat hanya 3 simpul yang berderajat 5

(c) G adalah graf bipartite regular yang tidak terhubung.

(d) G adalah pohon dengan 5 simpul dan 6 busur

(e) G adalah graf di mana untuk n simpul mempunyai lintasan dengan panjang

maksimal 3 antara tiap pasangan simpul.

6. Berapa banyak busur yang mungkin dari :

(a) sebuah graf bipartite

(b) sebuah graf k-regular ?

7. Tunjukkan bahwa dalam sebuah graf simpel, jumlah simpul dari derajat ganjil

adalah genap !

8. Misalkan G adalah graf dengan 15 simpul yang terdapat dalam 4 komponen.

Tunjukkan bahwa sedikitnya satu komponen yang mempunyai 4 simpul atau

lebih!

41

9. Untuk setiap graf yang digambarkan dibawah ini, tentukan mungkin atau tidak

untuk mengorientasikan tiap graf sehingga digraf yang dihasilkan mempunyai

sedikitnya satu dipath antara sedikitnya dua simpul. Jelaskan !

42

BAB IV

BEBERAPA ALGORITMA GRAF

Dalam bab ini, kita mempelajari sejumlah algoritma (yang dipelajari

dalam Matematika Diskrit).

Ada dua jenis algoritma yang kita bahas dalam bab ini, yaitu :

a. Algoritma Kruskal

Algoritma ini digunakan untuk menentukan pohon perentang terbobot

minimum.

b. Algoritma Dijkstra

Algoritma ini digunakan untuk menentukan lintasan terpendek pada graf

berbobot.

4.1. Pohon Perentang Terbobot Minimum

Pohon perentang terbobot minimum disebut juga pohon optimal. Untuk

mencari pohon optimal, harus graf terhubung. Kita hanya memodifikasikan sedikit

algoritma yang diberikan sebelumnya untuk menentukan pohon perentang G.

Modifikasi yang dilakukan sederhana. Pada setiap tahap pemilihan busur, pilih

busur yang tidak membentuk cycle dan pilih busur dengan bobot terkecil.

Algoritma Kruskal :

1. Pilih busur e1 sehingga bobot w(e1) yang paling kecil.

2. Jika busur e1, e2, ..., ek telah terpilih, pilih busur ek+1 dari busur yang belum

dipilih sedemikian hingga

(i) ek+1 tidak menjadi siklus di G dengan busur e1, e2, ..., ek

(ii) w(ek+1) sekecil mungkin berhubungan dengan (i)

3. Berhenti ketika langkah 2 tidak dapat dilanjutkan lagi.

Contoh 4.1:

Gunakan Algoritma Kruskal untuk menentukan pohon perentang terbobot

minimum !

43

5 6 2 3 4 2 1 4 5 6 7

8 Gambar 4.1

Solusi :

Busur dari pohon optimal digambarkan dalam garis tebal.

(1) (2) 5 5 6 2 6 2 3 4 3 4 1 2 1 2 5 4 5 4 7 6 7 6 8 8 (3) (4) 5 5 6 2 6 2 3 4 3 4 1 2 1 2 5 4 5 4 7 6 7 6 8 8 (5) (6) 5 5 6 2 6 2 3 4 3 4 1 2 1 2 5 4 5 4 7 6 7 6 8 8 Pohon perentang terbobot minimum = 17

44

LATIHAN SOAL

1. Gunakan algoritma Kruskal untuk menemukan pohon perentang terbobot

minimum .

2 4 1 5 2 3 5 1 2 6 4 1 2 2 4 6

3 3 1 2 3 5 5 3

3 5 1 5 5 6 7

4 7

2. Sebuah jaringan telepon diperlukan untuk diinstall di sebuah negara baru yang

terdiri dari 8 kota T1, T2, ..., T8. Biaya untuk menginstall sebuah saluran antara

kota Ti dan Tj diberikan dalam matriks di bawah ini. ( ∞ menyatakan bahwa

tidak mungkin untuk menginstal sebuah saluran). Diputuskan bahwa :

(i) setiap kota dapat berkomunikasi secara langsung maupun tidak

langsung ke setiap kota lainnya.

(ii) Total biaya instalasi diminimumkan.

Gambarkan sebuah jaringan dengan tujuan di atas !

T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8

∞∞∞∞

∞∞∞

∞∞

∞∞∞

0709810503112401110

70310215510122103175

9405301015811171003015

105515300205101015200

8

7

6

5

4

3

2

1

TTTTTTTT

3. The White Country, yang terletak di daerah bersalju, Ontario Pusat, terdiri dari

8 kota T1, T2, ..., T8. Beberapa badai salju membuat salju-salju menutupi

sebagian jalan-jalan di daerah tersebut. Selain badai salju, masalah utama yang

sering terjadi adalah pembukaan kembali jalan-jalan. Waktu dalam jam,

diperlukan untuk membersihkan jalan, dengan menggunakan peralatan yang

45

lengkap, sehingga pengembalian jalan untuk transportasi antara kota Ti dan Tj

diberikan dalam matriks di bawah ini. ∞ menyatakan bahwa tidak ada jalan

langsung yang menghubungkan kota Ti dan Tj.

T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8

∞∞∞∞∞

∞∞∞∞∞∞∞

∞∞∞∞

∞∞

05,15,100,15,1025,58,10,80,275,0

075,35,20,35,15,425,575,300,325,15,48,15,20,305,0

5,100,80,325,15,0030,25,15,405,1

0,175,05,40,35,10

8

7

6

5

4

3

2

1

TTTTTTTT

Transportasi jalan dapat dibuka kembali jika memungkinkan untuk dilalui

dengan jalan antara dua kota. Tujuan pertama adalah membuka kembali

transportasi jalan di daerah tersebut secepat mungkin. Bagaimana cara

mencapai tujuan ini ? Anda dapat mengasumsikan bahwa waktu yang

diperlukan untuk memindahkan peralatan dalam membersihkan jalan

diabaikan.

4. Empat kota C1, C2, C3 dan C4 diletakkan pada sudut dari sebuah persegi. Kota

kelima C5 diletakkan di tengah persegi yang dihubungkan oleh C1, C2, C3 dan

C4. Biaya untuk membangun jalan antara dua kota sebanding dengan jarak

antara kedua kota tersebut. Tentukan biaya termurah yang dapat

menghubungkan kelima kota tersebut !

46

4.2. Lintasan Terpendek

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering dihadapkan pada permasalahan

untuk menentukan lintasan terpendek dari suatu tempat ke tempat lain. Misalnya

dalam masalah transportasi, jaringan dapat menggambarkan jalan yang

menghubungkan satu kota dengan kota-kota lainnya, dan sepanjang jalan yang

menghubungkan satu kota (sebagai kota asal) ke satu kota lainnya (sebagai kota

tujuan) disebut lintasan.

Kita mengetahui bahwa untuk menuju ke satu kota tujuan dapat ditempuh

melalui beberapa lintasan. Dalam hal ini, kita akan menentukan kota-kota atau

jalan manakah yang harus dilalui sehingga kita dapat mencari tempat tujuan

dengan jarak terpendek. Dengan demikian lintasan terpendek dapat diartikan

sebagai bobot minimal dari suatu lintasan, yaitu jumlah bobot dari seluruh busur

yang membentuk lintasan.

Pada jaringan G(S,B,W) terdapat minimal satu lintasan yang

menghubungkan sumber dan tujuan. Kita akan memilih salah satu bilangan

terkecil di antara sejumlah bilangan yang menyatakan bobot dari suatu lintasan.

Jelas hanya terdapat satu bilangan yang memenuhi. Dengan kata lain hanya

terdapat satu bobot lintasan yang memenuhi, sedangkan lintasannya sendiri dapat

lebih dari satu dengan bobot yang sama.

Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menentukan lintasan

terpendek, yaitu metode Dijkstra, Moore, Bellman, Matriks, dan Ford. Selain

beberapa metode tersebut masih terdapat metode lainnya sebagai pengembangan

dari metode Ford, yaitu Hert et al (1968), Floyd (1962), Spira (1973), serta

Johnson (1973). Akan tetapi, yang kita bahas dalam bab ini hanya metode

Dijkstra.

Length merupakan jumlah bobot dari lintasan, sedangkan bobot minimum

dari lintasan (u,v) disebut distance d(u,v). Bobot minimum lintasan disebut

lintasan terpendek. Jika )(GEe ∉ maka w(e) = ∞

Asumsi mencari lintasan terpendek yaitu :

1. G merupakan graf simpel

2. Semua bobot di G positif

47

Observasi Penting :

1. Jika P = u0, u1, ..., uk, uk+1 adalah lintasan terpendek (u0, uk+1) di G, maka

bagian (u0, ui) yaitu u0, u1, ..., ui, ki ≤≤1 dari P adalah lintasan terpendek (u0,

ui) di G.

Jadi, d(u0, uk+1) = d(u0, uk) + w (uk, uk+1). (4.2.1)

2. Jika S adalah himpunan bagian dari V, maka u0∈S dan lintasan terpendek dari

u0 ke simpul lainnya di S diketahui. Misal S = semua simpul kecuali di S.

Kita definisikan jarak dari u0 ke S sebagai berikut :

d(u0, S ) = )},({min 0 vudSv∈

(4.2.2)

Hal ini merupakan cara untuk menentukan simpul S yang terdekat ke u0.

Jelas bahwa P = u0, u1, ..., uk, uk+1 adalah lintasan terpendek dari u0 ke S . Jadi

)}(),({min),( 00 uvwuudSudSvSu

+=∈∈

(4.2.3)

Untuk graf yang disajikan di bawah ini (busur dari lintasan terpendek

ditunjukkan oleh garis tebal)

d(u0, S ) = 7,

dan v2 adalah simpul S yang dekat ke u0. Lintasan u0, u1, u2, v2 adalah

lintasan terdekat (u0, v2) di G.

u1 2 u4 v5 8 v1 4 1 5 5 2 6 1 5 3 4 u0 u2 u5 2 v4 4 3 3 5 8 10 v2 7 u3 v3

Gambar 4.2 S = {u0, u1,…, u5} S = {v1, v2,…, v5}

Persamaan 4.2.3 memberikan suatu prosedur untuk menemukan lintasan

terpendek dari simpul spesifik u0 ke setiap simpul lain di G. Gagasan dasarnya

adalah : dimulai dari himpunan S0 = {u0} sebuah barisan naik S0, S1, ..., Sn-1,

48

n= )(GV , terhubung dalam cara yang sama dan berakhir pada tahap i, lintasan

terpendek dari u0 ke semua simpul di Si diketahui.

Algoritma Dijkstra :

1. Tentukan u0 paling kiri. Biasanya u0 diberi tahu.

2. Lintasan berakhir paling ujung.

3. Lintasan atau busur yang dilalui tidak boleh membentuk cycle.

4. Harus berurutan pemberian labelnya pada tiap simpul.

5. Carilah busur dengan bobot yang paling minimum.

Contoh 4.2 :

Carilah lintasan terpendek dari u0 ke setiap simpul lainnya, dari graf di bawah ini !

5 1 2 6 2 5 5 2 6 u0 3 4 3 4 1 8

Gambar 4.3

Solusi :

Gambar-gambar untuk menentukan lintasan terpendek dari graf pada Gambar 4.3

di atas, disajikan di bawah ini. Busur yang merupakan lintasan terpendek, diberi

garis tebal.

5 1 2 6 2 5 5 2 6 u0 S0 = {u0} 3 4 3 4 1 8 u1 5 1 2 6 2 5 5 2 6 u0 S1 = {u0, u1} 3 4 3 4 1 8

49

u1 5 1 2 6 2 5 5 u2 2 6 u0 S2 = {u0, u1, u2} 3 4 3 4 1 8 u1 5 1 2 6 2 5 5 u2 2 6 u0 S3 = {u0, u1, u2, u3} 3 4 3 4 1 u3 8 u1 5 1 2 6 2 5 5 u2 2 u4 6 u0 S4 = {u0, u1,…, u4} 3 4 3 4 1 u3 8 u1 5 u5 1 2 6 2 5 5 u2 2 u4 6 u0 S5 = {u0, u1,…, u5} 3 4 3 4 1 u3 8 u1 5 u5 1 2 6 2 5 5 u2 2 u4 6 u0 S6 = {u0, u1,…, u6} 3 4 3 4 1 u3 8 u6

50

u1 5 u5 1 2 6 2 5 5 u2 2 u4 6 u0 u7 S7 = {u0, u1,…, u7} 3 4 3 4 1 u3 8 u6

Lintasan terpendek = 29

Secara ringkas, algoritma Dijkstra dapat dituliskan di bawah ini :

1. Misal 0)( 0 =ul , ∞=)(vl untuk v }{, 000 uSu =≠ dan i=0.

2. Untuk setiap iSv ∈ , ganti )(vl dengan min{ )}.()(),( vuwuv ii +ll Hitung

)}({min viSv

l∈

dan misal ui+1 menyatakan sebuah simpul di mana minimum

didapat. Maka }{ 11 ++ ∪= iii uSS .

3. Jika ,1)( −= GVi berhenti. Jika tidak ganti i dengan i + 1 dan lanjutkan ke

langkah 2.

Contoh 4.3 :

Untuk graf pada Gambar 4.4, carilah lintasan terpendek dari u0 ke setiap simpul

lainnya dengan menggunakan algoritma Djikstra !

1 8 2 5 4 1 8 2 3 2 4 u0 4 2 3 6 2 2 3

Gambar 4.4 Solusi :

Gambar-gambar untuk menentukan lintasan terpendek dari graf pada Gambar 4.4

di atas, disajikan di bawah ini. Busur yang merupakan lintasan terpendek, diberi

garis tebal.

51

∞ ∞ 1 8 2 ∞ 5 4 1 0 8 2 3 2 ∞ 4 ∞ u0 ∞ 4 2 3 6 ∞ 2 2 3 ∞ ∞

2 u1 ∞ 1 8 2 ∞ 5 4 1 0 8 2 3 2 ∞ 4 ∞ u0 ∞ 4 2 3 6 ∞ 2 2 3 6 ∞

2 u1 ∞ 1 3 8 2 5 4 u2 1 0 8 2 3 2 ∞ 4 ∞ u0 4 2 3 6 ∞ 2 2 3 6 ∞ 2 u1 11 1 3 8 2 4 5 u2 1 0 8 5 2 3 2 ∞ 4 ∞ u0 u3 4 2 3 6 6 2 2 3 6 ∞

52

2 u1 11 1 3 8 2 4 5 u2 1 0 8 5 2 3 2 ∞ 4 ∞ u0 u3 4 2 3 6 6 2 6 2 3 u4 ∞

2 u1 11 1 3 8 2 4 5 u2 1 0 8 5 2 3 2 ∞ 4 ∞ u0 u3 4 2 6 3 6 u5 2 6 2 3 u4 ∞

2 u1 8 u6 1 3 8 2 4 5 u2 1 0 8 5 2 3 2 ∞ 4 ∞ u0 u3 4 2 6 3 6 u5 2 6 2 3 u4 9

2 u1 8 u6 1 3 8 2 4 5 u2 1 0 8 5 2 3 2 9 4 13 u0 u3 4 2 6 3 6 u5 2 6 2 3 9 u4 u7

53

2 u1 8 u6 1 3 8 2 4 5 u2 1 0 8 5 2 3 2 4 11 u0 u3 4 9 u8 2 6 3 6 u5 2 6 2 3 9 u4 u7

2 u1 8 u6 1 3 8 2 4 5 u2 1 0 8 5 2 3 2 4 11 u0 u3 4 9 u8 u9 2 6 3 6 u5 2 6 2 3 9 u4 u7

54

LATIHAN SOAL

1. Untuk setiap graf di bawah ini, gunakan algoritma Djikstra untuk menemukan

lintasan terpendek dari u0 ke setiap simpul lainnya. Anda diharuskan untuk

menggambarkan graf per tahap, sehingga masing-masing pelabelan dapat

digambarkan dengan jelas.

(i) 1 2 2 6 5 9 7 9 3 u0 8 1 6 2 7 2 4 3 1 1 4 9 1 (ii) 4

2 2 4 5 1 2 6 1 u0 3 3 2 1 3 5 1 5

4 (iii) 1 5 2 3 4 6 3 2 2 3 4 3 u0 2 6 1 4 3 2 5 5 3 2 1 1

55

(iv) 2 1 3 1 3 6 4 3 u0 4 5 5 2 6 1 4 5 1 1 5 7 2

2. Sebuah paket berisi barang-barang asli di Los Angeles dapat dikirimkan ke

Boston melalui beberapa rute berbeda, yang ditunjukkan di bawah ini. Bobot

tiap busur menyatakan biaya transportasi atau pengiriman paket antar kota

yang berhubungan. Gunakan algoritma Djikstra untuk menemukan rute

terpendek yang dapat meminimumkan biaya dari Los Angeles ke Boston!

H

A 58 130 F 25 48 40 I B 85 29 58 66 63 D 27 53 43 75 29 G C 28 85 E A = Portland F = Chicago B = Salt Lake City G = Memphis C = Los Angeles H = Boston D = Kansas City I = Washington E = Dallas

3. Sebuah perusahaan perbankan dengan kantor pusat di New York (NY)

mempunyai beberapa cabang utama di London (L), Paris (P), Zurich (Z),

Roma (R), Berlin (B), Montreal (M), dan Vienna (V). Setiap hari informasi

penting (meliputi rata-rata pertukaran mata uang, dan lainnya) harus

56

diinformasikan dari kantor pusat ke kantor cabang. Biaya pengiriman pesan

melalui teleks antara dua kantor cabang, diberikan pada matriks di bawah ini.

NY L P Z R B M V

0000.1000.1000.1000.1000.11015000.10000.1000.1000.18000.13000.1000.10853211000.1000.1802229000.1000.15201312000.18321031010000.1223308153119121080

VMBRZPL

NY

Tentukan rute komunikasi termurah antara kantor pusat dengan setiap kantor

cabang lainnya !

4. Pelayaran dengan tujuan untuk mengirimkan barang-barang bekas melakukan

perjalanan dari Coquitlam ke Saskatoon. Rute-rute yang mungkin ditunjukkan

di bawah ini. Bobot untuk tiap busur menyatakan biaya pengiriman barang-

barang bekas antara kota yang berhubungan. Gunakan algoritma Djikstra

untuk menentukan rute terpendek yang dapat meminimumkan total biaya

transportasi !

H E 20 43 42 18 K 62 F I 56 B 42 26 48 32 22 5 40 39 41 31 24 C J 5 52 61 16 L A 20 D G A = Coquitlan G = Cranbrook B = Kamlocpe H = Bdmonton C = Kelama I = Calgary D = Penticton J = Swift Current E = Jasper K = Saskatoon F = Golden L = Regina

57

5. Berdasarkan jaringan di bawah ini, bobot busur menyatakan kemungkinan

yang diberikan oleh fungsi busur.

90 2 4 80 1 70 90 80 80 3 5 75

Tentukan rute yang handal atau efektif dalam jaringan tersebut !

58

KONSEP LEBIH JAUH DALAM TEORI GRAF

Dalam Bab 3, kita mempelajari beberapa konsep dasar dalam teori graf, di

mana sebagian besar telah dipelajari dalam Matematika Diskret. Dalam bab ini,

kita memperkenalkan beberapa konsep dan ide lebih jauh dalam teori graf. Tujuan

pertama adalah mengilustrasikan beberapa metode pembuktian dalam teori graf.

Kita mulai dengan memperkenalkan beberapa notasi yang sering digunakan dalam

teori graf.

Untuk sebuah graf G :

V(G) = jumlah simpul di G

ε (G) = jumlah busur di G

d(u) = derajat simpul u di G

δ (G) = derajat paling minimum di G

∆ (G) = derajat paling maksimum di G

Derajat suatu simpul sama dengan dua kali jumlah busurnya.

∑∈

=)(

)(2)(Gvv

Gvd ε (5.1)

Sebagai akibatnya, sebuah graf simpel mempunyai jumlah genap dari simpul

berderajat ganjil.

Teorema 1.1 :

Untuk graf G, buktikan bahwa ∆≤≤vε

δ2 !

Bukti : Dari (5.1) kita memperoleh

∑∈

=)(

)(2Gvv

vdε

vδ≥ sehingga vε

δ2

≤ dan

∑∈

=)(

)(2Gvv

vdε

v∆≤ sehingga ∆≤vε2

59

Jadi terbukti bahwa ∆≤≤vε

δ2 .

Untuk kesimpulan selanjutnya dengan mudah dinyatakan bahwa himpunan

simpul yang berdampingan ke sebuah simpul u dinyatakan dengan N(u) dan yang

berjauhan dinyatakan dengan N (u). Dengan kata lain N(u) sebagai tetangga dari

u dan N (u) bukan tetangga dari u.

Teorema 5.2 :

Misal G adalah graf simpel dengan )(21 xv

≥δ menunjukkan bilangan bulat x,

maka G terhubung.

Bukti :

Misal d(u) = δ . Ambil himpunan lain N(u) dari u

≥ vuN21)(

121)( −

−≤ vvuN

)(uNw ∈ maka δ<−

−≤− 2211)( vvuN

Titik )(uN harus berhubungan dengan sedikitnya satu titik di )(uN . Jadi G

terhubung.

Teorema 5.3 :

G adalah graf dengan 2≥δ . G punya cycle.

Bukti :

P = v0, v1, v2, ..., vl lintasan terpanjang di G

v0 v1 v2 vk vl v0 ada di P. Karena 2≥δ , v0 dihubungkan ke beberapa simpul vk dengan 1<k l≤ .

Maka G punya cycle C = v0, v1, v2, ..., vk, v0.

G punya cycle yang panjangnya 1+δ

60

Teorema 5.4 :

G adalah graf dengan v≥ε . G punya cycle.

Bukti :

P(n) adalah Graf G dengan n simpul dari n≥ε punya cycle.

Langkah 1 : Jika v = 1 dan 1≥ε , g punya sedikitnya 1 loop dan memiliki cycle

yang panjangnya satu. P(1) terbukti.

Langkah 2 : (Langkah induktif)

P(n) benar dan g graf dengan simpul n+1 dan 1+≥ nε . Jika

2)( ≥Gδ , G punya cycle.

2)( <Gδ dan v simpul di G dengan 1)( ≤vd .

Maka graf G-V didapat dengan menghapus v dan semua busur insiden ke v

memiliki )()( VGVnVG −=≥−ε .

Jadi G-V punya cycle dan G punya cycle. P(n+1) benar jika P(n) benar.

BARISAN DERAJAT

Menyatakan banyaknya busur yang insiden dengan simpul.

Jika V(G) = {v1, v2, ..., vn}, barisan (d(v1), d(v2), ..., d(vn)) disebut barisan derajat

G.

Contoh 5.1 :

Perhatikan graf di bawah ini.

v3 v1 v5 v2

v4

Barisan derajat dari G :

(v1, v2, v3, v4, v5) = (1, 5, 4, 4, 4)

61

Teorema 5.5 :

Sebuah barisan (d1, d2, ..., dn) dari bilangan bulat tak negatif adalah barisan derajat

dari G jika dan hanya jika ∑=

n

iid

1 genap.

Bukti :

Kita akan membuktikan 2 kenyataan :

(i) Jika (d1, d2, ..., dn) adalah barisan derajat maka ∑=

n

iid

1= genap. (syarat

cukup)

(ii) Jika (d1, d2, ..., dn) adalah barisan dari bilangan bulat tak negatif maka

∑=

n

iid

1 genap, maka ada graf yang memiliki barisan derajat (d1, d2, ...,

dn). (syarat perlu)

Bukti :

Untuk membuktikan (ii) buat graf dengan barisan derajat (d1, d2, ..., dn)

seperti ini.

V(G) = {v1, v2, ..., vn}, karena ∑=

n

iid

1 genap, jumlah simpul di yang

ganjil adalah genap. Pasangkan di dan gabungkan setiap pasangan

dengan satu busur. Tambahkan loop sebesar 2

id pada setiap simpul i.

Jadi graf yang dihasilkan akan memiliki barisan derajat (d1, d2, ..., dn).

Contoh 5.2 :

Bentuk graf dengan barisan (4, 1, 3, 6, 5, 1) ! v1 v1 v6 v2 v6 v2

v5 v3 v5 v3

62

v4 v4 Ada 4 komponen yang tidak terhubung.

Graf dikatakan grafik jika ada graf simpel dengan barisan derajat d.

Contoh 5.3 :

Apakah barisan berikut grafik ?

1. (4, 1, 3, 6, 5, 1)

2. (6, 6, 5, 5, 4, 3, 1)

Jawaban :

1. (4, 1, 3, 6, 5, 1) berarti ada 6 simpul.

Derajat maksimum pada graf simpel dengan 6 simpul adalah 5. Jadi bukan

grafik.

Derajat maksimum = Jumlah simpul – 1

2. (6, 6, 5, 5, 4, 3, 1) berarti ada 7 simpul.

Andai G grafik, v1 dan v2 menyatakan dua simpul di G dengan derajat g.

Karena G punya 7 simpul, v1 dan v2 berdampingan maka v1 dan v2

berdampingan ke simpul di G lainnya dengan menunjukkan bahwa

2)( ≥Gδ .

Jadi G bukan grafik.

Teorema 5.6 :

Misal d = (d1, d2, ..., dn) adalah barisan tidak naik dari bilangan bulat tidak negatif,

dan menyatakan barisan

( ndd ddddd ,...,,1,...,1,1 2132 11 ++ −−− )

oleh d`. Maka d adalah grafik jika dan hanya jika d` grafik.

Bukti :

Misalkan d` adalah grafik. Maka dengan definisi, ada sebuah graf simpel G`

dengan V(G`) = {v2, v3, ..., vn} yaitu :

≤≤++≤≤−

=nijikadd

dijikadvd

i

iiG 2,

12,1)(

1

1`

Sebuah graf baru dapat digambarkan dengan menghubungkan sebuah simpul baru,

v1 ke G` dan menggabungkan v1 ke v2, v3, ..., 11+dv . Jelas G adalah simpel dan

63

mempunyai d sebagai barisan derajat. Maka d juga grafik. Misal d adalah barisan

grafik. Maka G ada dengan V(G) = {v1, v2, ..., vn} sehingga d(vi) = di untuk

ni ≤≤1 . Kita mempunyai dua kemungkinan.

Kemungkinan 1 :

v1 berdampingan dengan v2, v3, ..., 11+dv . Maka graf G-v1 mempunyai barisan

derajat d` sehingga grafik.

Kemungkinan 2 :

v1 tidak berdampingan dengan semua simpul v2, v3, ..., 11+dv . Maka harus ada

simpul vj dan vk dengan j < k sehingga v1 berdampingan ke vk tetapi tidak ke vj.

Kita dapat memisalkan dj > dk selama jika dj = dk kita dapat mengubah vj dan vk.

Jadi harus ada sebuah simpul vm misalnya, yang berdampingan ke vj tetapi tidak

ke vk. Misal G` adalah graf yang diperoleh dari G dengan menghapus busur v1vk

dan vmvj dan menambah busur v1vj dan vkvm.

v1 vj v1 vj vk vm vk vm G G΄ Jelas bahwa G` mempunyai barisan derajat d. Tetapi di G`, jumlah derajat dari

simpul yang berdampingan dengan v1 lebih luas dari pada di G. Akibatnya, jika

kita melanjutkan prosedur ini, kita mengakhiri sebuah graf dengan barisan derajat

d di mana v1 memenuhi hipotesis dari kemungkinan pertama. Jadi d adalah grafik.

Catatan :

Pembuktian-pembuktian di atas memberikan gambaran algoritma untuk

menguji apakah suatu barisan grafik atau tidak. Kita ilustrasikan dalam contoh

berikut.

Contoh 5.4 :

Tunjukkan apakah barisan ini grafik ? Jika ya, buat grafnya !

1. (4, 4, 3, 2, 1, 0)

2. (5, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 0)

Solusi :

64

1. (4, 4, 3, 2, 1, 0) adalah grafik jika dan hanya jika (3, 2, 1, 0, 0) adalah grafik.

Akan tetapi (3, 2, 1, 0, 0) adalah bukan grafik. Tidak ada graf yang

menyatakan simpel.

2. (5, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 0) adalah grafik jika dan hanya jika

(2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 0) adalah grafik. Disusun kembali

(2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 0) adalah grafik jika dan hanya jika

(1, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 0) adalah grafik. Disusun kembali

(2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0) adalah grafik jika dan hanya jika

(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0) adalah grafik.

Jadi barisan ini merupakan grafik.

Graf dari barisan di atas disajikan di bawah ini.

(1,1,1,1,1,1,1,1,0)

(2,2,2,1,1,1,1,1,1,0)

(2,2,2,2,2,2,1,1,1,1,0)

(5,3,3,3,3,2,2,2,1,1,1,0)

65

Penggambaran grafik dimulai dari yang paling akhir. Bentuk grafnya tidak

tunggal.

APLIKASI TEORI GRAF DALAM KIMIA

Bentuk struktur dari susunan kimia adalah sebuah diagram yang

menyatakan ikatan antara atom-atom dalam molekul. Sebagai contoh,

H H H H C H H C C H H H H

C1H4 (Metana) C2H6 (Etana) H

O

O S O O H SO4H2 (Asam Sulfat) Jadi jelas bahwa sebuah struktur hanya bagian khusus dari graf. Bentuk modelnya

adalah :

Ikatan Kimia Model Graf ATOM SIMPUL IKATAN BUSUR

66

Dengan catatan bahwa komposisi kimia tersebut tidak cukup untuk

mengidentifikasikan substansi, selama ada substansi yang mempunyai komposisi

kimia yang sama tetapi berbeda bentuk fisiknya. Sebagai contoh,

H H H H H C C C C H H H H H

C4H10 (Butana) H H C H H H H C C C H H H H C4H10 (Iso-butana) Atom-atom di atas disusun dalam bentuk yang berbeda. Teorema berikut

menunjukkan bagaimana teori graf dapat diaplikasikan ke dalam hasil informasi

tentang susunan kimia.

Teorema 5.7 (Cayley) :

Struktur dari parafin (hidrokarbon) CnH2n+2 direpresentasikan dalam

bentuk pohon.

Bukti :

Sebuah parafin adalah molekul di mana setiap atom karbon mempunyai 4

ikatan dan setiap atom hidrogen mempunyai satu ikatan. Misal G adalah graf yang

67

menggambarkan molekul tersebut. Kemudian setiap simpul G mempunyai derajat

1 atau 4. Selanjutnya

v(G) = 3n + 2

dan

∑∈

=)(

)deg(21)(

GVvvGε

= ]224[21

++ nn

= 3n + 1 = v(G) – 1

Jadi G pasti adalah pohon.

PERMASALAHAN DOKUMENTASI KIMIA

Permasalahan dasar adalah memberi sebuah nama yang tunggal untuk

setiap struktur kimia. Seorang ahli kimia yang mengisolasi beberapa susunan dari

produk alami secara jelas ingin mengetahui :

(i) mungkin atau tidak susunan itu telah diketahui,

(ii) semua susunan yang telah diketahui yang mengandung sebuah

fragmen pasti merupakan bagian dari keseluruhan susunan

kimia tersebut.

ISOMORFIK

Dua buah graf dikatakan isomorfik (G1 ≅ G2) jika ada pemetaan satu-satu

dari simpul G1 ke G2 yang menunjukkan kedekatannya.

Contoh 5.5 :

Berdasarkan graf G1 dan G2 yang ditunjukkan di bawah ini :

u1 u2 u3 v4 v2 v1 v5 u4 u5 u6 v6 v3

68

G1 G2

21 GG ≅ selama pemetaan )()(: 21 GVGV →φ

didefinisikan oleh ii vu =)(φ , i = 1, 2, ..., 6

adalah sebuah pemetaan satu-satu yang membentuk kedekatan.

PERMASALAHAN KODING DALAM TEORI GRAF

Temukan sebuah algoritma yang baik untuk memberikan setiap graf

sebuah kode tunggal yang merupakan sebuah simbol string, dengan cara yang

sama, dua graf diberikan kode yang sama jika dan hanya jika keduanya isomorfik.

PERMASALAHAN ISOMORFISMA GRAF

Temukan sebuah algoritma yang baik untuk menentukan mungkin atau

tidak dua graf yang diberikan isomorfik.

PERMASALAHAN ISOMORFISMA SUB GRAF

Diberikan dua graf G dan H. Temukan sebuah algoritma yang baik untuk

menentukan mungkin atau tidak sub graf dari G isomorfik dengan H.

Catatan :

1. Permasalahan koding hanya permasalahan dokumentasi kimia.

2. Permasalahan isomorfisma sub graf membuat kimiawan tertarik untuk

meletakkan semua susunan yang diketahui.

3. Permasalahan isomorfisma graf tidak sesederhana dapat menjadi

pembuktian pada akhir latihan bab ini.

PENGUJIAN ISOMORFISMA

Apakah G1 ≅ G2 ?

BRUTE FORCE

1. Beri label salah satu graf, misalnya G1. Hasilnya akan terbentuk

sebuah matriks adjasensi yang tunggal untuk G1.

69

2. Untuk setiap pelabelan yang mungkin bagi G2, periksa mungkin atau

tidak menghasilkan matriks adjasensi yang sama dengan G1?

KOMPLEKSITAS

Dalam kemungkinan terburuk prosedur di atas membutuhkan k.n2.n!

operasi, di mana k adalah sebuah konstanta dan n = )(GV . Eksponensial !

PERBAIKAN KEMBALI

Simpul-simpul diklasifikasikan ke dalam kelas-kelas menurut beberapa

graf yang sejenis. Dalam simpul-simpul yang isomorfisma di G1 harus dipetakan

secara onto ke simpul-simpul yang berhubungan di G2. Hal ini memberikan

sedikit latihan permutasi.

FORMULA CAYLEY UNTUK MENGHITUNG POHON PERENTANG

Permasalahan yang ada adalah bagaimana menentukan jumlah pohon

perentang yang mungkin. Sebuah busur e dikatakan berhimpit jika dihapus dan

ujungnya diidentifikasi. Graf yang dihasilkan dinotasikan dengan G.e. Berikut

diberikan ilustrasi dari definisi ini.

Contoh 5.6 :

v1 e1 vj {v1v3} e1 v2 e2 e4 e e2 e4 e3 v4 e3 v3 v4 G G.e e1 {v1v2} v1 v2 e2

70

e2 e3 e4 e3 e4 v3 G G.e1 Ingat v(G.e) = v(G) – 1

1)().( −= GeG εε

dan jumlah komponen G.e sama dengan jumlah di G. Jadi, jika G adalah pohon,

maka G.e juga.

Notasi :

)(Gτ : jumlah pohon perentang di G

Teorema 5.8 :

Jika e adalah sebuah busur dari loop di graf G, maka ).()()( eGeGG τττ +−=

Bukti :

Kita dapat mengasumsikan bahwa G terhubung dengan tujuan teorema ini adalah

benar. Selama setiap pohon perentang di G tidak mengandung e, maka juga

merupakan sebuah pohon perentang G – e, dan

#)( =− eGτ jumlah pohon perentang di G yang tidak mengandung e.

Untuk setiap pohon perentang T di G yang mengandung e, ada hubungan pohon

perentang T.e di G.e. Maka

#).( =eGτ jumlah pohon perentang di G yang mengandung e.

Terbukti.

Teorema 5.8 memberikan sebuah metode untuk menentukan )(Gτ . Kita

ilustrasikan hal ini dalam contoh berikut.

Contoh 5.7 :

Gunakan rumus rekursif dari Teorema 5.8 untuk menentukan jumlah pohon

perentang dari graf di bawah ini !

71

Solusi :

Untuk kemudahan, tebalkan busur yang menunjukkan busur e di mana rumus

rekursif diterapkan.

τ = τ + τ = τ + τ + τ + τ = 5 + 2τ + τ + τ = 5 + 2τ . τ + 3 + 4 = 24 Catatan :

1. Teorema 5.8 memberikan sebuah metode untuk menghitung )(Gτ yang

tidak tepat untuk graf yang besar.

2. Untuk nKG ≅ , Cayley membuktikan bahwa 2)( −= nn nKτ .

3. Ada sebuah formula tertutup untuk )(Gτ yang menyatakan )(Gτ sebagai

sebuah determinan.

4. Jika G = G1 ∪ G2 dengan V(G1) ∩ V(G2) = {u} maka

).()()( 21 GGG τττ ×=

72

Sebagai contoh,

G1 G2 G

).()()( 21 GGG τττ ×=

Penggunaan rumus di atas menjelaskan bahwa Contoh soal 5.7 dapat

disederhanakan menjadi :

τ ( G ) = τ + τ = τ + τ + 16 = 0 + τ + τ + 16 = 3 + 5 + 16 = 24

73

LATIHAN SOAL

1. Dalam setiap kemungkinan, gambarkan jika mungkin, sebuah graf G dengan

sifat-sifat berikut; jika tidak jelaskan mengapa graf ini tidak ada !

a. Diameter (G) = 3, 4)( =∆ G , dan v(G) = 54.

b. G adalah graf simpel dan mempunyai simpul dengan derajatnya

8, 6, 5, 4, 4, 3, 3, 3, 3, 0, 0.

c. G adalah 5-regular, v(G) =13 dan 28)( =Gε .

d. G adalah simpel, tidak terhubung, 7)( =Gδ , dan v(G) = 14.

e. G adalah sebuah pohon dengan sedikitnya 3 simpul yang isomorfik.

f. G adalah sebuah graf simpel berderajat ganjil dengan 1-regular sub graf

perentang.

g. G adalah sebuah graf simpel 4-regular graf bipartite.

h. G mempunyai barisan derajat (6, 6, 5, 5, 1, 1).

i. Diameter (G) = 2, 4)( =∆ G , dan v(G) = 20.

j. Diameter (G) = 2, 3)( =Gδ , dan v(G) = 10.

k. G adalah sebuag graf simpel, mempunyai 4 komponen, v(G) = 20, dan

15)( =Gε .

2. Apakah barisan berikut grafik ? Jika ya, gambarkan graf dengan barisan derajat

tersebut !

a. 4, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 1, 0.

b. 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 2, 1, 0, 0.

c. 5, 5, 5, 4, 4, 4, 4, 4, 0.

d. 5, 4, 3, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1.

74

e. 7, 6, 4, 4, 4, 3, 3, 3, 3, 1, 1, 0.

f. 5, 4, 4, 3, 3, 2, 2, 1, 0, 0.

g. 6, 6, 5, 5, 4, 4, 3, 2, 2, 1, 0, 0.

h. 8, 6, 5, 4, 4, 3, 3, 3, 2, 0, 0.

3. Tentukan jumlah pohon perentang dari graf di bawah ini !

a. b. c. d. e. f.

g. 4. Tentukan jumlah pohon yang tidak isomorfis dari graf di bawah ini !

a. b.

75

5. Dalam masing-masing kemungkinan, tentukan mungkin atau tidak graf

berpasangan yang diberikan berikut adalah isomorfik !

a. b. c. d.

76

e.

f. 6. Komplemen G dari graf simpel G adalah graf dengan himpunan simpul V(G),

dua simpul menjadi berdampingan di G jika dan hanya jika kedua simpul ini

tidak berdampingan di G. Tentukan komplemen dari graf berikut !

a. b. c. Km, n d. Kn 7. Sebuah graf adalah self-complementary jika GG ≅ . Apakah graf di bawah ini

self complementary ? Buktikan jawabanmu !

a. b.

c. d.

77

e.

78

DAFTAR PUSTAKA

Chartrand, Gary & Oellermann, Ortrud R. 1993, Applied and Algorithmic Graph Theory, McGraw-Hill, Inc.

McHugh, James A. 1990, Algoritmic Graph Theory, Prentice-Hall International,

Inc.

79